R O C ZN IK I PO LSK IEG O T O W A R Z Y S T W A M A TEM ATYC ZNE GO Seria I: PRACE M A TE M A TYC ZN E V I I I (1963)
W. Ża k o w s k i (Warszawa)
Badanie nieliniowego zagadnienia Hilberta dla układu funkcji metodą kolejnych przybliżeń
V
Wstęp. Mech L — ] ^ L V, p > 0, oznacza układ gładkich, nie przeci- v = 0
nających się krzywych Jordana położonych na płaszczyźnie zmiennej zespolonej, będący brzegiem ograniczonego obszaru S +. Krzywa L 0 jest skierowana zgodnie z dodatnim kierunkiem obrotu na płaszczyźnie, zaś krzywe L 1, L 2, . . . , Lv (jeżeli istnieją) są skierowane przeciwnie. R oz
różniamy dwie strony każdej z krzywych skierowanych L 0, L ly L p:
dodatnią i ujemną — zgodnie z rozróżnieniem półpłaszczyzny Im2 > 0 i Im s < 0 względem dodatniego kierunku osi rzeczywistej. Obszar 8 + leży po dodatniej stronie krzywych L 0, L x, ..., L P. Dopełnienie zbioru punktów 8 + + jL do całej płaszczyzny otwartej П oznaczamy przez 8~ =
p
= £ S ~ , przy czym $<T jest obszarem nieograniczonym, zaś , S% , . . . , 8P v=0
są to obszary ograniczone krzywymi L x, L 2, ..., L p.
Zagadnienie brzegowe Hilberta dla układu funkcji polega na wyzna
czeniu układu n funkcji Фг (z), Фа(я), Фл (г), holomorficznych częścia
mi w obszarach 8 'v, 8 ó , , ■ • •, 8 ~ , których wartości brzegowe Ф± ('<),
V
v = 1,2, ..., n, spełniają w każdym punkcie h i * = L — ]? C a macierzowy
<7=1
warunek brzegowy
0 11 (t) 0 1» (t) • . Gln{t) ФГ(*) 9i(t) 0 + (t)
= 0»! (*) 022 (t) ••• 02 n(f) Ф2 (t)
+ 92(f) 0»iCO 0»г(*) • • Gnn(t)
•
ф* ( 0 1 9n(*) który zapisujemy krótko
(2) 0 + (t) = Q ( t ) 0 - (t) + g(t),
przy czym macierze G(t) i g(t) są dane, określone w zbiorze L (lub L *), zaś Oj, o8, ..., cr są to ustalone punkty tego zbioru. Ze względu na wła-
sności elementów macierzy G{t) i g{t) rozróżniamy zagadnienie ciągłe (r ~ 0) oraz nieciągłe (r ^ 1); w tym ostatnim przypadku punkty c1}
e2, . . . , c r mogą być punktami nieciągłości elementów macierzy danych.
Zagadnienie Hilberta dla układu funkcji było badane po raz pierw
szy przez J. Plemelja [1] — w przypadku zerowej macierzy g(t), a następ
nie było przedmiotem licznych prac, z których na szczególną uwagę zasługują prace hf. I. Muscheliszwiliego i E\ P. Wekuy, [2], [3]. Auto
rzy ci uzyskali rozwiązanie ogólne w oparciu o tzw. macierz kanoniczną rozwiązań ( x)
lX x(z) 2X x(z) . .. nX x(z)
(3) • X{ z ) = ||'X(*)|| = lX2(z) 2X 2(z) . .. nX2(z) lX n{z) 2X n(z) . • nX n[z)
o kolumnach stanowiących rozwiązania zagadnienia jednorodnego, a więc spełniającą warunek brzegowy
(4) X + ( t ) = G( t ) X~ ( ł ) dla teL*.
Wspomniane rozwiązanie ogólne ma postać (5) 0 (z) X ( z ) .• [ X ( r ) T lg( r)
i LJ t — z dr-\-X ( z) P( z) ,
gdzie P ( z ) jest jednokolumnową macierzą dowolnych funkcji całkowitych (funkcje te winny być wielomianami, jeśli żądamy dodatkowo, aby funkcje 0 1( z) , 0 2(z) , ..., 0n{z) nie miały w nieskończoności punktu istotnie osobliwego).
