ANTONI ŁOMNICKI
P R O F E S O R P O L IT E C H N IK I LW O W SK IEJ
R A C H U N E K R Ó Ż N I C Z K O W Y 1 C A Ł K O W Y
DLA P OT R Z E B P R Z Y R O D N I K Ó W I T E C H N I K Ó W
TOM I
RACHUNEK RÓŻNICZKOWY
KRAKÓW 1935
N A K Ł A D E M P O L S K I E J A K A D E M J I U M I E J Ę T N O Ś C I S K Ł A D G Ł Ó W N Y W K S I Ę G A R N I G E B E T H N E R A I W O L F F A
W A R S Z A W A - K R A K Ó W — Ł Ó D Ź — P O Z N A Ń — W I L N O — Z A K O P A N E
P o l s k i e j A k a d e m j i U m i e j ę t n o ś c i
(D o n a b y c ia )
P ism a Marjana Sm oluchow sklego wydane z polecenia Polskiej Akademji
Umiejętności, Kraków 1924—1928. **
3 tomy ...1 2 '—
Rozprawy W ydziału m atem atyczno-przyrodniczego Akad. Umiej.:
tomy 1—20, 25 po 6 -—
tomy 30, 31, 32 po 5 '—
tomy 38, 39, 4 0 ... po 5 -—
Serja A (n a u k i m a te m a ty c z n o - fiz y c z n e )
tomy 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 po 6 '—
tomy 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, tom 22
A i B (ra ze m ) 1 ... po 6‘—
tomy 23/24 A i B (ra ze m ), 25/26 A i B (r a ze m ) 27 A i B
( r a z e m ) ... po 10'—
* Serja B obejmuje nauki przyrodnicze.
R o z p r a w y W y d z ia łu m a te m a t.- p r z y r o d n . P o ls k ie j A k a d e m ji U m ie ję tn o ś c i.
O g ó ln e g o z b io r u to m 6 8. D z ia ł A i B. (S e rja III. Tom 28 A i B).
Dz. A. N r 1. K. Ż o r a w s k i : O pewnych przekształceniach czterowym ia- zł rowej przestrzeni, będących w zw iązku z w łasnościami fnnk- cyj zm iennych zespoionych ... 1*—
Nr 2. J . M o r o z o w i c z : O składzie chemicznym nefelinu skało- t w ó r c z e g o ... I -—
Nr 3. L u d o m i r S a w i c k i Przyczynki do znajomości jezior naszych Kresów Wschodnich ... 3 '—
Dz. B. Nr 1. S t. H i l l e r : Wpływ głodu na regenerację u aksolotla . . 1-—
Nr 2. B. K ą c z k o w s k i : Studja nad w ełną owiec ras i odmian iniojscowych p o l s k i c h ... 2'—
Nr 3. B. P a w ł o w s k i : Elem enty geograficzno i pochodzenie flory tatrzańskiego p iętra turniowogo ... 2‘—
Nr 4. W a n d a K a r p o w i c z ó w n a : B adania nad rozwojem przed- rośli oraz pierwszych liści sporofitu paproci krajowych (Po- lypodiaceae) ...4-—.
Nr 5. J a n i n a J e n t y s - S z a f e r o w a : Budowa błon pyłków le
szczyny, woBkownicy i europejskich brzóz oraz rozpoznawa
nie ich w stanie k o p a l n y m ...4 '—
Nr 6. T a d e u s z M a r c i n i a k : Uwagi do unerw ienia i morfologji krótkiej głowy mięśnia dwugłowego uda u człowieka . . . 1 '—
Nr 7. T a d e u s z M a r c i n i a k : O unerwieniu poprzecznego mięśnia podbródka i o odmianach tego m ięśnia u człowieka . . . 1-50 Nr 8. T a d e u s z M a r c i n i a k : O ta k zwanem wstępowania rdzenia
kręgowego u płodów ludzkich ...2 '—
Nr 9. S t. S n i e s z k o : W pływ koncentracji jonów wodorowych w poźywco na wzrost bakteryj brodawkowych z fasoli, koni- czu czerwonego, grochu ogrodowego i wyki zimowej . . , 1'50
ANTONI ŁOMNICKI
P R O FE S O R PO L IT E C H N IK I LW O W SK IEJ
R A C H U N E K R Ó Ż N I C Z K O W Y I C A Ł K O W Y
DLA PO T R Z E B P R Z Y R O D N IK Ó W I T E C H N I K Ó W
TOM I
RACHUNEK RÓŻNICZKOWY
KRAKÓW 1935
N A K Ł A D E M P O L S K I E J A K A D E M J I U M I E J Ę T N O Ś C I S K Ł A D G Ł Ó W N Y W K S I Ę G A R N I G E B E T H N E R A I W O L F F A
W A R S Z A W A - K R A K Ó W - Ł Ó D Ź - P O Z N A Ń - W I L N O - Z A K O P A Ń E
D ru k a rn ia U n iw e rs y te tu J a g ie llo ń sk ie g o pod zarząd em J . F ilip o w sk ieg o .
r
3>
Niniejszy podręcznik jest przeznaczony dla tych wszystkich, którym- matematyka wyższa jest potrzebna jako niezbędne narzędzie pracy, a więc przedewszystkiem dla techników, przyrodników w najszerszem tego słowa znaczeniu (t. j. astronomów, fizyków, chemików, biologów i t. d.), dla geografów i dla tych, którzy się posługują w swych badaniach meto
dami statystyki matematycznej. Potrzebę takiego podręcznika motywo
wałem Diedawno obszernie w X IV t. „Nauki Polskiej“ w artykule p. t.
O potrzebach matematyki stosowanej 10 Polsce. Wobec tego pozwolę sobie powtórzyć tutaj odpowiedni ustęp z tego artykułu.
„W prawdzie w literaturze podręcznikowej — zwłaszcza niemieckiej — roi się od tego rodzaju podręczników ( P e r r y , L o v e , N e r n s t - S c h ö n- f l i e s , K i e p e r t - S t e g e m a n , S c h e f f e r s , C z u b e r , R o t b e , S a l p e t e r , Vo g t , Z o r e t t i , V i v a n ti, C o u r a n t , W a l t h e r i wiele innych), niektóre z nich zawierają nawet bardzo udatne rozdziały i interesujące metody wykładu, jednakże żaden z nich jako całość nie jest, mojem zda
niem, zadowalającem rozwiązaniem tej kwestji. Jedne z nich, ściśle abstrak
cyjne, nie liczą się zupełnie z potrzebami tych, dla których są przezna
czone, ani z potrzebami matematyki stosowanej; inne, przeciwnie, są tak przeładowane treścią niematematyczną, że rozrzucona wśród niej treśó matematyczna usuwa się na daleki plan a myśl przewodnia wykładu- zatraca się i gmatwa beznadziejnie w tym pstrokatym labiryncie; inne znowu zajmują się tylko samym nagim algorytmem analizy wyższej, ni&
troszcząc się ani o dowody ani o zastosowania. W niektórych podręcz
nikach utrudniono i zaciemniono wykład przez dziwaczny układ treści, wykładając np. najpierw rachunek całkowy a potem dopiero różniczkowy;
niektóre podają zanadto skromny materjał, a są i takie, które podają wprost błędne twierdzenia i posługują się porzuconemi już dawno przez świat naukowy pojęciami i metodami. Nie znajduję wśród tej powodzi pod ezników żadnego, któryby w dostatecznej mierze łączył przystęp- nośó i jasność z nieodzowną ścisłością a zarazem był od początku do końca interesujący i zawierał chociażby w grubszych zarysach całokształt
metod potrzebnych przyrodnikom i technikom. Podręcznik taki powinien być popularny w tem znaczeniu, że powinien nawiązywać bezpośrednio do wiadomości, zdobytych przez przeciętnego ucznia w szkole średniej typu matematyczno-przyrodniczego lub nawet humanistycznego. Musi on być tak ułożony, aby przy jego pomocy czytelnik mógł naprawdę nau
czyć się różniczkować i całkować, rozwijać funkcje na szeregi, rozwiązy
wać najprostsze równania różniczkowe i przeprowadzać dyskusję nad funkcjami; aby posiądł gruntownie pojęcie granicy, pochodnej, całki, krzy
wizny i t. p., tak gruntownie, by je mógł następnie samodzielnie stoso
wać do ujmowania przebiegu zjawisk we wzory matematyczne; musi nauczyć czytelnika rozwiązywać każde z poruszonych w tekście zagad
nień — aż do szczegółowych wyników liczbowych włącznie. Jedynie har
monijne, taktowne połączenie tych wszystkich wymagań może stworzyć podręcznik pożyteczny i chętnie używany przez tych wszystkich, którzy muszą stosować matematykę w swych badaniach i pracach a nie mają ani czasu ani ochoty gubić się w bardzo subtelnych a do tych celów niepotrzebnych dociekaniach abstrakcyjnych. Dzisiejszy sposób wykłada
nia matematyki dla techników i przyrodników z katedry i w podręcz
nikach nie liczy się dostatecznie z temi wszystkiemi wymaganiami, to też studenci odchodzą przeważnie rozczarowani i zniechęceni od wiel
kiego ołtarza matematyki wyższej, do którego ich z taką usilnością zapro
szono. Stąd też powstaje tak bardzo u nas rozpowszechnione wśród inży
nierów, przyrodników, geografów i innych narzekanie na nadmierną trudność matematyki, na jej nieprzydatność w konkretnych zagadnieniach, na bezpłodność wybujałych tendencyj abstrakcyjnych w matematyce i na wygórowane wymagania profesorów matematyki przy egzaminach.
