4 Równania liniowe II rzędu

4 Równania liniowe II rzędu

Równania liniowe II rzędu są ”najważniejsze” ze względu na równanie dynamiki Newtona:

F = m~a.~

Zanim omówimy metody rozwiązywania, należy wiedzieć, że sporo wiemy o tym, jak ma wyglą- dać rozwiązanie.

Dla każdego rzędu równania faktem jest, że rozwiązanie jest sumą ogólnego rozwiązania równa- nia jednorodnego y_j i szczególnego rozwiązania równania niejednorodnego y_nj:

y = yj + ynj. (1)

Z tego faktu wynika sposób rozwiązywania równania liniowego: w 1. kroku rozwiązujemy równanie jednorodne, w 2. kroku szukamy rozwiązania równania niejednorodnego.

Można też doprecyzować jak wygląda rozwiązanie równania jednorodnego: to rozwiązanie na- zywamy ogólnym, ponieważ zawiera dwie stałe całkowania:

y_j = C₁y₁+ C₂y₂, (2)

gdzie y1, y2 to dwie niezależne funkcje spełniające równanie jednorodne. Ta niezależność funkcji wynika z własności Wrońskianu W (x):

W (x) =

y₁ y₂ y₁⁰ y⁰₂

6= 0 (3)

Niezależność funkcji w praktyce oznacza, że nie da się ich do siebie dodać.

Równania liniowe mogą być: jednorodne lub niejednorodne, o stałych współczynnikach lub nie, co daje 4 typy równań. Oto one wraz z metodami ich rozwiązywania:

ˆ jednorodne o stałych współczynnikach: ay⁰⁰+ by⁰+ cy = 0; rozwiązuje się je przez podsta- wienie e^rx,

ˆ niejednorodne o stałych współczynnikach: ay⁰⁰+ by⁰+ cy = f (x); w 1. kroku rozwiązujemy równanie jednorodne, w 2. kroku stosujemy metodę przewidywania lub uzmienniania stałych, w zależności od funkcji f (x),

ˆ jednorodne postaci: y⁰⁰+ p(x)y⁰ + q(x)y = 0; rozwiązujemy np. stosując wzór:

W (x) = e^{−R p(x)dx},

ˆ niejednorodne postaci: y⁰⁰+ p(x)y⁰+ q(x)y = f (x); w 1. kroku rozwiązujemy jednorodne, w 2. kroku stosujemy metodę uzmienniania stałych. Ten typ równania tylko dla chętnych, ponieważ rozwiązanie jednego równania zajmuje trochę czasu.

Zaczniemy omawianie poszczególnych metod zaczynając od najłatwiejszej. Pomięte zostaną wy- prowadzenia oraz dowody, ponieważ instrukcja dotyczy ćwiczeń.

4.1 Równanie liniowe jednorodne o stałych współczynnikach

Postać ogólna takiego równania to:

ay⁰⁰+ by⁰+ cy = 0. (4)

Jeśli rozwiązanie, czyli y(x), wraz z pierwszą i drugą pochodną mają się sumować do zera, jest tylko jedna funkcja, która może być rozwiązaniem: e^rx. Dla y = e^rx, pochodne wynoszą y⁰ = re^rx oraz y⁰⁰ = r²e^rx. Wstawiając y, y⁰, y⁰⁰ do równania (4) otrzymujemy:

ar²e^rx+ bre^rx+ ce^rx = 0,

a po podzieleniu przez e^rx 6= 0 otrzymujemy równanie kwadratowe zwane wielomianem charak- terystycznym:

ar²+ br + c = 0. (5)

Rozwiązanie równania różniczkowego zależy od pierwiastków tego równania kwadratowego:

ˆ ∆ > 0: y = C1e^r1x+ C₂e^r2x,

ˆ ∆ = 0: y = C1e^rx+ C₂xe^rx,

ˆ ∆ < 0: y = e^αx(C₁sin βx + C₂cos βx),

gdzie α to część rzeczywista, a β to część urojona pierwiastka zespolonego r_1,2 = α ± βi.

Przykłady

Przykład 1. Rozwiąż równanie: y⁰⁰+ 2y⁰− 3y = 0.

Wielomian charakterystyczny r²+ 2r − 3 = 0 ma dwa pierwiastki rzeczywiste r₁ = −1 i r₂ = 3, zatem dwie różne funkcje spełniają to równanie: y₁ = e^−x oraz y₂ = e^3x. Rozwiązaniem ogólnym równania różniczkowego jest funkcja:

y = C₁e^−x+ C2e^3x.

Przykład 2. Rozwiąż równanie: y⁰⁰− 4y⁰ + 4y = 0.

Wielomian charakterystyczny r²−4r +4 = (x−2)² = 0 ma jeden podwójny pierwiastek rzeczywisty r = 2. Dwie różne funkcje spełniające to równanie to y₁ = e^2x oraz y₂ = xe^2x. Rozwiązanie ogólne równania różniczkowego ma postać:

y = C₁e^2x+ C₂xe^2x. Przykład 3. Rozwiąż równanie: y⁰⁰+ 4y⁰+ 5y = 0.

Wielomian charakterystyczny r² + 4r + 5 = 0 ma dwa pierwiastki zespolone sprzężone r_1,2 =

−2 ± i. Dwie różne funkcje spełniające to równanie to y₁ = e^−2xsin x oraz y₂ = e^−2xcos x, więc rozwiązaniem ogólnym równania różniczkowego jest funkcja:

y = e^−2x(C₁sin x + C₂cos x).

4.2 Równanie liniowe niejednorodne o stałych współczynnikach

Postać ogólna takiego równania to:

ay⁰⁰+ by⁰ + cy = f (x) (6)

W 1. kroku rozwiązujemy równanie jednorodne; w 2. kroku należy zastosować jedną z dwóch metod: przewidywania lub uzmienniania stałych (zwaną czasami metodą Lagrange’a). Obie metody służą do wyliczenia szczególnego rozwiązania równania niejednorodnego, ale w zupełnie inny sposób.

Wybór metody zależy od postaci funkcji f (x).

4.2.1 Metoda przewidywania, czyli współczynników nieoznaczonych Jeśli

f (x) = e^αx(W^m₁ sin βx +Wⁿ₂cos βx), (7) gdzie W₁^m i W₂ⁿ to dwa różne wielomiany, stopnia m oraz n, to według metody przewidywania szczególne rozwiązanie równania niejednorodnego wynosi:

y_nj=x^ke^αx(W₃^osin βx +W₄^ocos βx), (8) gdzie W₃^o i W₃^o to dwa różne wielomiany, ale tego samego stopnia o: równego większej wartości z m oraz n, natomiast k to krotność występowania wartości α + βi wśród pierwiastków wielomianu charakterystycznego (5). Wyjaśnienie: jeśli α + βi jest pierwiastkiem wielomianu charakterystycz- nego, oznacza to że y_nj zawiera identyczne funkcje co y_j, a muszą to być dwa niezależne (różne) rozwiązania.

Wzorów tych nie trzeba znać, wystarczy wiedzieć, że:

ˆ jeśli funkcja f(x) jest iloczynem wielomianu, funkcji wykładniczej i funkcji trygonometrycznej:

sinusa lub cosinusa,

ˆ to rozwiązanie jest iloczynem innego wielomianu najwyższego stopnia występującego w f(x), tej samej funkcji wykładniczej i tej samej funkcji trygonometrycznej. Rozwiązanie to trzeba mnożyć przez x tyle razy, aż zacznie być funkcją niezależną od rozwiązania równania jedno- rodnego.

Metoda przewidywania pozwala wyznaczyć szczególne rozwiązanie równania niejednorodnego, czyli drugi składnik sumy y = y_j + y_nj.

Przykłady

Przykład 4. Rozwiąż równanie: y⁰⁰− 2y⁰ = f (x), jeśli:

a) f (x) = x + 2, b) f (x) = xe^x.

W 1. kroku rozwiązujemy równanie jednorodne y⁰⁰− 2y⁰ = 0. Stosując podstawienie y = e^rx otrzymamy wielomian charakterystyczny r² − 2r = 0, który ma pierwiastki rzeczywiste r1 = 0 i r₂ = 2, co daje y₁ = 1 i y₂ = e^2x, więc rozwiązaniem równania jednorodnego jest funkcja:

yj = C1+ C2e^2x. (9)

Przystępujemy do ”przewidywania”:

Ad. a) funkcja f (x) = x + 2 jest wielomianem 1. stopnia. Proponujemy zatem jako rozwiązanie również wielomian 1. stopnia: y_nj = Ax + B oraz sprawdzamy, czy i ile razy musimy pomnożyć przez x. Z równania (9) wynika, że dowolny dowolny współczynnik jest rozwiązaniem równania jednorodnego, więc absolutnie nie może być częścią rozwiązania równania niejednorodnego (chodzi o współczynnik B). Jednokrotne pomnożenie przez x rozwiąże ten problem:

y_nj = (Ax + B)x.

Teraz przewidywane rozwiązanie równania niejednorodnego nie zawiera współczynników. Formal- nie, czyli na podstawie wzoru (8), pomnożenie jednokrotne przez x wynika z faktu, że zero jest pojedynczym pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego r² − 2r = 0, a przecież f (x) = x + 2 można zapisać jako: f (x) = (x + 2)e^0x.

Naszym zadaniem jest wyliczenie dwóch współczynników w rozwiązaniu ynj = (Ax + B)x = Ax² + Bx. Współczynniki te wyliczamy wstawiając rozwiązanie do równania y⁰⁰ − 2y⁰ = x + 2.

Wstawienie wymaga policzenia pierwszej oraz drugiej pochodnej:

y⁰_nj = 2Ax + B, y⁰⁰_nj = 2A.

Po wstawieniu otrzymujemy równanie:

2A − 2(2Ax + B) = x + 2,

które ma być tożsamością, co oznacza, że wielomiany po obu stronach równania muszą być tego samego stopnia, oraz że współczynniki przy odpowiednich potęgach muszą być sobie równe, czyli:

− 4A = 1 oraz

2A − 2B = 2.

Z tych równań otrzymujemy A = −¹₄ i B = −⁵₄. Szczególne rozwiązania równania niejednorodnego wynosi zatem:

y_nj = −1

4x²− 5 4x.

Ostateczne rozwiązanie jest sumą dwóch rozwiązań: ogólnego rozwiązania równania jednorodnego i szczególnego rozwiązania równania niejednorodnego y = yj+ ynj:

y = C₁+ C₂e^2x−1

4x²− 5 4x.

Ad. b) Dla f (x) = xe^x, czyli iloczynu wielomianu 1. stopnia oraz funkcji wykładniczej e^2x, przewidujemy rozwiązanie jako taki iloczyn:

y_nj = (Ax + B)e^x.

Nie mnożymy przez x: żadna część nie jest rozwiązaniem równania jednorodnego (9). Wstawiając y_nj, oraz pierwszą i drugą pochodną:

y_nj⁰ = Ae^x+ (Ax + B)e^x y_nj⁰ = 2Ae^x+ (Ax + B)e^x do równania y⁰⁰− 2y⁰ = xe^x otrzymujemy:

2Ae^x+ (Ax + B)e^x− 2 (Ae^x+ (Ax + B)e^x) = xe^x, a po podzieleniu przez e^x 6= 0 i zsumowaniu lewej strony:

− Ax − B = x.

Tożsamość uzyskamy dla współczynników o wartościach: A = −1, B = 0. Szczególne rozwiązanie równania niejednorodnego wynosi zatem:

y_nj = −xe^x,

a ostateczne, czyli ogólne rozwiązanie to suma dwóch rozwiązań, jednorodnego i niejednorodnego:

y = C₁+ C₂e^2x− xe^x,

Przykład 5. Rozwiąż równanie: y⁰⁰− 6y⁰ + 9y = f (x), jeśli:

a) f (x) = e^3x, b) f (x) = 50 sin x.

Rozpoczynamy od rozwiązania równania jednorodnego postaci: y⁰⁰− 6y⁰+ 9y = 0. Wielomian charakterystyczny dla tego równania r² − 6r + 9 = (r − 3)² = 0 ma jeden pierwiastek rzeczywisty r = 3.

Rozwiązanie równania jednorodnego ma postać:

y = C₁e^3x+ C₂xe^3x.

Przystępujemy do stosowania metody przewidywania, aby znaleźć rozwiązanie równania niejed- norodnego.

Ad. a) Dla f (x) = e^3x wstępnie proponujemy jako rozwiązanie ynj = Ae^3x, ale taka funkcja jest rozwiązaniem równania jednorodnego. Jednokrotne pomnożenie przez x da nam również rozwiązanie równania jednorodnego, więc pomnożyć należy przez x²:

y_nj = Ax²e^3x.

Formalnie ujmując sprawę, liczba 3 jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu charakterystycz- nego, dlatego pomnożyć należy przez x². Wyliczamy pierwszą i drugą pochodną proponowanego rozwiązania:

y_nj⁰ = 2Axe^3x+ 3Ax²e^3x, y⁰⁰_nj = 2Ae^3x+ 12Axe^3x+ 9Ax²e^3x, i wstawiamy do równania y⁰⁰− 6y⁰+ 9y = e^3x:

2Ae^3x+ 12Axe^3x+ 9Ax²e^3x− 6^2Axe^3x+ 3Ax²e^3x+ 9Ax²e^3x= e^3x.

Po lewej stronie równania wyrazy zawierające x oraz x²redukują się, dlatego ostatecznie otrzymamy tożsamość:

2Ae^3x= e^3x,

dla A = ¹₂. Szczególne rozwiązanie równania niejednorodnego wynosi zatem:

y_nj = 1 2x²e^3x,

a ostateczne rozwiązanie równania y⁰⁰− 6y⁰+ 9y = e^3x to suma y_j + y_nj: y = C₁e^3x+ C₂xe^3x+1

2x²e^3x.

Ad. b) Dla f (x) = 50 sin x proponujemy jako rozwiązanie równania niejednorodnego sumę:

y_nj = A sin x + B cos x.

Dlaczego taka suma? W wzoru (8)opisującego metodę przewidywania wynika, że w rozwiązaniu obie funkcje trygonometryczne mają być pomnożone przez różne wielomiany tego samego stopnia, najwyższego występującego w f (x) = sin x. W tym przykładzie jest to wielomian stopnia 0., czyli współczynnik. Wyliczamy pierwszą i drugą pochodną proponowanego rozwiązania:

y_nj⁰ = A cos x − B sin x, y_nj⁰⁰ = −A sin x − B cos x i wstawiamy do równania y⁰⁰− 6y⁰+ 9y = sin x:

− A sin x − B cos x − 6(A cos x − B sin x) + 9(A sin x + B cos x) = 50 sin x.

Współczynniki przy obu funkcjach trygonometrycznych po obu stronach równania muszą być sobie równe:

8A + 6B = 50 oraz

8B − 6A = 0,

więc B = 3, A = 4. Szczególne rozwiązanie równania niejednorodnego wynosi zatem:

y_nj = 4 sin x + 3 cos x,

a ostateczne rozwiązanie równania y⁰⁰− 6y⁰+ 9y = 50 sin x to suma y_j + y_nj: y = C₁e^3x+ C₂xe^3x+ 4 sin x + 3 cos x.

Przykład 6. Rozwiąż równanie: y⁰⁰+ 4y = f (x), jeśli:

a) f (x) = sin 2x, b) f (x) = e^x+ x².

W 1. kroku rozwiązujemy równanie jednorodne: y⁰⁰+ 4y = 0. Wielomian charakterystyczny ma postać: r² + 4 = 0, pierwiastki są zespolone r_1,2 = ±2i. Rozwiązanie równania jednorodnego to funkcja:

y_j = C₁sin 2x + C₂cos 2x. (10)

Przystępujemy do określania rozwiązania równania niejednorodnego.

Ad a) Jeśli f (x) = sin 2x, to należy wstępnie przyjąć, że rozwiązanie równanie niejednorodnego jest sumą dwóch funkcji trygonometrycznych y_nj = A sin 2x + B cos 2x, ale od razu da się zauważyć, że jest to dokładnie ta sama funkcja co rozwiązanie równania jednorodnego, podane w równaniu (10). Konieczne jest jednokrotne pomnożenie przez x: zgodnie z formalnym wzorem na metodę przewidywania, wartość 2i jest jednym z pierwiastków wielomianu charakterystycznego. Tak więc:

y_nj = x(A sin 2x + B cos 2x).

Wyliczamy pierwszą i drugą pochodną:

y_nj⁰ = (A sin 2x + B cos 2x) + 2x(A cos 2x − B sin 2x), y⁰⁰_nj = 4(A cos 2x − B sin 2x) − 4x(A sin 2x − B cos 2x) po czym następuje wstawienie do równania:

4(A cos 2x − B sin 2x) − 4x(A sin 2x − B cos 2x) + 4x(A sin 2x + B cos 2x) = sin 2x

Elementy zawierające funkcje trygonometryczne pomnożone przez x redukują się, i otrzymujemy tożsamość:

4(A cos 2x − B sin 2x) = sin 2x,

dla wartości współczynników: A = 0, B = −¹₄. Szczególne rozwiązanie równania niejednorodnego to:

y_nj = −1

4x cos 2x.

Ogólne rozwiązanie równania niejednorodnego to suma dwóch rozwiązań: równania jednorodnego i niejednorodnego:

y = C₁sin 2x + C₂cos 2x − 1

4x cos 2x.

Ad b) W tym przykładzie f (x) = e^x+ x², więc funkcja nie jest iloczynem wielomianu i funkcji wykładniczej, tylko sumą. Formalny wzór na metodę przewidywania (8) należy zatem zastosować dwukrotnie: dla każdego składnika sumy osobno. Jeśli:

f (x) = f₁(x) + f₂(x), to

ynj = y_{nj 1}+ y_{nj 2}.

Dla f₁(x) = e^x przewidujemy rozwiązanie postaci: y_{nj 1} = Ae^x, dla tej funkcji y_{nj 1}= y_{nj 1}⁰ = y_{nj 1}⁰⁰ , a wstawiając do równania y⁰⁰+ 4y = e^x otrzymamy równanie:

Ae^x+ 4Ae^x = e^x, z którego wynika, że A = ¹₅.

Z kolei dla f2(x) = x² przewidujemy rozwiązanie postaci: y_{nj 2} = Ax²+ Bx + C, dla tej funkcji:

y⁰_{nj 2}= 2Ax + B, y⁰⁰_{nj 2}= 2A.

Wstawienie do równania y⁰⁰+ 4y = x²:

2A + 4(Ax²+ Bx + C) = x²

i przyrównanie współczynników przy odpowiednich potęgach:

4A = 1 4B = 0 2A + 4C = 0 da nam wartość współczynników: A = ¹₄, B = 0, C = −¹₈.

Szczególne rozwiązanie równania niejednorodnego jest sumą y_nj = y_{nj 1}+ y_{nj 2}, i ma postać:

y_nj = 1 5e^x+1

4x²− 1 8.

Ostatecznie, ogólne rozwiązanie równania niejednorodnego jest sumą y = y_j+ y_nj i wynosi:

y = C₁sin 2x + C₂cos 2x +1 5e^x+1

4x²+1 8. 4.2.2 Metoda uzmienniania stałych

Każde równanie niejednorodne postaci:

ay⁰⁰+ by⁰+ cy = f (x)

możemy rozwiązać metodą uzmienniania stałych, niezależnie od postaci funkcji f (x), ale ta metoda wymaga całkowania, i jeśli postać f (x) na to pozwoli, lepiej zastosować metodę przewidywania.

Idea metody uzmienniania stałych jest taka sama, jak dla równań I rzędu, sposób postępowania też, metoda składa się z dwóch kroków:

1. Rozwiąż równanie jednorodne, postać rozwiązania tego równania to yj = C₁y₁+ C₂y₂. 2. Zamień stałe całkowania na funkcje (uzmiennij stałe): y = C₁(x)y₁+ C₂(x)y₂ i wylicz te funk-

cje. To rozwiązanie też jest sumą y_j+ y_nj, ale tą sumę uzyskamy po pomnożeniu znalezionych funkcji C₁(x) i C₂(x) przez odpowiednie rozwiązania równania jednorodnego.

Z góry wiemy, że mamy problem, ponieważ nie da się na podstawie jednego (!) równania różniczko- wego wyliczyć dwóch (!) zmiennych: C₁(x) i C₂(x). Już przy pierwszej pochodnej: y⁰ = C₁⁰(x)y₁+ C1(x)y₁⁰ + C20

(x)y2+ C2(x)y₂⁰ należy przyjąć założenie, że:

C₁⁰(x)y₁+ C₂⁰(x)y₂ = 0.

Dalsze rachunki są przy tym założeniu możliwe: obliczenie drugiej pochodnej i wstawienie y, y⁰ i y⁰⁰ do równania różniczkowego (dokładne rachunki pominiemy) prowadzi do równania:

C₁(x)y⁰₁+ C₂⁰(x)y₂⁰ = f (x) a .

Założenie wraz z otrzymanym równaniem daje wzór na wyliczenie dwóch funkcji C10

(x), C20

(x) w postaci macierzowej:

"

y₁ y₂ y₁⁰ y⁰₂

# "

C₁⁰(x) C₂⁰(x)

#

=

"

0

f (x) a

#

(11) Oczywiście konieczne będzie całkowanie, aby z C₁⁰(x), C₂⁰(x) otrzymać C₁(x), C₂(x). Wzór ten na- leży zapamiętać, wówczas rachunki stają się bardzo krótkie, co pokażemy w następnym przykładzie.

Przykład do tej metody będzie jeden w tej instrukcji - metoda ta nie kryje w sobie żadnych ”nie- spodzianek”. Wystarczy wstawić do wzoru (11), rozwiązać układ równań (np. metodą Cramera), a następnie wyliczyć całki.

4.2.3 Przykłady

Przykład 7. Rozwiąż równanie: y⁰⁰+ y = _sin¹2x.

W 1. kroku rozwiązujemy równanie jednorodne y⁰⁰+ y = 0. Jest to równanie o stałych współ- czynnikach, jego wielomian charakterystyczny r²+ 1 = 0 ma dwa pierwiastki zespolone r1,2 = ±i.

Dwie funkcje są rozwiązaniem równania różniczkowego jednorodnego y₁ = sin x, y₂ = cos x.

Ogólne rozwiązanie tego równania jednorodnego wynosi:

yj = C1sin x + C2cos x. (12)

Następnie uzmienniamy stałe, czyli zamieniamy stałe całkowania na funkcje:

y = C₁(x) sin x + C₂(x) cos x. (13) Naszym zadaniem jest wyliczenie funkcji C₁(x) i C₂(x). Wzór na metodę uzmienniania stałych (11) umożliwi nam obliczenie pochodnych tych funkcji:

"

sin x cos x cos x − sin x

# "

C₁⁰(x) C₂⁰(x)

#

=

"

0

1 sin²x

#

(14) Stosując metodę Cramera otrzymujemy:

C₁⁰(x) =

0 cos x

1

sin²x − sin x

sin x cos x cos x − sin x

= cos x sin²x,

C₁⁰(x) =

sin x 0 cos x _sin¹2x

sin x cos x cos x − sin x

= − 1 sin x,

W wyniku całkowania otrzymamy następujące funkcje:

C₁(x) = − 1

sin x+ C₁, C₂(x) = − ln

   tgx

2

   + C₂

Wstawiając te funkcje do (13), otrzymamy ogólne rozwiązanie równania niejednorodnego:

y =



− 1

sin x + C₁



sin x +



− ln

   tgx

2

   + C₂



cos x, to rozwiązanie też jest sumą: y = y_j+ y_nj:

y = C₁sin x + C₂cos x − cos x ln

   tgx

2

   − 1.

4.3 Równanie liniowe jednorodne

Postać ogólna równania liniowego jednorodnego to:

y⁰⁰+ p(x)y⁰+ q(y) = 0. (15)

Wiemy, że rozwiązanie takiego równania zawiera dwie niezależne (nie dodające się do siebie dodać) funkcje y₁ oraz y₂:

y = C₁y₁+ C₂y₂.

Wiemy, że jeśli mamy znaleźć dwie różne funkcje przy pomocy jednego równania różniczkowego, to jest to po prostu niemożliwe. Dlatego jedną funkcję będącą rozwiązaniem musimy znać - czyli musimy mieć podaną. Wówczas drugą funkcję możemy znaleźć np. stosując własności Wrońskianu W (x), który spełnia równanie różniczkowe W⁰(x) + p(x)W (x) = 0, które ma rozwiązanie postaci:

W (x) = e^{−R p(x)dx}. (16)

Zapamiętać należy, że przed zastosowaniem tego wzoru należy rozwiązywane równanie różniczkowe przekształcić do postaci ogólnej (15): p(x) to funkcja pomnożona przez y⁰ w równaniu różniczkowym, w którym y⁰⁰ jest pomnożona przez 1. Jeszcze jedna uwaga: w skrypcie PWr Gewert, Skoczylas:

Równania Różniczkowe Zwyczajne. Teoria, przykłady, zadania całki są oznaczone, więc wzór jest inny.

4.3.1 Przykłady

Przykład 7. Rozwiąż równanie: y⁰⁰− y = 0, y₁ = e^x.

W tym przykładzie równanie ma stałe współczynniki, więc można go rozwiązać szybciej i bez całkowania; niemniej jednak pierwszy przykład powinien być łatwy w rachunkach. Najpierw wy- znaczymy Wrońskian:

W (x) =

e^x y₂ e^x y₂⁰

oraz funkcję p(x): w tym przykładzie p(x) = 0. Po wstawieniu do wzoru (16) otrzymamy:

e^x y₂ e^x y⁰₂

= e^−R0dx, czyli równanie różniczkowe postaci:

e^xy₂⁰− e^xy₂ = e^C,

gdzie C to stała całkowania. Można jej nadać dowolną wartość rzeczywistą, ponieważ e^C 6= 0 dla każdego C, a taką właśnie własność ma Wrońskian: jest zawsze różny od zera. W tym przykładzie wygodnie jest przyjąć C = 0, wówczas równanie różniczkowe przyjmie postać:

e^xy20− e^xy2 = 1.

Pamiętajmy cały czas, że po lewej stronie tego równania jest Wrońskian, czyli wyznacznik. Zna- jomość własności wyznaczników oraz Wrońskianu są ważne: bardzo ułatwią rozwiązanie równania.

Mianowicie, równanie to jest liniowe niejednorodne, więc jego rozwiązanie jest sumą dwóch rozwią- zań: y₂ = y_2j+ y_2nj, a są to dwie różne funkcje. Która z tych funkcji jest naszą poszukiwaną funkcją y₂?

Poszukujemy oczywiście y_2nj, czyli szczególnego rozwiązania równania niejednorodnego, ponie- waż równanie jednorodne:

e^xy₂⁰ − e^xy₂ = 0

oznacza, że Wrońskian jest równy 0, czyli funkcja y_2j jest wielokrotnością e^x, czyli y_2j = Ce^x. W metodzie uzmienniania stałej dla I rzędu, w 2. kroku zakładamy, że y₂ = C(x)e^x i naszym zadaniem jest wyznaczenie funkcji C(x). Wiemy, że po wstawieniu y₂i y₂⁰ = C⁰(x)e^x+. . . do równania, wyrazy zawierające C(x) skrócą się po lewej stronie, więc przy pewnej wprawie w stosowaniu tej metody można napisać, że w rezultacie otrzymamy:

e^xC⁰(x)e^x = 1.

Wyliczenie C(x) wymaga całkowania:

C(x) =

Z

e^−2x = −1

2e^−2x+ C.

Szczególne rozwiązanie równania niejednorodnego otrzymamy mnożąc C(x) przez e^x, wynosi ono:

y_2nj = −1

2e^−2xe^x= −1 2e^−x.

To właśnie jest druga funkcja, czyli y₂, będąca rozwiązaniem równania y⁰⁰− y = 0; pierwszą funkcję y₁ = e^x mieliśmy podaną. Ostatecznie, ogólne rozwiązanie równania y⁰⁰− y = 0 wynosi:

y = C1e ∗ x + C2e^−x. (17)

Współczynnik ¹₂ można pominąć, skoro funkcja y₂ jest pomnożona przez stałą całkowania.

Przykład 8. Rozwiąż równanie: xy⁰⁰− y⁰− 4x³y = 0, y1 = e^x2. Równanie przekształcamy do postaci ogólnej:

y⁰⁰− 1

xy⁰− 4x²y = 0, (18)

funkcja p(x) = −¹_x, a Wrońskian W (x) jest równy:

W (x) =

e^x2 y₂ 2xe^x2 y⁰₂

.

Wstawiając do wzoru (16) otrzymujemy równanie różniczkowe:

e^x2y₂⁰− 2xe^x2y₂ = e^{−R(−x1)dx} = x, (19) w którym po prawej stronie po obliczeniu całki przyjęliśmy stałą całkowania równą 0 (po prostu nie trzeba tej stałej całkowania w ogóle dodawać).

Stosujemy metodę uzmienniania stałej: z własności wyznacznika wynika, że rozwiązanie równa- nia jednorodnego wynosi y_2j = Ce^x2. Po uzmiennieniu stałej: y2 = C(x)e^x2, obliczamy pochodną y₂⁰ = C⁰(x)e^x2 + . . . celem wstawienia do równania i wyliczenia funkcji C(x):

e^x2C⁰(x)e^x2 = x.

Funkcja C(x) wynosi:

C(x) =

Z

xe^−2x2dx = −1 4e^−2x2,

więc szczególne rozwiązanie równania (19) jest równe y_2nj = −¹₄e^−2x2e^x2 = −¹₄e^−x2. Ogólne rozwiązanie równania (18) ma postać:

y = C₁e^x2 + C2e^−x2