W pracach [4] i [5] autor badał uogólnione zagadnienie Hilberta dla układu funkcji, charakteryzujące się członem nieliniowym wystę
pującym w warunku brzegowym. W oparciu o metodę topologiczną J. Schaudera rozwiązano zagadnienie ciągłe i nieciągłe, wykorzystująo teorię funkcji klasy $)£, wprowadzonych i zbadanych przez W. Pogo
rzelskiego [6].
W pracy niniejszej rozwiązano nieliniowe zagadnienie Hilberta dla układu funkcji w oparciu o pewien wariant metody kolejnych przybliżeń.
Określenia i twierdzenia pomocnicze. Zbiór wszystkich punktów układu L dzielimy na trzy podzbiory: L — Ł(3}, w zależności od rozkładu punktów cn , e2, ..., cr w tym zbiorze. Z (1) jest zbiorem wszyst
kich punktów tych krzywych, na których nie leżą punkty ca, a = 1, 2, . .. ,r , L (2) — zbiorem wszystkich punktów tych krzywych, na których
i (x) Ze względów technicznych używamy tu oznaczeń lX$(z) zamiast X i(z ).
Badanie nieliniowego zagadnienia, Hilbcria 57
leży dokładnie po jednym punkcie ca, wreszcie l P ] jest zbiorem wszyst
kich punktów tych krzywych, na których leżą co najmniej po dwa punkty ca, a — 1 , 2, ..., r. Mamy więc X(3) = ]? c aca,, gdzie caca, są to skierowane
a
(od ca do ca,) luki gładkie. Niech t , txeLv C l f l) lub t , t xeLvC ZĆ2) (zakła
damy wówczas, że długość łuku ttx, c6 4 ttx, jest mniejsza od połowy długości krzywej L v, a ponadto 0 < \t — ca\ < \tx — ca\) lub t, txecaca, C L (i) (zakładamy wówczas, że tX€tca,). Przyjęta umowa dotycząca położenia punktów t , tx w zbiorze L obowiązuje w całej pracy.
Ok r e ś l e n ie. ( [6]). Klasą ba nazywamy zbiór wszystkich funkcji fp(t) zmiennej zespolonej t określonych i ciągłych w każdym punkcie t
Г
zbioru X* = L — £ c a, spełniających nierówność
(7— 1
r
(6) \(p(t)\
J J
\t — ca\a < const a=loraz uogólniony warunek Holdera
(7) \<p(t)-<p{ti)\W(t, tx) < const\ t - t xf ,
gdzie stałe występujące po prawych stronach (6) i (7) mogą przyjmować dowolne wartości dodatnie; ustalone dla danej klasy parametry a i p spełniają warunki
(8) 0 < a < 1, 0 < p < 1, a - f p < 1,
zaś W ( t , t x) jest funkcją określoną dla t j t xeL w następujący sposób:
(»)
W 0 = const > 0, gdy t , tx e L v C Ij^1\
1 t ~ c S +M, gdy t , t X€LvCLIf~\ caeLv .1 t - c S ^ l h - o A * " , gdy t , t l ^ a ' C T P .
Tw ie r d z e n ie 1. Jeżeli funkcja f ( t , r) dwóch zmiennych zespolonych t, TeL^ jest Masy ba ( « > 0) względem zmiennej x oraz spełnia warunek Holdera względem zmiennej t, a więc jest funkcją ciągłą swych argumentów i spełnia nierówności postaci
(10) \f ( t , r ) \f l |T-e„|“ < Щ ( «><>)
a - - I
oraz
( 1 1 ) t x) \ W {t, r x) < К j [ r r , " • t /, " 4 .
przy czym
(12) 0 < p < pi < 1, a { p < 1 ,
to funkcja F ( t ) określona w zbiorze L* przez całkę w sensie wartości głównej Cauchy'ego
(13) F ( t ) = f ( t , r)d r
x — t
należy także do klasy £)«, przy czym spełnia następujące nierówności:
T
(14) 1^(01
f ] \ t -
o„|“ < С Л + С Д ,cr=l
(15) I F W - F i t J l W i t , tx) < (03ЛГ/+С,А ) 1 * - *1Г, stałe Ox, C2, <73 i 04 wie zależą od funkcji f ( t , r).
