OKRES PROGNOZY I HORYZONT

(1)

O

KRES PROGNOZY I HORYZONT PROGNOZY

Każda prognoza gospodarcza jest stawiana na pewien ściśle określony czas w przyszłości. Okres, którego dotyczy sporządzana prognoza nazywa się okresem prognozy. Długość okresu prognozy zależy od dwóch podstawowych czynników:

• od charakteru prognozowanego zjawiska oraz

• od praktycznych potrzeb prognozowania.

(2)

O

Każda prognoza gospodarcza musi być konkretna w tym sensie, że okres prognozy powinien być ściśle zdefiniowany.

Niedopuszczalne jest bowiem formułowanie prognoz odnoszących się do przyszłości “w ogóle”.

Liczba jednostek czasu, jaka upływa od teraźniejszości do okresu prognozowania nazywa się wyprzedzeniem prognozy.

(3)

O

Aby zdefiniować pojęcie horyzontu należy wyjść od pojęcia prognozy dopuszczalnej.

Prognozą dopuszczalną jest taka prognoza, która w świetle przyjętego kryterium może być uznana za dostatecznie dokładną lub wiarygodną.

(4)

O

Horyzontem prognozy jest najdłuższy okres lub moment w przyszłości, w którym prognoza jest dopuszczalna w świetle przyjętego kryterium.

(5)

O

Dla formalnego zapisu horyzontu prognozy przyjmiemy następujące oznaczenie:

n – ostatni okres, dla którego dysponuje się danymi statystycznymi dotyczącymi rzeczywistych realizacji zmiennej prognozowanej,

 – przedział czasu oddzielający okres n od najdalszego okresu w przyszłości, dla którego prognoza jest dopuszczalna,

T – okres prognozy.

(6)

O

Horyzontem prognozy jest taki przedział czasowy n, n+, w którym dla każdego okresu t = n+1, ..., n+ można w sposób uzasadniony sporządzać dopuszczalne prognozy badanego zjawiska.

(7)

O

Dopuszczalne są więc prognozy dla takich okresów T, które nie wybiegają poza okres n+.

Długość horyzontu prognozy zależy od szeregu czynników, przede wszystkim:

 charakteru obiektu prognozy,

 wybranego modelu prognostycznego,

 zastosowanej metody prognozowania.

(8)

Prognoza jest naukowo uzasadnionym sądem o stanie zjawiska w określonym momencie (okresie) należącym do przyszłości.

Słowo „sąd” sygnalizuje niepewność prognozy.

Prognoza jest więc sądem o nieznanym.

Sądy bywają fałszywe lub prawdziwe.

D

OKŁADNOŚĆ I TRAFNOŚĆ PROGNOZY

(9)

O prognozach powiemy, że są:

 trafne – gdy okazują się wystarczająco bliskie realizacji prognozowanej zmiennej;

 nietrafne (chybione) – gdy rozbieżność prognozy i wielkości prognozowanej okazuje się zbyt wielka jak na nasze potrzeby.

DOKŁADNOŚĆ I TRAFNOŚĆ PROGNOZY

(10)

O

CENA DOKŁADNOŚCI PROGNOZY

Zjawiska i procesy gospodarcze, dla których wyznacza się prognozy, mają zazwyczaj stochastyczny charakter. Dlatego przyjmuje się z góry możliwość wystąpienia odchyleń rzeczywistych wartości zmiennej prognozowanej, jakie się zrealizują w okresie prognozowania, od postawionych prognoz. Jako realne uznaje się więc możliwość powstania błędu prognozy, nazywanego także błędem predykcji.

(11)

O

Niezbędnym staje się więc określenie dokładności prognozy za pomocą odpowiednich mierników, które pozwalają na ustalenie i porównanie rzędu dokładności prognoz. Mierniki te są określane mianem mierników dokładności (trafności) prognoz.

(12)

O

CENA DOKŁADNOŚCI PROGNOZY Dwoma podstawowymi rodzajami

mierników dokładności i trafności prognoz są:

 mierniki dokładności prognoz ex ante,

 mierniki dokładności prognoz ex post.

(13)

O

Mierniki dokładności prognoz ex ante służą do oceny oczekiwanych wielkości odchyleń rzeczywistych wartości zmiennej prognozowanej od postawionych prognoz.

Wartości tych mierników są podawane w chwili budowy prognoz, dlatego są one sądami, których prawdziwość może być zweryfikowana dopiero po upływie okresu, do którego odnosi się prognozę.

(14)

O

Do oceny trafności prognoz służą mierniki dokładności prognoz ex post, które wyrażają zaobserwowane odchylenia realizacji zmiennej prognozowanej od postawionych prognoz.

(15)

dokładność i trafność prognozy

Ocenę dokładności i trafności prognoz dokonujemy stosując:

mierniki dokładności ex post mierniki dokładności ex ante

mierniki

bezwzględne

(zachowujące jednostkę

pomiaru zmiennej prognozowanej)

mierniki względne

(umożliwiające porównanie prognoz uzyskanych różnymi

metodami prognostycznymi)

(16)

trafność prognozy

• Trafność prognozy określa się po upływie czasu, na który prognoza była wyznaczona

• Stopień trafności prognozy ilościowej mierzy się za pomocą błędów ex post

• Błąd ex post to wartość odchylenia rzeczywistych realizacji zmiennej

prognozowanej od obliczonych prognoz

• Błędy ex post można obliczać dla każdego momentu lub okresu należącego do

przedziału czasu [n+1,…., ]

(17)

Błędy prognoz ex post

• błąd

(ang. error)

• błąd procentowy

(ang. percentage error)

 Różnica y_ - y_^*

(odchylenie realizacji zmiennej

prognozowanej od

wartości prognozy) jest miarą błędu prognozy dla okresu 

*



y y

E = −

% y 100

y PE y

τ

* τ τ

τ

− 

=

PE określa, jaki procent

rzeczywistej realizacji zmiennej

prognozowanej wynosi błąd prognozy

(18)

Błędy prognoz ex-post

Załóżmy, iż wyznaczono m prognoz wartości zmiennej endogenicznej Y_^* oraz znane są rzeczywiste wartości zmiennej prognozowanej Y_ dla

 = 1, 2, ..., m.

𝑀𝐸 = 1

𝑚 ෍

𝜏=1 𝑚

(𝑦_𝜏 − 𝑦_𝜏^∗)

 wartość ME powinna być równa zero lub bliska zeru;

 średnie obciążenie predykcji przyjmuje wartość zero w przypadku predykcji nieobciążonej;

 odchylenia wartości miernika ME od zera świadczą, że zasada predykcji nieobciążonej nie została zachowana;

 gdy zaobserwowane odchylenie od zera jest dodatnie, wnioskujemy, że prognozy wygasłe są niedoszacowane;

 gdy zaobserwowane odchylenie od zera jest ujemne, wnioskujemy, że prognozy wygasłe są przeszacowane.

średni błąd

(ang. mean error):

(19)

• średni procentowy błąd

• (ang. mean percentage error):

 MPE informuje, jaki

procent rzeczywistych realizacji zmiennej

prognozowanej stanowią błędy

prognozy w okresie predykcji

m PE MPE



m

=

^ =¹ ^

(20)

• średni błąd bezwzględny (ang. mean absolute error):

 MAE informuje o ile średnio - w okresie predykcji -

rzeczywiste

realizacje zmiennej prognozowanej

będą się odchylać – co do bezwzględnej wartości – od

prognoz

𝑀𝐴𝐸 = 1

𝑚 ෍

𝜏=1 𝑚

ห𝑦_𝜏 − 𝑦_𝜏^∗ȁ

(21)

• średni bezwzględny błąd procentowy

(ang. mean absolute percentage error):

lub

● MAPE informuje o średniej wielkości błędów prognoz dla okresu  = 1, 2, ..., m, wyrażonych w

procentach

rzeczywistych wartości zmiennej

prognozowanej.

● Wartości MAPE

pozwalają porównać dokładność prognoz otrzymywanych

różnych modeli.

𝑀𝐴𝑃𝐸 = 1

𝑚 ෍

𝜏=1

𝑚 𝑦_𝜏 − 𝑦_𝜏^∗

𝑦_𝜏 ⋅ 100%

𝑀𝐴𝑃𝐸 = 𝑀𝐴𝐸

ǉ𝑦𝜏∗ ⋅ 100%

(22)

• średni błąd predykcji ex post pierwiastek błędu

średniokwadratowego

(ang. root mean square error)

• RMSE mierzy, o ile średnio odchylają się realizacje zmiennej prognozowanej od obliczonych prognoz

• znacząca różnica

wartości między MAE i RMSE wskazuje na

występowanie w okresie prognozy błędów o bardzo

dużych wartościach.

𝑅𝑀𝑆𝐸 = 1

𝑚 ෍

𝜏=1 𝑚

(𝑦_𝜏 − 𝑦_𝜏^∗)²

(23)

• względny błąd predykcji

• ex post • V_RMSE określa, jaki procent

przeciętnej rzeczywistej realizacji

zmiennej

prognozowanej stanowi średni błąd predykcji ex post

 100

=

y



V

_RMSE

RMSE

(24)

• Ponieważ w chwili wyznaczania prognozy nie jest znana wartość rzeczywista zmiennej prognozowanej błąd

prognozy ex ante może być tylko oszacowany.

• Wartość błędu ex ante przynosi informacje o oczekiwanych przeciętnych odchyleniach realizacji zmiennej

prognozowanej od prognoz w czasie t > n.

• Błąd ex ante służy określeniu dokładności prognozy.

Błędy prognoz ex ante

(25)

dopuszczalność prognozy

• Prognoza jest dopuszczalna, gdy jest obdarzona przez jej odbiorcę stopniem zaufania wystarczającym do tego, by mogła być wykorzystana do celu, dla którego została ustalona.

• Dopuszczalność prognozy jest określona w tym samym czasie , w którym wyznacza się prognozę.

(26)

○ średni błąd predykcji ex ante

gdzie:

• S²(e) – wariancja resztowa

• D²(a) – ocena wariancji estymatorów x_τ – wektor wartości zmiennych

objaśniających w okresie prognozowania

○ względny błąd predykcji ex ante

● wartość D_T przynosi informację o

oczekiwanych przeciętnych

odchyleniach realizacji zmiennej

prognozowanej od

prognoz w czasie t > n

● wartość V_T informuje jak wielki będzie w chwili t > n oczekiwany błąd

(odchylenie liczone w procentach wartości prognoz)

𝐷_𝑇 = 𝑆²(𝑒) + 𝑥_𝑻 𝐷²(𝑎) 𝑥_𝑻^𝑇

* 100

=

T T

T y

V D

(27)

• Dla modelu trendu liniowego wzór na błąd prognozy ex ante przybiera postać:

 



= =

=



−

=

−

− + −

+

=

n

t

n

t n

t T

t n t

t t

gdzie

t t

t T

e n S D

1 1

2 2

2

1

2 2

) ( )

( :

) (

1 1 )

(

(28)

Kryteria dopuszczalności prognoz

• subiektywne kryteria dopuszczalności formułowane przez odbiorców prognozy;

• prognoza jest dopuszczalna, gdy

spełniona jest jedna z poniższych relacji:

gdzie:

D_T^* i V_T^* to progowe (krytyczne) wartości błędów zadane np. przez odbiorcę prognozy

n t

V V

n t

D D

T T







 , lub

,

*

(29)

Kryteria dopuszczalności prognoz

• ● obiektywne – przyjmuje się, że jeżeli

względny miernik dokładności predykcji ex ante (lub ex post) spełnia nierówność:

– D_T ≤ 3%, to prognozy są bardzo dokładne;

– 3%< D_T ≤ 5%, to prognozy uznajemy za dokładne;

– 5%< D_T ≤ 10%, to prognozy mogą być dopuszczalne;

– D_T >10%, to prognozy są niedopuszczalne.

(30)

UWAGI OGÓLNE

PROGNOZOWANIE NA PODSTAWIE SZEREGÓW CZASOWYCH

MODELE SZEREGÓW CZASOWYCH ZE STAŁYM POZIOMEM ZMIENNEJ PROGNOZOWANEJ

Jeśli w szeregu czasowym występuje składowa systematyczna w postaci stałego (przeciętnego) poziomu i wahania przypadkowe do prognozowania używa się metod naiwnych, metody średniej ruchomej prostej lub ważonej oraz prostego modelu wygładzania wykładniczego.

Budując prognozy na podstawie tych metod, prognosta przyjmuje status quo, postawę pasywną wobec prognozowanego zjawiska oraz wykorzystuje regułę podstawową. Metody te pozwalają na wyznaczenie prognozy na jeden moment / okres.

(31)

METODA NAIWNA

Metodę naiwną warto stosować jedynie w przypadku niewielkich wahań przypadkowych. O sile tych wahań informuje wielkość współczynnika zmienności badanego szeregu czasowego.



=

−

=



=

n

1 t

2 t

n

1 t

t

) y n (y

S 1

n y y 1

y 100%

V S V – współczynnik zmienności

ȳ – średnia arytmetyczna badanej zmiennej

S – odchylenie standardowe

(32)

METODA NAIWNA

W modelu naiwnym wykorzystywanym w takich przypadkach konstruuje się prognozę zmiennej na moment lub okres T na poziomie zaobserwowanej wartości tej zmiennej w momencie lub okresie t – 1.

1 t

*

t

y

y =

₋

gdzie:

y^*_t – prognoza zmiennej y wyznaczona na moment lub okres t,

y_t-1 – wartość zmiennej prognozowanej w momencie lub okresie t-1.

(33)

METODA NAIWNA

Do oceny trafności prognozy można wykorzystać:

E_T – błąd prognozy (error)

y^*_T – prognoza zjawiska na okres T y_T – poziom zjawiska w okresie T

PE_T – względny błąd prognozy (percentage error)

* T T

T

y y

E = −

% y 100

y PE y

T

* T T

T

− 

=

(34)

METODA ŚREDNIEJ RUCHOMEJ PROSTEJ I WAŻONEJ

Modele średniej ruchomej mogą być wykorzystywane zarówno do wygładzania szeregu czasowego, jak i do prognozowania.

W prognostycznym modelu średniej ruchomej przyjmuje się, że prognoza zmiennej na moment lub okres t jest średnią arytmetyczną (w przypadku średniej ruchomej prostej) lub ważoną z k ostatnich obserwacji szeregu.

Stałą wygładzania k oraz wagi wybiera się na podstawie kryterium najmniejszego błędu ex post prognoz wygasłych. Może to być średni bezwzględny (procentowy – względny) błąd lub średni kwadratowy błąd.

(35)

Średni bezwzględny (procentowy – względny) błąd ex post (mean absolute percentage error)

MPE y 100%

y y

m MAPE 1

m

1

*  =

=



−

 = 



Średni kwadratowy błąd ex post (root mean square error)

SSE )

y m (y

RMSE 1 ^*_τ ²

m

τ 1 τ − =

=



=

(36)

Konstrukcja prognozy metodą średniej ruchomej prostej:



⁻

−

=

= ^t ¹

k t i

i

*

t y

k y 1

gdzie:

y^*_t – prognoza zmiennej y wyznaczona na moment lub okres t, y_i – wartość zmiennej prognozowanej w momencie lub okresie i, k – stała wygładzania.

(37)

Konstrukcja prognozy metodą średniej ruchomej ważonej :

gdzie:

y^*_t – prognoza zmiennej y wyznaczona na moment lub okres t, y_i – wartość zmiennej prognozowanej w momencie lub okresie i,

w_i-t+k+1 – waga nadana przez prognostę wartości zmiennej prognozowanej

w momencie lub okresie i, k – stała wygładzania.

1 w

...

w w

0 dla w y y

k 2

1

1 k t i 1

t

k t i

i

* t





=

⁻ ₋ ₊ ₊

−

=



(38)

PROSTY MODEL WYGŁADZANIA WYKŁADNICZEGO

W prostym modelu wygładzania wykładniczego prognoza zmiennej na moment lub okres t równa jest:

gdzie:

y^*_t-1 – prognoza zmiennej y wyznaczona na moment lub okres t-1, y_t-1 – wartość zmiennej prognozowanej w momencie lub okresie t-1, α – stała wygładzania.

* 1 1

*

t

( 1 )

y =   y

_t₋

+ −   y

_t₋