(a) R dx R dy R f dz ; (b) R dz R dx R f dy .

Download (0)

Pełen tekst

(1)

Zadania domowe z Analizy II. Seria 4. 23.05.2016 1. Zapisa´ c ca lke

ι

I = R

4 f (x, y, z)dxdydz, gdzie 4 ∈ R 3 jest czworo´ scianem o wierzcho lkach (0, 1, 2), (1, 0, −1), (1, 3, 5), (1, 0, 2), w postaci ca lki iterowanej (lub sumy takich ca lek):

(a) R dx R dy R f dz ; (b) R dz R dx R f dy .

2. Obliczy´ c pole obszaru K ⊂ R 2 : (a) ograniczonego cykloida

ι

(x, y) = (t − sin t, 1 − cos t), t ∈ [0, 2π], i prosta

ι

y = 0;

(b) ograniczonego krzywa

ι

(x, y) = (sin 2φ, sin 3φ), 0 ≤ φ ≤ π; (c) K = {(x, y) : (x 2 + y 2 ) 2 ≤ a(x 3 − 3xy 2 )};

(d) K = {(x, y) : ax 2 −bxy +cy 4 ≤ 0; x, y ≥ 0}; (e) K = {(x, y) : ax 3 −bx 2 y +cy 4 ≤ 0; x, y ≥ 0}, (a, b, c > 0).

3. Przestawi´ c kolejno´ s´ c ca lkowania w ca lce:

(a) R 2 0 dx R

√ 2x

√ 2x−x

2

f dy; (b) R 6

−2 dx R

√ 12+4x−x

2

− √

12+4x−x

2

f dy; (c) R 2 0 dx R 2x

x f dy; (d) R π

0 dx R sin x

− sin x f dy; (e) R 1

0 dy R 1−y

− √

1−y

2

f dx 4. Przedstawi´ c I := R 1

0 dx R 1

x dy R 2y−x

x+y 2

f dz w postaci ca lki iterowanej (lub sumy takich ca lek) o zadanej kolejno´ sci ca lkowania:

(a) I = R dz R dy R f dx ; (b) I = R dx R dz R f dy ; (c) I = R dy R dz R f dx ; (d) I = R dz R dx R f dy . 5. Obliczy´ c ca lki i skomentowa´ c otrzymane wyniki: (a) R ∞

1 dx R 1

0 dy (x+y) y−x

3

, (b) R 1 0 dy R ∞

1 dx (x+y) y−x

3

. 6. Odwracaja

ι

c kolejno´ s´ c ca lkowania wykaza´ c, ˙ze R b

a dx n R x

n

a dx n−1 . . . R x

3

a dx 2 R x

2

a f (x 1 )dx 1 = R b

a f (x) (b−x) (n−1)!

n−1

dx.

7. Niech I oznacza ca lke

ι

podw´ ojna

ι

I = R

K f (x, y)dxdy; sprawdzi´ c, ˙ze:

(a) K = {x 2 + y 2 ≤ x}, f = x −1 |y| ⇒ I = 1 2 ; (b) K = {x 2 + y 2 ≤ a 2 }, f = x 2 p

a 2 − y 2 ⇒ I = 32a 45

5

; (c) K = {(x 2 + y 2 ) 2 ≤ 2a 2 (x 2 − y 2 , x ≥ 0}, f = 1 ⇒ I = a 2 ; (d) K = {x, y ≥ 0, p x

a + p y

b ≤ 1}, f = xy ⇒ I = a 280

2

b

2

; (e) K = {y ≥ 0, 9x ≤ y 2 , x 2 + y ≤ 4}, f = xy ⇒ I = − 15 4 ; (f) K = {xy ≥ 1, y 2 ≥ x, y ≤ 2}, f = x 2 y ⇒ I = 251 24 ; (g) K = {x 2 = y 2 ≤ 2x}, f = p

4 − x 2 − y 2 ⇒ I = 8 9 (3π − 4) ; (h) K = {x 2 + 2y 3 ≤ 4xy, y ≥ 0}, f = 1 ⇒ I = 64 15 ; (i) K = {(x 2 − ax + y 2 ) 2 ≤ a 2 (x 2 + y 2 )}, f = 1 ⇒ I = 3 2 πa 2 ; (j) K = {x 2 + y 2 ≤ a 2 }, f = e x

2

+y

2

⇒ I = (e a

2

− 1)π ; (k) K = {y ≤ 1, x 2 (2 − y) ≤ y(1 − y) 2 }, f = 1 ⇒ I = 4−π 2 ; (l) K = {0 ≤ x ≤ π 2 , 0 ≤ y ≤ 2}, f = x 2 y cos(xy 2 ) ⇒ I = − 16 π ; (m) K = {|x − y| ≤ 1, y ≥ 0}, f = xe −y

2

⇒ I = 1.

8. Wyliczy´ c ´ srodek cie

ι

˙zko´ sci jednorodnego obszaru p laskiego K := {(x, y) : x > 0, xy ≥ 1, x a + y b ≤ 2} (przy a, b > 0, ab > 1 danych); sprawdzi´ c, ˙ze le˙zy on na prostej o r´ ownaniu x a = y b .

9. Niech I oznacza ca lke

ι

potr´ ojna

ι

I = R

K f (x, y, z)dxdydz; sprawdzi´ c, ˙ze:

(a) K = {x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, x + y + z ≤ 1}, f (x, y, z) = (1 + x + y + z) −3 ⇒ I = 1 2 (log 2 − 5 8 ) ; (b) K = {x 2 + y 2 + z 2 ≤ 2, x 2 + y 2 ≤ z}, f (x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 ⇒ I = 60 π (96 √

2 − 8) ; (c) K = { x a

22

+ y b

22

+ z c

22

≤ 1}, f (x, y, z) =

q

1 − x a

22

y b

22

z c

22

⇒ I = π 4

2

abc ; (d) K = {x 2 + y 2 ≤ z ≤ 2(x 2 + y 2 ), x 2 ≤ y ≤ x}, f (x, y, z) = 1 ⇒ I = 35 3 ; (e) K = {x 2 + y 2 + z 2 ≤ x}, f (x, y, z) = p

x 2 + y 2 + z 2 ⇒ I = 10 π . 10. Obliczy´ c ´ srednia

ι

warto´ s´ c M (f, K) = R

K f (x)dx / R

K dx funkcji f na zbiorze K:

(a) K = {x ∈ R 2 : 0 ≤ x 1 ≤ 1, 0 ≤ x 2 ≤ 1}, f (x) = x 2 1 x 2 ; (b) K = {x ∈ R 2 : (x 1 − a) 2 + x 2 2 ≤ r 2 }, f (x) = x 2 1 + x 2 2 ; (c) K = {x ∈ R 3 : x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 ≤ x 1 + x 2 + x 3 }, f (x) = x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 ; (d) K = {x ∈ R 3 : 1 ≤ x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 ≤ 4, x 3 ≥ 0}, f (x) = x 2 1 + x 2 2 .

11. Znale´ z´ c ´ srodek cie

ι

˙zko´ sci jednorodnej p´ o lkuli Ω := {x + 2 + y 2 + (z − 1) 2 ≤ 1, z ≤ 1}

12. Obliczy´ c obje

ι

to´ s´ c bry l:

(a) B 1 := {x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4z, x 2 + y 2 ≤ 3z}; (b) B 2 := {x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1, z ≥ p

x 2 + y 2 }; (c) B 3 :=

{x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4, x 2 + y 2 ≤ 3z}; (d) B 4 := K 1 ∪ K 2 (e) B 5 := K 1 ∩ K 2 , gdzie K 1 := {x 2 + y 2 + z 2 ≤ 2z}, K 2 := {x 2 + y 2 + z 2 ≤ 2}.

13. Znale´ z´ c ´ srodek cie

ι

˙zko´ sci jednorodnej bry ly Ω := {x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1, z ≥ p

x 2 + y 2 }.

14. Znale´ z´ c moment bezw ladno´ sci wzgle

ι

dem osi 0z sto˙zka C := {x 2 +y 2 ≤ z 2 , 0 ≤ z ≤ 1} o ge

ι

sto´ sci ρ(x, y, z) = z 2 ; 15. Oznaczmy Ω := {(x, y) : x > 0, y > 0, x 2 + y 2 < 1} oraz I p := R

π2

0 sin p ϕ dϕ dla p > −1. Licza

ι

c ca lke

ι

R

K

y

p

dx dy

1−x

2

−y

2

dwoma sposobami: jako ca lke

ι

iterowana

ι

i przez parametryzacje

ι

x = sin θ cos ϕ, y = sin θ sin ϕ,

1

(2)

wykaza´ c to˙zsamo´ s´ c I p I p+1 = 2(p+1) π . Korzystaja

ι

c z tej to˙zsamo´ sci wyprowadzi´ c naste

ι

puja

ι

ce oszacowanie:

q π

2(p+1) < I p < q π

2p .

16. Znale´ z´ c si le

ι

przycia

ι

gania grawitacyjnego mie

ι

dzy jednorodna

ι

bry la

ι

B := {x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1, z ≤ 0} o ge

ι

st´ sci ρ = 1, a masa

ι

punktowa

ι

m umieszczona

ι

w punkcie (0, 0, 1);

17. Znale´ z´ c si le

ι

przycia

ι

gania grawitacyjnego mie

ι

dzy jednorodna

ι

bry la

ι

B := {1 ≤ z ≤ 2, x 2 + y 2 ≤ z 2 } o masie M , a masa

ι

punktowa

ι

m umieszczona

ι

w punkcie (0, 0, 0).

18. Znale´ z´ c si le

ι

przycia

ι

gania grawitacyjnego mie

ι

dzy jednorodna

ι

bry la

ι

B = {x 2 + y 2 ≤ 1 ≤ z ≤ 2} o masie M , a masa

ι

punktowa

ι

m umieszczona

ι

w punkcie (0, 0, 0).

19. Obliczy´ c obje

ι

to´ s´ c czterowymiarowej kuli o promieniu R i powierzchnie

ι

jej brzegu (czyli tr´ ojwymiarowej sfery).

20. Znale´ z´ c mase

ι

sfery jednostkowej o ge

ι

sto´ sci powierzchniowej r´ ownej odleg lo´ sci od osi z.

21. Obliczy´ c mase

ι

elipsy o osiach (2,1) i ge

ι

sto´ sci liniowej λ(x, y) := |y|.

22. Obliczy´ c si le

ι

, z jaka

ι

jednorodna p´ o lsfera S + := {(x, y, z) : x 2 + y 2 + z 2 = 1, z ≥ 0} o masie M = 1 przycia

ι

ga grawitacyjnie punktowa

ι

mase

ι

m = 1, umieszczona

ι

w punkcie (0, 0, a) ∈ R 3 , a 6= 1.

23. Dowie´ s´ c, ˙ze odwzorowanie Φ(u, v) := (cosh u cos v, sinh u sin v) jest dyfeomorfizmem obszaru Ω := {(u, v) : 0 < v < π} na obszar Φ(Ω) = {(x, y) : y 6= 0 lub − 1 < x < 1}. Wykorzysta´ c parametryzacje

ι

Φ do obliczenia pola obszaru K := {(x, y) : cosh x

22

u

1

+ sinh y

22

u

1

≥ 1 ≥ cosh x

22

u

2

+ sinh y

22

u

2

, cos x

22

v

1

sin y

22

v

1

≤ 1 ≤

x

2

cos

2

v

2

sin y

22

v

2

, x > 0, y > 0} (przy zadanych 0 < u 1 < u 2 , 0 < v 1 < v 2 < π 2 ), kt´ orego brzeg stanowia

ι

odcinki luk´ ow wsp´ o logniskowych elips i hiperbol.

24. Niech S := {(x, y, z) ∈ R 3 : x a

22

+ y b

22

= z 2 , 0 ≤ z ≤ c} oraz f (x, y, z) :=

q x

2

a

4

+ y b

24

+ z 2 . Obliczy´ c R

S f , R

S 1 f . 25. Wykorzystuja

ι

c poprzednie bliczy´ c obje

ι

to´ s´ c bry ly obrotowej utworzonej przez: (a) sze´ scian o krawe

ι

dzi a obracaja

ι

cy sie

ι

wok´ o l osi la

ι

cza

ι

cej ´ srodki jego dw´ och przeciwleg lych krawe

ι

dzi; (b) sze´ scian o krawe

ι

dzi a obracaja

ι

cy sie

ι

wok´ o l osi la

ι

cza

ι

cej jego dwa przeciwleg le wierzcho lki; (c) czworo´ scian foremny o krawe

ι

dzi a, obracaja

ι

cy sie

ι

wok´ o l osi la

ι

cza

ι

cej ´ srodki jego dw´ och przeciwleg lych krawe

ι

dzi.Odpowied´ z. (a)

√ 2

12 a 3 ; (b) π

3 a 3 ; (c) π

√ 2 12 a 3 .

2

Obraz

Updating...

Cytaty

Powiązane tematy :