Sformułowane wyżej twierdzenie jest prostym wnioskiem z twier
dzeń W . Pogorzelskiego ([7], własność 1, oraz [6], tw. II, str. 14-15, tw. 2, str. 143-151 i uwaga na str. 205).
Le m a t 1 ([4], str. 53). Jeżeli ^wartości brzegowe elementów macierzy nieosobliwej G(t) spełniają w zbiorze L warunek Folder a z wykładnikiem hG < 1, tzn.
( w ) («,/5 = i ,2, . . . , » )
dla t , t xeL, to wartości brzegowe elementów macierzy kanonicznej rozwiązań (3) spełniają warunek Foldera
(17) № w - ' X ± ft)l < г х |1- « 1|'«'2 ( « , 0 = 1 , 2 , . . . , » )
dla t, txeL, przy czym stała К x jest zależna od n, układu Unii L oraz -macie
rzy danej G(t).
Uo g ó l n i o n y l e m a t Ha d a m a r d a. Jeżeli funkcja rzeczywista F ( t , r , Si, • • •, isny Vi, • • • i Ъ n) zmiennych rzeczywistych , rjf , j = 1 , 2 , . . . , 2n, oraz zmiennych zespolonych t, r, określona w dziedzinie
(18) -OO < £/ < + o o , — oo < rjj < + o o ; t, r e l j
ma pochodne cząstkowe ---- d F (/?,• = Sj, rjj', j = 1 ,2, . . . , 2w), spełniające w dziedzinie (18) następujące warunki
! ,
(19) ! ? • • ’ ? ^2»? Vi J • * • ? ^?2tł) i O p j
d F
m (łlJ U ) £l ? • • • 1 Szn iVl > • • • > t/2w)
i t- t.i^ + w ^, «,) j r a * , - £ ; i + |Ч#- Ч;|)1, 7=i
Badanie nieliniowego zagadnienia Hilberta 59
gdzie K H jest stałą dodatnią, O < JiH < 1, zaś W (t, tx) jest określone wzo
rem (9), to zachodzi tożsamość następująca:
( 2 0 ) H ( t , r 7 £ 17 * ‘ * 7 ^211 7 d l 7 ‘ • • 7 V 2 n ) S ( t 7 T 7 £ l 7 * • • 7 ^ 2 П 7 d l 7 * • • 5 Ъ п ) = 2,71
7 — 1
- f y ) F s f ( t , t , 7 П 7 £ l 7 * * • ? % 2 n 7 d l 7 * • • 7 d 2 n 7 d l 7 • • • 7 %n ) +
+ ( d i d j ) F r j j i f 7 t 7 %17 "■ • 7 % 2 n 7 % 1 7 ' • •7 ^ 2 n V l 7 ‘ • • 7 V 2 П7 d l 7 • ■ ' 7 ^ 2 п )
J
7przy czym funkcje Łn-\- 3 zmiennych (21) F.
г d ~
= J - H " [ i 5 T , • • • , <5 J — 1 7 ( £ 7 ? ^ ? + l 7 * ' • 7 7 ^ 7 l 7 ’ ’ ’ 7 d s
o d l? oraz
(22) _F4,
r o i „
~ J “ 5 7 7 £ l 7 • • • 7 ^ 2 n 7 ^ / l? • • ' 7 d j - l 7 V ? + ® ( d j ?/?■)? d j + l 7 ’ " 7 d 2
d J drj,
O V
spełniają w dziedzinie (18) następujące nierówności (2 3 ) ? T > £ i7 • • • 7V2n) F p. (tx , r x, . . . , r] 2 n ) \
2 n
+ Й+ j |< — tl\hfI-\r { T - T ^ n + W (t , t±) JT’ ( Ц — £7 I + l l — 1.7-1 + r= 1
+ \d?~di\+\d7~di\)l D o w ó d uogólnionego lematu Hadamarda w przytoczonym brzmie
niu nie różni się w swej istocie od dowodu klasycznego (np. [6], str. 117), Autor wykorzystywał już podobne sformułowanie tego lematu przy roz
wiązywaniu metodą kolejnych przybliżeń nieliniowego zagadnienia H il
berta dla układu funkcji w przypadku szczególnym, diagonalnej macierzy G(t), [8].
