(a) R dx R dy R f dz ; (b) R dz R dx R f dy .

Zadania domowe z Analizy II. Seria 4. 23.05.2016 1. Zapisa´ c ca lke

I = R

4 f (x, y, z)dxdydz, gdzie 4 ∈ R ³ jest czworo´ scianem o wierzcho lkach (0, 1, 2), (1, 0, −1), (1, 3, 5), (1, 0, 2), w postaci ca lki iterowanej (lub sumy takich ca lek):

(a) R dx R dy R f dz ; (b) R dz R dx R f dy .

2. Obliczy´ c pole obszaru K ⊂ R ² : (a) ograniczonego cykloida

(x, y) = (t − sin t, 1 − cos t), t ∈ [0, 2π], i prosta

y = 0;

(b) ograniczonego krzywa

(x, y) = (sin 2φ, sin 3φ), 0 ≤ φ ≤ π; (c) K = {(x, y) : (x ² + y ² ) ² ≤ a(x ³ − 3xy ² )};

(d) K = {(x, y) : ax ² −bxy +cy ⁴ ≤ 0; x, y ≥ 0}; (e) K = {(x, y) : ax ³ −bx ² y +cy ⁴ ≤ 0; x, y ≥ 0}, (a, b, c > 0).

3. Przestawi´ c kolejno´ s´ c ca lkowania w ca lce:

(a) R 2 0 dx R

√ 2x

√ 2x−x

f dy; (b) R 6

−2 dx R

√ 12+4x−x

− √

12+4x−x

f dy; (c) R 2 0 dx R 2x

x f dy; (d) R π

0 dx R sin x

− sin x f dy; (e) R 1

0 dy R 1−y

− √

1−y

f dx 4. Przedstawi´ c I := R 1

0 dx R 1

x dy R 2y−x

x+y 2

f dz w postaci ca lki iterowanej (lub sumy takich ca lek) o zadanej kolejno´ sci ca lkowania:

(a) I = R dz R dy R f dx ; (b) I = R dx R dz R f dy ; (c) I = R dy R dz R f dx ; (d) I = R dz R dx R f dy . 5. Obliczy´ c ca lki i skomentowa´ c otrzymane wyniki: (a) R ∞

1 dx R 1

0 dy _(x+y) ^y−x

, (b) R 1 0 dy R ∞

1 dx _(x+y) ^y−x

. 6. Odwracaja

c kolejno´ s´ c ca lkowania wykaza´ c, ˙ze R b

a dx _n R x

a dx _n−1 . . . R x

a dx ₂ R x

a f (x ₁ )dx ₁ = R b

a f (x) ^(b−x) _(n−1)!

dx.

7. Niech I oznacza ca lke

podw´ ojna

I = R

K f (x, y)dxdy; sprawdzi´ c, ˙ze:

(a) K = {x ² + y ² ≤ x}, f = x ⁻¹ |y| ⇒ I = ¹ ₂ ; (b) K = {x ² + y ² ≤ a ² }, f = x ² p

a ² − y ² ⇒ I = ^32a ₄₅

; (c) K = {(x ² + y ² ) ² ≤ 2a ² (x ² − y ² , x ≥ 0}, f = 1 ⇒ I = a ² ; (d) K = {x, y ≥ 0, p _x

a + p y

b ≤ 1}, f = xy ⇒ I = ^a ₂₈₀

^b

; (e) K = {y ≥ 0, 9x ≤ y ² , x ² + y ≤ 4}, f = xy ⇒ I = − ¹⁵ ₄ ; (f) K = {xy ≥ 1, y ² ≥ x, y ≤ 2}, f = x ² y ⇒ I = ²⁵¹ ₂₄ ; (g) K = {x ² = y ² ≤ 2x}, f = p

4 − x ² − y ² ⇒ I = ⁸ ₉ (3π − 4) ; (h) K = {x ² + 2y ³ ≤ 4xy, y ≥ 0}, f = 1 ⇒ I = ⁶⁴ ₁₅ ; (i) K = {(x ² − ax + y ² ) ² ≤ a ² (x ² + y ² )}, f = 1 ⇒ I = ³ ₂ πa ² ; (j) K = {x ² + y ² ≤ a ² }, f = e ^x

^+y

⇒ I = (e ^a

− 1)π ; (k) K = {y ≤ 1, x ² (2 − y) ≤ y(1 − y) ² }, f = 1 ⇒ I = ^4−π ₂ ; (l) K = {0 ≤ x ≤ ^π ₂ , 0 ≤ y ≤ 2}, f = x ² y cos(xy ² ) ⇒ I = − ₁₆ ^π ; (m) K = {|x − y| ≤ 1, y ≥ 0}, f = xe ^−y

⇒ I = 1.

8. Wyliczy´ c ´ srodek cie

˙zko´ sci jednorodnego obszaru p laskiego K := {(x, y) : x > 0, xy ≥ 1, ^x _a + ^y _b ≤ 2} (przy a, b > 0, ab > 1 danych); sprawdzi´ c, ˙ze le˙zy on na prostej o r´ ownaniu ^x _a = ^y _b .

9. Niech I oznacza ca lke

potr´ ojna

I = R

K f (x, y, z)dxdydz; sprawdzi´ c, ˙ze:

(a) K = {x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, x + y + z ≤ 1}, f (x, y, z) = (1 + x + y + z) ⁻³ ⇒ I = ¹ ₂ (log 2 − ⁵ ₈ ) ; (b) K = {x ² + y ² + z ² ≤ 2, x ² + y ² ≤ z}, f (x, y, z) = x ² + y ² + z ² ⇒ I = ₆₀ ^π (96 √

2 − 8) ; (c) K = { ^x _a

+ ^y _b

+ ^z _c

≤ 1}, f (x, y, z) =

q

1 − ^x _a

− ^y _b

− ^z _c

⇒ I = ^π ₄

abc ; (d) K = {x ² + y ² ≤ z ≤ 2(x ² + y ² ), x ² ≤ y ≤ x}, f (x, y, z) = 1 ⇒ I = ₃₅ ³ ; (e) K = {x ² + y ² + z ² ≤ x}, f (x, y, z) = p

x ² + y ² + z ² ⇒ I = ₁₀ ^π . 10. Obliczy´ c ´ srednia

warto´ s´ c M (f, K) = R

K f (x)dx / R

K dx funkcji f na zbiorze K:

(a) K = {x ∈ R ² : 0 ≤ x ₁ ≤ 1, 0 ≤ x 2 ≤ 1}, f (x) = x ² ₁ x ₂ ; (b) K = {x ∈ R ² : (x ₁ − a) ² + x ² ₂ ≤ r ² }, f (x) = x ² ₁ + x ² ₂ ; (c) K = {x ∈ R ³ : x ² ₁ + x ² ₂ + x ² ₃ ≤ x 1 + x ₂ + x ₃ }, f (x) = x ² ₁ + x ² ₂ + x ² ₃ ; (d) K = {x ∈ R ³ : 1 ≤ x ² ₁ + x ² ₂ + x ² ₃ ≤ 4, x 3 ≥ 0}, f (x) = x ² ₁ + x ² ₂ .

11. Znale´ z´ c ´ srodek cie

˙zko´ sci jednorodnej p´ o lkuli Ω := {x + 2 + y ² + (z − 1) ² ≤ 1, z ≤ 1}

12. Obliczy´ c obje

to´ s´ c bry l:

(a) B 1 := {x ² + y ² + z ² ≤ 4z, x ² + y ² ≤ 3z}; (b) B 2 := {x ² + y ² + z ² ≤ 1, z ≥ p

x ² + y ² }; (c) B 3 :=

{x ² + y ² + z ² ≤ 4, x ² + y ² ≤ 3z}; (d) B 4 := K 1 ∪ K 2 (e) B 5 := K 1 ∩ K 2 , gdzie K 1 := {x ² + y ² + z ² ≤ 2z}, K 2 := {x ² + y ² + z ² ≤ 2}.

13. Znale´ z´ c ´ srodek cie

˙zko´ sci jednorodnej bry ly Ω := {x ² + y ² + z ² ≤ 1, z ≥ p

x ² + y ² }.

14. Znale´ z´ c moment bezw ladno´ sci wzgle

dem osi 0z sto˙zka C := {x ² +y ² ≤ z ² , 0 ≤ z ≤ 1} o ge

sto´ sci ρ(x, y, z) = z ² ; 15. Oznaczmy Ω := {(x, y) : x > 0, y > 0, x ² + y ² < 1} oraz I p := R

0 sin ^p ϕ dϕ dla p > −1. Licza

c ca lke

R

K

y

dx dy

√

1−x

−y

dwoma sposobami: jako ca lke

iterowana

i przez parametryzacje

x = sin θ cos ϕ, y = sin θ sin ϕ,

1

wykaza´ c to˙zsamo´ s´ c I p I p+1 = _2(p+1) ^π . Korzystaja

c z tej to˙zsamo´ sci wyprowadzi´ c naste

puja

ce oszacowanie:

q _π

2(p+1) < I _p < q _π

2p .

16. Znale´ z´ c si le

przycia

gania grawitacyjnego mie

dzy jednorodna

bry la

B := {x ² + y ² + z ² ≤ 1, z ≤ 0} o ge

st´ sci ρ = 1, a masa

punktowa

m umieszczona

w punkcie (0, 0, 1);

17. Znale´ z´ c si le

przycia

gania grawitacyjnego mie

dzy jednorodna

bry la

B := {1 ≤ z ≤ 2, x ² + y ² ≤ z ² } o masie M , a masa

punktowa

m umieszczona

w punkcie (0, 0, 0).

18. Znale´ z´ c si le

przycia

gania grawitacyjnego mie

dzy jednorodna

bry la

B = {x ² + y ² ≤ 1 ≤ z ≤ 2} o masie M , a masa

punktowa

m umieszczona

w punkcie (0, 0, 0).

19. Obliczy´ c obje

to´ s´ c czterowymiarowej kuli o promieniu R i powierzchnie

jej brzegu (czyli tr´ ojwymiarowej sfery).

20. Znale´ z´ c mase

sfery jednostkowej o ge

sto´ sci powierzchniowej r´ ownej odleg lo´ sci od osi z.

21. Obliczy´ c mase

elipsy o osiach (2,1) i ge

sto´ sci liniowej λ(x, y) := |y|.

22. Obliczy´ c si le

, z jaka

jednorodna p´ o lsfera S + := {(x, y, z) : x ² + y ² + z ² = 1, z ≥ 0} o masie M = 1 przycia

ga grawitacyjnie punktowa

mase

m = 1, umieszczona

w punkcie (0, 0, a) ∈ R ³ , a 6= 1.

23. Dowie´ s´ c, ˙ze odwzorowanie Φ(u, v) := (cosh u cos v, sinh u sin v) jest dyfeomorfizmem obszaru Ω := {(u, v) : 0 < v < π} na obszar Φ(Ω) = {(x, y) : y 6= 0 lub − 1 < x < 1}. Wykorzysta´ c parametryzacje

Φ do obliczenia pola obszaru K := {(x, y) : _cosh ^x

u

+ _sinh ^y

u

≥ 1 ≥ _cosh ^x

u

+ _sinh ^y

u

, _cos ^x

v

− _sin ^y

v

≤ 1 ≤

x

cos

v

− _sin ^y

v

, x > 0, y > 0} (przy zadanych 0 < u 1 < u 2 , 0 < v 1 < v 2 < ^π ₂ ), kt´ orego brzeg stanowia

odcinki luk´ ow wsp´ o logniskowych elips i hiperbol.

24. Niech S := {(x, y, z) ∈ R ³ : ^x _a

+ ^y _b

= z ² , 0 ≤ z ≤ c} oraz f (x, y, z) :=

q x

a

+ ^y _b

+ z ² . Obliczy´ c R

S f , R

S 1 f . 25. Wykorzystuja

c poprzednie bliczy´ c obje

to´ s´ c bry ly obrotowej utworzonej przez: (a) sze´ scian o krawe

dzi a obracaja

cy sie

wok´ o l osi la

cza

cej ´ srodki jego dw´ och przeciwleg lych krawe

dzi; (b) sze´ scian o krawe

dzi a obracaja

cy sie

wok´ o l osi la

cza

cej jego dwa przeciwleg le wierzcho lki; (c) czworo´ scian foremny o krawe

dzi a, obracaja

cy sie

wok´ o l osi la

cza

cej ´ srodki jego dw´ och przeciwleg lych krawe

dzi.Odpowied´ z. (a) ^5π

√ 2

12 a ³ ; (b) ^{√ π}

3 a ³ ; (c) ^π

√ 2 12 a ³ .

2