Lepkoplastyczność w gruntach - wrażliwość na prędkość odkształcenia

Seria: B U D O W N IC TW O z. 95 N r kol. 1559

Marian ŁUPIEŻO W IEC*

Politechnika Śląska

LEPKOPLASTYCZNOŚĆ W GRUNTACH - WRAŻLIWOŚĆ NA PRĘDKOŚĆ ODKSZTAŁCENIA

Streszczenie. W pracy przedstaw iono opis m odelu gruntu, który je s t w stanie opisać w rażliwość m ateriału na prędkość je g o odkształcania. O pis ten je s t uogólnieniem bardzo często stosow anego w m echanice gruntów m odelu M odified Cam Clay. Podano rów nież wynik przeprow adzonego eksperym entu oraz jeg o sym ulację numeryczną.

VISCOPLASTICITY IN SOILS - SENSITIVITY TO STRAIN RATE

Sum m ary. In the paper there is given description o f soil m odel, w hich can describe material sensitivity to its strain rate. This description is the generalisation M odified Cam Clay M odel that is often used in soil m echanic. There are also presented result o f laboratory test and num erical simulation.

1. Wstęp

Jak w y k azu ją dośw iadczenia, bardzo często m amy do czynienia z w rażliw ością m ateriałów nie tylko na ścieżkę obciążenia, ale także na prędkość, z ja k ą obciążenie to je s t przykładane.

K lasyczne m odele zdolne są w m iarę dokładnie opisać pierw szą z przedstaw ionych w łaściw ości. C hcąc uw zględnić drugą z nich, m usim y uogólnić stosow ane m odele w prow adzając zależność od czasu. Jednego z pierw szych opisów lepkoplastyczności dostarcza m odel Perzyny [8], natom iast pierw szą koncepcję uw zględnienia w pływ u czasu w praw ie w zm ocnienia - m odel D ragona - M roza [5], Porów nanie stw orzonych dotychczas m odeli konstytutyw nych opisujących lepkoplastyczność znajduje się w publikacji autora [7],

Problem ten je st szczególnie dostrzegalny w gruntach spoistych, o czym przekonują nas wyniki uzyskane przez autorów [9], D o podobnych w niosków dochodzim y, analizując w ykonane przez autora badania dośw iadczalne, w których, przy niezm ienionych innych w arunkach, badano w pływ prędkości odkształcenia na w artość dew iatora naprężenia

* O piekun naukow y: Prof. zw. dr hab. inż. M aciej G ryczmański

pow odującego ścięcie próbki (rys. 1). B adanie to przeprow adzono na próbkach gruntu bardzo spoistego. L epkoplastyczność w cytow anym badaniu m anifestuje się tym, że im wyższa prędkość odkształcenia, tym w iększe obserw ujem y naprężenie potrzebne do ścięcia próbki.

300

250

200

ł 150 O-

100

50

0 0 5 10 15

•pM * I

Rys. 1 Zależność dewiatora naprężenia od odkształcenia przy różnych prędkościach ścinania Fig. 1. Dependence deviator stress on strain by different shear rate

W pracy przedstaw iony będzie konsystentny model opisujący lepkoplastyczność, który jest uogólnieniem często stosow anego w m echanice gruntów modelu M odified Cam Clay Podobny sposób opisu dla betonu m ożna znaleźć w publikacji Rene de Borsta [4], U ogólnione będzie rów nanie lepkoplastycznego w zm ocnienia oraz w arunek plastyczności.

N astępnie pokazany będzie problem w szczególnej postaci osiowej sym etrii, która opisuje badanie w kom orze aparatu trójosiow ego ściskania. W zakres rozw ażań w ejdą też algorytm num erycznego rozw iązania oraz przykład ilustrujący zgodność (na tym etapie jakościową) w yników dośw iadczeń z rezultatam i testów numerycznych.

2. Ogólne równania modelu

A nalizując zadanie, przyjęto, że odkształcenia lepkie (opóźnione) obserwow ane są po osiągnięciu przez punkt w przestrzeni naprężeń pow ierzchni plastyczności. Założono również, że struktura ogólnych rów nań opisujących sprężysto-plastyczność pozostaje bez zmian, natom iast w pływ czasu je st uw zględniony w rów naniu w zm ocnienia. Podano też ogólniejszą postać rów nań opisujących pow ierzchnię plastyczności, ja k i pow ierzchnię potencjału. Ze w zględu na fakt, że proces zachodzi w czasie, rów nania te podaw ane są w formie prędkości owej.