Tw i e r d z e n i e 2 ([7], własność 2). Jeżeli funkcja q>(t)e9)a dla teL*,
a > 0, to całka
(p(r)dr x — z
(24) 0 (z ) = J
przedstawia funkcję holomorficzną częściami w obszarach 8 + która spełnia warunek
(2 5 ) |Ф(*)| < const
\ * - i £
8« 7 S l 7 S p 7
w otoczeniu każdego punktu nieciągłości cd, a ponadto jej wartości brzegowe Ф+ (t) = lim Ф (г)’, zeS+ ,
(26) ■
Ф~ (t) = lim Ф{г), zeS~,
Z~>t
istnieją i są także funkcjami klasy w zbiorze L *.
Nieliniowe zagadnienie brzegowe Hilberta. Z a g a d n i e n i e . W y znaczyć układ n funkcji Ф1(z), Ф2{%),, Фп{я)> holomorficznych częścia
mi w obszarach $ + $0', , ..., S jj, których wartości brzegowe Ф^Ц), v = 1,2, . . . , n , spełniają w każdym punkcie te L * układ n równań (27) 0+(t) =
П
— &гр{1)Ф[) (i) + gv{i) + F v[ tj Ф{ (t) j • • • ? Фп ( ł ) ? Ф\ ( t) i ■ • • i Фп (^)'l j
a ponadto, w otoczeniach punktów ca, a = 1,2, ..., r, powinny zachodzić następujące nierówności
(2 8 ) \ФЛ*)\ < const
2 ! — C„
(r = 1 , 2, ..., n; 0 < 1).
Przyjmujemy następujące z a ł o ż e n i a :
1° Macierz G(t) = \\Gvp(t)\\ jest nieosobliwa, przy czym jej elementy spełniają w zbiorze L warunek Hóldera w postaci (16).
2° Funkcje gv(t) są klasy a > 0, dla te L *.
3° Funkcje F v(t, ux, u2, ..., u2n) są określone w dziedzinie teL*, Ujell {П oznacza całą płaszczyznę otwartą), j = 1 ,2, . . . , 2n, i spełniają uogólniony warunek Hóldera-Lipschitza o postaci
(2 9 ) | F „ ( V w'i, , u2n) —F*{tu u2, ..., u2n)| <
< W( t , у
2d ż-1 gdzie W ( t , t x) jest określone wzorem (9), a ponadto ocenę
2 n (30) \F,(t, (/,, .... « 2„)| < К ? \Щ\ +
7 = 1
mF n \ t - c x ff=i
przy czym h ^ i mF są to pewne stałe dodatnie, 0 < hF < 1 oraz у < min {\hG, hF).
Badanie nieliniowego zagadnienia Hilberta o i
Oznaczając
jt v(t ] Ul , . • • , U 2 n) = FV ^ (^) ®1) Я1-2 n > У\ч • • • 1 Уъп) H”
“Ь iFp ^ (t j %i ? • • • j %2n j У\ ? • • • j У2п)у v = l ,2 gdzie жл = re% , y* = imwfc, Tc = 1 ,2 , 2n, zaś
oraz F f m) są to funkcje rzeczywiste zmiennej zespolonej i oraz zmiennych rzeczywistych , ..., ж2г!,, t/i, ..., przyjmujemy nadto założenie poniższe:
4° Funkcje F^,re, oraz Fj;im), r = 1 ,2 mają pochodne cząstkowe d
dx.j p(re)
-1- V ? J. у F ( r e ),
дж7-F<im), (i = l , 2, . . . ,2n) tył
określone w dziedzinie, — o o < ж , - , yj < + o o , t e . L * , spełniające następujące warunki:
gdzie K * i M * są to pewne stałe dodatnie.
