Optymalizacja położenia robota w środowisku roboczym

Z E S Z Y T ? NAUKOWE P O L I T E C H N I K I Ś L Ą S K IE J Seria: AUTOMATYKA z . 101

__________ 1 6 )9 0 Mr kol.1033

A r t u r G a n

P o l i t e c h n i k a Ś l ą s k a

O P T Y M A L IZ A C J A P O Ł O Ż E N IA R O B O T A W Ś R O D O W IS K U ROBOCZYM

S t r e s z c z e n i e . W p r a c y p r z e d s t a w i o n o a l g o r y t m o p t y m a l i z a c j i usta- w i e n i a r o b o t a p r z e m y s ł o w e g o w Ś r o d o w i s k u r o b o c z y m . W celu r o z w i ą z a n i a t e g o p r o b l e m u z a p r o p o n o w a n o k i l k a k r y t e r i ó w o p t y m a l i z a c j i .

1 . W p r o w a d z e n i e

J e d n y m z w a ż n i e j s z y c h e l e m e n t ó w p r o j e k t o w a n i a z r o b o t y z o w a n y c h s t a n o w i s k o b o c z y c h j e s t o p t y m a l i z a c j a p r o c e s u m a n i p u l a c y j n e g o . O p t y m a l i z a c j a t a o b e j m u j e :

- o p t y m a l n y p o d z i a ł z a d a ń s y s t e m u m a n i p u l a c y j n e g o n a s k o ń c z o n ą l i c z b ę e l e m e n t a r n y c h p o w t a r z a j ą c y c h s i ę c y k l i c z n i e k r o k ó w ;

- o p t y m a l n y d o b ó r p u n k t ó w p o d p o r o w y c h z a p e w n i a j ą c y r e a l i z a c j ę t r a j e k t o r i i w g r a n i c a c h d o p u s z c z a ł n e j o d c h y l k i ;

- o p t y m a l n e u s t a w i e n i e r o b o t a p r z e m y s ł o w e g o w Ś r o d o w i s k u r o b o c z y m .

P r z e d m i o t e m t e j p r a c y b ę d z i e o p t y m a l i z a c j a u s t a w i e n i a r o b o t a w Ś r o d o ­ w i s k u r o b o c z y m . W ł a ś c i w e u s t a w i e n i e J e d n o s t k i k i n e m a t y c z n e j r o b o t a w s t o ­ s u n k u d o w s p ó ł p r a c u j ą c y c h z n i ą m a s z y n i u r z ą d z e ń t e c h n o l o g i c z n y c h z n a j d u ­ j ą c y c h s i ę w j e j o t o c z e n i u d a j e m o ż l i w o S ć o s z c z ę d n o S c l e n e r g e t y c z n y c h l u b z a p e w n i a m i n i m a l n y c z a s t r w a n i a c y k l u r o b o c z e g o .

Z a p r o p o n o w a n o t u t a j i t e r a c y j n y a l g o r y t m o p t y m a l i z a c j i t e g o p r o b l e m u d l a r ó ż n y c h k r y t e r i ó w o p t y m a l i z a c j i . T a k i s p o s ó b r o z w i ą z a n i a p r o b l e m u u m o ż l i ­ w i a s t o s o w a n i e t e g o a l g o r y t m u n i e z a l e ż n i e o d s t r u k t u r y k i n e m a t y c z n e j r o b o t a p r z e m y s ł o w e g o , k t ó r y ma p r a c o w a ć n a s t a n o w i s k u r o b o c z y m .

2 . Z a ł o ż e n i a i z a p i s m a t e m a t y c z n y

D l a u o g ó l n i e n i a z a d a n i a p r z y j ę t o , ż e p o s i a d a m y r o b o t a o S s t o p n i a c h s w o b o d y i z n a n e j C d o w o l n l e p r z y j ę t e j J s t r u k t u r z e k i n e m a t y c z n e j w p o s t a c i o t w a r t e g o ł a ń c u c h a k i n e m a t y c z n e g o . S t r u k t u r a r o b o t a j e s t o k r e S l a n a p r z e z z w y m i a r o w a n i e p o s z c z e g ó l n y c h o g n i w j e g o s t r u k t u r y k i n e m a t y c z n e j i oicro- S l e n i e r o d z a j u p r z e g u b u p o m i ę d z y dwom a k o l e j n y m i o g n iw a m i t o p r o t o w y l u b p r z e s u w n y .} . N u m e r a c j ę o a n l w i p r z e g u b ó w r o z p o c z ę t o o d b a z y r o b o t a C r y s . l J .