Pierwszym z rów nań opisujących m odel je s t rów nanie dekom pozycji odkształceń, które przyjmie postać:

s = e' +ev'’ , ( ! )

gdzie: £ - prędkość odkształceń całkow itych, t e - prędkość odkształceń sprężystych,

r. vp - prędkość odkształceń lepkoplastycznych (w ogólności niesprężystych).

D rugim z postaw ionych tutaj rów nań opisujących problem je s t praw o sprężystości, które podawane je s t identycznie ja k w klasycznej teorii plastyczności:

o = De*. ( 2 )

Wyżej oznaczono:

o - prędkość w ektora naprężenia, D - m acierz stałych sprężystych m ateriału.

Podobnie przyjęto praw o płynięcia, które w ogólnym przypadku (praw o niestow arzy- szone) m ożna zapisać:

« * = * ? : • (3)

da

Tutaj: G (o,k,k) - je s t pow ierzchnią potencjału, natom iast A - skalarow ym m nożnikiem

wyrażającym długość w ektora £ vpw zależności od długości gradientu pow ierzchni potencjału.

Bardzo w ażnym rów naniem w rozpatryw anym m odelu je s t praw o w zm ocnienia. Jak ju ż wspomniano w cześniej, w pływ czasu na przebieg procesu uw zględniony je s t w niżej zamieszczonej zależności:

k = r,(<j,/r)E ^ - r 2(a,*r). (4)

W pow yższym : k- je s t skalarow ym param etrem w zm ocnienia, natom iast r , i r 2 - są funkcjami m ateriałow ym i. T akie ujęcie lepkoplastyczności zostało pokazane w pracach [4] i [5].

K olejnym i rów naniam i, które będą m iały ogólniejszą postać niż w tradycyjnej teorii sprężysto-plastycznej, są rów nania pow ierzchni plastyczności oraz pow ierzchni potencjału.

Jeżeli rozpatrujem y praw o w zm ocnienia niestow arzyszone, to obydw ie te pow ierzchnie m ają różną postać, odpow iednio:

F( a, k, k) = 0 , G (o, rr,/c) = 0 . (5)

Oczywiście F - je s t funkcją plastycznego płynięcia, natom iast G - fu n k cją potencjału.

C harakterystyczny w pow yższych rów naniach je s t fakt zależności obydw u rozważanych pow ierzchni nie tylko od poziom u naprężenia w analizow anym punkcie i w artości parametru w zm ocnienia, ale rów nież od je g o prędkości. Ten sposób uogólnienia rów nań (5) podany został w [4],

D la uzupełnienia kom pletu ogólnych rów nań problem u podam y poniżej warunek zgodności, który dla przyjętej w (5) przyjm ie postać:

dF 8 F dF

OH--- do 8k

a + k-\ k = 0 . ^

8k

A nalizując pow yższe rów nanie, stwierdzam y, że w porów naniu z teorią sprężysto- plastyczności je st ono uzupełnione o jed en człon zaw ierający drugą pochodną parametru ^k po czasie.

P o przedstaw ieniu ogólnych rów nań dla rozpatryw anego zagadnienia możemy teraz przejść do w yznaczenia zależności naprężenie-odkształcenie. W tym celu zróżniczkujmy rów nanie (4) po czasie (uzyskam y w artość k), a następnie podstaw m y do warunku zgodności (6 ) w yrażenia na at i k. W ykorzystajm y rów nież rów nania (1) i (2) przy w yznaczaniu pierw szego członu w rów naniu zgodności. O trzym am y w tedy:

£ ° ( e - e ' ' ) + f ( r ' e ' + r - ) + f ( r ' e ' ł r ' 5 ’ + r O - 0 -

Jeżeli teraz do pow yższego postaw im y zależność (3), to otrzym am y rów nanie różniczkowe drugiego rzędu ze w zględu na param etr X , które zapiszem y w postaci uproszczonej:

s X + h X + c = 0 , 00

8 G ) d o ) ’ gdzie:

. •. 8F „ 8G , , ■. 8F 8 G 8 F 8G 8 F ■ 8G

s((T,

,

r, — ,

= - - d - + — r, — + r, — ,

_ oo do do 8k da _ do

d/c 8k

• , 8F n 8 F „ d F •

c(<j ,k,k) = ■

— Ds+—

.

do drc -

8k

Ścisłe rozw iązanie podanego wyżej rów nania je s t w ogólności zadaniem bardzo trudnym.

