Bryła sztywna

Bryła sztywna

Fizyka I (Mechanika)

Wykład XII:

• Bryła sztywna

• Statyka

• Prawa ruchu

• Moment bezwładno´sci

• Energia ruchu obrotowego

• B ˛ak i ˙zyroskop

Bryła sztywna

Układ wielu ciał

m m

m m

CM

V

^CM

p

2

p

4

p

1 ³

p

³

1

4

2

układ inercjalny Masa układu

M = ^X

i

m_i Poło˙zenie ´srodka masy:

R =~ 1 M

Xm_i ~r_i

Ruch układu jako cało´sci P˛ed:

P~ = M ~V_CM Energia kinetyczna:

E_k = M V_CM²

2 + E_k^⋆ Moment p ˛edu:

L = M ~~ R_CM × ~V_CM + ~L^⋆_CM

E_k^⋆ - energia “wewn ˛etrzna”

L~^⋆_CM - “wewn ˛etrzny” moment p ˛edu

Bryła sztywna

Układ wielu ciał

W oparciu o poj ˛ecie ´srodka masy mo˙zemy opisa´c ruch układu jako cało´sci stosuj ˛ac równania ruchu punktu materialnego.

d ~P

dt = ~F^zw d~L

dt = M~ ^zw

Natomiast ruch wzgl ˛edny ciał układu mo˙ze by´c (w ogólnym przypadku) bardzo skomp- likowany...

Przypadek szczególny

r

²³

1

4

3

2

CM

r_ij = ~r_i − ~rj  

 = ^onst

Układ ciał w którym wzgl ˛edne odległo´sci s ˛a stałe ⇒ bryła sztywna (uogólniona)

Bryła sztywna

Naogół ciałem sztywnym nazywamy ciało makroskopowe,

które nie podlega deformacjom - wszystkie punkty maj ˛a wzgl ˛edem siebie stałe odległo´sci.

Poło˙zenie

Aby jednoznacznie okre´sli´c poło˙zenie bryły sztywnej w przestrzeni, trzeba okre´sli´c:

poło˙zenie wybranego punktu np. ´srodka masy

3 parametry

(stopnie swobody)

poło˙zenie drugiego punktu

2 parametry

(poło˙zenie na sferze)

poło˙zenie trzeciego punktu

1 parametr (poło˙zenie na okr ˛egu)

⇒ ł ˛acznie mamy 6 stopni swobody

Opis ruchu

Poło˙zenie bryły sztywnej opisuj ˛a 3 współrz ˛edne i 3 k ˛aty

Złó˙zenie ruchów

Ogólny ruch (zmian ˛e poło˙zenia) mo˙zna przedstawi´c jako zło˙zenie

ruchu post ˛epowego oraz

Z

r(t)

X

Y

wektory pr ˛edko´sci s ˛a takie same dla wszystkich punktów

ruchu obrotowego

Z

X

Y

os obrotu

wszystkie punkty poruszaj ˛a si ˛e po okr ˛egach

Opis ruchu

Chwilowa o´s obrotu

Czasami zło˙zenie ruchu postepowego i obrotowego (wzgledem np. ´srodka masy) mo˙zna przedstawi´c jako ruch obrotowy wzgl ˛edem chwilowej osi obrotu

Z

X

Y

chwilowa os obrotu

~v_i = ~V_CM + ~ω × ^~r_i − ~R^

Je´sli V~_CM ⊥ ~ω wtedy:

~v_i = ~ω × ^~r_i − ~R^′

R~^′ - poło˙zenie chwilowej osi obrotu (zmienne w czasie)

Opis ruchu

Wi ˛ezy

Ruch bryły sztywnej w ogólnycm przypadku opisuje kolejnych 6 parametrów (np. pr ˛edko´s´c ´srodka masy i pr ˛edko´s´c k ˛atowa w układzie ´srodka masy)

W wielu zagadnieniach ruch bryły sztywnej jest jednak ogranicznony przez wi ˛ezy:

• koło obracaj ˛ace si ˛e na nieruchomej osi ⇒ jeden stopie ´n swobody (k ˛at obrotu)

• walec tocz ˛acy si ˛e bez po´slizgu ⇒ jeden st. swobody (k ˛at obrotu lub przesuni ˛ecie)

• walec tocz ˛acy si ˛e z po´slizgiem ⇒ dwa stopnie swobody (k ˛at obrotu i przesuni ˛ecie)

• kulka tocz ˛ace si ˛e bez po´slizgu ⇒ trzy stopnie swobody (trzy składowe ~ω)

W rozwi ˛azywaniu zagadnie ´n kluczowe jest zrozumienie jakie s ˛a stopnie swobody Obecno´s´c wi ˛ezów oznacza te˙z obecno´s´c sił reakcji wi ˛ezów...