78 A. Gan

S c h e m a t u o g ó l n i o n e g o r o b o t a o N s t o p n i a c h s w o b o d y F i g . l . A s c h e m a t i c r e p r e s e n t a t i o n o f g e n e r a l i z e d m a n i p u l a t o r

W a r t y k u l e d o o p i s u p o ł o ż e n i a i o r i e n t a c j i p o s z c z e g ó l n y c h o g n i w r o b o t a p r z y j ę t o t z w . m a c i e r z e t r a n s f o r m a c j i h o m o g e n i c z n y c h , k t ó r e p o r a z p i e r w s z y z o s t a ł y w p r o w a d z o n e p r z e z D e n a v i t a i H a r t e n b e r g ą £3-3» a. n a s t ę p n i e s p o p u ­ l a r y z o w a n e p r z e z P i e p e r a C2 ] i P a u l a

K o m e r c j a l n i e d o s t ę p n e r o b o t y z w y k l e m a j ą p r o s t y s t r u k t u r ę . P r z e g u b y s ą o b r o t o w e l u b p r z e s u w n e , n a t o m i a s t o g n i w a ł a ń c u c h a k i n e m a t y c z n e g o s ą p r o s t e i s z t y w n e , a s k r ę t y p o m i ę d z y n im i o d b y w a j ą s i ę w p ł a s z c z y i n i e p r o s t o p a d ł e j l u b r ó w n o l e g ł e j . I s t n i e j e w i ę c p o t r z e b a w p r o w a d z e n i a t y l k o p r o s t y c h r e l a ­ c j i . a b y o p i s a ć t r a n s f o r m a c j e u k ł a d ó w w s p ó ł r z ę d n y c h o p i s u j ą c y c h p o ł o ż e n i e o g n i w k i n e m a t y c z n y c h .

P r z y j ę t o t u t a j n a s t ę p u j ą c e k o n w e n c j e d l a w y b o r u u k ł a d ó w w s p ó ł r z ę d n y c h o p i s u j ą c y c h p o ł o ż e n i e o g n i w r o b o t a :

- u s t a w i a ć o s i e X w s z y s t k i c h u k ł a d ó w w s p ó ł r z ę d n y c h w p r z e g u b a c h w tym sam ym k i e r u n k u c o o ś X b a z o w e g o u k ł a d u w s p ó ł r z ę d n y c h ;

- p r z y j m o w a ć p r z e g u b y o b r o t o w e o b r a c a n e w o k ó ł i c h i n d y w i d u a l n y c h o s i Z ; - p r z y j m o w a ć p r z e g u b y p r z e s u w n e p o r u s z a j ą c e s i ę w z d ł u ż i c h i n d y w i d u a l n y c h

o s i Z .

P r z y j ę t y u k ł a d w s p ó ł r z ę d n y c h s t o s o w n y d o w y ż e j o p i s a n y c h r e g u ł , j a k o k o l e j n a r e l a c j a p o m i ę d z y o g n iw e m i a ogn iw em - i-1 C r y s . Z l , j e s t o p i s a n y p r z e z n a s t ę p u j ą c y z b i ó r p a r a m e t r ó w :

B — k ą t r o t a c j i B. w o k ó ł o s i Z . ;

1- L v -1

d ~ t r a n s l a c l a n a o d l e g ł o ś ć d w z d ł u ż o s i Z ;

t ” i v -1

- t r a n s l a c j a n a o d l e g ł o ś ć w z d ł u ż o s i X .

or - r o t a c j a w o kół o s i z g o d n i e z r u c h e m w s k a z ó w e k z e g a r a o k ą t o b r o t u a . p o m i ę d z y o s i a m i 2 . i 2 .

V V l - l

D l a t a k o k r e ś l o n y c h r e g u ł o p i s u m a c i e r z t r a n s f o r m a c j i & . . o p i s u j ą c a p r z e j ś c i e -z u k ł a d u w s p ó ł r z ę d n y c h o p i s u j ą c e g o o g n i w o t-1 d o u k ł a d u w s p ó ł '

O p t y m a l i z a c j a p o ł o ż e n i a r o b o t a 79

R y s . 2 . R e l a c j a p o m i ę d z y o g a i w e n i-1 a o g n iw e m £ ł a ń c u c h a k i n e m a t y c z n e g o r o b o t a

F i g . 2 . R e l a t i o n s h i p b e t w e e n t w o a d j a c e n t l i n k s : i-1 a n d i

r z ę d n y c h o p i s u j ą c e g o o g n i w o i . ma p o s t a ć :

c o s S , s l n S

V O o

—s i n & . c o s a.