Brak takiego podręcznika uważam za najdotkliwszy brak matema
ty k i stosowanej“.
Temi myślami przewodniemi kierowałem się przy układaniu podręcz
nika. Największą trudność sprawiało przy tem połączenie ścisłości z łatwością i przystępnością wykładu. Trudność tę starałem się częściowo przynajmniej usunąć przez umieszczenie subtelniejszych dowodzeń w ustępach druko
wanych drobnym drukiem : w ten sposób czytelnik, któremu zależy tylko na poznaniu i stosowalności danego twierdzenia, będzie mógł pominąć rozmaite trudniejsze dowody.
Zakładam, że czytelnik posiada wiadomości z matematyki w zakresie azkoły średniej a w szczególności, że zna dokładnie elementarną trygo- nometrję i posiada wiadomości początkowe z geometrji analitycznej płaskiej.
Tom I składa się z trzech części. Część 1 poświęcona jest pojęciu funkcji i granicy. Dla czytelnika, który przeszedł w ostatnich klasach systematycznie kursy matematyki według najnowszych programów, zawar
tość Części I będzie tylko powtórzeniem i uzupełnieniem nabytych wiado
mości. Dla innych czytelników materjał wyłożony w tej pierwszej części jest zasadniczą podstawą do zrozumienia wszystkich dalszych części. Grun
towne opanowanie pojęcia granicy sprawia początkującym zwykle bardzo znaczne trudności, dlatego też poświęciłem tym kwestjom bardzo wiele miejsca.
Część II zawiera rachunek różniczkowy jednej i więcej zmiennych.
Można rozpocząć studjum odrazu od drugiej części, uzupełniając w miarę potrzeby luki w wiadomościach przez studjowanie odpowiednich ustępów z pierwszej części: liczne odsyłacze w tekście służą do ułatwienia tego- sposobu studjowania. Część III zawiera rozmaite zastosowania rachunku różniczkowego.
Tom I I będzie zawierał rachunek całkowy, szeregi nieskończone, równania różniczkowe i zasadnicze wiadomości z geometrji różniczkowej przestrzennej. Ponadto, na końcu tomu drugiego znajdą się krótkie roz
działy o wyznacznikach, wektorach i liczbach zespolonych.
Umysłom, wprawionym w abstrakcyjne myślenie, wyda się niewąt
pliwie metoda wykładu, stosowana w tym podręczniku, nader rozwlekłą, jednakże długoletnia praktyka wykazała, że w ten właśnie sposób naj
lepiej trafia się do przekonania tym, dla których matematyka jest tylko środkiem a nie celem.
Przy układaniu podręcznika korzystałem oczywiście wydatnie z nad
zwyczaj obfitej literatury, szczególniej w obcych językach. Z naszej litera
tury wymienię tu tylko: Kurs Analizy prof. W. S i e r p i ń s k i e g o , zwięzły podręcznik prof. S. B a n a c h a p. t. Kachunek różniczkowy i całkowy, tom I i prof. A. H o b o r s k i e g o Matematykę wyższą. Z niemieckiej literatury, obok starszego podręcznika K i e p e r t a - S t e g e m a n n a wymienię tu dziełar S c h e f f e r s a , K o w a l e w s k i e g o , M a n g o l d t a oraz H. R o t h e g o Höhere Mathematik, tom I i II. Z francuskiej literatury wymienię tylko:
de la V a l l é e - P o u s s i n ’a Cours d’Analyse Infinitésimale, tom I i II i V e s s i o t - M o n t e l ’a Cours de Mathématiques Générales, 2 tomy.
Przy redakcji i korekcie byli mi pomocni p. doc. dr S. K a c z ma r z : i p. doc. dr W. O r l i c z , którym zawdzięczam bardzo wiele cennych uwag i poprawek.
Rysunki wykonał p. mgr K. D y b a .
’
• :
‘ " -V ' ; ' V : ' r(f: ; ■•■; • :' . •' • • f : - :' {'. •,• ,-v::
. inaąfii:/-'
f'i i i ' ■■ filr ä ß i < ■; l >
• ' ' ■ ax.;- » :¡! - • i • ••■■:
f '- I - ' ' : • • ■ ’ > II: '. ■■■■' .
■
, í • ? ¿ i £ i f fí '.
’ * ' “ ■, r ’ • A - I " V I ' 5 * *> <■ 1 ? ) \
'
.
i,
"•
; ■■ - - ■■•••■ ' *:!h- ;■ , - . •
- V.:;.: B
■ V ' V • : .
V-; ■ ' •; i'Xk •' 7
" ¿ ' V . í : 0 - :• , , A r f
Zadaniem nauk przyrodniczych i technicznych jest poznanie i wy
zyskanie praw przyrody. Praw a te uważamy dopiero wtedy za dostatecz
nie zbadane, gdy zostały ujęte we wzory matematyczne, podające związki pomiędzy badanemi wielkościami; dopiero bowiem liczbowe ujęcie tych zależności pozwala ściśle przewidzieć przebieg zjawiska i wyzyskać je ekonomicznie. Toteż spółczesne podręczniki fizyki, budowy mostów, teorji maszyn, elektrotechniki, biologji i t. p. roją się od różnorodnych wzorów matematycznych.
Niektóre prawa przyrody dadzą się ująć w proste wzory, zrozumiałe już na średnim stopniu nauki, ja k o tern świadczą następujące przykłady.
a) Ciało rzucone pionowo do góry z prędkością początkową c poru
sza się — o ile nie uwzględniamy oporu powietrza i innych ubocznych wpływów — według prawa:
(a) s = ct — \ g f i
W tym wzorze t oznacza liczbę sekund, s długość drogi przebytej w tych t sekundach a g jest przyśpieszeniem siły ciężkości ziemi.
Np. dla prędkości początkowej c = 4 0m /sek i przyśpieszenia g =
= 10 m /seks otrzymalibyśmy wzór:
(b) s = 4 0 i — 5 i2 'V
b) W ychylenie s punktu drgającego ruchem harmonicznym prostym przedstawia się wzorem:
(c) s = a sin —
gdzie t oznacza czas, który upłynął od chwili przejścia punktu przez położenie równowagi, T okres jednego pełnego drgania, a a amplitudę, t. j. największe odchylenie od położenia równowagi. Liczba jest tu łukową miarą pewnego kąta.
c) Natężenie: i prądu elektrycznego stałego (liczbę Amperów) obli
cza się przy pomocy wzoru:
Rac hune k różniczkowy i cał kowy. 1
tryczny (liczbę Ohmów).
