Bryła sztywna

Bryła sztywna

Fizyka I (Mechanika)

Wykład VIII:

• Bryła sztywna

• Statyka

• Prawa ruchu

• Moment bezwładno´sci

• Energia ruchu obrotowego

• B ˛ak i ˙zyroskop

Bryła sztywna

Układ wielu ciał

m m

m m

CM

V

^CM

p

2

p

4

p

1 ³

p

³

1

4

2

układ inercjalny Masa układu

M = ^X

i

m_i Poło˙zenie ´srodka masy:

R =~ 1 M

Xm_i ~r_i

Ruch układu jako cało´sci P˛ed:

P = M ~~ V_CM Energia kinetyczna:

E_k = M V_CM²

2 + E_k^⋆ Moment p ˛edu:

L = M ~~ R_CM × ~V_CM + ~L^⋆_CM

E_k^⋆ - energia “wewn ˛etrzna”

L~^⋆_CM - “wewn ˛etrzny” moment p ˛edu

Bryła sztywna

Układ wielu ciał

W oparciu o poj ˛ecie ´srodka masy mo˙zemy opisa´c ruch układu jako cało´sci stosuj ˛ac równania ruchu punktu materialnego.

d ~P

dt = ~F^zw d~L

dt = M~ ^zw

Natomiast ruch wzgl ˛edny ciał układu mo˙ze by´c (w ogólnym przypadku) bardzo skomp- likowany...

Przypadek szczególny

r

²³

1

4

3

2

CM

r_ij = ~r_i − ~rj  

 = ^onst

Układ ciał w którym wzgl ˛edne odległo´sci s ˛a stałe ⇒ bryła sztywna (uogólniona)

Bryła sztywna

Naogół ciałem sztywnym nazywamy ciało makroskopowe,

które nie podlega deformacjom - wszystkie punkty maj ˛a wzgl ˛edem siebie stałe odległo´sci.

Poło˙zenie

Aby jednoznacznie okre´sli´c poło˙zenie bryły sztywnej w przestrzeni, trzeba okre´sli´c:

poło˙zenie wybranego punktu np. ´srodka masy

3 parametry

(stopnie swobody)

poło˙zenie drugiego punktu

2 parametry

(poło˙zenie na sferze)

poło˙zenie trzeciego punktu

1 parametr (poło˙zenie na okr ˛egu)

⇒ ł ˛acznie mamy 6 stopni swobody

Opis ruchu

Poło˙zenie bryły sztywnej opisuj ˛a 3 współrz ˛edne i 3 k ˛aty

Złó˙zenie ruchów

Ogólny ruch (zmian ˛e poło˙zenia) mo˙zna przedstawi´c jako zło˙zenie

ruchu post ˛epowego oraz

wektory pr ˛edko´sci s ˛a takie same dla wszystkich punktów

ruchu obrotowego

wszystkie punkty poruszaj ˛a si ˛e po okr ˛egach

Opis ruchu

Chwilowa o´s obrotu

Czasami zło˙zenie ruchu postepowego i obrotowego (wzgledem np. ´srodka masy) mo˙zna przedstawi´c jako ruch obrotowy wzgl ˛edem chwilowej osi obrotu

chwilowa o´s obrotu ↑

~v_i = ~V_CM + ~ω × ^~r_i − ~R^

Je´sli V~_CM ⊥ ~ω wtedy:

~v_i = ~ω × ^~r_i − ~R^′

R~^′ - poło˙zenie chwilowej osi obrotu (zmienne w czasie)

Opis ruchu

Wi ˛ezy

Ruch bryły sztywnej w ogólnycm przypadku opisuje kolejnych 6 parametrów (np. pr ˛edko´s´c ´srodka masy i pr ˛edko´s´c k ˛atowa w układzie ´srodka masy)

W wielu zagadnieniach ruch bryły sztywnej jest jednak ogranicznony przez wi ˛ezy:

• koło obracaj ˛ace si ˛e na nieruchomej osi ⇒ jeden stopie ´n swobody (k ˛at obrotu)

• walec tocz ˛acy si ˛e bez po´slizgu ⇒ jeden st. swobody (k ˛at obrotu lub przesuni ˛ecie)

• walec tocz ˛acy si ˛e z po´slizgiem ⇒ dwa stopnie swobody (k ˛at obrotu i przesuni ˛ecie)

• kulka tocz ˛ace si ˛e bez po´slizgu ⇒ trzy stopnie swobody (trzy składowe ~ω)

W rozwi ˛azywaniu zagadnie ´n kluczowe jest zrozumienie jakie s ˛a stopnie swobody Obecno´s´c wi ˛ezów oznacza te˙z obecno´s´c sił reakcji wi ˛ezów...