Statyka

Warunek równowagi

Bryła sztywna pozostaje nieruchoma, wtedy i tylko wtedy, gdy działaj ˛ace na ni ˛a siły i momenty sił równowa˙z ˛a si ˛e:

F~^zw = ^X

i

F~_i^zw = 0 ⇐⇒ d ~P

dt = 0

M~ ^zw = ^X

i

M~_i^zw = 0 ⇐⇒ d~L

dt = 0

Je´sli F~^zw = 0 to wypadkowy moment sił wzgl ˛edem ka˙zdej osi jest taki sam ! (wystarczy sprawdzi´c raz)

~r_i^′ = ~r_i + ~R M~ ^′ = ^X

i

~r^′_i × ~F_i = ^X

i

~r_i × ~F_i + ~R × ^X

i

F~_i = ~M

Siłami z którymi naogół bedziemy mieli do czynienia s ˛a siła ci ˛e˙zko´sci i siły reakcji wi ˛ezów

Statyka

Równowaga

Nawet je´sli warunek F~^zw = ~M^zw = 0 jest spełniony, równowaga mo˙ze by´c:

trwała oboj ˛etna chwiejna

Nieznaczne (infintezymalne) wychylenie bryły z poło˙zenia równowagi powoduje:

pojawienie si ˛e siły wypadkowej (momentu siły) przywracaj ˛acej równowag ˛e

zmian ˛e poło˙zenia równowagi

pojawienie si ˛e siły wypadkowej zwi ˛ekszaj ˛acej wychylenie

Statyka

Przykład I

Warunkiem równowagi trwałej dla wielo´scianu (ustawionego na poziomej powierzchni, pod działaniem siły ci ˛e˙zko´sci) jest aby pion wypuszczony ze ´srodka ci ˛e˙zko´sci przechodził przez podstaw ˛e.

Równowaga trwała

Moment siły ci ˛e˙zko´sci “dociska” brył ˛e do powierzchni

Brak równowagi

Moment siły ci ˛e˙zko´sci wywraca brył ˛e

Statyka

Przykład II

Dwu-sto˙zek poło˙zony na nierównoległych szynach:

Gdy szyny s ˛a poziome, sto˙zek b ˛edzie si ˛e poruszał w kierunku szerszego ko ´nca.

Siła ci ˛e˙zko´sci i reakcji szyn si ˛e równowa˙z ˛a, ale wypadkowy moment sił nie b ˛edzie zerowy.

Szyny stykaj ˛a si ˛e ze sto˙zkiem wzdłu˙z łuku elipsy z osi ˛a sto˙zka (´srodkiem masy) w jednym z ognisk...

Statyka

Przykład II

Równowag ˛e osi ˛agniemy gdy szyny b ˛ed ˛a pochylone pod odpowiednim k ˛atem (szerszy koniec wy˙zej)

O´s sto˙zka pozostaje cały czas na tej samej wysoko´sci (E_p = const)

Statyka

Równowaga

Równowaga bryły na któr ˛a działa siła ci ˛e˙zko´sci i siły reakcji mo˙zna sklasyfikowa´c patrz ˛ac na poło˙zenie ´srodka masy (energi ˛e potencjaln ˛a): (F =~ −^gradE_p)

równowaga trwała oboj ˛etna chwiejna

Nieznaczne (infintezymalne) wychylenie bryły z poło˙zenia równowagi powoduje:

podniesienie ´srodka masy wzrost energii potencjalnej

brak zmian poło˙zenia

´srodka masy

obni˙zenie ´srodka masy

zmniejszenie energii potencjalnej

Statyka

Równowaga

Zmiana poło˙zenia ´srodka masy, przy wychyleniu z poło˙zenia równowagi, zale˙zy od kształtu bryły, ale tak˙ze od charakteru wi ˛ezów.

