Układy równań liniowych
Układ m równań liniowych z n niewiadomymi
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2
...
am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm można zapisać jako równanie macierzowe
a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n
... ... ...
am1 am2 . . . amn
·
x1 x2 ...
xn
=
b1 b2 ...
bm
Przyjmując oznaczenia
A =
a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n
... ... ...
am1 am2 . . . amn
, b =
b1 b2 ...
bm
, x =
x1 x2 ...
xn
możemy dany układ zapisać w postaci Ax = b,
gdzie A ∈ Matm×n(R) i b ∈ Rm są dane, zaś x ∈ Rn jest „szukane”.
Macierz A nazywamy macierzą układu równań.
A =
a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n
... ... ...
am1 am2 . . . amn
Macierz [A|b] nazywamy macierzą rozszerzoną układu równań.
[A|b] =
a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n
... ... ...
am1 am2 . . . amn
b1 b2 ...
bm
Przekształceniami elementarnymi wierszy macierzy nazywamy:
– pomnożenie wiersza przez liczbę różną od zera,
– zamianę dwóch wierszy,
– dodanie do wiersza innego pomnożonego przez liczbę.
Metoda eliminacji Gaussa.
Za pomocą przekształceń elementarnych doprowadzamy macierz rozszerzoną [A|b] do zredukowanej postaci górnoschodkowej.
Przy przekształceniach elementarnych tej macierzy nie zmienia się zbiór rozwiązań układu równań Ax = b.
Postać górnoschodkowa macierzy rozszerzonej
0 . . . 0 ∗ . . . ∗ ∗ . . . ∗ ∗ . . . ∗ ∗ . . . ∗ 0 . . . 0 0 . . . 0 ∗ . . . ∗ ∗ . . . ∗ ∗ . . . ∗ 0 . . . 0 0 . . . 0 0 . . . 0 ∗ . . . ∗ ∗ . . . ∗ 0 . . . 0 0 . . . 0 0 . . . 0 0 . . . ∗ ∗ . . . ∗ ... . . . ... ... . . . ... ... . . . ... ... . . ... ... . . . ...
0 . . . 0 0 . . . 0 0 . . . 0 0 . . . 0 ∗ . . . ∗ 0 . . . 0 0 . . . 0 0 . . . 0 0 . . . 0 0 . . . 0 0 . . . 0 0 . . . 0 0 . . . 0 0 . . . 0 0 . . . 0 ... . . . ... ... . . . ... ... . . . ... ... . . ... ... . . . ...
0 . . . 0 0 . . . 0 0 . . . 0 0 . . . 0 0 . . . 0
∗
∗
∗
∗...
∗
? 0...
0
Elementy ∗ są różne od zera.
Zredukowana postać górnoschodkowa macierzy rozszerzonej
0 . . . 0 1 ∗ . . . ∗ 0 ∗ . . . ∗ 0 ∗ . . . . . . ∗ 0 ∗ . . . ∗ 0 . . . 0 0 0 . . . 0 1 ∗ . . . ∗ 0 ∗ . . . . . . ∗ 0 ∗ . . . ∗ 0 . . . 0 0 0 . . . 0 0 0 . . . 0 1 ∗ . . . . . . ∗ 0 ∗ . . . ∗ ... . . . ... ... ... . . . ... ... ... . . . ... ... ... . . ... ... ... . . . ...
0 . . . 0 0 0 . . . 0 0 0 . . . 0 0 0 . . . . . . 0 1 ∗ . . . ∗ 0 . . . 0 0 0 . . . 0 0 0 . . . 0 0 0 . . . . . . 0 0 0 . . . 0 0 . . . 0 0 0 . . . 0 0 0 . . . 0 0 0 . . . . . . 0 0 0 . . . 0 ... . . . ... ... ... . . . ... ... ... . . . ... ... ... . . ... ... ... . . . ...
0 . . . 0 0 0 . . . 0 0 0 . . . 0 0 0 . . . . . . 0 0 0 . . . 0
∗
∗
∗...
∗
? 0...
0
Minorem macierzy A ∈ Matm×n(R) nazywamy wyznacznik jej podmacierzy kwadratowej:
ai1j1 ai1j2 . . . ai1j
k
ai2j1 ai2j2 . . . ai2j ... ... ... k
ai
kj1 ai
kj2 . . . ai
kjk
,
gdzie 1 6 i1 < i2 < . . . < ik 6 m, 1 6 j1 < j2 < . . . < jk 6 n.
Rzędem macierzy A ∈ Matm×n(R) nazywamy największy stopień jej niezerowego minora.
Przekształcenia elementarne nie zmieniają rzędu macierzy.
Twierdzenie Kroneckera – Capellego (wersja krótka)
Układ równań Ax = b, gdzie A ∈ Matm×n(R), b ∈ Rm, x ∈ Rn po- siada rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy rank(A) = rank[A|b].
Uwaga: "posiada rozwiązanie" oznacza "posiada co najmniej jed- no rozwiązanie".
Twierdzenie Kroneckera – Capellego (wersja długa)
Rozważmy układ równań Ax = b, gdzie A ∈ Matm×n(R), b ∈ Rm, x ∈ Rn.
a) Jeśli rank(A) = rank[A|b] = n, to układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie.
b) Jeśli rank(A) = rank[A|b] = r < n, to układ równań ma nie- skończenie wiele rozwiązań. Rozwiązanie zależy od n − r para- metrów.
c) Jeśli rank(A) 6= rank[A|b], to układ równań nie ma rozwiązań.
Co to znaczy, że rozwiązanie zależy od n − r parametrów?
Wszystkie rozwiązania układu Ax = b są postaci x = x0 + c1v1 + . . . + cn−rvn−r
dla dowolnych wartości parametrów c1, . . . , cn−r ∈ R, gdzie x0, v1, . . . , vn−r ∈ Rn.
Dla różnych wartości parametrów c1, . . . , cn−r otrzymujemy różne rozwiązania x.
Rozwiązania układu jednorodnego Ax = 0 są wówczas postaci x = c1v1 + . . . + cn−rvn−r
dla c1, . . . , cn−r ∈ R.
Niech x0 będzie pewnym rozwiązaniem układu równań Ax = b.
Wówczas wszystkie rozwiązania tego układu są postaci x = x0 + v,
gdzie v jest dowolnym rozwiązaniem układu Ax = 0.
Dowód. Jeśli Ax0 = b i Av = 0, to
A(x0 + v) = Ax0 + Av = b + 0 = b.
Jeśli Ax0 = b i Ax = b, to dla v = x − x0 mamy
Twierdzenie. Dla macierzy kwadratowej A ∈ Matn×n(R) nastę- pujące warunki są równoważne:
– macierz A jest odwracalna,
– det(A) 6= 0,
– rank(A) = n.
Niech A ∈ Matn×n(R), det(A) 6= 0, b ∈ Rn.
Układ równań
Ax = b
ma dokładnie jedno rozwiązanie, które wyraża się wzorem x = A−1b.
Wzory Cramera:
x1 = W1
W , . . . , xn = Wn W , gdzie W = det A 6= 0,
Wi - wyznacznik macierzy otrzymanej z macierzy A przez zamia- nę i-tej kolumny na kolumnę b:
Wi =
a11 . . . b1 . . . a1n a21 . . . b2 . . . a2n
... ... ...
an1 . . . bn . . . ann
.