Statyka

Warunek równowagi

Bryła sztywna pozostaje nieruchoma, wtedy i tylko wtedy, gdy działaj ˛ace na ni ˛a siły i momenty sił równowa˙z ˛a si ˛e:

F~^zw = ^X

i

F~_i^zw = 0 ⇐⇒ d ~P

dt = 0

M~ ^zw = ^X

i

M~_i^zw = 0 ⇐⇒ d~L

dt = 0

Je´sli F~^zw = 0 to wypadkowy moment sił wzgl ˛edem ka˙zdej osi jest taki sam ! (wystarczy sprawdzi´c raz)

~r_i^′ = ~r_i + ~R M~ ^′ = ^X

i

~r^′_i × ~F_i = ^X

i

~r_i × ~F_i + ~R × ^X

i

F~_i = ~M

Siłami z którymi naogół bedziemy mieli do czynienia s ˛a siła ci ˛e˙zko´sci i siły reakcji wi ˛ezów

Statyka

Równowaga

Nawet je´sli warunek F~^zw = ~M^zw = 0 jest spełniony, równowaga mo˙ze by´c:

trwała oboj ˛etna chwiejna

Nieznaczne (infintezymalne) wychylenie bryły z poło˙zenia równowagi powoduje:

pojawienie si ˛e siły wypadkowej (momentu siły) przywracaj ˛acej równowag ˛e

zmian ˛e poło˙zenia równowagi

pojawienie si ˛e siły wypadkowej zwi ˛ekszaj ˛acej wychylenie

Statyka

Przykład I

Warunkiem równowagi trwałej dla wielo´scianu (ustawionego na poziomej powierzchni, pod działaniem siły ci ˛e˙zko´sci) jest aby pion wypuszczony ze ´srodka ci ˛e˙zko´sci przechodził przez podstaw ˛e.

Równowaga trwała

Moment siły ci ˛e˙zko´sci “dociska” brył ˛e do powierzchni

Brak równowagi

Moment siły ci ˛e˙zko´sci wywraca brył ˛e

Statyka

Przykład II

Dwu-sto˙zek poło˙zony na nierównoległych szynach:

Gdy szyny s ˛a poziome, sto˙zek b ˛edzie si ˛e poruszał w kierunku szerszego ko ´nca.

Siła ci ˛e˙zko´sci i reakcji szyn si ˛e równowa˙z ˛a, ale wypadkowy moment sił nie b ˛edzie zerowy.

Szyny stykaj ˛a si ˛e ze sto˙zkiem wzdłu˙z łuku elipsy z osi ˛a sto˙zka (´srodkiem masy) w jednym z ognisk...

Statyka

Przykład II

Równowag ˛e osi ˛agniemy gdy szyny b ˛ed ˛a pochylone pod odpowiednim k ˛atem (szerszy koniec wy˙zej)

O´s sto˙zka pozostaje cały czas na tej samej wysoko´sci (E_p = const)

Statyka

Równowaga

Równowaga bryły na któr ˛a działa siła ci ˛e˙zko´sci i siły reakcji mo˙zna sklasyfikowa´c patrz ˛ac na poło˙zenie ´srodka masy (energi ˛e potencjaln ˛a): (F = −~ ^gradE_p)

równowaga trwała oboj ˛etna chwiejna

Nieznaczne (infintezymalne) wychylenie bryły z poło˙zenia równowagi powoduje:

podniesienie ´srodka masy wzrost energii potencjalnej

brak zmian poło˙zenia

´srodka masy

obni˙zenie ´srodka masy

zmniejszenie energii potencjalnej

Statyka

Równowaga

Zmiana poło˙zenia ´srodka masy, przy wychyleniu z poło˙zenia równowagi, zale˙zy od kształtu bryły, ale tak˙ze od charakteru wi ˛ezów.

Np: równowaga kuli zale˙zy od kształtu powierzchni na której le˙zy

równowaga trwała oboj ˛etna chwiejna

Typ równowagi zale˙zy od zmiany poło˙zenia ´srodka masy (F = −~ ^gradE_p)

Statyka

Równowaga

Kryterium zmiany poło˙zenia ´srodka masy ⇒ energii potencjalnej ma zastosowanie tak˙ze w bardziej ogólnych przypadkach

Np: sze´scian ustawiony na kuli

a

h R

d

φ

Poło˙zenie ´srodka masy sze´scianu (nad ´srodkiem kuli):

h = R cos φ + d sin φ + 1

2a cos φ d = R φ

h =



R + a 2



cos φ + R φ sin φ w przybli˙zeniu małych k ˛atów:

sin φ ≈ φ, cos φ ≈ 1 − ¹₂φ²

h =



R + a 2



+ 1 2



R − a 2



· φ² Równowaga trwała je´sli R > ₂^a

Prawa ruchu

Obrót wokół ustalonej osi

Dla bryły sztywnej obracaj ˛acej si ˛e wokół ostalonej osi mement p ˛edu (skalarnie):

L = ω ^X

i

m_i r_{⊥ i}² = ω I ω = dφ dt r_{⊥ i} - odległo´s´c masy i od osi obrotu,

I - moment bezwładno´sci wzgl ˛edem wybranej osi.