I l

c o s # c o s a .

I V

s i n a . V o

s i n O . s i n a .I . I - c o s 0 s i n a

l l

c o s a

O

a, c o s 6

t i

a s i n #

. I V

d.i

1

C l j

J e ż e l i z n a m y w s z y s t k i e p a r a m e t r y o p i s u j ą c e w z a j e m n e p o ł o ż e n i e d w ó c h k o l e j n y c h o g n i w , t o m a c i e r z t r a n s f o r m a c j i p o m i ę d z y k o l e j n y m i u k ła d a m :, w s p ó ł r z ę d n y c h j e s t o k r e ś l o n a . W t e d y t r a n s f o r m a c j a u k ł a d u w s p ó ł r z ę d n y c h o p i s u j ą c e g o p o ł o ż e n i e i o r i e n t a c j e k o ń c ó w k i w y k o n a w c z e j r o b o t a d o u k ł a d u w s p ó ł r z ę d n y c h b a z o w y c h j e s t d a n a j a k o :

H = A A A . . . R> &

N 1 2 3 N-i N C 23

J e ż e l i i - t y p r z e g u b r o b o t a j e s t o b r o t o w y , t o w s p ó ł r z ę d n ą n a t u r a l n ą o p i s u j ą c ą r u c h t e g o p r z e g u b u j e s t k ą t Q . . n a t o m i a s t g d y p r z e g u b j e s t p r z e s u w n y , t o w s p ó ł r z ę d n ą n a t u r a l n ą J e s t z m i e n n a u.^. D l a k a ż d e g o p r z e g u b u j e s t o k r e ś l o n y z a k r e s r u c h ó w o d g d o g

i r a t n t w a x

W i e l k o ś ć g o k r e ś l a v mi n

m i n i m a l n ą w a r t o ś ć w s p ó ł r z ę d n e j n a t u r a l n e j g^ d a n e g o p r z e g u b u C g - d l a p r z e g u b u o b r o t o w e g o i g . = d d l a p r z e g u b u p r z e s u w n e g o ) , n a t o m i a s t j e j w a r t o ś ć m a k s y m a l n ą .

80

g . l . A l g o r y t m l t e r a c y j n e g o o b l i c z a n i a w s p ó ł r z ę d n y c h p o ł o ż e n i a k o ń c ó w k i wyk o n a w c i e J r o b o U _

T r a n s f o r m a c j a TT o p i s u j ą c a p o ł o ż e n i e i o r i e n t a c j ę k o ń c ó w k i w y k o n a w c z e j r o b o t a w b a zo w y m u k ł a d z i e w s p ó ł r z ę d n y c h p o s i a d a n a s t ę p u j ą c e e l e m e n t y :

n

x N O

x N f l x N P X N

n

y N 0 X Z a

y N P y N C3!>

n

2 N o

3 N a

E N P Z N

0 0 O 1

W s p ó ł r z ę d n e p o ł o ż e n i a k o ń c ó w k i w y k o n a w c z e j r o b o t a P x K < P yti ^ P z u m ogą b y ó o b l i c z o n e i t e r a c y j n i e n a p o d s t a w i e w z o r u C m n o ż ą c k o l e j n o m a c i e r z e

1 : t r a n s f o r m a c j i o d k o ń c a , c z y l i o d Ci^ d o l

_N- i

& TT

N- l ł l W

K- i + 1

TT = D.

N Í = 1 . , N

p r z y c zy m = U ^ .

T a k i s p o s ó b m n o ż e n i a m a c i e r z y & ^ p o z w a l a n a o b l i c z e n i e w s p ó ł r z ę d n y c h p o ł o ż e n i a k o ń c ó w k i w y k o n a w c z e j p o p r z e z i t e r a c y j n e o b l i c z a n i e t y l k o e l e m e n ­ t ó w P x i . P y i i P cL m a c i e r z y t r a n s f o r m a c j i TT^ 1 , o k r e ś l a j ą c e j p o ł o ż e n i e 1 o r i e n t a c j ę k o ń c ó w k i w y k o n a w c z e j w z g l ę d e m k o ń c ó w k i o g n i w a i- 1 :

Tl X I

o X V a .

X V P * i .

T l y i

o . y* -

a y ^ P v i n .