C hociaż rów nanie (8) je s t rów naniem różniczkow ym rzędu drugiego, to przez podstawienie t = X m ożem y sprow adzić go do rów nania rzędu pierwszego. Jednak m im o to rozwiązanie byw a w ogólnym przypadku niewykonalne. A nalityczne rozw iązania podobnego zagadnienia

dla kilku szczególnych przypadków m ożem y znaleźć w [9], W dalszej części pracy przedstawione będzie rozw iązanie num eryczne tak postaw ionego problem u.

3. Opis problemu w przypadku osiowej symetrii

Aby m óc interpretow ać zachow anie się próbki gruntu w aparacie trójosiow ego ściskania, konieczne je s t rozpisanie zw iązków (1-9) dla przypadku osiowej sym etrii. W dalszej części będziemy operow ać niezm iennikam i naprężenia i odkształcenia, które definiujem y następująco:

p' - naprężenie średnie, q' - dew iator naprężenia, ev - odkształcenie objętościow e, e , - odkształcenie postaciow e, a t',<72' , a} ',£i, e 2, e } - odpow iednio naprężenia i odkształcenia główne.

N ależy także dodać, że analizow ać będziem y zw iązki konstytutyw ne w naprężeniach efektywnych działających na szkielet gruntow y (znak prim), które w yliczym y zgodnie z prawem Terzaghiego:

gdzie: o ' - tensor naprężeń efektyw nych, o - tensor naprężeń całkow itych, u - ciśnienie wody w porach gruntu, I - tensor jednostkow y.

U w zględniając pow yższe, m ożem y rozpisać ogólne praw a definiujące m odel dla stanu w ystępującego w próbce podczas badania.

N iezm ienniki naprężenia i odkształcenia będą m iały postać:

P' z

(

10

gdzie:

o ' = o - Im ,

(

)

p '= - ( < V + 2 o y ) , « ^ o y - o y ,

(12)

£ y = £ , + 2 e 3

,

Funkcje plastyczności i potencjału przyjm ą postać:

Praw o w zm ocnienia zapiszem y w sposób następujący:

vp vp

K = Tv { p \ q ' , K ) s v + r s [ p ' , q \ K ) s s - T 2( p ' , q ' ,k) . O 4) N atom iast rów nania kanoniczne (8) i (9) sprow adzą się do następujących:

s A + h A + c = 0 , (15)

gdzie:

, , , • , dF „ dG dF „ dG d K * d K *

, , •. d F - . d G dF _ dG dF r dG d F r dG dF • dG dF r dG h(cr, k , k ) = ~ — k ---3 G — + — r v — + — r s — + —

rv

dp dp dq dq dK ' dp dtc s dq q k " drc * ^ ’

, ' . dF d F d F dF

c(ct,k,k) = — K e v+ — 3 G e 5 + — T 2 + — i i ,

dp dq dK Qk

K - m oduł ściśliwości, G - m oduł ścinania.

D o rów nania (15) dokładam y zw iązki uzależniające naprężenie od odkształcenia - analogicznie do (9):

d G ' V\ 3 dG

p = K e v- A — d p )

q = 3G e - A -

d q ) (16)

R ozw iązanie zw iązków (15-M6) pozw ala nam w ykreślić dow olne ścieżki (naprężenia, odkształcenia itp.) obrazujące przebieg obciążania m ateriału i je g o odpow iedź.