R o z w i ą z a n i e z a g a d n i e n i a m e t o d ą k o l e j n y c h p r z y b l i ż e ń . Na podstawie badań przeprowadzonych przez autora w pracy [5] mo
żemy twierdzić, że jeśli zagadnienie dane ma rozwiązanie, którego war
tości brzegowe są klasy 9> w sensie Pogorzelskiego ( [6], str. 204), to speł
nia ono następujące równanie macierzowe:
(32) Ф(е) X ( * )
2izi
[ Х Ц х ) Г ' д ( г ) dr +
X( z ) r [ X ' (r
2ti:i J x — z 9?2и(т)-1 d x Ą- X{ z ) P { z ) V dla £ e Jr + V iS~ ,
przy czym (pv{t) są to wartości brzegowe elementów macierzy jedno
kolumnowej Ф(%),
(33) = фг (<), <p*+n(t) — Ф* (0 (r = 1, 2, ..., n),
F DO Viit) ■> • • • ч (p2n(t)'\ jest jednokolumnową macierzą o postaci F ^ t , <P\ 00 > • •• ? 932n(01 (34) F[ t , <px{t), <p2(t),..., <p2n(t)] = F2[t, • ? 9?2n(^)3
F n[t, (px{ t ) , .. • >
X ( z ) jest macierzą kanoniczną (3), zaś P{z) jest odpowiednio dobraną jednokolumnową macierzą funkcji całkowitych P x{z), . . . , P n{z).
Ze znanych wzorów Plemelja wynika, że wartości brzegowe (33) spełniają w każdym punkcie t zbioru i * następujący układ równań cał
kowych osobliwych, z całkami w sensie wartości głównej Cauchy’ego:
(35) <Pv{t) j — ^ ~~..d r-j-Bv[t,(fi(t ), ..., cp2n(i)]
/
C A h t , y i ( * b • • • > У 2 » ( т ) ] _t — t dr,
v = 1, 2, 2n, gdzie funkcje /„(<), A v(t, r), B v[t, <px{t), <p2n{t)] oraz (7„[ż, t>, 9?i(t), ..., 992и( т ) ] są określone następująco:
(36) •to II
1 71
y y j r + w i W p=,\
dla * = 1 ,2,.. . , n ,
— n
- - 1- 2 /9 = 1
n
’ - n( t ) b W + y . " ^ - p=l
n{t)Pp(t) dla v = n - j - l , .• • , 2 n,
(37) -4,(0 t) =
( 71
. V ' x + W - ' V 2-тП -i—'
1*9@ —1 n
dla V = 1,2, .. ., n,
X - У / х ^ - М - * * ,
2 i z l r, e=l
dla V = n-j-1, •. . ,2n,
przy czym eX r oznacza iloraz dopełnienia algebraicznego elementu pX j ' przez det||0?+||,
(38) 70 [0 4P\ (0 >• • • 5 tytn (03 1
y -^ U O ę»2»(<)] dla V = 1 , 2 , . . . , n , n
- i VO / 7 r’ * - n( t ) Fr [t,<Pl( t ) , . . . , Ф« 2П (0] dla V = n-j-1 , •. . ,2n,
Badanie nieliniowego zagadnienia Hilberta 63
oraz
(39) Cv[t, r, ę>j( r), ..., <pin{* )] =
П \
- - - г V (t) V (x )F r [т , щ (t),..., <p2n (t)] dla v = 1 ,2 , ..., n , 2 7Пr,/3=sl
П
- - iT V ^ X - W(*)^V (rJJ’rfT, ... ,'9>2» (t)] dla v =± n + 1, 2n.
2m /
r,/£f=l
Przyjm ijm y teraz funkcje ^ (tf), . ..,<p2(£) za niewiadome, a P x(i), ...
..., P n(t) za dowolnie obrane funkcje całkowite.
W celu rozwiązania układu (35) w klasie funkcji 9)„ rozważmy 2n ciągów nieskończonych
(40) W . y f W , m = 0 , 1 , 2 , . . . , określonych następującymi zależnościami rekurencyjnymi:
(41) = / . ( « ) + г ^ ( j ) , ^ ” > (i)]+
J t — t
L
c Gv[t,r, <p(im)(t), ..., (T)]
+ J - r — t dr (v = 1, 2, ..., 2w).