X I o

Z l o .

z v P * x

0 O O 1

C 55

W z o r y n a o b l i c z a n i e p o d a n y c h e l e m e n t ó w m a j ą p o s t a ć :

= P,

~ P .

c o s e ~ p... s i n ©

y i - 1

s i n © s i n o + a c o s ©

- i N- l t l N- l t í N-vti N-L-tl

s i n ©

- 1 w- L-t *

c o s © s i n e

- X W - L + X H - l ł l

p c o s © c o s a

y i - l N - t . l N - i t l

r’ s i n ©

N-L + i N-Ł-tl

C 6 J

C 75

C 83

T a m e t o d a , z e w z g l ę d u n a s w o j ą p r o s t o t ę , j e s t b a r d z o e f e k t y w n a .

D l a i - t e g o k r o k u w s p ó ł r z ę d n a n a t u r a l n ą g d l a d a n e g o p r z e g u b u C© d la

i ~ V

p r z e g u b u o b r o t o w e g o i d dla. p r z e s u w n e g o !) p o w i n n a m i e ś c i ć s i e w z a k r e s i e :

O p t y m a l i z a c j a , p o ł o ż e n i a r o b o t a

81

C 9 !

2 . 2 . A l g o r y t m i t e r a c y j n e g o o b l i c z a n i a J a k o b l a n u

J e ż e l i w e k t o r X o k r e ś l a nam z b i ó r w s p ó ł r z ę d n y c h k a r t e z j a ń s k i c h o p i s u j ą ­ c y c h p o ł o ż e n i e k o ń c ó w k i w y k o n a w c z e j r o b o t a :

X = C x . y . z 1T = £ P x N . P y N . P =N 1T

a w e k t o r q j e s t z b i o r e m w s p ó ł r z ę d n y c h n a t u r a l n y c h :

[ g . g . . . q ■» z M 1'

cio:

C l i !

t o z a l e ż n o ś ć w s p ó ł r z ę d n y c h w e k t o r a X o d w s p ó ł r z ę d n y c h w e k t o r a q C o p i s a n a p o w y ż e j a l g o r y t m e m i t e r a c y j n e g o o b l i c z a n i a ! m o że b y ó p r z e d s t a w i o n a w o g ó l ­ n e j p o s t a c i :

X = F C q !

l u b w y r a ż a j ą c w p o s t a c i m a c i e r z o w e j :

f F C ą x A 2 . N P yhl ' = F C q y i 2, . . N

F C ą , ą » . .

2 ri 2 . :>

N

R ó ż n i c z k u j ą c r ó w n a n i e C 1 2 ! p o c z a s i e o t r z y m u j e m y :

X ' = < a F C q ! / a q ! C d q / d £ ! = J > C q !q ’

l u b w p o s t a c i m a c i e r z o w e j :

P xN ‘ a r / J g

i a r / a g

X 2

a r / a g

x N

P y W

= a F / d g

y » a r / a g

y ^ a r / a g

y n

a r

z a r / a g

2 2

a r / a g

z N

r j J -7 1

X I X 2 X N

— J J -7

y‘ ^{y 2 y K}

J -7 - J

21 Z 2 z N

C l 2 !

C 1 3 !

C l i !

C I S !

g d z i e m a c i e r z JJCq! j e s t m a c i e r z ą J a k o b l a n u .

82

W a r t o ś c i e l e m e n t ó w m a c i e r z y J a k o b i a n u m o ż n a o b l i c z y ć C p o d o b n i e J a k w s p ó ł r z ę d n e p o ł o ż e n i a k o ń c ó w k i w y k o n a w c z e j } w s p o s ó b i t e r a c y j n y . 2 w z o r ó w i t e r a c y j n y c h C 6J.- C8} w i d a ć , ż e t y l k o w k r o k u £ =W - j+ i i s t n i e j e z a l e ż n o ś ć o d z m i e n n e j o . S t ą d C p o z r ó ż n i c z k o w a n i u e l e m e n t ó w p ... p i p w z g l ę -

N- j t l x \ y v x «.

dem z m i e n n y c h ą J w z o r y n a o b l i c z a n i e e l e m e n t ó w m a c i e r z y J a k o b i a n u , „ J o r a z J . b ę d ą m i a ł y p o s t a ć :

y j * )

; i ' 4c o s 0 —./*■ , * s i ń d . c o s a +

X j N - t > X y j N - I t i N - 1 + 1

- 7 x k =

C i 8 }

j ; k=

+_7l " ‘ s in e s i n o +c eosó , dla i ^ N - k + i

2 j N - l t i bi-X.fi. N - V ♦ 1 N - Ł f i

_ — J lJPlcosd cosa +

N - t f l y j U-x.fi. N - V t i

+ J i ” łcos0 s in a —a sinô dla £=A/—&+1 i <7 =0.