4. Szczegółowa postać funkcji materiałowych

W rozdziale tym przedstaw ione zostaną funkcje m ateriałow e, które zostały użyte przy rozw iązyw aniu postaw ionego wyżej problem u. Podczas badania w aparacie trójosiowym, którego idea została przedstaw iona w [1], obserw ow ać będziem y niezm ienniki zdefiniowane rów naniam i (10). Jak to ju ż było w spom niane wcześniej, m odel ten je st uogólnieniem modelu M odified Cam Clay (pozycje [1], [2] i [3]). Tak w ięc dekom pozycję odkształceń zapiszemy w postaci:

e vp e vp

S s = £ s + E s

,

. (

^

Praw o sprężystości dla analizow anego przypadku przedstaw iam y następująco:

P = K ev , q = 3 G e s . 1 ~ł~ &

gdzie: K = ---p - m oduł ściśliw ości, G - m oduł ścinania, e0 - początkow y w skaźnik

K

porowatości.

Funkcję opisującą pow ierzchnię plastyczności przyjm ow ać będziem y ja k o rów ną funkcji potencjału, którą zapiszemy:

F ( p \ q \ p c) = G ( p ' , q \ p c ) = q 2 + M 2p [ p - ( p c + A p c )] =0.

O9)

Jak łatw o zauw ażyć w pow yższym , pow ierzchnia plastyczności je s t podobna do pow ierzchni definiowanej przez M C C , różnicą je s t uzależnienie jej od prędkości ciśnienia prekonsolidacji p c , które zostało przyjęte ja k o param etr w zm ocnienia.

Po zdefiniow aniu pow ierzchni potencjału m ożem y napisać rów nania plastycznego płynięcia:

yp vp o p

= A ^ = A M 2[ 2 p - ( p c + A p c )], Es = A — = A 2 q , (20)

dp oq

gdzie A - j e s t skalarow ym m nożnikiem .

Pozostało nam do określenia praw o w zm ocnienia lepkoplastycznego, które przyjm iem y w postaci:

P c o O + e ) A e vp vp D n \ \

Pc — exp — — s v + bPc . ( 2i )

A -k A -k

W pow yższym w yrażeniu oznaczono: p co - początkow a w artość ciśnienia prekonsolidacji, a Aevp i e - odpow iednio: niesprężysta część i aktualna w artość w skaźnika porow atości. W e wzorze tym , zgodnie z propozycją D ragona i M roza [5], mamy z lewej strony prędkość param etru w zm ocnienia, natom iast po prawej w pływ zarów no w artości p c , ja k i często stosow aną w m echanice gruntów zależność od prędkości lepkoplastycznej części odkształcenia.

Tak opisany m odel charakteryzuje się sześciom a param etram i: X, k, M, G, A, B, gdzie cztery pierw sze są param etram i m odelu M CC, natom iast dw a ostatnie są now ym i stałymi rozpatrywanej koncepcji.

Po ustaleniu szczegółow ych postaci funkcji m ateriałow ych przystępujem y do rozw iązania rów nania (15). W tym celu szukając param etrów w nim w ystępujących dochodzim y do zależności:

s = - M Ąp A P f + e ) [ 2 p - ( p c + A p c )],

A - K

h = - M \ l p - ( p c + A p c)]2K - \ 2 G q 2 - M * Pc^ + e ) [ 2 p - ( p 0 + A p c ))(A + 1 ),

A - K

c = 6qG s s + M 2 p B p c (A + \ ) .

Przyjm ując krok czasow y At oraz w ykorzystując schem at całkow ania Eulera, możemy

znaleźć w artość m nożnika A w kroku czasow ym «+1:

A — X tn At + X tn

.

O czyw iście wartości X^ oraz X,k ^z poprzedniego kroku czasow ego są znane. Po wyznaczeniu

w artości X w racam y do rów nania (16) otrzym ując poszukiw ane zw iązki między niezm iennikam i naprężenia i odkształcenia.

5. Numeryczna symulacja modelu

D o numerycznej analizy w ybrano sym ulację badania w aparacie trójosiow ego ściskania, bez drenażu { s v = 0 ), przy różnych prędkościach odkształcania próbki. A nalizow ano ścinanie próbki naprężeniem dew iatorow ym po uprzedniej konsolidacji. Param etry m odelu przyjęte w sym ulacji m ają następujące wartości:

G = 10 MPa, M = 1.0, X = 0.05,

k = 0.005, p c = 1 3 0 k P a , e o = 1.5,

A = 0.8, B = 0.001.