Np: równowaga kuli zale˙zy od kształtu powierzchni na której le˙zy

równowaga trwała oboj ˛etna chwiejna

Typ równowagi zale˙zy od zmiany poło˙zenia ´srodka masy (F =~ −^gradE_p)

Statyka

Równowaga

Kryterium zmiany poło˙zenia ´srodka masy ⇒ energii potencjalnej ma zastosowanie tak˙ze w bardziej ogólnych przypadkach

Np: sze´scian ustawiony na kuli

a

h R

d

φ

Poło˙zenie ´srodka masy sze´scianu (nad ´srodkiem kuli):

h = R cos φ + d sin φ + 1

2a cos φ d = R φ

h =



R + a 2



cos φ + R φ sin φ w przybli˙zeniu małych k ˛atów:

sin φ ≈ φ, cos φ ≈ 1 − ¹₂φ²

h =



R + a 2



+ 1 2



R − a 2



· φ² Równowaga trwała je´sli R > ₂^a

Prawa ruchu

Obrót wokół ustalonej osi

Dla bryły sztywnej obracaj ˛acej si ˛e wokół ostalonej osi mement p ˛edu (skalarnie):

L = ω ^X

i

m_i r_{⊥ i}² = ω I ω = dφ dt r_{⊥ i} - odległo´s´c masy i od osi obrotu,

I - moment bezwładno´sci wzgl ˛edem wybranej osi.

Pod wpływem stałego momentu siły M: M = dL

dt = dω dt

X

i

m_i r_{⊥ i}² = ε I

ε = dω

dt − ^przyspieszenie k¡towe

⇒ ε = M

I = ^onst

ruch jednostajnie przyspieszony (dla I=const)

Prawa ruchu

Ruch jednostajnie przyspieszony

ε₀ = ^M_I ⁰

0

I₀ ≈ 4mr₀²

poło˙zenie ci ˛e˙zarka: h = φ · R

I ≈ 4mr² < 4mr₀²

⇒ ε = ^M_I⁰ > ε₀

M = F R > M₀ = F R₀

⇒ ε = ^M_I

0 > ε₀

Prawa ruchu

Ruch harmoniczny

φ r m

Moment siły zale˙zy od k ˛ata skr ˛ecenia pr ˛eta φ:

M = −ξ φ ξ - współczynnik “spr ˛e˙zysto´sci”

moment siły ma znak przeciwny do skr ˛ecenia M = dL

dt = dω

dt I = d²φ dt² I

⇒ d²φ

dt² = − ξ I φ

równanie oscylatora harmonicznego.

Cz ˛esto´s´c drga ´n:

ν =

sξ I =

√ξ

q P

i m_i r_{⊥ i}² ≈

√ξ 2r√

m

Moment bezwładno´sci

Przyspieszenie k ˛atowe w ruchu bryły sztywnej zale˙zy nie tylko od masy całkowitej, ale tak˙ze od jej rozło˙zenia wzgl ˛edem osi obrotu.

Rozkład masy wzgl ˛edem wybranej osi obrotu

(najcz ˛e´sciej przechodz ˛acej przez ´srodek masy, ale nie koniecznie) opisuje moment bezwładno´sci

I = ^X

i

m_i r_{⊥ i}²

w przypadku ci ˛agłego rozkładu masy - całka po obj ˛eto´sci:

I =

Z

dV ρ r²_⊥ Dla ciała jednorodnego (ρ = const = ^M_V ):

I = M V

Z

dV r_⊥² = M

R dV r²_⊥

R dV = M hr_⊥²i

gdzie hr_⊥²i - ´sredni kwadrat odległo´sci od osi obrotu

Moment bezwładno´sci

Stosunek m. bezwładno´sci do masy zale˙zy od kształtu i rozmiarów ciała: _M^I = hr²_⊥i

Obr ˛ecz

(pusta w ´srodku) obrót wokół osi symetrii Wszystkie punkty równoodległe od osi:

hr²_⊥i = r² ⇒ I_⊥ = M r² Obrót wokół ´srednicy

o´s obrotu - o´s X, ´srednica prostopadła do osi obrotu - o´s Y

x² + y² = r² i hx²i = hy²i

⇒ hr_⊥²i = hy²i = 1

2 r² ⇒ I_k = 1

2 M r²

Sfera

(powierzchnia kuli) obrót wokół osi symetrii x² + y² + z² = r² i hx²i = hy²i = hz²i