Pod wpływem stałego momentu siły M: M = dL

dt = dω dt

X i

m_i r_{⊥ i}² = ε I

ε = dω

dt − ^przyspieszenie k¡towe

⇒ ε = M

I = ^onst

ruch jednostajnie przyspieszony (dla I=const)

Prawa ruchu

Ruch jednostajnie przyspieszony

ε₀ = ^M_I ⁰

0

I₀ ≈ 4mr₀²

poło˙zenie ci ˛e˙zarka: h = φ · R

I ≈ 4mr² < 4mr₀²

⇒ ε = ^M_I⁰ > ε₀

M = F R > M₀ = F R₀

⇒ ε = ^M_I

0 > ε₀

Prawa ruchu

Ruch harmoniczny

φ r m

Moment siły zale˙zy od k ˛ata skr ˛ecenia pr ˛eta φ:

M = −ξ φ ξ - współczynnik “spr ˛e˙zysto´sci”

moment siły ma znak przeciwny do skr ˛ecenia M = dL

dt = dω

dt I = d²φ dt² I

⇒ d²φ

dt² = − ξ I φ

równanie oscylatora harmonicznego.

Cz ˛esto´s´c drga ´n:

ν =

sξ I =

√ξ

qP

i m_i r_{⊥ i}² ≈

√ξ 2r√

m

Moment bezwładno´sci

Przyspieszenie k ˛atowe w ruchu bryły sztywnej zale˙zy nie tylko od masy całkowitej, ale tak˙ze od jej rozło˙zenia wzgl ˛edem osi obrotu.

Rozkład masy wzgl ˛edem wybranej osi obrotu

(najcz ˛e´sciej przechodz ˛acej przez ´srodek masy, ale nie koniecznie) opisuje moment bezwładno´sci

I = ^X

i

m_i r_{⊥ i}²

w przypadku ci ˛agłego rozkładu masy - całka po obj ˛eto´sci:

I =

Z

dV ρ r²_⊥ Dla ciała jednorodnego (ρ = const = ^M_V ):

I = M V

Z

dV r_⊥² = M

R dV r²_⊥

R dV = M hr_⊥²i

gdzie hr_⊥²i - ´sredni kwadrat odległo´sci od osi obrotu

Moment bezwładno´sci

Stosunek m. bezwładno´sci do masy zale˙zy od kształtu i rozmiarów ciała: _M^I = hr²_⊥i

Obr ˛ecz

(pusta w ´srodku) obrót wokół osi symetrii Wszystkie punkty równoodległe od osi:

hr²_⊥i = r² ⇒ I_⊥ = M r² Obrót wokół ´srednicy

o´s obrotu - o´s X, ´srednica prostopadła do osi obrotu - o´s Y

x² + y² = r² i hx²i = hy²i

⇒ hr_⊥²i = hy²i = 1

2 r² ⇒ I_k = 1

2 M r²

Sfera

(powierzchnia kuli) obrót wokół osi symetrii x² + y² + z² = r² i hx²i = hy²i = hz²i

⇒ hr_⊥²i = hx² + y²i = 2

3 r² ⇒ I = 2

3 M r²

Moment bezwładno´sci

r r’ dS dr’

Koło

(kr ˛a˙zek) obrót wokół osi symetrii

Koło = suma wielu obr ˛eczy ⇒ ´srenia po powierzchni:

hr_⊥² i =

R r^′2 · dS

S = 1

πr²

Z

r^′2 · 2πr^′dr^′ = 2π πr²

1

4r⁴ = 1 2 r²

⇒ I_⊥ = 1

2 M r²

Podobnie mo˙zna wyznaczy´c I dla innych brył:

Prostok ˛ at

_⇒ I_⊥ = ₁₂¹ M (a² + b²)

Pr ˛et

_⇒ I = ₁₂¹ M l²

Obrót wokół osi prostopadłej, przechodz ˛acej przez ´srodek.

