Zagdanienia do egzaminu z Inżynierskich Metod Numerycznych - semestr zimowy 2020/2021

Zagdanienia do egzaminu z Inżynierskich Metod Numerycznych - semestr zimowy 2020/2021

Tomasz Chwiej 15 stycznia 2021

1 Równania różniczkowe zwyczajne

1. Zastosowanie szeregu Taylora do konstrukcji ilorazów różnicowych

• czym jest iloraz różnicowy?

• konstrukcja ilorazu przedniego/wstecznego/centralnego dla pierwszej pochodnej

• konstrukcja ilorazu centralnego dla drugiej pochodnej

• błąd dyskretyzacji

2. Opis transformacji równania różniczkowego n-tego rzędu do układu n równań 1 rzędu (rola warunków początkowych).

3. Schemat jawny i niejawny Eulera

• bezwzględna stabilność schematu Eulera

• lokalna i globalna dokładność schematu Eulera

• metody rozwiązywania równania niejawnego: metoda iteracji funkcjonalnej (Picarda) i metoda New- tona

4. Schemat trapezów, bezwzględna stabilność schematu trapezów.

5. Metody Rungego-Kutty

• ogólna postać wzorów definiujących metodę (u

, k

/U

), definicja predyktora i korektora

• tablica Butchera, jej własności (jawność/niejawność), zależności pomiędzy współczynnikami b

, c

oraz a

.

• ogólny opis sposobu generowania niejawnych schematów RK: różnica między metodami A-stabilnymi i L-stabilnymi, sposoby wydajnego iterownia równań niejawnego predyktora (schematy DIRK i SDIRK)

6. Ekstrapolacja Richardsona

• kiedy problem określamy jako sztywny? (można podać przykład)

• w jakim celu wyznaczamy błąd numeryczny w ekstrapolacji Richardsona?

• jakie metody rozwiązywania RRZ stosujemy dla problemów sztywnych, a jakie się nie sprawdzają i dlaczego?

2 Równania różniczkowe cząstkowe

1. Klasyfikacja równań różniczkowych cząstkowych (hiperboliczne, etc.) i ich przykłady (falowe, etc.) 2. Równanie Poissona

• dyskretyzacja równania

• relaksacja lokalna i globalna - z czego wynika różnica w wydajności?

1

• relaksacja wielosiatkowa (na czym polega?, dlaczego jest wydajna?)

• przykład z laboratorium: metoda macierzowa - kiedy warto stosować?, jakie metody pomocnicze wykorzystujemy? wady i zalety

3. Równania mechaniki płynów

• przepływ bezwirowy - jakie równania różniczkowe spełniają: funkcja strumienia (ψ) i potencjał prze- pływu (ϕ)?

• jaki jest związek ψ i ϕ ze składowymi prędkości?

• równania Naviera-Stokesa dla ψ i ζ, interpretacja funkcji ζ, jak interpretujemy równanie dla ψ?, jak wprowadzamy warunki brzegowe (założenia i ogólny opis)?, przykładowy sposób rozwiązywania równań NS

4. Równanie adwekcji

• dyskretyzacja równania: pochodna czasowa i przestrzenna, schematy upwind, downwind i z pochodną centralną

• twierdzenie Couranta-Friedrichsa-Levy’ego, liczba Couranta

• konstrukcja schematu Laxa-Fridrichsa

• konstrukcja schematu Laxa-Wendroffa

• schemat leap-frog

• schemat Crank-Nicoslon

• definicje spójności, zbieżności i stabilności schematu różnicowego

• zasada maksimum a stabilność schematu różnicowego

• ogólny opis wykonywania analizy von Neumanna

• czym jest dyfuzja numeryczna?, wpływ dyfuzji numerycznej na stabilność schematu różnicowego

• ogólny opis wyznaczania współczynnika dyfuzji numerycznej dla schematów różnicowych równania adwekcji

5. Równanie dyfuzji i adwekcji-dyfuzji

• konstrukcja schematów: jawnego i niejawnego Eulera, metoda Cranck-Nicolson

• zastosowanie zasady maksimum do schematów adwekcji-dyfuzji

• typu warunków brzegowych: Dirichleta, von Neumanna (konwekcyjne)

• analiza von Neumanna schematów (ogólnie) i ich stabilbość 6. Równanie falowe dla struny

• liniowość równania a zasada superpozycji

• metoda separacji zmiennych i metoda strzałów poszukiwania modów własnych drgań

• położeniowy i prędkościowy schemat Verleta - jakie wielkości wyznaczamy i w jakich chwilach czaso-

wych?, różnice dokłaności