⇒ hr_⊥²i = hx² + y²i = 2

3 r² ⇒ I = 2

3 M r²

Moment bezwładno´sci

r r’ dS dr’

Koło

(kr ˛a˙zek) obrót wokół osi symetrii

Koło = suma wielu obr ˛eczy ⇒ ´srenia po powierzchni:

hr_⊥² i =

R r^′2 · dS

S = 1

πr²

Z

r^′2 · 2πr^′dr^′ = 2π πr²

1

4r⁴ = 1 2 r²

⇒ I_⊥ = 1

2 M r²

Podobnie mo˙zna wyznaczy´c I dla innych brył:

Prostok ˛ at

_⇒ I_⊥ = ₁₂¹ M (a² + b²)

Pr ˛et

_⇒ I = ₁₂¹ M l²

Obrót wokół osi prostopadłej, przechodz ˛acej przez ´srodek.

Kula

(jednorodna) ⇒ I = ²₅ M r²

Moment bezwładno´sci

Twierdzenie o osiach równoległych

X Y

r

r h

m

O S ^x

y

iO

iS

i

i i

Zazwyczaj liczymy moment bezwładno´sci wzgl ˛edem osi przechodz ˛acej przez ´srodek ci ˛e˙zko´sci S

(wszystkie podane przykłady)

Bryła mo˙ze jednak wirowa´c wokół dowolnej osi...

Moment bezwładno´sci wzgl ˛edem osi równoległej 0, odległej o h od osi S: (XY: układ ´srodka masy)

r_iO² = (x_i + h)² + y_i² = h² + 2hx_i + r_iS² I_O = ^X

i

m_ir_iO² = h^{2 X}

i

m_i + 2h^X

i

m_ix_i + ^X

i

m_ir²_iS

⇒ I_O = I_S + M h²

Twierdzenie Steinera

Prawa ruchu

Równia pochyła

R T

φ

Q Θ

x r

h l

Staczanie po równi pochyłej symetrycznej bryły (obr ˛ecz, walec, kula...) bez po´slizgu:

x = r φ ⇒ a = r ε Ruch post ˛epowy (wzdłu˙z równi):

ma = Q sin θ − T

Ruch obrotowy (wzgl ˛edem ´srodka masy):

I ε = T r Eliminuj ˛ac sił ˛e tarcia:

ma + Iε

r = mg sin θ

⇒ a = g sin θ 1 + ^I

mr²

Im wi ˛ekszy moment bezwładno´sci, tym wolniej stacza si ˛e ciało...

Prawa ruchu

Równia pochyła

R T

φ

Q Θ

x r

h l

Zagadnienie mo˙zna rozwi ˛aza´c w sposób równowa˙zny korzystaj ˛ac z chwilowej osi obrotu i twierdzenia Steinera Równanie ruchu obrotowego wzgl ˛edem chwilowej osi obrotu (linia styku bryły z równi ˛a):

I_o ε = Q sin θ · r Z twierdzenia Steinera:

I_o = I + m r² Otrzymujemy:

a = r ε = mg sin θ r² I_o

= mr² g sin θ mr² + I

Prawa ruchu

Równia pochyła

Rura

a = 1

2 g sin θ

Walec

a = 2

3 g sin θ 1

3 ^{szyb iej}

Prawa ruchu

Wahadło fizyczne

S O

S’

mg

Równanie małych drga ´n bryły sztywnej, wokół osi obrotu O przechodz ˛acej w odległo´sci l od ´srodka ci ˛e˙zko´sci S:

I_o ε = −mg sin φ · l

I + ml^2 d²φ

dt² ≈ −mgl φ

Cz ˛esto´s´c drga ´n (równanie oscylatora harmonicznego):

ν =

s mgl

I + ml² =

v u u t

g l(1 + ^I

ml²) l_z = l(1 + ^I

ml²) - długo´s´c zredukowana wahadła

długo´s´c wahadła matematycznego o tej samej cz ˛esto´sci

Prawa ruchu

Wahadło fizyczne

M m d O

φ

Równanie małych drga ´nwokół osi obrotu O:

I_o ε = −Mdg sin φ − md

2g sin φ



M d² + 1

3md²

 d²φ

dt² ≈ −(M + m

2 )dg φ Cz ˛esto´s´c drga ´n:

ν =

rg l ·

v u u t

M + ¹₂m

M + ¹₃m ≈

rg l ·



1 + 1

12 · m M



l_z = d ^{M +}

1 3m

M +¹₂m ≈ d · ^1 − ¹₆ · _M^m - długo´s´c zredukowana wahadła (m ≪ M)

Energia

Energia ruchu obrotowego

Energia kinetyczna układu ciał:

E_k = E_k^⋆ + M V_CM² 2

Bryła sztywna: energia “wewn ˛etrzna”⇒ energia kinetyczna ruchu obrotowego E_k^⋆ = 1

2

X

i

m_iv_i² = 1 2

X

i

m_i(r_i ω)² = 1

2 ω² I = 1

2 ω L

r V

Ciało tocz ˛ace si ˛e bez po´slizgu: v = ω r E_k = mv²

2 + Iω²

2 = mv² 2



1 + I mr²



m ^1 + ^I

mr²

 - efektywna masa bezwładna

przy niezmienionej masie grawitacyjnej

Energia

Równia pochyła

R T

φ

Q Θ

x r

h l

Pr ˛edko´s´c jak ˛a uzyska ciało staczaj ˛ace si ˛e bez po´slizgu z równi o wysoko´sci h. Z zasady zachowania energii:

mgh = 1

2mv²



1 + I mr²



v =

v u u t

2gh 1 + ^I

mr²

Przyspieszenie pr ˛edko´s´c ´srednia hvi = ¹₂v a = v

t = v²

2l = 2gh 2l ^1 + ^I

mr²

 = g sin θ 1 + ^I

mr²

Energia

R r

mg

I

Koło Maxwella

Koło o promieniu R “toczy si ˛e” po osi o promieniu r.

Jak w przypadku równi pochyłej θ = ^π₂

a = g

1 + ^I

mr²

obr z: I = mR²

⇒ a = g r²

R² + r² ≪ g

Przyspieszenie liniowe wielokrotnie mniejsze od przyspieszenia w spadku swobodnym...

Energia potencjalna zamienia si ˛e głównie na energi ˛e ruchu obrotowego.

Prawa ruchu

U´sci´slenie

Rozwa˙zaj ˛ac zagadnienie jednostajnie przyspieszonego ruchu obrotowego zakładali´smy ˙ze moment siły jest stały i nie zale˙zy od I. Jednak ci ˛e˙zarek te˙z porusza si ˛e ruchem przyspieszonym:

i»arek: ma = Q − N

rotor: Iε = rN Q - ci ˛e˙zar ci ˛e˙zarka, N - siła napr ˛e˙zenia nici.

Eliminuj ˛ac N = m(g − a):

Iε = r m(g − rε) (I + mr²) ε = mgr

ε = mgr

I + mr² = mgr I^′

Bezwładno´s´c ci ˛e˙zarka efektywnie zwi ˛eksza moment bezwładno´sci rotora: I^′ = I + mr² Nigdy nie uzyskamy przyspieszenia wi ˛ekszego ni˙z ε_max = ^g_r

Porównanie

Punkt materialny

ruch post ˛epowy

• przesuni ˛ecie ~x

• pr ˛edko´s´c ~v = d~x dt

• przyspieszenie ~a = d~v dt

• masa m

• p ˛ed ~p = m~v

• układ izolowany p = const~

Bryła sztywna

ruch obrotowy (wzgl ˛edem osi symetrii !)

⇒ k ˛at obrotu φ~

⇒ pr ˛edko´s´c k ˛atowa ~ω = d~φ dt

⇒ przyspieszenie k ˛atowe ~ε = d~ω dt

⇒ moment bezwładno´sci I

⇒ moment p ˛edu L = I~~ ω

⇒ układ izolowany L = const~

Porównanie

Punkt materialny

ruch post ˛epowy

• siła F~

• równania ruchu F = m~~ a d~p

dt = ~F

• praca W =

Z F~ · d~x

• energia kinetyczna E_k = ¹₂mv²

Bryła sztywna

ruch obrotowy (wzgl ˛edem osi symetrii !)