Kula

(jednorodna) ⇒ I = ²₅ M r²

Moment bezwładno´sci

Twierdzenie o osiach równoległych

Zazwyczaj liczymy moment bezwładno´sci wzgl ˛edem osi przechodz ˛acej przez ´srodek ci ˛e˙zko´sci S

(wszystkie podane przykłady)

Bryła mo˙ze jednak wirowa´c wokół dowolnej osi...

Moment bezwładno´sci wzgl ˛edem osi równoległej 0, odległej o h od osi S: (XY: układ ´srodka masy)

r_iO² = (x_i + h)² + y_i² = h² + 2hx_i + r_iS² I_O = ^X

i

m_ir_iO² = h^{2 X}

i

m_i + 2h^X

i

m_ix_i + ^X

i

m_ir²_iS

⇒ I_O = I_S + M h²

Twierdzenie Steinera

Prawa ruchu

Równia pochyła

R T

φ

Q Θ

x r

h l

Staczanie po równi pochyłej symetrycznej bryły (obr ˛ecz, walec, kula...) bez po´slizgu:

x = r φ ⇒ a = r ε Ruch post ˛epowy (wzdłu˙z równi):

ma = Q sin θ − T

Ruch obrotowy (wzgl ˛edem ´srodka masy):

I ε = T r Eliminuj ˛ac sił ˛e tarcia:

ma + Iε

r = mg sin θ

⇒ a = g sin θ 1 + ^I

mr²

Im wi ˛ekszy moment bezwładno´sci, tym wolniej stacza si ˛e ciało...

Prawa ruchu

Równia pochyła

R T

φ

Q Θ

x r

h l

Zagadnienie mo˙zna rozwi ˛aza´c w sposób równowa˙zny korzystaj ˛ac z chwilowej osi obrotu i twierdzenia Steinera Równanie ruchu obrotowego wzgl ˛edem chwilowej osi obrotu (linia styku bryły z równi ˛a):

I_o ε = Q sin θ · r Z twierdzenia Steinera:

I_o = I + m r² Otrzymujemy:

a = r ε = mg sin θ r² I_o

= mr² g sin θ mr² + I

Prawa ruchu

Równia pochyła

Rura

a = 1

2 g sin θ

Walec

a = 2

3 g sin θ 1

3 ^{szyb iej}

Prawa ruchu

Wahadło fizyczne

Równanie małych drga ´n bryły sztywnej, wokół osi obrotu O przechodz ˛acej w odległo´sci l od ´srodka ci ˛e˙zko´sci S:

I_o ε = −mg sin φ · l

I + ml^2 d²φ

dt² ≈ −mgl φ

Cz ˛esto´s´c drga ´n (równanie oscylatora harmonicznego):

ν =

s mgl

I + ml² =

v u u t

g l(1 + ^I

ml²) l_z = l(1 + ^I

ml²) - długo´s´c zredukowana wahadła

długo´s´c wahadła matematycznego o tej samej cz ˛esto´sci

Prawa ruchu

Wahadło fizyczne

M m d O

φ

Równanie małych drga ´nwokół osi obrotu O:

I_o ε = −Mdg sin φ − md

2g sin φ



M d² + 1

3md²

 d²φ

dt² ≈ −(M + m

2 )dg φ Cz ˛esto´s´c drga ´n:

ν =

rg l ·

v u u t

M + ¹₂m

M + ¹₃m ≈

rg l ·



1 + 1

12 · m M



l_z = d ^{M +}

1 3m

M +¹₂m ≈ d · ^1 − ¹₆ · _M^m - długo´s´c zredukowana wahadła (m ≪ M)

Energia

Energia ruchu obrotowego

Energia kinetyczna układu ciał:

E_k = E_k^⋆ + M V_CM² 2

Bryła sztywna: energia “wewn ˛etrzna”⇒ energia kinetyczna ruchu obrotowego E_k^⋆ = 1

2

X i

m_iv_i² = 1 2

X i

m_i(r_i ω)² = 1

2 ω² I = 1

2 ω L

Ciało tocz ˛ace si ˛e bez po´slizgu: v = ω r E_k = mv²

2 + Iω²

2 = mv² 2



1 + I mr²



m ^1 + ^I

mr²

 - efektywna masa bezwładna

przy niezmienionej masie grawitacyjnej

Energia

Równia pochyła

R T

φ

Q Θ

x r

h l

Pr ˛edko´s´c jak ˛a uzyska ciało staczaj ˛ace si ˛e bez po´slizgu z równi o wysoko´sci h. Z zasady zachowania energii:

mgh = 1

2mv²



1 + I mr²



v =

v u u t

2gh 1 + ^I

mr²

Przyspieszenie pr ˛edko´s´c ´srednia hvi = ¹₂v a = v

t = v²

2l = 2gh 2l ^1 + ^I

mr²

 = g sin θ 1 + ^I

mr²

Energia

R r

mg

I

Koło Maxwella

Koło o promieniu R “toczy si ˛e” po osi o promieniu r.