SE j U ~ \ . + i N - l + i N - X + J I bi~t.fi i 1

O dla £ =N—&+1 i c?: =d.

j — < i — «

X J s±n0N-t-»-X y j

—.Z*- ^cosó s in a -»-c s in 0 dla

Z j b i ~ i f i N - 1 - 1 N - t f l N -Ł -M

i - 4 . . i - i „ Ci72>

_7 _{x j} cos0 N - L t i - J y j ^{s i n 0} N - i t i ^cosa N - L + l⁺

■+.JL / s i n ó s i n a +cl c û s ô d l a i —N - k .+ l i <7. = 0 . z j N - i + i . N — i -t-X N — t + 1 W - i + 1

d l a i =N - k+l i Q . = d .

j ' * s i n a + J l" 1cosoi + d d l a 1

y j M - i + 4 a j N - L + l N - l w i

O d l a t = N - k + 1 i <j.=0. C l 8 }

1 L

*- 1 d l a £ =N - k+l i g .= d

£ . 3 . A l g o r y t m i t e r a c y j n e g o r o z w i ą z y w a n i a r ó w n a ń k i n e m a t y k i

J e ż e l i r ó w n a n i a k i n e m a t y k i d l a d a n e j s t r u k t u r y r o b o t a s ą o k r e ś l o n e z a p o m o c ą r ó w n a n i a 0 2 } X = F C q } , t o r o z w i ą z y w a n i e r ó w n a ń k i n e m a t y k i m ożem y i n t e r p r e t o w a ć J a k o z n a j d o w a n i e t a k i c h w a r t o ś c i q , d l a k t ó r y c h X = F C q ^ } — X . J e d n ą z n a j b a r d z i e j r o z p o w s z e c h n i o n y c h n u m e r y c z n y c h m e t o d p o s z u k i w a n i a r o z w i ą z a ń n i e l i n i o w y c h u k ł a d ó w 'r ó w n a ń J e s t m e t o d a N e w t o n a ~ - R a p h s o n a C A 1. M e t o d a t a b a z u j e n a p r o b l e m i e o p t y m a l i z a c j i k r y t e r i u m f u n k c y j n e g o :

d C q } = | X r - X |Z = | X f - F C q } |Z C 1 Q }

W p r z y p a d k u g d y m in im u m f u n k c j i d C q } o s i ą g a z e r o . t o w s p ó ł r z ę d n e w e k t o r a q s t a n o w i ą r c z w i ą z a n i e r ó w n a ń k i n e m a t y k i , n a t o m i a s t g d y m in im u m t e j f u n k c j i o s i ą g a w a r t o ś ć w i ę k s z ą o d z e r a . t o r o z w i ą z a n i e r ó w n a ń k i n e m a t y k i

O p t y m a l i z a c j a p o ł o ż e n i a r o b o t a

83

n i e i s t n i e j e C z a d a n y p u n k t X z n a j d u j e s i ę p o z a p r z e s t r z e n i ą r o b o c z ą

r

r o b o t a ) .

J e ż e l i q J e s t e s t y m a t ą * p o s z u k i w a n o g o r o z w i ą z a n i a q f u n k c j i X - FCqJ

k r r

w & - te J i t e r a c j i m e t o d y N e w t o n a - R a p h so n a t o n ow a e s t y m a t a q k + 1 inoże b yć o b l i c z o n a p r z e z l i n e a r y z a c j ę f u n k c j i X ^~ FCqD w n a j b l i ż s z y m s ą s i e d z t w i e a k t u a l n e j e s t y m a t y q

X - F Cq , D = X - F C q J - J*Cq, !>Aqt CHÓD

r k + 1 r k k k

p o n i e w a ż l i n e a r y z a c j a f u n k c j i F C q J ma p o s t a ć :

»

FCq , J = F C q , J - J>Cqt 2>Aq, C 21 D

k + 1 k k k

g d z i e JJCq^J j e s t m a c i e r z ą J a k o b i a n u o p i s a n ą w p o p r z e d n i m p o d r o z d z i a l e . J e ż e l i z a ł o ż y m y , ż e q k ^ 4 j e s t r o z w i ą z a n i e m , t o X^- F C q k ^ :> = O , c o w k o n s e k w e n c j i d a j e :

