Z E S Z Y T Y N A U K O W E P O L IT E C H N IK I ŚLĄSK IEJ 1994
Seria: M E C H A N IK A z. 115 N r kol. 1230
Jó z e f P IE T R U C H A , M aria Z Ł O C K A
Instytut T echniki Lotniczej i M echaniki Stosow anej Politechnika W arszaw ska
A N A L IZ A M O Ż L IW O Ś C I ST A B IL IZ A C JI U K Ł A D U N IE L IN IO W E G O Z A P O M O C Ą S T E R O W A N IA L IN IO W E G O
S treszczen ie. R ozpatryw ane jest zagadnienie stabilizacji analogiczne do zagad
n ienia stateczności b ad an eg o m eto d ą pierwszego przybliżenia L apunow a. R ozw a
żania o p rzypadkach niekrytycznych i krytycznych stateczności zilustrow ano na przykładzie w irującego pocisku. Przedstaw iono podstaw ow e wnioski w ynikające z tw ierdzenia G alp erin a - Krasow skiego, które um ożliwia p o d ział układów ste ro w anych n a niekrytyczne i krytyczne.
PO S S IB IL IT Y A N A LY SIS O F ST A B IL IZ A T IO N O F N O N L IN E A R SY STEM U S IN G A L IN E A R C O N T R O L
S um m ary. W e state the following question: is it possible to stabilize no n lin ear system using lin ear controller ? This problem leads to so called critical cases. To illustrate such situation in practice we consider a flying spinning projectile. The p o in t o f this p a p e r is th e classification o f controlled systems into uncritical and critical.
A H A J IH 3 B 03 M 0 9 K F I0 C T H C T A B H JIH 3 A II,H H H EJIH H E H H O H C H C T EM H C n O M O lU b IO JIH H E ÎÎH O rO Y ÏÏP A B H E H H H
P e3 io M e . PaccMaTpHBaeTCH s a g a n a o CTa6H:iH3aii,HH aH ariorH m ian 3aztariH o ycToftiiHBOCTH J la n y n o B a n o nepB O M y rrpH6:m>KeHHio.
PaccyjKiteHHH 06 HexpHTtmecKHX h KpHTHuecKHX c j iy n a a x ycroH U H -
b o c t h npoHtniJOCTpHpoBaHO npHMepoM B pam ,aiom ,erocH c n a p n a a .
IIpeztcT aB ieH O ocHOBHae cneztcTBHH T eopeM H Ta:iBnepH H a - H. K p aco - BCKoro.
1. W P R O W A D Z E N IE
Z a rzecz klasyczną m ożna obecnie uznać, że modyfikację w łasności dynamicznych statków pow ietrznych przeprow adza się na podstaw ie m odelu liniow ego [l]t
x = A x + B u (1)
z kw adratow ym w skaźnikiem jakości:
J = - f ( x TQ x + u rR u )d t o
L iniow ość i stacjonarność praw a sterow ania:
u = F x ,
(
2)
(3)
gdzie:
F = - R 1B tK , (4)
przy czym:
K B R 1B tK - K A - AtK - O = 0 , ( s )
m ają doniosłe znaczenie w praktycznej realizacji układu sterow ania stanam i lotu statku pow ietrznego. G dy bow iem dany je st m odel m atem atyczny obiektu w postaci ( 1) i przyjęte są m acierze w agowe we wskaźniku (2), to m acierz sprzężenia zw rotnego F m ożna wyznaczyć zanim układ sterow ania zostanie zbudow any m aterialnie.
N iestety, ja k to często bywa z dobrym i narzędziam i, są o n e nadużyw ane, tzn. są sto sow ane w sytuacjach, dla których nie zostały zbudow ane (np. reg u lato r liniowy do układu nieliniow ego [2]) i to b ez analizy zasadności takiego postępow ania. T ym czasem każdy sterow any obiekt latający m oże zachowywać się ja k układ nieliniowy, którego m odel m atem atyczny m a postać:
(
6)
D o tej pory nie m a m etody rozw iązania tego zagadnienia w postaci zam kniętej, a naw et rozw iązanie num eryczne nie je st łatw e, w szczególności gdy chce się uw zględnić siły aerodynam iczne, któ re w przypadku ogólnym są i nieliniowe,, i n iestacjo n arn e. D latego p o ż ą d a n e je st znalezienie m odelu mniej skom plikow anego, ale adekw atnego.
A naliza możliwości stabilizacji układu nieliniowego 325
2. S F O R M U Ł O W A N IE Z A G A D N IE N IA
Poniew aż istnieją różne sposoby wyznaczania m acierzy (4), więc w dalszych ro zw ażaniach nie będziem y brali pod uwagę w skaźnika jakości, a tylko sam o rów nanie ruchu. Przy pewnych założeniach nałożonych na funcję f m ożna otrzym ać prostszy m odel w postaci:
i = A z + B w + +(z,H’,r). (7)
P o p odstaw ieniu sterow ania (3) do rów nania (7) mamy:
Ż = L z + t|i(z , F z , t ) , gdzie L = A + B F . W
Z ach o d zi te ra z pytanie: czy i kiedy układ sterow any opisany m odelem (8) jest asym ptotycznie stateczny ? Innymi słowy: czy możliwe jest ustatecznienie układu nieliniow ego (8 ) za p om ocą sterow ania liniowego ?