Jak w przypadku równi pochyłej θ = ^π₂

a = g

1 + ^I

mr²

obr z: I = mR²

⇒ a = g r²

R² + r² ≪ g

Przyspieszenie liniowe wielokrotnie mniejsze od przyspieszenia w spadku swobodnym...

Energia potencjalna zamienia si ˛e głównie na energi ˛e ruchu obrotowego.

Prawa ruchu

U´sci´slenie

Rozwa˙zaj ˛ac zagadnienie jednostajnie przyspieszonego ruchu obrotowego zakładali´smy ˙ze moment siły jest stały i nie zale˙zy od I. Jednak ci ˛e˙zarek te˙z porusza si ˛e ruchem przyspieszonym:

i»arek: ma = Q − N

rotor: Iε = rN Q - ci ˛e˙zar ci ˛e˙zarka, N - siła napr ˛e˙zenia nici.

Eliminuj ˛ac N = m(g − a):

Iε = r m(g − rε) (I + mr²) ε = mgr

ε = mgr

I + mr² = mgr I^′

Bezwładno´s´c ci ˛e˙zarka efektywnie zwi ˛eksza moment bezwładno´sci rotora: I^′ = I + mr² Nigdy nie uzyskamy przyspieszenia wi ˛ekszego ni˙z ε_max = ^g_r

Porównanie

Punkt materialny

ruch post ˛epowy

• przesuni ˛ecie ~x

• pr ˛edko´s´c ~v = d~x dt

• przyspieszenie ~a = d~v dt

• masa m

• p ˛ed ~p = m~v

• układ izolowany p = const~

Bryła sztywna

ruch obrotowy (wzgl ˛edem osi symetrii !)

⇒ k ˛at obrotu φ~

⇒ pr ˛edko´s´c k ˛atowa ~ω = d~φ dt

⇒ przyspieszenie k ˛atowe ~ε = d~ω dt

⇒ moment bezwładno´sci I

⇒ moment p ˛edu L = I~~ ω

⇒ układ izolowany L = const~

Porównanie

Punkt materialny

ruch post ˛epowy

• siła F~

• równania ruchu F = m~a~ d~p

dt = ~F

• praca W =

Z F · d~x~

• energia kinetyczna E_k = ¹₂mv²

Bryła sztywna

ruch obrotowy (wzgl ˛edem osi symetrii !)

⇒ moment siły M~

⇒ równania ruchu M = I~~ ε

⇒ d~L

dt = ~M

⇒ praca W =

Z M · d~~ φ

⇒ energia kinetyczna E_k = ¹₂Iω²

Dla ruchu obrotowego wzgl ˛edem ustalonej osi, pokrywaj ˛acej si ˛e z osi ˛a symetrii bryły !!!

B ˛ ak

Równowaga

Zasada zachowania mementu p ˛edu

Je´sli zapewnimy znikanie momentów sił to kierunek momentu p ˛edu pozostanie stały

niezale˙znie od działaj ˛acych sił i ruchu post ˛epowego

⇒ efekt ˙zyroskopowy

B ˛ak wiruj ˛acy wokół pionowej osi jest w równowadze.

Momenty działaj ˛acych sił s ˛a równe zero (wzgl ˛edem S i O)

⇒ moment p ˛edu jest stały

⇒ orientacja osi obrotu jest stała (b ˛ak symetryczny) L = ~~ ω I = ^onst

Czy jest to równowaga trwała?

B ˛ ak

Moment sił

⊗ M ~

Gdyby b ˛ak nie wirował (L = 0) to ustawienie pionowe byłoby stanem równowagi nietrwałej.

Wychylenie z tego poło˙zenia powodowałoby powstanie wypadkowego momentu sił oraz niezerowej siły wypad- kowej, które powodowałyby wywrócenie b ˛aka.

Moment siły ci ˛e˙zko´sci wzgl ˛edem punktu podparcia O:

M = ~~ R × m~g M = mgR sin θ

R - odległo´s´c ´srodka ci ˛e˙zko´sci od punktu podparcia θ - k ˛at odchylenia osi od pionu

Moment siły M~ skierowany jest prostopadle do osi b ˛aka...