Przy głębszem studjum praw przyrody spotykamy się nieraz z znacz
nie zawilszemi wzorami, których samo już odczytanie wymaga rozleglej- szych wiadomości z matematyki, jak to widać z następujących przykładów.
d) N e w t o n podał następujące prawo ostygania ciał:
(e) T = T 0e~“
Tutaj T0 oznacza początkową nadwyżkę tem peratury ciała ponad tempe
raturę otoczenia, T nadwyżkę po t sekundach a c jest liczbą stałą dla danego ciała. Litera e, występująca w tym wzorze, jest to t. zw. zasada logarytmów naturalnych; jej wartością z dokładnością 5 miejsc po kropce dziesiętnej jest 2‘71828.
e) Łańcuch lub lina, zwisająca swobodnie między dwoma punktami, leżącemi w tym samym poziomie (por. fig. 1), przybierają postać linji krzywej o równaniu:
(f) y — c coshyp —
gdzie symbol: coshyp oznacza t. zw.
funkcję hiperboliczną, przedstawia
jącą się wzorem:
(g) coshyp z = $(e‘ -f- e~2) Liczba c podaje wzniesienie naj
niższego punktu ponad poziom:
z/ = 0 ; e jest tu, podobnie jak w poprzednim przykładzie, zasadą logarytmów naturalnych.
f) W zór na natężenie prądu
elektrycznego zmiennego, w któ
rym napięcie V zmienia się z czasem perjodycznie według prawa (si
nusowego):
V — V0 sin a t
(V0 oznacza największe napięcie, t czas wyrażony w sekundach, a liczbę stałą, charakteryzującą długość perjodu), ma następującą, dość skompliko
waną postać:
(Ł)
Vnr * sin I a i — arctg(a a l r l -)- ¿‘ a1
Tutaj r oznacza opór a l spółczynnik indukcji własnej.
W yrażenie: arctg oznacza funkcję odwrotną względem znanej z try- gonometrji funkcji tungens.
Istnieje bardzo wiele wielkości, mających pierwszorzędne znaczenie w zastosowaniach, które wyrażamy wzorami o wiele bardziej skompliko- wanemi, a mianowicie: szeregami nieskoóczonemi, różniczkami i całkami (np. ogólne wzory na drgania ciał, wzory na przyrosty ilości ciepła i energji w procesach termodynamicznych, momenty statyczne, momenty bezwładności, spółrzędne środków ciężkości).
Dokładne badanie takich wyrażeń przekracza już zupełnie ramy matematyki elementarnej.
W idzimy stąd, że przyrodnik i technik muszą posiąść pewien zasób wiadomości z matematyki wyższej już choćby w tym celu, by umieli podstawiać wartości, wskazane przez konkretne zagadnienia techniczne, w znane wzory i umieli z nich obliczyć potrzebne wielkości.
Na następującym przykładzie (zaczerpniętym z termodynamiki) mo
żemy się przekonać, że sprawa ta nie zawsze jest tak prostą, jak się wydaje na pierwszy rzut oka. Niechaj wielkość y będzie związana z wiel
kością x zapomocą wzoru:
x
W y =
Co się dzieje z wielkością y, gdy x maleje do zera? Gdybyśmy spróbo
wali wprost podstawić x == 0, otrzymalibyśmy po prawej stronie w yra
żenie jj- pozbawione określonego sensu; tymczasem z dość prostych roz
ważań matematyki wyższej okaże się (por. § 165), że, gdy x dąży do 0, to y, określone wzorem (i), dąży do ściśle określonej wartości:
— 1 :lo g ,2 = — 1 : 0 6 9 3 1 . . . = — 1-41...
(Zalecamy czytelnikowi sporządzić wykres tej funkcji zwłaszcza dla war
tości x bliskich zeru).
Niewolnicze stosowanie wzorów gotowych nie wystarcza jednak nawet w ściśle praktycznych zagadnieniach. Zadaniem inżyniera lub przyrodnika jest bowiem także zorjentowanie się, jak i wpływ ma zwięk
szanie lub zmniejszanie jednych wielkości na zmianę innych, związanych z niemi zapomocą znanych wzorów matematycznych. W szczególności bardzo pospolitem zagadnieniem praktyki inżynierskiej jest zbadanie, ja k należy obrać pewne dowolne wielkości, aby inne zależne od nich wielkości przybrały wartość największą lub najmniejszą.
Przykłady, a) Koszty k transportu prądu elektrycznego o maksy- malnem natężeniu i Amperów kablem o przekroju s cm 2, a o danej dłu- 1*
gości, wyrażono1) następującym wzorem:
(k) i = a y - j - 6 s 4 - i - '
gdzie i, a, b, c, są liczbami stalemi. Jak wielki należy obrać przekrój kabla, aby koszty transportu były możliwie najmniejsze? Odrazu nie można na to pytanie odpowiedzieć, bo, gdy s rośnie, to pierwszy wyraz: — maleje a drugi: bs rośnie równocześnie. Zobaczymy później (por. § 150, Przykład 8), jak łatwo da się rozwiązać takie zagadnienie przy użyciu metod matematyki wyższej.
b) Belka, jednym końcem wmurowana a na drugim podparta, wy
gina się wskutek własnego ciężaru. Oznaczmy literą x odległość od miejsca wmurowania, a literą y wielkość ugięcia w tern miejscu, t. j. odchylenie od poziomu punktu wmurowania. Zbadano, że między wielkościami x i y zachodzi w tym wypadku związek, wyrażony wzorem:
/ 3 a:2 2 x i \
(1) y = = _ . c ^ _ _ _ + _ j
gdzie l oznacza całkowitą długość belki od punktu wmurowania do punktu podparcia, c jest liczbą stałą. Zachodzi pytanie, w którem miejscu ugięcie belki jest największe.
c) Zmierzono kilkakrotnie jakąś długość i otrzymano kilka liczb różnych od siebie wskutek nieuniknionych błędów przy pomiarze, a mia
nowicie:
a, = 23728-402. a2 = 23728-389, a3 = 23728-363, a4 = 23728-391, o6 = 23728-397.
Za najodpowiedniejszą uważa się taką wartość x, dla której suma kw a
dratów błędów, t. j.:
(m) y = {x — a4y - f {x — a*)2 + (x — as)2 -(- (x — a4)2 + {x — a6)2 ma możliwie najmniejszą wartość. J a k obrać x ? (por. § 151).
Bardzo nieudolnym sposobem rozwiązywania takich zagadnień by
łoby wykonywanie prób przez podstawianie rozmaitych liczb za szukane wielkości. Natomiast umiejętne ujęcie takiego problemu polega na dyskusji odpowiednich wzorów matematycznych, a to wymaga już nieco głębszych wiadomości z matematyki.
Na tern jednak nie kończy się rola matematyki jako niezbędnego narzędzia pracy badacza lub inżyniera. Jeszcze gruntowniejszej wiedzy matematycznej trzeba bowiem do zrozumienia dowodów tych wszystkich
*) S. O. W y s o c k i . Obliczanie przew odów elektrycznych. W arszaw a (bez p o d a n ia daty), str. 122 i nast.
nia różnorodnych przedmiotów technicznych i przyrodniczych zarówno w czasie studjów na uczelniach wyższych, jak i później, przy śledzeniu postępów nauki i techniki.
Ostatnim wreszcie, najdalej idącym celem studjum matematyki dla inżyniera i przyrodnika jest przygotowanie go do samodzielnej, twórczej pracy naukowej. Do takich zaś badań trzeba zdobyć nietylko wiele wia
domości z matematyki, lecz przedewszystkiem wyrobić sobie metodę ścisłego ujmowania problemów i ścisłego rozumowania o kwestjach ma
tematycznych.
Z tych wszystkich powodów odgrywa studjum matematyki tak ważną rolę w naukach technicznych i przyrodniczych i tak wiele miejsca poświęca się temu studjum w uczelniach wyższych.
Uwagi powyższe odnoszą się do wszystkich nauk, posługujących się matematyką.
O funkcjach i granicach.
R O Z D ZIA Ł I.
P o ję cie fu n k cji. S p o so b y p rz e d sta w ia n ia fu n k cy j.
P od ział fu n k cy j.
U s t ę p I.
P O J Ę C I E F U N K C JI.
§ 1. Pojęcie funkcji jednej zmiennej.
1. Zastanówmy się przedewszystkiem, w jakim kierunku należy uzupełnić i rozszerzyć wiadomości nabyte z matematyki elementarnej w szkole średniej. We wstępie postawiliśmy sobie za zadanie dokładne zrozumienie i dyskutowanie takich wzorów jak (a) — (m). W szystkie te wzory podają związki między pewnemi wielkościami zmiennemi, pozwa
lające dla pewnych znanych wartości jednych wielkości obliczyć odpo
wiednie wartości drugich.
Tak np. z wzoru (b) możemy dla każdej wartości t obliczyć odpo
wiednią długość drogi:
(b) s = 40 i — 5 i2
Litera t oznacza tu dowolną liczbę nieujemną: całkowitą dodatnią czyli naturalną lub zero, lub ułamkową, lub niewymierną, a także dla liczb ujemnych otrzymujemy zawsze ściśle określoną wartość s, jakkolw iek wtedy już s i t nie mają tego samego znaczenia fizykalnego, co poprzed
nio, przy dodatniem t.
Uwaga. W szy stk ie liczby w ym ierne i niew ym ierne (dodatnie, ujem ne i zero) nazyw am y liczbami rzeczyw istym i.
Litera s oznacza tylko te liczby, które wypadną z wyrachowania prawej strony wzoru (b). Każda wartość przedstawiona literą s zależy zatem od wartości nadanej dowolnie literze t. Z tego powodu nazywamy
tu t zmienną niezależną a s zmienną zależną od zmiennej t, czyli funkcją zmiennej t i piszemy krótko:
s = f{t)
'/o t - Czytamy to: „s jest funkcją tu.
Jeżeli za t obierzemy jakąś wartość szczegółową, np. t = 3, to od
powiednią wartość s oznaczamy symbolem /'(3), który otrzymujemy z sym
bolu /(i), zastępując w nim literę t liczbą 3. T ak więc w naszym przy- &0-
kładzie (b) jest: ,) y -
/(3 ) = 40 • 3 - 5 - 32 = 75
Podobnie biorąc t — 0, otrzymamy z naszego wzoru s = 0, więc / ’(0) = 0;
dla t — 8 otrzymamy także s = 0 (sprawdzić!), więc / ( 8) = 0.
Uwaga. T e w artości zmiennej niezależnej, dla których zm ienna zależna p rzy j
m uje w artość zero, nazyw am y m iejscam i zerowem i fu n k c ji f( t) lub p ierw ia stka m i rów nania: f ( t ) = 0. T a k więc d la funkcji określonej wzorem (b) miejscami zerowemi ea t = 0 i t = 8.
2 . Takie same określenia i sposoby oznaczania dotyczą wzorów (c), (e), (1); tak np. wzór (c):
. . 2n t
(c) s — a sin
T możemy zanotować krótko:
s = F(t)
przyczem użyliśmy litery F a nie f aby zaznaczyć, że mamy tu do czy
nienia z inną funkcją, aniżeli we wzorze (b). W zór (e) możemy przed
stawić np. w postaci: T = /) ( £ ) , wzór (1): y — <p{pc). Używa się często na oznaczenie związków funkcyjnych także innych liter, np. g, h, ip, %.
3. Nieco odmiennie zachowują się wzory (i) i (k). Tak np. wzór:
<i) y 1— 2"
podaje wartość y dla każdej wartości x, z wyjątkiem wartości x = 0 t a podobnie wzór (k) podaje wartość k dla każdej wartości s z wyjątkiem s = 0. Tutaj więc nie do każdej wartości zmiennej niezależnej należy ściśle określona wartość zmiennej zależnej. Pomimo to i teraz y, wy
stępujące we wzorze (i), nazywamy funkcją zmiennej x; oznaczmy tę funkcję np. symbolem: y — g{x). Podobnie ma się rzecz z wzorem (k).
Widzimy zatem, że w pojęciu funkcji nie mieści się żądanie, aby każdej wartości zmiennej niezależnej odpowiadała jakaś wartość zmiennej zależ
nej: pewne bowiem wartości zmiennej niezależnej można pominąć.
Jeszcze dobitniej występuje ten fakt przy znanej z trygonometrji funkcji tangens, t. j. przy:
y = t g x
(Niechaj czytelnik przypomni sobie z szkoły średniej wykres tej funkcji!).
Tangens jest określony dla wszystkich wartości x z wyjątkiem nieskończenie wielu wartości:
x — 9 0 °, — 9 0 ° , 2 7 0 ° , — 2 7 0 ° , 4 5 0 ° , — 4 5 0 ° , . . . ,
które można ująć w następujący wzór ogólny:
* = ( 2 » + l ) 9 0 °
lub w mierze łukow ej1):
* = (2 » + 1) |
gdzie n oznacza dowolną liczbę całkowitą (dodatnią, ujemną lub zero).
Dla tych nieskończenie wielu wartości tangens nie ma żadnej wartości, a pomimo to tangens jest funkcją zmiennej niezależnej x.
4 . Zakres wartości zmiennej niezależnej może być jeszcze ciaśniej- szy. Tak np. z wzoru:
(n) y — \ 4 — x i
otrzymujemy rzeczywistą wartość na y tylko wtedy, gdy wyrażenie pod pierwiastkiem jest nieujemne, t. j. dodatnie lub zero, a to ma miejsce tylko dla takich z, które spełniają w aru n k i:
( w) - 2 S a : ^ - f 2
Uwagi. 1) W szystkie liczby, zaw arte między dw iem a liczbam i a i i , nazyw am y p rzedziałem otwartym-, (o, 6); t a nazw a m a nam przypom inać znane geom etryczne przedstaw ienie ty ch w szystkich liczb zapom ocą punktów odcinka na „osi liczbow ej“.
Z tego też pow odu często zam iast: „liczba x u mówimy „ p u n k t x '1. Jeżeli zaliczam y do przedziału także sk ra jn e liczby a i ó, to przedział nazyw am y zam kniętym i ozna
czam y go sym bolem < jo, & >. W a ru n k i (w) możemy zatem w ypow iedzieć w n astęp u ją c y sposób: „x leży w przedziale zam kniętym <^— 2,
Czasem rozw aża się przedział z jednej stro n y otw arty a z drugiej zam knięty, np. zbiór liczb x , spełniających w arunki — 2 < a : 5 S 2 ; tak i przedział oznaczam y sym bo
lem (— 2, 2 > , ogólnie (a, ój>. K ażd y przedział otw arty, którego środkiem je s t p u n k t a, nazyw am y otoczeniem p u n k tu a. P ró cz tych przedziałów właściwych rozw aża się też często przedziały niewłaściwe. T a k np., jeżeli nam chodzi o w szystkie liczby x większe od ja k ie jś stałej liczby a, to mówimy, że te x tw orzą przedział niewłaściwy od a do nie
skończoności w kierunku dodatnim ; taki niew łaściw y przedział oznaczam y sym bolem (o, -f- o o ). P odobnie w prow adza się niew łaściw y przedział (— o o , a) na oznaczenie zbioru w szystkich liczb x spełniających w arunek x <( a. W końcu przedział niew łaściw y (— c o , -f- c o ) oznacza zbiór w szystkich wogóle liczb rzeczyw istych. N ależy pam iętać 0 tem , że sym bole -f- c o i — c o nie oznaczają żadnych liczb, lecz są ty lk o skróce
niam i, w yrażającem i pew ne zachow anie się zmiennej.
2) D la liczb x , większych od 2 lub m niejszych od — 2, nie otrzym ujem y z w zoru
‘) N iechaj czytelnik pow tórzy sobie ze szkoły średniej definicję m iary łukow ej 1 w zory służące do zam iany m iary stopniow ej na łukow ą i odw rotuie, a m ianow icie:
. W . = J 1 = 0-01745 32252 5 1 ... t t & j M & i 1 r<p%n = 57°17'44-806247..
(n) żadnych w artości na y, o ile się ograniczam y do liczb rzeczywistych. D opiero w szerszym zakresie liczb urojonych i zespolonych otrzym am y także dla
i x < — 2 na y w artości, b ędą to je d n a k w artości urojone (Zasadnicze wiadomości o liczbach urojonych i zespolonych znajdzie czytelnik w D odatku do II tomu). N arazie będziem y się w naszych rozw ażaniach zajmowali w yłącznie liczbami rzeczy wistem i : liczby urojone i zespolone nie będą dla nas istniały. T o znaczy, jeżeli pow iemy, że istnieje liczba spełniająca ja k ie ś dane wrarunki, to będziemy mieli na myśli liczbę rze
czyw istą; jeżeli zaś ja k ie ś zagadnienie posiada jako rozw iązanie tylko liczbę u ro jo n ą lub zespoloną, to pow iem y, że to zagadnienie nie m a rozw iązania (naturalnie rzeczy
wistego). Będziem y się więc narazie zajm owali tylko rzeczyw istem i fu n k c ja m i zm ien nych rzeczywistych. D opiero w późniejszych rozdziałach rozszerzym y nasze rozw ażania także na zm ienne urojone i zespolone, albow iem i tak ie zm ienne w y stęp u ją niekiedy w konk retn y ch zagadnieniach technicznych (np. w geodezji, w elektrotechnice).
5. Z przykładu omówionego poprzednio widzimy, że zakres wartości dopuszczalnych dla zmiennej niezależnej może być bardzo ograniczony, może bowiem być nawet dowolnie małym przedziałem. Mimo to i w tym przypadku nazywamy y funkcją zmiennej x.
Jeszcze szczuplejszy zakres zmienności ma zmienna niezależna w na
stępujących przykładach.
a) Niechaj n oznacza dowolną liczbę naturalną, a y sumę wszyst
kich liczb szeregu naturalnego od 1 do w włącznie t. j.
y = l + 2 - j - S + . . . + ( » - l ) + #
Stosując t’u znany z elementarnej matematyki wzór na sumę n wyrazów postępu arytmetycznego:
>trzymujemy na y prostszy wzór:
S n 2 a
n[n 4 -1 )
w y = —
Do każdej naturalnej liczby n należy tu ściśle określona liczba y.
Także i teraz nazywamy y funkcją zmiennej n , jakkolw iek zmienna nie
zależna przebiega tylko liczby całkowite dodatnie. Tutaj we wzorze (A) możnaby wprawdzie podstawiać za n także liczby ujemne i ułamkowe i zawsze otrzymalibyśmy jakąś wartość y, nie miałaby ona jednak żad
nego związku z żądaniem wypowiedzianem na początku tego przykładu.
Podamy także takie przykłady, w których za zmienną niezależną można podstawić wyłącznie tylko liczby naturalne.
b) Niechaj n oznacza dowolną liczbę naturalną, a y iloczyn wszyst
kich liczb szeregu naturalnego od 1 do n włącznie, t. j.
y = 1 • 2 • 3. . . (n — !)• n
Taki iloczyn oznaczamy krótko symbolem n! i czytamy: „n silnia
A więc:
y = n !
Nie mamy na to wyrażenie podobnie prostego wzoru jak np. (A).
Obliczenie n! dla wielkich wartości, np. dla n — 1000 000 000 sprawia ogromne trudności.
Tutaj także uważamy y za funkcję zmiennej n, jakkolw iek ta zmienna przebiega tylko liczby naturalne: 1, 2, 3 ,..., a niema żadnego sensu obieranie za n liczby ułamkowej lub ujemnej, wtedy bowiem y nie ma żadnej określonej wartości.
c) Może się zdarzyć, że zakres istnienia funkcji składa się z skoń
czonej ilości liczb, a nawet z jednej tylko liczby. Tak np. funkcja okre
ślona wzorem:
y = \ — x*
istnieje tylko dla jednej wartości x, a mianowicie tylko dla x — 0.
Funkcja:
y = \ — x*(x — 1 )*
istnieje tylko dla dwóch wartości zmiennej niezależnej, a mianowicie tylko dla x = 0 i x — 1. Czytelnik może z łatwością skonstruować takie przykłady, w których funkcja jest określona tylko dla trzech, czterech i t. p. liczb.
Aby więc stworzyć najogólniejsze pojęcie funkcji jednej zmiennej x, trzeba dopuszczać dla zmiennej niezależnej wszelkie możliwe zbiory liczb.
Do każdej liczby, należącej do takiego zbioru, ma należeć jakaś wartość zmiennej zależnej czyli funkcji.
6 . W omówionych dotychczas przykładach zależność funkcyjna była podana zapomocą jednego wzoru matematycznego. Zdarza się jednak często, że do określenia funkcji używa się 2, 3 i więcej wzorów, jak to zobaczymy w następujących przykładach.
a) Niechaj y = -j- x. gdy x jest liczbą dodatnią lub zerem, a y = — x, gdy a : S 0 . Tę funkcję nazywamy bez
względną wartością zmiennej x. Ma ona zawsze wartość nieujemną. Na fig. 2 jest przedstawiony obraz graficzny tej funkcji:
jest to linja łamana.
Oznaczamy tę funkcję symbolem |a:|.
Więc:
-Fi« 2 . . I y = + x dla
s ' = | * ] to * " » « y { — * „ l S 0 . Przy pomocy tego symbolu wyraża się w prosty sposób rozmaite nierówności.
7
\ v
ą /1
/
X 0
Tak np. dwie nierówności — 2 można zastąpić jedną nierównością:
\ x \ ^ 2
dwie nierówności: a; > 2 i x < — 2 można zastąpić jedną nierównością:
\x\ > 2
Znaku tego używa się bardzo często przy dyskusjach arytmetycznych.
b) Określmy funkcję y trzema następującemi wzorami:
y = -(- 1 dla x > 0 y — — 1 » * < 0 V = 0 „ x = 0
Obraz graficzny tej funkcji przedstawia fig. 3: jest to linja przer
wana w jednem miejscu. Tę funkcję nazywamy „signum x u, t. j. „znak zmiennej x u i piszemy krótko:
y — sign x.
Użycie tej funkcji jest dogodne
przy rozmaitych dyskusjach, w których odgrywa zasadniczą rolę znak jakiegoś wyrażenia.
c) Przykładem funkcji, określonej zapomocą nieskończenie wielu wzorów, jest t. zw. „całość z x u
czyli największa liczba całko
wita zawarta w x. Nazwijmy tę funkcję:
y = C{x)
Otóż, jeżeli x jest liczbą całkowitą, to C ( x ) = x , jeżeli zaś x jest liczbą ułamkową, to
G{x) < x ale C(x) > x — 1.
Zawsze więc:
x — 1 < C(x) 5S x Wobec tego:
C(x) = 0 dla 0 S * < 1 C(x) — 1 „ l ^ , x < 2 C{x) = 2 „ 2 x ■< 3
\ y3 —
2 ---
i — —
X
-3 -2 - i 0 1 2 3 4
-i
*--- -2
•--- -3
Fig. 4.
C(x) — — 1 dla C(x) = — 2 „
Widzimy zatem, że do określenia tej funkcji użyto nieskończenie wielu wzorów. Graficzny obraz tej funkcji podaje fig. 4. Składa się on z oddzielnych odcinków równoległych do osi ¡r-ów.
Funkcja ta znajduje zastosowanie przy rachunkach liczbowych i roz
m aitych, zagadnieniach z ogólnej teorji liczb.
7. W szystkie funkcje, któreśmy dotychczas omówili, były podane zapomocą wzorów matematycznych, które pozwalały dla rozmaitych war
tości zmiennej niezależnej obliczyć odpowiadające im wartości zmiennej zależnej.
W pojęciu funkcji nie mieści się jednak istnienie jakiegoś wzoru matematycznego, podającego związek zmiennej y ze zmienną x: w ystar
czy sam fakt przyporządkowania każdej badanej wartości x jakiejś war
tości y. Takie zaś przyporządkowanie można uskutecznić zapomocą do
wolnej umowy słownej, jak to zobaczymy w następujących przykładach.
a) Niechaj y będzie zerem dla każdej liczby wymiernej x (t. j. dla liczby całkowitej lub ułamkowej, przedstawionej ilorazem dwóch liczb całkowitych), a jedynką dla każdego niewymiernego x. Znany jest wpraw
dzie wzór dla tej funkcji, jest on jednak tak zawiły, że używanie powyż
szego słownego przepisu jest o wiele prostsze i dogodniejsze przy wszyst
kich rozumowaniach, aniżeli posługiwanie się owym wzorem. Niepodobna zaś podać przejrzystego wykresu tej funkcji, albowiem punkty przedsta
wiające ją leżą wszędzie gęsto na osi a;-ów i wszędzie gęsto na prostej równoległej do osi z-ów w odstępie -}- 1.
b) Pomimo wielu usiłowań nie znaleziono dotychczas wzoru na funkcję, określoną następującą urnową. Niechaj x oznacza dowolną liczbę naturalną a y ilość liczb pierwszych p (t. j. większych od 1 liczb całko
witych, posiadających jako dzielniki całkowite tylko 1 i p) nie przekra
czających liczby x. Tak np. dla x — 8 jest y — 4, ponieważ istnieją tylko 4 liczby pierwsze nie przekraczające 8, a mianowicie: 2, 3, 5, 7.
Nie potrafimy tu w ykryć żadnego wzoru na y, a pomimoto uważamy y za funkcje x , albowiem do każdego x (całkowitego dodatniego) istnieje niewątpliwie odpowiednia wartość y, jakkolw iek przy wielkich x trzebaby wykonać niezmiernie mozolne rachunki, aby obliczyć odpowiednie y. Nie znamy również wzoru na n-tą liczbę pierwszą w naturalnym szeregu liczb. Chodzi tu także o funkcję, albowiem ta umowa przyporządkowuje liczbom n — 1, 2 ,3 ,4 , 5, 6, 7 ,... liczby p = 2, 3, 5. 7 ,1 1 ,1 3 ,1 7 ,..., a więc:
p = /(w)
Z tych wszystkich przykładów wynika, że istotą pojęcia funkcji jest przyporządkowanie dwóch dowolnych zbiorów liczb i to takie, że każdej liczbie jednego zbioru odpowiada ściśle określona liczba drugiego zbioru. Takie przyporządkowanie można często uskutecznić zapomocą
wzoru matemat3rcznego, lecz można je także uzyskać zapomocą umowy słownej, bez żadnego wzoru
Po tych przygotowaniach możemy już wypowiedzieć najogólniejszą definicję funkcji jednej zmiennej niezależnej. Oznaczmy zmienną nieza
leżną literą x a zmienną zależną literą y (taki sposób oznaczania nie jest jednak konieczny!).
Definicja funkcji jednej zmiennej. Weźmy pod uwagę dowolny zbiór liczb i nazwijmy go (X ); jeżeli każdej liczbie x, należącej do tego zbioru, przyporządkujemy ja ką ś liczbę y, to y nazywamy funkcją zmiennej x , określoną w zbiorze (X ) i piszemy:
y = f[cc)
Zbiór (X) nazywamy zakresem istnienia funkcji f{x).
Liczby y, przyporządkowane liczbom x, tworzą też jakiś zbiór: (X), zwany zbiorem wartości funkcji.
Przy takiem przyporządkowaniu może się zdarzyć, że ta sama war
tość y odpowiada różnym wartościom x. Np. wartość s = 0 we wzorze (b) odpowiada dwom różnym wartościom f, a mianowicie wartościom ł = { ) i t = 8; wartość s = 35 otrzymujemy dla t = 7 i dla f = l , i t. p.
Dla funkcji trygonometrycznych ta sama wartość y powtarza się nawet nieskończenie wiele razy, t. j. dla nieskończenie wielu różnych wartości x, wskutek perjodyczności tych funkcyj.
Natomiast jednej wartości x odpowiada w myśl naszej definicji zawsze tylko jedna wartość y. Można wprawdzie rozważać także takie przyporządkowania, że jednej wartości x odpowiadają dwie lub więcej wartości y\ niektórzy autorowie nazywają takie przyporządkowanie funkcją dwuwartościową lub wielowartościową (czyli wieloznaczną). My jednak będziemy w całym dalszym toku rozważali tylko funkcje jednoznaczne.
Jeżeli zaś natrafimy na takie przyporządkowanie, w którem każdej war
tości x odpowiadają dwie wartości y, to powiemy, że są określone dwie różne funkcje.
Tak np. z wzoru:
(r) x i y2 — 4
otrzymuje się:
y — ~ \- \^ — x 2 i y = — \óc — x % Wzór (r) określa więc dwie różne funkcje.
Uwaga. Przez \ a będziem y zawsze w dalszym ciągu rozum ieli tylko dodatnią liczbę, k tó ra podniesiona do k w ad ratu daje a. Symbol \ będzie więc dla nas zawsze jed n o zn a czn y. Nie zw racanie uw agi na tę jednoznaczność może łatw o prow adzić do sprzeczności logicznych, ja k np. w znanych sofizmatach arytm etycznych, prow adzących do błędnego w yniku, że 2 = 1 i t. p.
§ 2. Pojęcie funkcji złożonej.
Bardzo często funkcja y = F(x) jest podana nie wprost, bezpośrednio w zależności od x , lecz za pośrednictwem jakiejś trzeciej zmiennej zależ
nej tak, że skomplikowana zależność funkcyjna jest niejako rozłożona na dwie prostsze funkcje. Pouczają nas o tern następujące przykłady.
Weźmy pod uwagę funkcję określoną następującym wzorem:
y — sin (3x -f- 5) = F { x )
Tutaj każdej liczbie x jest przyprządkowana odpowiednia wartość y.
Aby ją znaleźć, obliczamy najpierw wartość wyrażenia:
z = 3a* -j- 5 a potem dopiero:
y = sin z
Rozłożyliśmy zatem obliczenie y na dwa prostsze kroki. Widzimy, że mamy przytem do czynienia z dwiema funkcjami: pierwszą: z — ?>x-\-b, nazwijmy z= q > (x), a drugą, y = sin«, nazwijmy y = f(z).
Możemy uwidocznić bezpośrednio związek y z x, podstawiając w y = f(z) za z wyrażenie cp(x). W ten sposób otrzymujemy:
y = f{(p (x))
Mówimy wtedy, że y jest funkcją z funkcji, czyli funkcją złożoną zmiennej x.
Tutaj do każdej wartości x należy jakaś wartość z , a do każdej wartości 2: jakaś wartość y, a więc i bezpośrednio, do każdej wartości x należy jakaś wartość y. Nie zawsze jednak tak prosto przedstawia się sprawa dla funkcji złożonej, ja k o tem pouczają następujące przykłady.
a) Niechaj:
y = \ l + x Tutaj jedną funkcją jest:
2 — cp(x) = 1 -f- x a drugą:
y = f(z) = \ z
Funkcja z = 1 - j- x jest określona dla wszystkich rzeczywistych x, zarówno dodatnich, jak i ujemnych. Natomiast druga funkcja y = J/J jest określona tylko dla nieujemnych 2.
Zatem funkcja złożona:
y = f{cp(x)) = VT+~x
jest określona tylko dla tych x, dla których 1 -|- x ^ 0, czyli tylko dla:
x ^ — 1
Widzimy, że tu zakres istnienia funkcji złożonej jest częścią obydwu zakresów istnienia funkcji składowych.
b) Dobrze znana z matematyki elementarnej funkcja:
y = logio sina:
jest również funkcją złożoną, a mianowicie z funkcyj:
z — sin x i y = log10z
Pierwsza funkcja jest określona dla wszystkich rzeczywistych x a druga tylko dla dodatnich z. Aby znaleźć zakres istnienia funkcji zło
żonej, t. j. y wprost jako funkcji x, trzeba wybrać te wartości x , dla których 2 = sin x jest liczbą dodatnią. Otrzymujemy w ten sposób — ja k wiadomo — nieąkończony ciąg przedziałów otwartych:
0 <C x n, 2 Ti < ix < 3 n , ... ogólnie 2 n n < x < {2n -f- l ) n czyli: (0, ń), (2n, 3 n ) ... „ (2nn, ( 2 n l ) n ) , gdzie n przebiega wszystkie liczby całkowite (ujemne, zero i dodatnie).
Funkcja złożona istnieje tylko w tych przedziałach. Widzimy stąd, że zakres istnienia funkcji złożonej różni się zarówno od zakresu istnienia jednej ja k i drugiej funkcji składowej.
Po omówieniu tych przykładów jasną już będzie następująca defi
nicja ogólna.
Definicja funkcji złożonej. Każdej liczbie x zbioru (X ) przypo
rządkowujemy jakąś liczbę z = cp(x)a zbiór tych nowych liczb nazwijmy (Z );
jeżeli wszystkim l u b n i e k t ó r y m tylko liczbom zbioru (Z ) przyporządku
jem y liczby y = f [ z \ to y nazywamy funkcją złożoną zmiennej x i ozna
czamy ją :
y = f(ęp(x))
Przy badaniu funkcyj złożonych trzeba zawsze zwracać baczną uwagę na ich zakres istnienia Okazuje się nawet czasem, że wzór zło
żony z dwóch funkcyj nie przedstawia żadnej funkcji złożonej, albowiem niema dla niej żadnego zakresu istnienia. Tak np. we wzorze:
y — log,o (sin x — 3)
funkcja z — sin x — 3 istnieje dla wszystkich x, funkcja zaś y = log102 dla wszystkich dodatnich z. Ponieważ jednak z — sin x — 3 nie jest do
datnie dla żadnej wartości x (bo zawsze sin a;-< 3), przeto y nie istnieje dla żadnej wartości x.
§ 3. Pojęcie funkcji dwóch i więcej zmiennych.
W naukach przyrodniczych i w technice mamy bardzo często do czynienia z tabiemi zjawiskami, w których jedna wielkość zmienia się w zależności od dwóch lub więcej wielkości. Tak np. wzór (d) na str. 2, t.j.:
(d) i = -
V r
podaje natężenie i prądu elektrycznego w zależności od dwóch czynników:
od napięcia V i od oporu r. Mówimy wtedy, że wielkość i jest funkcją dwóch zmiennych niezależnych: V, r i piszemy to ogólnie: i = f(V ,r ) . Gdybyśmy we wzorze:
(a) s — c t — ^ g t^
zmieniali nietvlko czas t, lecz także prędkość początkową c, to droga s byłaby funkcją dwóch zmiennych: t i c.
Gdybyśmy zaś ponadto zwrócili uwagę i na to, że także przyśpie
szenie zmienia się przy rzucie pionowym wraz z wysokością, to trzebaby uważać s za funkcję trzech zmiennych', t, c, g, co możnaby ogólnie napisać:
s = F (t,c ,g )
Związek między prężnością, objętością i temperaturą bezwzględną gazów doskonałych wyraża się wzorem:
R T p ~ ~ v ~
gdzie R jest liczbą stałą dla danego gazu. Mamy tu znów przykład funkcji dwóch zmiennych: » jest zmienną zależną od dwóch zmiennych nieza
leżnych T i V.
Wiele takich przykładów spotykamy w znanych z geometrji wzo
rach na pole prostokąta (zmiennemi niezależnemi są podstawa i wyso
kość), na objętość prostopadłościanu, walca, stożka, powierzchnię czaszy kulistej i t. p. Także wzory:
(A) z = 2.r -f- 5y — 3
(B) z = 2 x * + y i
(C) 2 = |/4 — x~ — y2
podają przykłady funkcyj z dwóch. zmiennych x , y.
Istotą związku funkcyjnego, gdy są dwie zmienne niezależne x, y a jedna zależna z, jest, aby do każdej pary liczb (x, y), należącej do ja kiegoś obranego zbioru par liczb, należała jakaś wartość 2. Po tych przy
gotowaniach jasną będzie następująca definicja.
Definicja funkcji clwóch zmiennych. Weźmy pod uwagę dowolny zbiór p a t ' liczb (x ,y ) i nazwijmy ten zbiór (X , Y); jeżeli każdej parze
liczb (x, y), należącej do tego zbioru, przyporządkujemy jakąś liczbę z , to z nazywamy funkcją dwóch zmiennych x, y określoną w zbiorze (X Y ) i piszemy:
* =
f(x> y)Podobnie określa się funkcje trzech zmiennych, przyporządkowując trójkom liczb (x , y, z) jakieś liczby u i podobnie postępuje się dla więk
szej liczby zmiennych.
Do jednoznaczności funkcji dwóch zmiennych odnoszą się te same uwagi, które omówiliśmy w § 1 przy definicji funkcji jednej zmiennej.
Zakresem istnienia funkcji dwóch zmiennych mogą być wszystkie pary liczb rzeczywistych: x , y, ja k np. dla funkcyj określonych wzorami (A) i (B) a mogą leż być dowolnie wybrane zbiory par (x, y), wyzna
czone zapomocą rozmaitych warunków.
Tak np. funkcja:
_ x z ~~y
jest określona tylko dla takich par (x , y), w których y jest różne od zera. Funkcja:
2 = |/ą — x'1 — y!
jest określona tylko dla takich par (x , y), które spełniają warunek 4 — x 2 — y2 ^ 0 czyli x 2 -j- y2 4, t. j. wewnątrz koła o promieniu 2, a o środku w początku układu.
Można zaś obierać zbiór par (x, y) zupełnie dowolnie, podobnie jak to czyniliśmy dla jednej zmiennej x przy tworzeniu definicji funkcji jednej zmiennej.
Uwaga. P ojęcie przedziału otw artego lub zam kniętego, odnoszące się do zbio
rów punktów na linji prostej, uogólniam y na zbiory punktów , leżących dow olnie na płaszczyźnie. Zbiór w szystkich punktów , leżących w ew nątrz koła o środku w punkcie P (a, 6), a o dow olnym prom ieniu, nazyw am y otoczeniem p u n k tu P{a, b). K ażdy p u n k t w płaszczyźnie posiada zatem nieskończenie wiele otoczeń.
Jeżeli w ja k im ś dow olnie w ybranym z płaszczyzny zbiorze punktów znajdzie się tak i p u n k t, że jakieś jeg o otoczenie należy w całości do w ybranego zbioru, to taki p u n k t nazyw am y punktem w ewnętrznym tego w ybranego zbioru. Zbiór punktów , skła
dający się z sam ych punktów w ew nętrznych, nazyw am y obszarem otw artym ; takim obszarem je st np. w nętrze kw adratu, koła, pierścienia kołow ego, a może się też obszar sk ład ać z oddzielnych części: ta k np. w nętrza kilku prostokątów , nie m ających żad
nego p u n k tu wspólnego, uw ażam y także za je d e n obszar.
Z biór punktów , które nie należą w praw dzie do obszaru otw artego, lecz m ają tę w łasność, że w każdem, chociażby najbliższem, ich otoczeniu zn ajd u ją się p u nkty, nale
żące do obszaru, nazyw am y brzegiem tego obszaru; tak np. brzegiem kw adratu jest jego obw ód, brzeg dwóch kół, nie m ających żadnego p u n k tu wspólnego, składa się
z obwodów ty ch dwóch kół. Obszar w raz z jego brzegiem nazyw am y obszarem dom kniętym . Jeżeli każdą p arę pun k tó w obszaru można połączyć linją łam aną, należącą całkow icie do obszaru, to tak i obszar nazyw am y obszarom spójnym. T a k np. w n ętrze jednego kola je s t obszarem spójnym , lecz obszar złożony z w nętrz dwóch kół, nie m ających żadnych punktów w spólnych, nie je s t spójnym . U ogólnieniem pojęcia „przedziału o tw arteg o “ je s t „obszar spójny o tw a rty 11 a „przedziału zam kniętego11 — „obszar spójny dom knięty“. O bszar nazyw am y wypukłym , jeśli w szystkie p u n k ty każdego odcinka (prostolinjow ego), łączącego dow olną p arę punktów tego obszaru, należą także do tego obszaru.
Tę część matematyki, której przedmiotem jest badanie funkcyj, na
zywamy analizą wyższą. Treścią całego niniejszego podręcznika jest właśnie analiza wyższa i jej zastosowania.
U s t ę p II.
O S P O S O B A C H P R Z E D S T A W IA N I A F U N K C Y J.
§ 4. Tabelaryczne przedstawienie funkcji.
Mając podaną definicję jakiejkolw iek funkcji bądźto zapomocą wzoru bądźto zapomocą umowy słownej, możemy zwykle obliczyć jej wartość dla każdej rozważanej wartości zmiennej niezależnej. Ponieważ takie obliczenie bywa często bardzo mozolne (np. dla funkcyj trygonometrycz
nych, dla logarytmów. dla drugich i trzecich pierwiastków), przeto oka
zuje się dogodnem przy funkcjach, których wartości są często potrzebnej sporządzenie spisu tych wartości dla rozmaitych wartości zmiennej nie
zależnej, Czyli sporządzenie tablicy icartości każdej takiej funkcji.
Zdarza się bardzo często w pomiarach fizycznych, technicznych i statystycznych, że tabelka wartości funkcji służy wprost za jej defi
nicję; dzieje się to wtedy, gdy nie znamy żadnego wzoru na taką funkcję a ma ona wyrażać tylko rezultat pewnego szeregu pomiarów. W bada- .niach doświadczalnych (np. w meteorologji) jesteśm y bardzo często ska
zani na ograniczenie się do takiego tabelarycznego przedstawienia funkcji;
wtedy tylko takie przedstawienie zawiera prawdziwe, źródłowe dane, a ujmowanie tych wartości we wzór lub w wykres jest już stwarzaniem jakiejś hipotezy.
Istota tabelarycznego przedstawienia funkcji polega na tem, że obok wartości zmiennej niezależnej wypisuje się odpowiadające im wartości zmiennej zależnej. Tak np. dla funkcji:
y ==x* — 5 a ;-j-4
otrzymujemy następujące przedstawienie tabelaryczne:
X y
— 4 40
— 3 28
— 2 18
— 1 10
0 4
1 0
2 — 2
3 — 2
4 0
5 4
6 10
• ;
Można także pisać pod wartościami * odpowiednie wartości y.
Chcąc zmieścić na niewielkiej karcie papieru jaknajwięcej odpo
wiadających sobie par wartości: x, y, np. w odstępach (ki, dogodniej jest ustawiać te liczby nie w dwóch podłużnych kolumnach, lecz w następu
jącym schemacie prostokątnym:
y
* ■o •1 •2 •3 •4 •5 •6 ■7 ■8 ■9
0 4 3-51 3 0 4 2-59 2-16 1 75 1-36 0-99 0-64 0 31
1 0 — 0-29 — 0'56 — 0-81 — 1-04 — 1-25 — 1-44 — 1 61 1 7 6 — 1-89 2 — 2 — 2 0 9 — 2 1 6 — 2-21 - 2-24 — 2 2 5 — 2-24 - 2-21 — 2-16 - 2 0 4 3 — 2 - 1 - 8 9 — 1 76 — 1 61 — 1-44 — 1-25 — 1-04 — 0-81 — 0 56 — 0 29
4 0 031 0-64 0 99 1-35 1-75 2 1 6 2-59 3 0 4 3-61
5 4 4 51 5 0 4 5-59 6 1 6 6 7 5 7-36 7-99 8-64 9-31
6 10 1071 11*41 1219 1269 1375 14 5 6 15-39 16-24 1711
* i • • ; : * \ j *
Najbardziej rozpowszechnione są znane z matematyki elementarne tablice logarytmiczne, zawierające tabelaryczne przedstawienie funkcji:
V — logio z
Tablice takie zawierają zwykle ponadto wartości funkcyj trygono
metrycznych: sin*, cos*, tg*, ctg * i tablice funkcyj złożonych:
log10sin*, logi0 cos*, logio *g logn>ctg*.
Prócz tego zawierają takie tablice zwykle także wartości funkcyj:
8 _
y — x *, y = x \ y — ][x, y — j x
a czasem i wartości funkcji y = 11 -f- j dla kilku wartości p.
2*
Sporządzono również tablice rozmaitych funkcyj, występujących w matematyce wyższej, ja k np. logarytmów naturalnych. funkcyj hiper- boliczuych, funkcyj eliptycznych i t. p. Krótkie tablice rozmaitych trud
niejszych funkcyj zawarte są w książce p. t. E. J a h n k e , „Funhtionen- tafeln mit Formeln und Kurvenu (Lipsk, Teubner 1909). Bada się w m a
tematyce także takie funkcje, dla których nie posiadamy ani wzorów ani dogodnych wykresów; dla takich funkcyj tabelaryczne przedstawie
nia są szczególniej ważne. Taką jest naprzykład funkcja p = f( n ), o któ
rej wspominaliśmy w § 1, 7 b, podająca kolejne liczby pierwsze. Prócz takich tablic matematycznych, mających ogólne zastosowanie, sporządzono także tablice matematyczne dla rozmaitych specjalnych celów, np. dla geodezji, dla statystyki matematycznej, dla t. zw. arytm etyki politycznej, dla ilościowej analizy chemicznej i t. p. Prócz tablic matematycznych stnieją rozmaite tablice fizyczne, astronomiczne, techniczne i meteorolo
giczne, podające tabelarycznie także i takie rozmaite funkcje, dla których uie znamy nawet wzorów matematycznych, a dane liczby są zaczerpnięte z doświadczenia: takie tablice nazywamy empirycznemi. Podajemy poniżej wyciąg z takiej tablicy, podającej prężność pary wodnej nasyconej w za
leżności od tem peratury; prężność wyrażono w kilogramach na cm2 a tem
peraturę w stopniach Celsjusza.
<| 0° I 10° I 20» 1 30» I 10» 1 50» I 60» 70» | 80° | 90» 1100° | 110» | 120»
p |0 00622)0 01252j0 023|0 0433]0 0752j0 1258|0-2028 0-3176|0-4827|0-7148| 1 033| 1‘4608|20242
Zagęszczając odpowiednio przedziały zmiennej niezależnej t, t, j.
wykonując szereg pośrednich pomiarów, można otrzymać dokładniejszą tablicę a następnie przedstawić ją w przybliżeniu zapomocą rysunku lub wzoru matematycznego. Zawsze jednak najwłaściwsze, źródłowe dane będzie zawierała jedynie tablica.
Bardzo wiele tablic i wzorów matematycznych, fizycznych a prze- dewszystkiem technicznych, zawiera książka p. t. „Technik“. W ydaw
nictwo to powstało na wzór niemieckiego podręcznika p. t. „Hutte. Des Ingenieurs Taschenbuch“ (25 wydanie, Berlin 1925).
Szczególnie często mamy do czynienia z takiemi empirycznemi tablicami w statystyce: chcąc zbadać jakiś zbiór, czyli t. zw. populację pod względem jakiejś cechy zmieniającej się liczbowo, tworzymy szereg liczebności. Jest to tabelaryczne przedstawienie funkcji, wyrażającej zwią
zek frekwencji y, t. j. ilości osobników posiadających jakąś wartość cechy, z wartością x badanej cechy. Często za zmienną zależną y obiera się nie wprost frekwencję bezwzględną, t. j. ilość osobników, lecz frekwencję względną, t. j. stosunek ilości osobników, posiadających daną wartość cechy x, do ilości osobników, tworzących całą populację.
Posługiwanie się tablicami ułatwia w wysokim stopniu wszelkie obliczenia, toteż każdy, kto przy swej pracy stosuje matematykę, powi
nien mieć pod ręką odpowiednie tablice.
Przedstawienie tabelaryczne funkcji ma jednak także rozmaite wady.
I tak np. w powodzi cyfr zatraca się zwykle przegląd całkowitego prze
biegu funkcji: trudno jest bowiem odczytać z tablic z jednego rzutu oka, kiedy funkcja wzrasta, kiedy maleje, dla jakich wartości zmiennej nie
zależnej osiąga największe lub najmniejsze wartości w porównaniu z war
tościami otaczającemi, ja k szybko wzrasta lub maleje i t. p. Prócz tych braków metodycznej natury są jednak także głębsze, istotne braki, a mia
nowicie podwzględem:
1° dokładności przedstawienia i 2° zupełności przedstawienia.
I tak wartości funkcji, podane w tablicach, są tylko w wyjątko
wych wypadkach zupełnie dokładne (jak np. w tabelkach na str. 19);
najczęściej są podane tylko przybliżone wartości funkcji, zaokrąglone do kilku miejsc dziesiętnych. Tak np. tablice matematyczne używane w szko
łach średnich są 4-cyfrowe lub 5-cyfrowe, t. j. podają wartości funkcyj niedokładne, zaokrąglone do 4 lub 5 miejsc po kropce dziesiętnej. Chcąc uzyskać większą dokładność, trzeba używać tablic o większej ilości cyfr, np. 7-cyfrowych (bardzo rozpowszechnione są tablice p. t. H. G. K o h l e r .
„Logarithmisch-trigonometrisches Handbuchu) lub 10-cyfrowych (obok star
szych, 10-cyfrowych tablic, p. t. V l a k - V e g a , „ Thésaurus logarithmo- rum u z r. 1794. istnieją nowe, znakomicie opracowane tablice, p. t, J. P e t e r s , „Zehnstellige Logarithmen“ w dwóch tomach).
W praktyce jednak bardzo rzadko używa się tak obszernych tablic (np. w niektórych obliczeniach z geodezji). W ydano także tablice 13-cy- frowe (H. A n d o y e r , „ Tables logarithmiques à treize décimales“. Paris, 1922 r). Oczywistem jest jednak, że absolutnej, idealnej dokładności nie można nigdy osiągnąć przy przedstawieniu tabelarycznem niektórych funkcyj.
Drugą zasadniczą wadą przedstawienia tabelarycznego jest jego nie- zupełność, to znaczy: żadna tablica nie może zawierać wartości funkcyj dla wszystkich wartości zmiennej niezależnej, o ile tych wartości funkcyj jest nieskończenie wiele, ja k się to dzieje z reguły. Zwykle funkcja jest określona dla icszystkich x z jakiegoś przedziału, a tablica podaje y tylko dla niektórych x, zwykle w równych odstępach. Niedogodność tę omi
jam y częściowo, używając interpolacji tablic, to znaczy wstawiania pomię
dzy dane wartości funkcyj nowych wartości, dla pośrednich wartości zmiennej niezależnej. Najprostszym, lecz najmniej dokładnym sposobem takiej interpolacji jest znana z matematyki elementarnej interpolacja pro
porcjonalna, przy użyciu t. zw. różnic tablicowych. Polega ona na hipote
zie, że funkcja wzrasta w przybliżeniu proporcjonalnie, gdy przedział jest