Sym ulacja była przeprow adzana dla trzech różnych prędkości odkształcenia postaciowego, przy czym dla każdej prędkości przyjęto inny krok całkow ania At , co pokazuje poniższa tabela:

e , [ % / h] At [h]

3.6 0.00028

0.45 0.0018

0.05 0.009

Jako w ynik przedstaw iono ścieżkę zależności dew iatora naprężenia q ’ w zależności od wartości odkształcenia postaciow ego e , (rys. 2). Tak ja k oczekiw ano, otrzym aliśm y zróżni­

cowanie w artości naprężenia pow odującego ścięcie próbki w zależności od prędkości odkształcenia - im w iększa prędkość, tym w iększe osiągane naprężenie.

epsS

Rys. 2. Wynik testu numerycznego - ścieżka q - e, Fig. 2. Result o f numeric test - ą - e,path

6. Wnioski

Po analizie zaprezentow anego w pracy m odelu oraz w yników testu num erycznego m ożna stwierdzić, że model lepkoplastyczny w ujęciu wyżej zaprezentow anym m oże efektyw nie uw zględniać w rażliw ość prędkości odkształcenia na przebieg procesu obciążania m ateriału.

U zyskana na tym etapie m odelow ania zgodność jakościow a (por. rys. 1 i 2), przy braku zgodności ilościow ej, w skazuje nam kierunki dalszej pracy. Tak w ięc należałoby się zastanowić nad popraw nym w yznaczeniem param etrów m odelu (tutaj zostały przyjęte w sposób heurystyczny), a także zastosow ać bardziej zaaw ansow any od M CC kształt powierzchni ograniczającej i rów nań opisujących problem. W dalszych etapach konieczne będzie zbadanie zachow ania się tak opisanego m odelu w stanie prekonsolidacji, a także w innych sytuacjach charakterystycznych dla lepkoplastyczności (np. zjaw iska pełzania i relaksacji).

L ITER A TU R A

1. Atkinson J. H ., Bransby P. L.: The m echanics o f soils. An introduction to critical state soil m echanic, M cG raw -H ill Book Company, London 1978.

2. Borja R. I.: G eneralized creep and stress relaxation model for clays, Journal o f Geotechni- cal Engineering, 118, 11, 1992, str. 1765-1786.

3. B orja R.I., K avazanjian E. Jr.: A constitutive model fo r the stress-strain -tim e behaviour of

„w et” clays, G eotechnique, 35, 3, 1985, str. 283-298.

4. De B orst R., Heeres O.: A novel rate-dependent subloading model and its implicit integration, E uropean C onference on C om putational M echanics, K raków 2001.

5. D ragon A., M róz Z.: A m odel for plastic creep o f rock-like m aterials accounting for the kinetics o f fracture, Int. J. R ock M ech. Sci & Geom ech., 16, 1979, str. 253-259.

6. G ryczm ański M .: W prow adzenie do opisu sprężysto-plastycznych m odeli gruntów, K om itet Inżynierii Lądowej i W odnej PA N , W arszaw a 1995.

7. Ł upieżow iec M.: Lepkoplastyczny model ośrodka gruntow ego, II sesja doktorantów W ydz. Budow nictw a, W isła 2001, str. 295-304.

8. P erzy n aP .: T eoriaL epkoplastyczności, PW N, W arszaw a 1966.

9. V aid Y. P., Cam panella R. G.: T im e-dependent behaviour o f undisturbed clay, Journal of the G eotechnical E ngineering D ivision, 1977str. 693-709.

10. W innicki A.: V iscoplastic consistency model - basic features, E uropean Conference on Com putational M echanics, K raków 2001.

Recenzent: Prof. dr hab. inż. Ryszard Izbicki

A bstract

In the paper there is presented the viscoplastic constitutive model, w hich is generalisation o f th e M CC model. It are extended yield surface equation and hardening rule. The last equation is created according to D ragon and M roz [5], The other equations are the same as in the M CC model. There is show ed constitutive expressions and also num erous algorithm to solve the problem and there is done the sim ulation o f shear test the sam ple into the triaxial apparatus by various strain rates. It is got the satisfied qualitative conform ity with the laboratory tests. The next step should take the more com plicated model and design determ ination m aterial constants.