B ˛ ak

Precesja

W przypadku gdy b ˛ak wiruje, przyło˙zony moment siły powoduje zmian ˛e całkowitego momentu p ˛edu:

M =~ d~L dt

Wektor momentu p ˛edu pokrywa si ˛e z osi ˛a obrotu L k ~ω k ~~ R

natomiast wektor momentu siły jest do niej prostopadły M = m ~~ R × ~g ⊥ ~R

⇒ warto´s´c momentu p ˛edu nie ulega zmianie dL

dt = 0

⇒ kierunek momentu p ˛edu zmienia si ˛e ⇒ precesja

Precesja

Cz ˛esto´s´c

W przedziale czasu ∆t moment p ˛edu zmieni si ˛e o:

∆L = M ∆t = mRg sin θ ∆t Spowoduje to obrót poziomej składowej L~ o k ˛at

∆φ = ∆L

L sin θ = mRg sin θ

L sin θ ∆t

⇒ cz ˛esto´s´c z jak ˛a wektor L~ b ˛edzie zakre´slał sto˙zek:

ω_p = ∆φ

∆t = mRg L

⇒ cz ˛esto ´s ´c precesji

Cz ˛esto´s´c precesji maleje ze wzrostem momentu p ˛edu (cz ˛esto´sci ruchu wirowego b ˛aka)

Zyroskop ˙

Równowaga

L

“Waga”: ci ˛e˙zar ˙zyroskopu jest zrównowa˙zona przez odpowiednio dobrane ci ˛e˙zarki.

Je´sli ˙zyroskop jest w równowadze przy L = 0~ to b ˛edzie tak˙ze w równowadze dla L 6= 0~

Jak zachowa si ˛e ˙zyroskop gdy zwi ˛ekszymy lub zmniejszymy “przeciwwag ˛e” ?

Zyroskop ˙

Precesja

zwi ˛ekszone obci ˛a˙zenie

L M r

ω _p

F

zgodnie z ruchem wskazówek zegara (patrz ˛ac os góry)

zmniejszone obci ˛a˙zenie (przypadek b ˛aka)

L M r

ω _p

F

przeciwnie do ruchu wskazówek zegara Cz ˛esto´s´c precesji ω_p = ^mrg_L ⇒ proporcjonalna do dodanej/brakuj ˛acej masy

Zyroskop ˙

Paradoks ?

Nie wiruj ˛acy b ˛ak wychylony z poło˙zenia równowagi L = 0~ lub nie zrównowa˙zony ˙zyroskop L = 0~ ⇒ wywracaj ˛a si ˛e

Natomiast je´sli L 6= 0~ to b ˛ak i ˙zyroskop podlegaj ˛a precesji

⇒ nigdy si ˛e nie wywróc ˛a (zaniedbuj ˛ac siły tacia).

Czy jest to słuszne dla dowolnie małych warto´sci L~ ?

Z do´swiadczenia wiemy, ˙ze nie !

Wiruj ˛acy b ˛ak wywraca si ˛e zanim pr ˛edko´s´c k ˛atowa jego ruchu wirowego spadnie do zera.

Nasze rozwa˙zania precesji nie były ´scisłe

⇒ dla małych momentów p ˛edu musimy uwzgl ˛edni´c dodatkowe efekty...

Zyroskop ˙

Precesja

ω

_p

L

^p

L

_z

L

^Θ

Niech moment p ˛edu zrównowa˙zonego

˙zyroskopu wynosi L.~

Co si ˛e dzieje gdy zdejmiemy jeden ci ˛e˙zarek ?

Warto´s´c całkowitego moment p ˛edu nie ulega zmianie, gdy˙z moment siły ci ˛e˙zko´sci jest prostopadły do L.~

Obrót ˙zyroskopu z cz ˛esto´sci ˛a ω_p wzgl ˛edem pionowej osi ⇒ moment p ˛edu L~_p = ω_p I_p. Aby całkowity moment p ˛edu nie uległ zmianie, o´s ˙zyroskopu musi si ˛e nachyli´c o k ˛at:

θ ∼ L_p

L = mrgI_p L²

Du˙ze L ⇒ θ → 0 ( L_p mo˙zna pomin ˛a´c) Małe L ⇒ ˙zyroskop/b ˛ak wywraca si ˛e...

Zyroskop ˙

Nutacja

ω ^p

Idealna precesja, gdy koniec ramienia ˙zy- roskopu porusza si ˛e ruchem jednostajnym po okr ˛egu, zachodzi tylko przy szczególnym wyborze warunków pocz ˛atkowych.

W ogólnym przypadku na precesj ˛e nakładaj ˛a si ˛e oscylacje ramienia ˙zyroskopu wokół poło˙zenia “stacjonarnej precesji” ⇒ nutacje.

