1. Czy dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y spełniających warunek xm= ym, zachodzi równość xn= yn, jeżeli
a) m = 999, n = 333 ; b) m = 999, n = 222 ; c) m = 666, n = 333 ; d) m = 444, n = 222 ?
2. Czy dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej n podana liczba jest parzysta
a) n(n + 4)(n + 6) ; b) n(n + 3)(n + 4) ; c) n(n + 4) ;
d) n(n + 3) ?
3. Czy dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej n podana liczba jest podzielna przez 3
a) n(n + 4)(n + 7) ; b) n(n + 3)(n + 4) ; c) n(n + 5)(n + 8) ; d) n(n + 5)(n + 7) ?
4. Czy podana liczba jest wymierna a) (log12121) · log1136 ;
b) (log227) · log332 ; c) (log3125) · log581 ; d) (log524) · log625 ?
5. Czy równość √
x2− 2x + 1 = x − 1 jest prawdziwa dla a) x = log2log23 ;
b) x = log3log325 ; c) x = log2log25 ; d) x = log3log332 ?
6. Czy równość
sin3α = sin7α jest prawdziwa dla
a) α = 72◦; b) α = 54◦; c) α = 18◦; d) α = 36◦?
7. Czy nierówność
sinα · cosα · cos3α · cos7α · cos15α · cos71α > 0 jest prawdziwa dla
a) α = 1◦; b) α = 2◦; c) α = 4◦; d) α = 3◦?
8. Dany jest 18-kąt foremny A1A2A3...A18. Czy w podanym trójkącie co najmniej jeden kąt ma miarę 60◦
a) A5A7A17; b) A1A7A17; c) A1A6A7; d) A1A4A7?
9. Wiadomo, że wśród sześciu liczb:
611− 511, 1011− 311, 1411− 1311, 2111− 1011, 2811− 1511 oraz 3511− 3411 dokładnie 3 są pierwsze. Czy podana niżej liczba jest pierwsza?
a) 3511− 3411; b) 2111− 1011; c) 1411− 1311; d) 2811− 1511.
10. Na potrzeby tego zadania, liczbę naturalną k nazwiemy ładną, jeżeli istnieje liczb naturalna, której kwadrat ma sumę cyfr równą k.
Wiadomo, że wśród 11 kolejnych liczb naturalnych od 3010 do 3020 dokładnie 5 jest ładnych. Czy wobec tego ładną liczbą jest
a) 3018 ; b) 3016 ; c) 3014 ; d) 3015 ?
11. Na potrzeby tego zadania, liczbę naturalną k nazwiemy fajną, jeżeli istnieje liczb naturalna, której sześcian ma sumę cyfr równą k.
Wiadomo, że wśród 11 kolejnych liczb naturalnych od 3010 do 3020 dokładnie 3 są fajne. Czy wobec tego fajną liczbą jest
a) 3018 ; b) 3014 ; c) 3015 ; d) 3016 ?
12. Czy istnieje trójkąt, którego wysokości mają długości a) 5, 5, 11 ;
b) 5, 9, 9 ; c) 5, 11, 11 ; d) 5, 5, 9 ?
13. Czy istnieje trójkąt, którego wysokości mają długości a) 10, 20, 31 ;
b) 10, 11, 100 ; c) 10, 20, 29 ; d) 10, 11, 20 ?
14. Dla podanej liczby n podać najmniejszą liczbę całkowitą dodat- nią k taką, że liczba nk jest czwartą potęgą liczby całkowitej.
a)
n = 242016, k = ...
b)
n = 242013, k = ...
c)
n = 242015, k = ...
d)
n = 242014, k = ...
15. Dla podanej liczby naturalnej n podać największą liczbę natu- ralną k, dla której prawdziwe jest następujące zdanie: Dla dowolnych liczb całkowitych dodatnich a, b, jeżeli iloczyn ab jest podzielny przez n, to co najmniej jeden z czynników a, b jest podzielny przez k.
a)
n = 29· 33, k = ...
b)
n = 29· 82, k = ...
c)
n = 29· 36, k = ...
d)
n = 29· 62, k = ...
16. Suma wyrazów dowolnego postępu arytmetycznego n-wyrazowe- go a1, a2, a3, ..., anjest równa n · (a7+ ak)
2 . Dla podanej liczby k wskazać takie n, aby powyższe zdanie było prawdziwe.
a)
k = 10, n = ...
b)
k = 5, n = ...
c)
k = 3, n = ...
d)
k = 7, n = ...
17. Zapisać zbiór rozwiązań podanej nierówności w postaci przedzia- łu lub uporządkowanej sumy przedziałów (nie używać różnicy zbiorów).
a)
(|log5x| − 1)2< 1, ...
b)
(|log5x| − 2)4> 1, ...
c)
(|log5x| − 2)5> 1, ...
d)
(|log5x| − 1)3< 1, ...
18. Podać wartość wyrażenia, gdzie [x] oznacza część całkowitą licz- by x.
a) h
log√212i= ...
b) h
log√211i= ...
c) h
log√288i= ...
d) h
log√26i= ...
19. W okrąg o promieniu R wpisano taki ośmiokąt ABCDEF GH, że AB = BC = CD = DE = a oraz EF = F G = GH = HA = b. Uzupeł- nić wzór na R w zależności od a i b, wpisując w miejscu kropek odpo- wiednie współczynniki.
R =
s
... · a2+ ... · ab + ... · b2
20. W okrąg o promieniu R wpisany jest taki dwunastokąt ABCDEF GHIJ KL, że AB = BC = CD = DE = EF = F G = a oraz GH = HI = IJ = J K = KL = LA = b. Uzupełnić wzór na R w zależności od a i b, wpisując w miejscu kropek odpowiednie współczynniki.
R =
s
... · a2+ ... · ab + ... · b2