⇒ moment siły M~

⇒ równania ruchu M = I~~ ε

⇒ d~L

dt = ~M

⇒ praca W =

Z M~ · d~φ

⇒ energia kinetyczna E_k = ¹₂Iω²

Dla ruchu obrotowego wzgl ˛edem ustalonej osi, pokrywaj ˛acej si ˛e z osi ˛a symetrii bryły !!!

Prawa ruchu

Przykład

Dwa klocki na równi poruszaj ˛ace si ˛e bez tarcia, poł ˛aczone niewa˙zk ˛a nici ˛a przerzucon ˛a przez wa˙zki bloczek o momencie bezwładno´sci I.

1 2

2

2

1

N

1

I

m

M

Q

N

R

R

α α

β

Q Q

Powierzchnia równi jest wi ˛ezem, który ogranicza ruch klocków do kierunku równoległego do powierzchni równi.

Mo˙zemy zredukowa´c problem do ruchu jednowymiarowego.

W przypadku wa˙zkiego bloczka, je´sli układ nie jest w równowadze, siły napr ˛e˙zenia mog ˛a by´c ró˙zne!

N₁ 6= N2

Prawa ruchu

Przykład

2 1

2

1

||

||

a a

N m

M

N

Q

I

α α

β β

ε

Q

r

Wybieramy dodatni kierunek przyspieszenia jak na rysunku. Przyspieszenia ciał:

a₁ = a₂ = a ε r = a

nierozci ˛agliwa ni´c nie ´slizga si ˛e po bloczku

Równania ruchu:

M a = Q^k₁ − N1 = M g sin β − N1

ma = N₂ − Q^k₂ = N₂ − mg sin α Iε = I a

r = N₁r − N2r

Układ trzech równa ´n z trzema niewiadomymi (a, N₁ i N₂).

Dodajemy stronami dwa pierwsze i pod- stawiamy N₁ − N2 z trzeciego.

Otrzymujemy:

a = g M sin β − m sin α M + m + ^I

r²

B ˛ ak

Równowaga

O S

Zasada zachowania mementu p ˛edu

Je´sli zapewnimy znikanie momentów sił to kierunek momentu p ˛edu pozostanie stały

niezale˙znie od działaj ˛acych sił i ruchu post ˛epowego

⇒ efekt ˙zyroskopowy

B ˛ak wiruj ˛acy wokół pionowej osi jest w równowadze.

Momenty działaj ˛acych sił s ˛a równe zero (wzgl ˛edem S i O)

⇒ moment p ˛edu jest stały

⇒ orientacja osi obrotu jest stała (b ˛ak symetryczny) L = ~~ ω I = ^onst

Czy jest to równowaga trwała?

B ˛ ak

Moment sił

M

O

S

Gdyby b ˛ak nie wirował (L = 0) to ustawienie pionowe byłoby stanem równowagi nietrwałej.

Wychylenie z tego poło˙zenia powodowałoby powstanie wypadkowego momentu sił oraz niezerowej siły wypad- kowej, które powodowałyby wywrócenie b ˛aka.

Moment siły ci ˛e˙zko´sci wzgl ˛edem punktu podparcia O:

M =~ R~ × m~g M = mgR sin θ

R - odległo´s´c ´srodka ci ˛e˙zko´sci od punktu podparcia θ - k ˛at odchylenia osi od pionu

Moment siły M~ skierowany jest prostopadle do osi b ˛aka...

B ˛ ak

Precesja

Z

X

Y Θ

mg R

L ω

W przypadku gdy b ˛ak wiruje, przyło˙zony moment siły powoduje zmian ˛e całkowitego momentu p ˛edu:

M =~ d~L dt

Wektor momentu p ˛edu pokrywa si ˛e z osi ˛a obrotu L~ k ~ω k ~R

natomiast wektor momentu siły jest do niej prostopadły M = m ~~ R × ~g ⊥ ~R

⇒ warto´s´c momentu p ˛edu nie ulega zmianie dL

dt = 0

⇒ kierunek momentu p ˛edu zmienia si ˛e ⇒ precesja

Precesja

Cz ˛esto´s´c

Z

X

Y

∆φ

∆L

L L’

Θ L sin

W przedziale czasu ∆t moment p ˛edu zmieni si ˛e o:

∆L = M ∆t = mRg sin θ ∆t Spowoduje to obrót poziomej składowej L~ o k ˛at

∆φ = ∆L

L sin θ = mRg sin θ

L sin θ ∆t

⇒ cz ˛esto´s´c z jak ˛a wektor L~ b ˛edzie zakre´slał sto˙zek:

ω_p = ∆φ

∆t = mRg L

⇒ cz ˛esto ´s ´c precesji

Cz ˛esto´s´c precesji maleje ze wzrostem momentu p ˛edu (cz ˛esto´sci ruchu wirowego b ˛aka)

Zyroskop ˙

Równowaga

L

“Waga”: ci ˛e˙zar ˙zyroskopu jest zrównowa˙zona przez odpowiednio dobrane ci ˛e˙zarki.

Je´sli ˙zyroskop jest w równowadze przy L = 0~ to b ˛edzie tak˙ze w równowadze dla L~ 6= 0

Jak zachowa si ˛e ˙zyroskop gdy zwi ˛ekszymy lub zmniejszymy “przeciwwag ˛e” ?

Zyroskop ˙

Precesja

zwi ˛ekszone obci ˛a˙zenie

L M r

ω _p

F

zgodnie z ruchem wskazówek zegara (patrz ˛ac os góry)

zmniejszone obci ˛a˙zenie (przypadek b ˛aka)

L M r

ω _p

F

przeciwnie do ruchu wskazówek zegara Cz ˛esto´s´c precesji ω_p = ^mrg_L ⇒ proporcjonalna do dodanej/brakuj ˛acej masy

Zyroskop ˙

Paradoks ?

Nie wiruj ˛acy b ˛ak wychylony z poło˙zenia równowagi L = 0~ lub nie zrównowa˙zony ˙zyroskop L = 0~ ⇒ wywracaj ˛a si ˛e

Natomiast je´sli L~ 6= 0 to b ˛ak i ˙zyroskop podlegaj ˛a precesji

⇒ nigdy si ˛e nie wywróc ˛a (zaniedbuj ˛ac siły tacia).

Czy jest to słuszne dla dowolnie małych warto´sci L~ ?

Z do´swiadczenia wiemy, ˙ze nie !

Wiruj ˛acy b ˛ak wywraca si ˛e zanim pr ˛edko´s´c k ˛atowa jego ruchu wirowego spadnie do zera.

Nasze rozwa˙zania precesji nie były ´scisłe

⇒ dla małych momentów p ˛edu musimy uwzgl ˛edni´c dodatkowe efekty...

Zyroskop ˙

Precesja

ω

_p

L

^p

L

_z

L

^Θ

Niech moment p ˛edu zrównowa˙zonego

˙zyroskopu wynosi L.~

Co si ˛e dzieje gdy zdejmiemy jeden ci ˛e˙zarek ?

Warto´s´c całkowitego moment p ˛edu nie ulega zmianie, gdy˙z moment siły ci ˛e˙zko´sci jest prostopadły do L.~

Obrót ˙zyroskopu z cz ˛esto´sci ˛a ω_p wzgl ˛edem pionowej osi ⇒ moment p ˛edu L~_p = ω_p I_p. Aby całkowity moment p ˛edu nie uległ zmianie, o´s ˙zyroskopu musi si ˛e nachyli´c o k ˛at:

θ ∼ L_p

L = mrgI_p L²

Du˙ze L ⇒ θ → 0 ( L_p mo˙zna pomin ˛a´c) Małe L ⇒ ˙zyroskop/b ˛ak wywraca si ˛e...

Zyroskop ˙

Nutacja

ω ^p

Idealna precesja, gdy koniec ramienia ˙zy- roskopu porusza si ˛e ruchem jednostajnym po okr ˛egu, zachodzi tylko przy szczególnym wyborze warunków pocz ˛atkowych.

W ogólnym przypadku na precesj ˛e nakładaj ˛a si ˛e oscylacje ramienia ˙zyroskopu wokół poło˙zenia “stacjonarnej precesji” ⇒ nutacje.

Charakter tych dodatkowych oscylacji zale˙zy od warunków pocz ˛atkowch.

Zazwyczaj s ˛a mało widoczne i zanikaj ˛a w czasie (tłumienie).

Ich amplituda ro´snie dla małych warto´sci L

Projekt Fizyka wobec wyzwa ´ n XXI w.

współfinansowany ze ´srodków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego