• Nie Znaleziono Wyników

Układy równań liniowych

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Układy równań liniowych"

Copied!
18
0
0

Pełen tekst

(1)

Układy równań liniowych

(2)

Układ m równań liniowych z n niewiadomymi

a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2

...

am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm można zapisać jako równanie macierzowe

a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n

... ... ...

am1 am2 . . . amn

·

x1 x2 ...

xn

=

b1 b2 ...

bm

(3)

Przyjmując oznaczenia

A =

a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n

... ... ...

am1 am2 . . . amn

, b =

b1 b2 ...

bm

, x =

x1 x2 ...

xn

możemy dany układ zapisać w postaci Ax = b,

gdzie A ∈ Matm×n(R) i b ∈ Rm są dane, zaś x ∈ Rn jest „szukane”.

(4)

Macierz A nazywamy macierzą układu równań.

A =

a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n

... ... ...

am1 am2 . . . amn

(5)

Macierz [A|b] nazywamy macierzą rozszerzoną układu równań.

[A|b] =

a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n

... ... ...

am1 am2 . . . amn

b1 b2 ...

bm

(6)

Przekształceniami elementarnymi wierszy macierzy nazywamy:

– pomnożenie wiersza przez liczbę różną od zera,

– zamianę dwóch wierszy,

– dodanie do wiersza innego pomnożonego przez liczbę.

(7)

Metoda eliminacji Gaussa.

Za pomocą przekształceń elementarnych doprowadzamy macierz rozszerzoną [A|b] do zredukowanej postaci górnoschodkowej.

Przy przekształceniach elementarnych tej macierzy nie zmienia się zbiór rozwiązań układu równań Ax = b.

(8)

Postać górnoschodkowa macierzy rozszerzonej

0 . . . 0 ∗ . . . ∗ ∗ . . . ∗ ∗ . . . ∗ ∗ . . . ∗ 0 . . . 0 0 . . . 0 ∗ . . . ∗ ∗ . . . ∗ ∗ . . . ∗ 0 . . . 0 0 . . . 0 0 . . . 0 ∗ . . . ∗ ∗ . . . ∗ 0 . . . 0 0 . . . 0 0 . . . 0 0 . . . ∗ ∗ . . . ∗ ... . . . ... ... . . . ... ... . . . ... ... . . ... ... . . . ...

0 . . . 0 0 . . . 0 0 . . . 0 0 . . . 0 ∗ . . . ∗ 0 . . . 0 0 . . . 0 0 . . . 0 0 . . . 0 0 . . . 0 0 . . . 0 0 . . . 0 0 . . . 0 0 . . . 0 0 . . . 0 ... . . . ... ... . . . ... ... . . . ... ... . . ... ... . . . ...

0 . . . 0 0 . . . 0 0 . . . 0 0 . . . 0 0 . . . 0

∗...

? 0...

0

Elementy ∗ są różne od zera.

(9)

Zredukowana postać górnoschodkowa macierzy rozszerzonej

0 . . . 0 1 . . . 0 . . . 0 . . . . . . 0 . . . 0 . . . 0 0 0 . . . 0 1 . . . 0 . . . . . . 0 . . . 0 . . . 0 0 0 . . . 0 0 0 . . . 0 1 . . . . . . 0 . . . ... . . . ... ... ... . . . ... ... ... . . . ... ... ... . . ... ... ... . . . ...

0 . . . 0 0 0 . . . 0 0 0 . . . 0 0 0 . . . . . . 0 1 . . . 0 . . . 0 0 0 . . . 0 0 0 . . . 0 0 0 . . . . . . 0 0 0 . . . 0 0 . . . 0 0 0 . . . 0 0 0 . . . 0 0 0 . . . . . . 0 0 0 . . . 0 ... . . . ... ... ... . . . ... ... ... . . . ... ... ... . . ... ... ... . . . ...

0 . . . 0 0 0 . . . 0 0 0 . . . 0 0 0 . . . . . . 0 0 0 . . . 0

...

? 0...

0

(10)

Minorem macierzy A ∈ Matm×n(R) nazywamy wyznacznik jej podmacierzy kwadratowej:

ai1j1 ai1j2 . . . ai1j

k

ai2j1 ai2j2 . . . ai2j ... ... ... k

ai

kj1 ai

kj2 . . . ai

kjk

,

gdzie 1 6 i1 < i2 < . . . < ik 6 m, 1 6 j1 < j2 < . . . < jk 6 n.

Rzędem macierzy A ∈ Matm×n(R) nazywamy największy stopień jej niezerowego minora.

Przekształcenia elementarne nie zmieniają rzędu macierzy.

(11)

Twierdzenie Kroneckera – Capellego (wersja krótka)

Układ równań Ax = b, gdzie A ∈ Matm×n(R), b ∈ Rm, x ∈ Rn po- siada rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy rank(A) = rank[A|b].

Uwaga: "posiada rozwiązanie" oznacza "posiada co najmniej jed- no rozwiązanie".

(12)

Twierdzenie Kroneckera – Capellego (wersja długa)

Rozważmy układ równań Ax = b, gdzie A ∈ Matm×n(R), b ∈ Rm, x ∈ Rn.

a) Jeśli rank(A) = rank[A|b] = n, to układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie.

b) Jeśli rank(A) = rank[A|b] = r < n, to układ równań ma nie- skończenie wiele rozwiązań. Rozwiązanie zależy od n − r para- metrów.

c) Jeśli rank(A) 6= rank[A|b], to układ równań nie ma rozwiązań.

(13)

Co to znaczy, że rozwiązanie zależy od n − r parametrów?

Wszystkie rozwiązania układu Ax = b są postaci x = x0 + c1v1 + . . . + cn−rvn−r

dla dowolnych wartości parametrów c1, . . . , cn−r ∈ R, gdzie x0, v1, . . . , vn−r ∈ Rn.

Dla różnych wartości parametrów c1, . . . , cn−r otrzymujemy różne rozwiązania x.

(14)

Rozwiązania układu jednorodnego Ax = 0 są wówczas postaci x = c1v1 + . . . + cn−rvn−r

dla c1, . . . , cn−r ∈ R.

(15)

Niech x0 będzie pewnym rozwiązaniem układu równań Ax = b.

Wówczas wszystkie rozwiązania tego układu są postaci x = x0 + v,

gdzie v jest dowolnym rozwiązaniem układu Ax = 0.

Dowód. Jeśli Ax0 = b i Av = 0, to

A(x0 + v) = Ax0 + Av = b + 0 = b.

Jeśli Ax0 = b i Ax = b, to dla v = x − x0 mamy

(16)

Twierdzenie. Dla macierzy kwadratowej A ∈ Matn×n(R) nastę- pujące warunki są równoważne:

– macierz A jest odwracalna,

– det(A) 6= 0,

– rank(A) = n.

(17)

Niech A ∈ Matn×n(R), det(A) 6= 0, b ∈ Rn.

Układ równań

Ax = b

ma dokładnie jedno rozwiązanie, które wyraża się wzorem x = A−1b.

(18)

Wzory Cramera:

x1 = W1

W , . . . , xn = Wn W , gdzie W = det A 6= 0,

Wi - wyznacznik macierzy otrzymanej z macierzy A przez zamia- nę i-tej kolumny na kolumnę b:

Wi =

a11 . . . b1 . . . a1n a21 . . . b2 . . . a2n

... ... ...

an1 . . . bn . . . ann

.

Cytaty

Powiązane dokumenty

Jego los nie jest efektem niczym nieskrępowanej Bożej wol- ności, która sprawia, że Bóg zmienia obiekt swej miłości i reguły, według których zbawia się człowiek. W Rz 9,6-29

istnieje nieskończenie wiele zbiorów wartości x i spełniających jednocześnie wszystkie równania układu (układ nieoznaczony) W postaci macierzowej powyższy układ

I dodając do elementów dowolnego wiersza odpowiedne elementy innego wiersza pomnożone przez dowolną stała ¸, doprowadzamy do macierzy, której każda z pierwszych n kolumn składa

Chcąc zaoszczędzić czas układy równań zapisujemy jako macierze, czyli prostokątne tabliczki liczb, które są odpowiednimi. współczynnikami w

Struktura zbioru rozwiązań układu

Chcąc zaoszczędzić czas układy równań zapisujemy jako macierze, czyli prostokątne tabliczki liczb, które są odpowiednimi. współczynnikami w

Ponieważ A jest macierzą nieosobliwą istnieje macierz do niej odwrotna

• sprawdzić czy testowane układy równań mają jedno rozwiązanie, brak rozwiązań lub nieskończenie wiele rozwiązań za pomocą sprawdzenia rzędu macierzy A, rzędu