X - F C q k J - JKIqkJ A q k = O C222>

s t ą d , p o p r z e k s z t a ł c e n i u , o t r z y m u j e m y w zó r i t e r a c y j n y n a o b l i c z a n i e e s t y m a t y r o z w i ą z a n i a q ^ :

q, = q, + J ' lC q 5 C X - X, 5 C232>

k+i k k r k

p r z y c zy m w a r t o ś c i e l e m e n t ó w w e k t o r a X k = F C q kJ s ą o b l i c z a n e i t e r a c y j n i e w e d ł u g w z o r ó w C 6 J - C 8 ^ , a e l e m e n t y m a c i e r z y J a k o b i a n u J>CqkJ n a p o d s t a w i e w z o r ó w C 1 6 J - C 1 8 D .

3 . A l g o r y t m o p t y m a l i z a c j i p o ł o ż e n i a r o b o t a w ś r o d o w i s k u r o b o c z y m

D l a r o z w i ą z a n i a z a g a d n i e n i a o p t y m a l i z a c j i p o ł o ż e n i a r o b o t a w ś r o d o w i s k u r o b o c z y m z a ł ó ż m y , ż e mamy o k r e ś l o n e z a d a n i e m a n i p u l a c y j n e p r z e z z a d a n i e M+l p u n k t ó w p o d p o r o w y c h X ( C l = 0 , . . . , K > , p r z e z k t ó r e ma p r z e j ś ć k o ń c ó w k a w y k o n a w c z a r o b o t a . J e ż e l i p r z e z X o z n a c z y m y w s p ó ł r z ę d n e b a z o w e p o ł o ż e n i a

® a

r o b o t a w ś r o d o w i s k u r o b o c z y m . t o w s p ó ł r z ę d n e p u n k t ó w p o d p o r o w y c h C 1 = 0 tO o d n i e s i o n e d o u k ł a d u w s p ó ł r z ę d n y c h o p i s u j ą c y c h p o ł o ż e n i e r o b o t a w b a zo w y m u k ł a d z i e w s p ó ł r z ę d n y c h , s ą o k r e ś l o n e J a k o :

X * = X - X C 2 4 5

l I B

C e l e m o p t y m a l i z a c j i p o ł o ż e n i a r o b o t a w ś r o d o w i s k u r o b o c z y m m o ż e b y ć , m i ę d z y i n n y m i , m i n i m a l i z a c j a c z a s u t r w a n i a p r z e m i e s z c z e ń . m i n i m a l i z a c j a z u ż y t e j e n e r g i i l u b t e ż m i n i m a l i z a c j a a k t y w n e j p r z e s t r z e n i r o b o c z e ; r o b o t a .

D l a r o z w i ą z a n i a t e g o . p r o b l e m u o p t y m a l i z a c j i z a p r o p o n o w a n o t u t a j t r z y

84

r ó ż n e k r y t e r i a f u n k c y j n e :

/ , = e L St t i * 4

^ c

n Ci?

c e s s

C 8 6 5

7 *= £ v .C < j° - <?“ 5 C 27 D

3 i v m a v i m v n i

t = l

g d z i e ą . ^ . - i- t a w s p ó ł r z ę d n a . n a t u r a 1 n a r o b o t a d l a ¿- te g o p u n k t u p o d p o ro ­ w e g o ; o a . o a - z a k r e s y a k t y w n y c h r u c h ó w d l a i —t e j w s p ó ł r z ę d n e j natu-

i. m a x i mir»

r a l n e j r o b o t a :

= m in Q C 2 8 }

i mi n ^ i . I

= max ą ^{C 2 9 ^}

u; , v. - w s p ó ł c z y n n i k i d o p a s o w u j ą c e w a r t o ś c i w s p ó ł r z ę d n y c h n a t u r a l n y c h .

v i

K r y t e r i u m I m i n i m a l i z u j e c z a s t r w a n i a p r z e m i e s z c z e ń C z e w z g l ę d u na m i n i m a l i z a c j ę u o g ó l n i o n e j d r o g i we w s p ó ł r z ę d n y c h n a t u r a l n y c h ro bo ta}.

P o z o s t a ł e dwa k r y t e r i a m i n i m a l i z u j ą p r z e d e w s z y s t k i m w i e l k o ś ć aktywnej p r z e s t r z e n i r o b o c z e j r o b o t a , c o n i e z a w s z e z a p e w n i a z m i n i m a l i z o w a n i e cyklu r o b o c z e g o l u b z u ż y c i a e n e r g i i .