Charakter tych dodatkowych oscylacji zale˙zy od warunków pocz ˛atkowch.

Zazwyczaj s ˛a mało widoczne i zanikaj ˛a w czasie (tłumienie).

Ich amplituda ro´snie dla małych warto´sci L

Moment p ˛edu

Do tej pory rozpatrywali´smy wył ˛acznie ruch obrotowy wzgl ˛edem ustalonej osi.

Naogół była to o´s symetrii bryły, lub o´s do niej równoległa.

W ogólnym przypadku problem jest bardziej skomplikowany

Przykład

- dwa wiruj ˛ace ci ˛e˙zarki Ci ˛e˙zarki w jednej płaszczy´znie ⊥ osi

L

ω

S

O´s obrotu jest osi ˛a symetrii L k ~ω~

Ci ˛e˙zarki rozsuni ˛ete wzdłu˙z osi obrotu

S ^ω

L

O´s obrotu nie jest osi ˛a symetrii ⇒ L/|| ~ω~ L~_i = m_i~r_i × ~vi ⊥ ~ri

Moment p ˛edu

Przykład II

Dysk wiruj ˛acy wokół osi nachylonej do osi symetrii Pr ˛edko´s´c k ˛atow ˛a mo˙zemy rozło˙zy´c na

składow ˛a równoległ ˛a i prostopadła do osi symetrii

~

ω = ~ω_⊥ + ~ω_k

Moment bezwładno´sci dysku: (wykład 23)

I_⊥ = 1

mr² I_k = 1

mr² = 1 I_⊥

Moment p ˛edu dysku

L = ~~ L_⊥ + ~L_k

= I_⊥~ω_⊥ + I_k ~ω_k

= I_⊥



~

ω_⊥ + 1 2~ω_k



L/|| ~ω ~

Moment p ˛edu

W ogólnym przypadku bryła sztywna mo˙ze nie mie´c ˙zadnej osi symetrii.

Jak wtedy wyznaczy´c moment p ˛edu, znaj ˛ac pr ˛edko´s´c k ˛atow ˛a ~ω ?

Zdefinicji momentu p ˛edu:

L =~ ^X

i

m_i~r_i × ~vi

Z definicji bryły sztywnej:

~v_i = ~ω × ~ri

Otrzymujemy:

L =~ ^X

i

m_i~r_i × (~ω × ~ri) = ^X

i

m_i ^hω~ r_i² − ~r_i (~r_i ~ω)ⁱ

korzystamy z to˙zsamo´sci wektorowej: A ×~ 

B × ~~ C

= ~B 

A · ~~ C

− ~C 

A · ~~ B

Kierunek L~ zale˙zy od kierunku ~ω jak i poło˙ze ´n poszczególnych elementów bryły ~r_i.

Moment p ˛edu

Rozpisuj ˛ac na składowe:

~r_i = (x_i, y_i, z_i) ~ω = (ω_x, ω_y, ω_z) ⇒ ~r_i ~ω = x_iω_x + y_iω_y + z_iω_z

Otrzymujemy (na przykładzie L_x):

L_x = ^X

i

m_i ^hω_x r_i² − x_i (x_iω_x + y_iω_y + z_iω_z)ⁱ

= ω_x · ^X

i

m_i(r_i² − x²_i ) − ω_y · ^X

i

m_i x_iy_i − ω_z · ^X

i

m_i x_iz_i L_x zale˙zy w ogólno´sci od waszystkich skladowych pr ˛edko´sci k ˛atowej !

Podobnie:

L_y = − ω_x · ^X

i

m_i x_iy_i + ω_y · ^X

i

m_i(r_i² − y_i²) − ω_z · ^X

i

m_i y_iz_i L_z = − ω_x · ^X

i

m_i x_iz_i − ω_y · ^X

i

m_i y_iz_i + ω_z · ^X

i

m_i(r_i² − z_i²)

Tensor momentu bezwładno´sci

Wyra˙zenie na składowe L~ mo˙zemy zapisa´c w postaci macierzowej:

L =~















L_x L_y L_z















=















Pm_i(r²_i − x²_i ) −^Pm_i x_iy_i −^Pm_i x_iz_i

−^P m_i x_iy_i ^Pm_i(r²_i − y_i²) −^Pm_i y_iz_i

−^Pm_i x_iz_i −^P m_i y_iz_i ^Pm_i(r_i² − z_i²)















·















ω_x ω_y ω_z















L ~ = I ˆ · ω ~

tensor momentu bezwładno´sci Składowe tensora - współczynniki bezwładno´sci

I =ˆ















I_xx I_xy I_xz I_yx I_yy I_yz I_zx I_zy I_zz















ogólna posta´c (u, v = x, y, z)

I_uv = ^Xm_i(δ_uv r_i² − uiv_i)

lub

I_uv =

Z

dV ρ(~r)(δ_uv r² − u v)

delta Kroneckera: δ_uv = 1 dla u = v i 0 dla u 6= v

Tensor momentu bezwładno´sci

Przykład

Cztery masy rozmieszczone w rogach sze´scianu:

X Y

Z

a M Tensor bezwładno´sci

I = ˆ















2 −1 0

−1 2 0 0 0 2















· M a ²

Osie główne

W ogólnym przypadku wszystkie współczynniki bezwładno´sci mog ˛a by´c ró˙zne od zera (tensor symetryczny ⇒ 6 niezale˙znych wielko´sci)

Okazuje si ˛e jednak, ˙ze w ka˙zdym przypadku mo˙zna tak obróci´c osie układu odniesienia,

˙zeby elementy pozadiagonalne znikały: (diagonalizacja tensora) I_xy = I_xz = I_yz = I_yx = I_zx = I_zy = 0

układ taki definiuje nam osie główne bryły (kierunki własne tensora) Je´sli bryła ma o´s symetrii to b ˛edzie ona jedn ˛a z osi głównych !

⇒ pozostaj ˛a tylko 3 współczynniki diagonalne I_xx, I_yy, I_zz (warto´sci własne) L = (L~ _x, L_y, L_z) = (I_xx ω_x, I_yy ω_y, I_zz ω_z)

Dla obrotu wokół osi głównej L k ~ω ~

np. ~ω = (ω, 0, 0) ⇒ L = (I~ _xxω, 0, 0) = I_xx~ω

Osie główne

Przykład

Cztery masy rozmieszczone w rogach sze´scianu:

Z

Y’

X’

M

a Tensor bezwładno´sci

I = ˆ









1 0 0 0 3 0 0 0 2









· M a

²

Osie X’, Y’ i Z s ˛a osiami głównymi Iˆ:

• o´s X’ - najmniejszy moment bezwładno´sci

• o´s Y’ - najwi ˛ekszy moment bezwładno´sci

• o´s Z - po´sredni moment bezwładno´sci

Osie główne

Prostopadło´scian

Rakieta tenisowa

00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000

11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111

000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 000000000

111111111 111111111 111111111 111111111 111111111 111111111 111111111 111111111 111111111

000000 000 111111 111

I_xx 6= I^yy 6= I^zz

Walec

I_xx = I_yy 6= Izz

Kula

I_xx = I_yy = I_zz

Sze´scian

I_xx = I_yy = I_zz Tak jak dla kuli !

Osie główne

W przypadku bryły wiruj ˛acej swobodnie (stała warto´s´c L)~

stabilny ruch obrotowy (stały kierunek wektora ~ω) mo˙zliwy jest

tylko wokół osi głównych o najwi ˛ekszym i najmniejszym momencie bezwładno´sci O´s o najwi ˛ekszym I

obrót stabilny

O´s o po´srednim I

obrót niestabilny

O´s o najmniejszym I

obrót stabilny

Osie główne

Energia kinetyczna w układzie osi głównych: E_k = ¹₂~ω~L = ¹₂(I_xxω_x² + I_yyω_y² + I_zzω_z²) Je´sli wi ˛ezy narzucaj ˛a obrót ze stała pr ˛edko´sci ˛a k ˛atow ˛a ~ω

to ciało przyjmie ono uło˙zenie odpowiadaj ˛ace maksymalnej energii kinetycznej

⇒ obrót wokół osi o najwi ˛ekszym momencie bezwładno´sci

⇒ maksymalna warto´s´c momentu p ˛edu

W układzie obracaj ˛acym si ˛e

Siła od´srodkowa d ˛a˙zy do rozmieszczenia masy jak najdalej od osi obrotu.

Stabilny jest stan odpowiadaj ˛acy minimum energii potencjalnej (siły od´srodkowej) F~_i = m_i ω²~r_i⊥ ⇒ E_p,i = −1

2 m_i ω² r_⊥² = −Ek,i

Minimum energii potencjalnej odpowiada maksimu energii kinetycznej.

W układzie laboratoryjnym ⇒ masa “oddala si ˛e” od osi zgodnie z zasad ˛a bezwładno´sci

Projekt Fizyka wobec wyzwa ´ n XXI w.

współfinansowany przez Uni ˛e Europejsk ˛ a

ze ´srodków Europejskiego Funduszu Społecznego

w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki