Szeregi Fouriera
zadania na ćwiczenia
Zad. 1. Wyznacz współczynniki Fouriera funkcji:
1. f jest okresowa o okresie 2 i f (t) = |t| dla |t| < 1, 2. f jest okresowa o okresie a i f (t) = at dla 0 ¬ t < a, 3. f (t) = | sin t|,
4. f (t) = sin3t.
Zad. 2. Znając współczynniki Fouriera funkcji f , wyznacz współczynniki Fouriera dla funkcji f (t − t0). Wykorzystując poprzednie zadanie, roz- wiń w szereg Fouriera funkcję f (t) = | cos t|.
Zad. 3. Zapisz równość Parsevala dla każdej funkcji z zadania 1.
Zad. 4. Niech f ∈ L2P(0, a) i niech cn bądą jej współczynnikami Fouriera.
f należy także do L2P(0, 2a) i ma współczynniki Fouriera c0n. Jaka jest zależność pomiędzy współczynnikami cn i c0n?
Zad. 5. Rozwiń w szereg Fouriera funkcję o okresie a = 2 zdefiniowaną na przedziale [−1, 1) równością:
f (t) = eiπzt (z ∈ C \ Z ustalone).
Wywnioskuj z równości Parsevala, że
∀x∈R\Z π2 sin2πx =
+∞
X
n=−∞
1 (x − n)2.