3. P R Z Y P A D E K K R Y T Y C Z N Y S T A T E C Z N O Ś C I
N iech rów nanie ruchu zaburzonego m a postać:
i = A x + 4>(x,f), W
gdzie A je s t m acierzą stałą, a <t> w tym obszarze spełnia w arunek:
l i m + M = 0 ( 10)
|*||
x = A x (11)
Z kryteriów stateczności dla m odelu pierw szego przybliżenia wynika, że jeżeli rów nanie charakterystyczne det(A - \ E ) = 0 m a część pierw iastków zerow ych, a p o zo stałe z ujem nym i częściam i rzeczywistymi, to ruch niezaburzony m oże być zarów no stateczny, ja k i niestateczny. W ówczas pytanie o stateczność układu (9) m oże być rozstrzygnięte tylko z uw zględnieniem nieliniowości <p (x,t).
T a k w ięc wszystkie przypadki, k tó re m ogą się pojaw ić przy b ad an iu stateczności układu (9), m ożna podzielić na dwie grupy: 1) przypadki niekrytyczne, dla których o stateczności m ożna w nosić na podstaw ie pierw szego przybliżenia; 2) przypadki krytyczne, w których trz e b a uw zględnić nieliniowość. Z m atem atycznego p u n k tu w idzenia przypadki takie m o żn a trak to w ać ja k o osobliwe. W m echanice lotu m ają one je d n a k duże znaczenie
praktyczne. Przykładem m oże być problem w ystępujący w Balistyce Z ew nętrznej z koziołkow aniem pocisku.
Przy przyjęciu standardow ego m odelu [4] m ożna uzyskać n astęp u jące rów nania ruchu pocisku:
z ła c o sp - 2 / l a P s i n P + Cn[3 = e lł s i n a , + zł a 2sinp cosp - C n a co sp '= e i? s in P c o sa ,
gdzie: A, C - równikowy i osiowy m om ent bezw ładności pocisku; n-rzut prędkości kątow ej pocisku na jeg o oś sym etrii; e - odległość między środkiem masy i środkiem parcia;
R - o p ó r aerodynam iczny; a - kąt natarcia; 15 - kąt między osią pocisku a płaszczyzną strzału.
P o o drzuceniu wyrazów nieliniowych i zastosow aniu standardow ego sposobu b ad an ia stateczności otrzym ujem y rów nanie charakterystyczne:
A 2X4 + ( C 2n 2 - 2 A e R ) X 2 + ( e R ) 2 = 0. (13>
Zauw ażm y, że do rów nania (13) nie m ożna zastosow ać kryterium R outhla-H urw itza.
Jeżeli p a ra m e try pocisku nie spełniają w arunku:
4 A e R - C 2n 2 > 0 , (14>
to wszystkie cztery pierw iastki rów nania (13) m ają zerow e części rzeczywiste. N ależy także dodać, że spełnienie w arunku (14) prow adzi do pojaw ienia się dw óch pierw iastków z częścią rzeczyw istą dodatnią, w wyniku czego ruch pocisku będzie niestateczny (nastąpi koziołkow anie).
4. O M Ó W IE N IE T W IE R D Z E N IA G A L P E R IN A - K R A S O W S K IE G O
Z przytoczonego przykładu wynika jasno, że w przypadkach krytycznych o stateczności decydują wyrazy nieliniowe. U statecznienie ruchu niezaburzonego rozw ażać będziem y tylko dla przypadku, kiedy ruch bez sterow ania jest niestateczny.
Jak w iadom o, ruch niezaburzony m ożna ustatecznić, jeżeli spełniony je st w arunek K alm ana:
rank \\B ,A B ,...,A "~ lB\\ = n , <15)
gdzie n = dim x. W ów czas za pom ocą odpow iedniego d o b o ru m acierzy układu zam k n ięteg o (8) m ożna uzyskać w artości w łasne o ujem nych częściach rzeczywistych.
Je d n a k w takim przypadku nie ma znaczenia, jak ie w artości m ają pierw iastki rów nania charakterystycznego:
Analiza możliwości stabilizacji układu nieliniowego 327
det(A - XE) =0. (16)
T a k więc znajom ość sam ych pierw iastków rów nania (16) uniem ożliw ia klasyfikację różnych przypadków dla układów sterow anych w sensie ich podziału na niekrytyczne i krytyczne. Klasyfikację tak ą opracow ali w r 1963 G alperin i K rasow ski [3] w postaci tw ierdzenia, ale nie je st ono szeroko znane.