J e ż e l i p r z y j m i e m y o g ó l n ą p o s t a ć k r y t e r i u m o p t y m a l i z a c j i w postaci f u n k c j i

. 1 = I C q q D C3CD

1 N

i w e źm ie m y p o d u w a g ę C n a p o d s t a w i e w z o r u C l 2 } i C 2 4 J J , ż e

q v = F _ 1 C X * 5 = F " łC X - X b 5 C 3 1 0

t o m ożem y s t w i e r d z i ć , ż e k r y t e r i u m o p t y m a l i z a c j i j e s t b e z p o ś r e d n i o funkcji, w s p ó ł r z ę d n y c h b a z o w y c h p o ł o ż e n i a r o b o t a w ś r o d o w i s k u r o b o c z y m .

P r z e d s t a w i o n y p o n i ż e j a l g o r y t m o p t y m a l i z a c j i j e s t o p a r t y na metce1 c a ł o ś c i o w e g o p r z e s z u k i w a n i a . W p i e r w s z e j f a z i e m o ż n a p r z y j a ,ć c a ł y o b s ii d o p r z e s z u k i w a n i a z d o k ł a d n o ś c i ą n p . c o 1 0 0 mm. w d r u g i e j f a z i e przyjmuj*

s i ę o b s z a r 1 0 — k r o t n i e m n i e j s z y w k a ż d e j w s p ó ł r z ę d n e j z aktualni*

n a j l e p s z y m r o z w i ą z a n i e m w c e n t r u m t e g o o b s z a r u i d o k o n u j e s i ę przeszu kan i*

z d o k ł a d n o ś c i ą , 1 0 mm l t d .

k r o k 1 P r z y j ę c i e p i e r w s z e g o p u n k t u p o s z u k i w a n i a X <ml ; 1 ■* a> o r a z m = 0 ;

• B P

k r o k 2 O b l i c z e n i e w s p ó ł r z ę d n y c h X l d l a i = 1 ,'. . . , H n a p o d s t . w z o r u C 1 4 3 ; k r o k 3 R o z w i ą z a n i e r ó w n a ń k i n e m a t y k i C l = 1 , . . . , 7 D w e d ł u g w z o r u C 23J;

k r o k 4 O b l i c z e n i e w a r t o ś c i k r y t e r i u m f u n k c y j n e g o 1 n a p o d s t a w i e wzch

O p t y m a l i z a c j a p o ł o ż e n i a r o b o t a

85

C 2 S 3 . C 2 6 3 l u b C 2 7 3 ;

krok S J e ż er 11 7 < / p . t o p r z y j m u j e m y X * = X ^ " ” o r a z 7 ^ = 7 ;

krok O C z y p r z e s z u k a n o w s z y s t k i e p u n k t y X ^ m> w r a m a c h z a d a n e g o o b s z a r u d l a z a d a n e j d o k ł a d n o ś c i ? J e ż e l i n i e , t o m=m .»l, z n a l e z i e n i e k o l e j n e g o p u n k t u p o s z u k i w a ń X ^ m> i s k o k d o k r o k u 2 ;

krok 7 C z y p r z e s z u k i w a n o o b s z a r d l a n a j m n i e j s z e j z a d a n e j d o k ł a d n o ś c i ? J e ż e l i n i e . t o z m i a n a d o k ł a d n o ś c i . m = m + l. z n a l e z i e n i e k o l e j n e g o p u n k t u p o s z u k i w a ń X <" ' > i s k o k d o k r o k u 2 ;

® A

krok 8 W y p r o w a d z e n i e w a r t o ś c i w s p ó ł r z ę d n y c h o p t y m a l n e g o p o ł o ż e n i a X

3 . P r z y k ł a d

D l a z i l u s t r o w a n i a p r z e d s t a w i o n e g o a l g o r y t m u w eźm y p o d u w a g ę p r z y k ł a d r o b o t a o d w ó c h o b r o t o w y c h s t o p n i a c h s w o b o d y C r y s , 3 3 . P r z y j m i e m y , ż e d ł u ­ g o ś c i r a m i o n L ^ o r a z L ^ s ą r ó w n e i w y n o s z ą 2 4 5 mm. D l a z a d a n y c h p i ę c i u k o l e j n y c h p u n k t ó w p o d p o r o w y c h C X ^ , Y , 3 : C 8 O 0 . 5 O O 3 , C 9 0 0 . 5 0 0 3 . C 1 0 0 0 . 5 0 0 3 , Cl i 0 0 , 5 0 0 3 , C 1 0 0 0 , 7 5 0 3 r o z w i ą z a n o p r o b l e m o p t y m a l i z a c j i p r z y w y k o r z y s t a n i u k r y t e r i u m f u n k c y j n e g o 7 ^ C w zó r C 2 6 3 3 , w w y n i k u c z e g o u z y s k a n o o p t y m a l n e p o ł o ż e n i e r o b o t a w p u n k c i e o w s p ó ł r z ę d n y c h C S 1 0 . 5 3 2 3 .

R ys. 3 . I l u s t r a c j a o b l i c z e ń o p t y m a l n e g o p o ł o ż e n i a r o b o t a .

F ig . 3 . I l l u s t r a t i o n t o t h e c a l c u l ą t i o n o f t h e o p t im u m b a s e p o s i t i o n o f t h e r o b o t

5 . P o d s u m o w a n ie

W p r a c y z o s t a ł p r z e d s t a w i o n y a l g o r y t m o p t y m a l i z a c j i p o ł o ż e n i a r o b o t a w ś r o d o w i s k u r o b o c z y m . A l g o r y t m t e n o d z n a c z a s i ę d u ż ą p r o s t o t ą i d a j e m o ż liw o ś ć s t o s o w a n i a r ó ż n y c h k r y t e r i ó w o p t y m a l i z a c j i . P r a k t y c z n e z a s t o s o ­ w a n ie t e g o a l g o r y t m u z o s t a ł o z r e a l i z o w a n e n a k o m p u t e r z e k l a s y I B M P O U T / A T ,

86 ^{A . G an}

w w y n i k u c z e g o s t w i e r d z o n o d u ż y e f e k t y w n o ś ć o b l i c z e n i o w y t e g o a l g o r y t m u . D o d a t k o w y z a l e t y t e g o a l g o r y t m u J e s t m ożliwości j e g o s t o s o w a n i a w u n i w e r ­ s a l n y c h s y s t e m a c h p r o j e k t o w a n i a i s y m u l a c j i p r a c y r o b o t a .

L IT E R A T U R A

£10 D e n a v i t _J. , H a r t e n b e r g R . S . : A K i n e m a t i c N o t a t i o n f o r L o w e r Pa ir M e c h a n is m s B a s e d o n M a t r i c e s . T r a n s a c t i o n s o f A S M E , J . A p p l i e d M e c h a n i c s * J u n e 1 9 5 5 .

[ 2 3 P i e p e r D. L . : T h e K i n e m a t i c s o f M a n i p u l a t o r s U n d e r C o m p u t e r C o n t r o l . S t a n f o r d A r t i f i c a l I n t e l l i g e n c e L a b o r a t o r y . S t a n f o r d U n i v e r s i t y . CA, U S A . 1 9 6 8 .

( 3 3 P a u l R . P . : R o b o t M a n i p u l a t o r s - M a t h e m a t i c s . P r o g r a m m in g a n d C o n t r o l , M I T P r e s s . C a m b r i d g e , MA. U S A , 1 9 8 3 .

(¿ 3 W h i t n e y D. E . : O p t im u m S t e p s i z e C o n t r o l f o r N e w t o n - P a p h s o n S o l u t i o n o f N o n - l in e a r V e c t o r E q u a t i o n s . T r a n s a c t i o n s o f A S M E , J . D y n a m ic S y s t e m s , M e a s u r e m e n t a n d C o n t r o l , D e c e m b e r 1 9 7 2 .

R e c e n z e n t : P r o f .d r h .in ż.J.C y klis W p ł y n ę ł o do R e d a k c j i do 1990- 04-30.

T H E O P T I M I Z A T I O N O F R O B O T P O S I T I O N I N WORK E N V IR O N M E N T

S u m m a r y

T h i s p a p e r d e s c r i b e s a p r o b l e m o f o p t i m i z a t i o n o f r o b o t p o s i t i o n in work e n v i r o n m e n t . An a l g o r i t h m f o r v a r i o u s o p t i m i z a t i o n c r i t e r i o n s w as d e v e l o p e d a n d t e s t e d .

O niM M K SA U H S nOJIOXEHHS P O E O T A B PAEOTEfl CPEflE

P e e n a e

B c T a T ^ e n p e n c T a s n e H a n r o p H T « ©nTHWtrdamni nonoiOHHfl poGom a a pvaGonez c p e a e . Una p e a e m is 3 T ofl n p o 6 n e « u n p e n n o * e n i : H e c K o n b K n e xpiiTepJJ»

o n T K H H o a m iK

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