Kluczowym zabiegiem je st w prow adzenie do rów nań specjalnej m acierzy S o w ym iarach m xn. M acierz tę wyznacza się z rów nania:
W idzimy więc, że w yznaczenie m acierzy S wymaga rozw iązania liniow ego rów nania m acierzow ego (17). R ozw iązanie to m a postać:
to ruch niezaburzony układu (7) jest stabilizow any za pom ocą sterow ania liniow ego (3) niezależnie od wyrazu nieliniowego <p (x,Fx );
2) jeżeli istnieje choćby je d n a w artość w łasna m acierzy A nie n ależąca do w idm a m acierzy S, której część rzeczyw ista je st dodatnia, to ruch niezaburzony układu je st niestateczny;
3) jeżeli w szystkie w artości w łasne m acierzy A, dla których:
A W = W S, (17)
gdzie:
(
18)
(19)
gdzie:
n
Pik = E aUWlk■
(
20)
Z udow odnionego w pracy [3] tw ierdzenia wynikają następ u jące wnoski:
1) jeżeli w idm o m acierzy S zaw iera w artości w łasne m acierzy A, dla których
Re A.(A) >0 , i = (2 1)
Re X;(A ) > 0 , i = 1 (22)
zaw arte są w w idm ie m acierzy S, ale istnieje choćby je d n a w artość w łasna m acierzy A, któ ra m a zerow ą część rzeczywistą nie m ieszczącą się w w idm ie m acierzy S, to możliwość stabilizacji u w arunkow ana je st w yrażeniem nieliniowym </>(x,Fx). P rzypadek 3) nazywany
je st p rzypadkiem krytycznym stabilizacji. Z atem zagadnienie stabilizacji z uw zględnieniem w yrażenia nieliniow ego je s t sens form ułow ać tylko w tym przypadku.
Z e w zględu na m ało przejrzysty ch arak ter tych w niosków na K onferencji przed staw io n e b ę d ą przykłady techniczne ( głównie z lotnictw a ) ilustrujące te wnioski.
L IT E R A T U R A
[1] M ichalski W. J., P ietru ch a J. A.: S terow anie czynne w łasnościam i dynam icznym i sam o lo tu nieodkształcalnego, M TiS z.3-4, T 28, 1990, ss. 333-351.
[2] M ichalski W . J., Z ło ck a M. A.: W prow adzanie czynne sam olotu w korkociąg, Konf.
"M echanika w Lotnictw ie", PTM TiS, W arszaw a 1992, ss. 561-574.
[3] ratfb rtep H H E. A ., KpacoBCKHft H . H.: O CTabHtiH3au,HH y c T a h o b h b i u h x c h
ABH>KeHHfi HeiHHeftHHX ypaBJineMHX cHCTeMjflM M T . X X V II, 1963,cc. 988-1004, [4] ZlMHTpHeBCKHft A . A . :BxeitiH an óanHCTHKa, MaiuHHOCTnoeuHe, M o o m a , 1979.
R ecen zen t: D r -hab. inż. A ndrzej B uchacz W płynęło do R edakcji w grudniu 1993 r.
Abstract
In this p a p e r w e d eal mainly w ith nonlinear control systems d escribed by E q. (8 ). In the special case o f lin ear tim e-invariant, system (8) takes th e form (1), w here x e R n is the sta te vector, u e R r is th e control vector. A ssum ing th a t th e system (1) is controllable, the o p tim al re g u la to r m inim izing a perfo rm an ce index (2), w here Q and R are positive definite m atrices, is given by th e control law (2), w here K is positive definite solution of th e R iccati E q . (5).
In chap. 2 w e sta te th e following problem : w hat will h a p p e n if w e apply the linear co n tro ller (3) to th e n o n lin ear system (7). In a n o th e r w ords: is it possible to stabilize the system (7) by m ean s o f con tro ller (3). T h e n atu ral tool for investigation o f such problem is th e stability th eo ry by Liapunov.
In chap.3 w e consider the no n lin ear au tonom ous system (9), w h ere <f> is ¡rower series beginning w ith th e term s o f a t least second degree. T h e th eo rem s o f L. perm it establishing criteria o f stability on th e basis o f th e abridged ( variational ) E q .( l l ) . A m ong th re e o f th em is also th e following:
If th e ch aracteristic eq. o f th e abridged eq. does not have any ro o ts w ith positive real parts, b u t has som e roots w ith zero real parts, th en th e term s in <p can b e chosen as to have e ith e r stability o r instability. This case belongs to th e so-called critical cases, which
A naliza możliwości stabilizacji układu nieliniowego 329
req u ire a special investigation. In o rd e r to give a b e tte r idea o f the n a tu re o f this problem be consider an exam ple concerning the spinning projectile.
In ch a p .4 we p resen t the principal conclusions of the th eo rem o f G alperin-K rasow ski, which give the key for th e division o f controlled system into critical and uncritical cases.