Zakładamy, że funkcje
(42) ?>?»«), 9f ( t ) , ę.8>«), są klasy i spełniają następujące warunki
Ы0)т\[}\(-ох
<
вв—1 (43)
l ? ? ) № ) - ł > ! 0 ) № | T F ( M . ) t - h r ( » = l , 2 , . . . , 2 « ) ,
gdzie ^ i я: są to stałe dodatnie. Postępując analogicznie jak w pracy [5]
(str. 30-34), stwierdzamy (w oparciu o twierdzenie 1 i lemat 1) możliwość doboru tak dużych q i x, aby wyrazy ciągów (40) spełniały warunki
Г
(44) |<rfm,(* )i Г 1 < e, «,) <
ст=1
(v = 1, 2, ..., 2«; w = 1, 2, ...,)
a więc były także klasy ba (z zachowaniem tych samych stałych g i x), jeśli tylko współczynnik K F występujący w założeniach (29) i (30) jest dostatecznie mały
(45) K F <C Km
gdzie K () zależy od zbioru L, macierzy g(t) i O (t) oraz dowolnie wybranych funkcji całkowitych P x(t), P n(t). Jak było do przewidzenia, współ
czynniki K 'F i mF mogą być dowolnie duże.
Założenia 1°, 2° i 3° oraz warunek (45) zapewniają zatem is tn ie n ie ciągów kolejnych przybliżeń (40). Dla dowodu z b ie ż n o ś c i tych cią
gów, wprowadzamy dwa pomocnicze szeregi liczbowe
(46)
oo oo
У Я \Ут ^ ń - <pW] oraz У H \Ут f l) - y >n>],
m —0 m —0
których wyrazy określamy następująco
(48) H\(fx,n X) У ш)\
(47) >Sf[<p(w,1)- ^ (m)] = max sup TęCi’<2n ULą < j = 1
max sup
n t,t-ysLy 11 — t^l/A
Na podstawie związków (41) mamy
(49) =
t4” ■"(<)] + ( j / Cv[t, r , й т )(т), ....i <rfm)U )] <Р(Г ^ (r), ..
T — t
= 1 J» 2, ..., 2w).
Wprowadzamy pomocnicze oznaczenia
v T 4 t) = l +г^„, 99Г 1}(t) = £ , + «7,,
dr
[v = 1, 2, ..., 2n ) ,
<py'l){h) = + 4>T 1](h) = К +
Badanie nieliniowego zagadnienia Hilberta 65
(50)
a następnie
, (p[ ^ (t) , . . . , (p ^ (t)] = (t, fi , . . . , f 2 B) VlJ • • • J ^2n) +
+ ? I l > • ' • ? ) • • • ? r i 2 n ) 1
= fi, . . . , ’f2»,i?i, . . . ^ 2n )+
^ ? I l ? ■ • • ? & 2 n 1 Ц \ 1 • • • ? ^ ? 2 r t ) J
r, ? P ( T ) , <Й?(*)] = ^ re)(^ r, f i , ..., f 2w, й ,
^ (if, T J 11 , • • • J I 2 w у Ц1 1 • • • 7 V 2 n) j
<7, [t, г , 9>(Г _1)(r ),..., cpfn~l) (t)] = 0£re) (t, r , |j, ..., |2n,^ .., rj 2W) +
^ ( t , T , l i , • • • 1 1 1 ’ • • > ^ 2 r & ) ?
przy czym B^e\ Biim) 6^гс) i (7{,im) są to funkcje rzeczywiste zmiennej zespolonej t (względnie zmiennych zespolonych t, x) oraz zmiennych rze
czywistych |j , . • • , |2„ ; , V 2n•
Z przyjętych założeń 1°, 3° i 4° wynika, że funkcje Б(„ГС), (Дго) i 6>iim) (v = 1, 2, ..., 2n) mają pochodne cząstkowe
(51) ______ R ( r e ) _________ 7 ? ( m i ) _________ л ( ( г е ) ^ л ( и п )
Д/3 v ’ ЛО v ’ no ^ W >
c% - óp j o pj d p j
pj = tj, v)j', v , j = 1, 2, 2»i, określone w dziedzinie: — 00 < < + 00, t , te_ZŹ* i spełniające następujące warunki:
(52) A
Ър1Bp ^ (t, ll j • • • , 12»г ? ^1 5 • • • 7 V2n)
OPi в [ ^ ( t \ , l i , • • •, l 2n ) ^1 > • • • J
(53) d
?=i
dpi
В <*>< Ж в < o o ,
gdzie (#) = (re), (im), K B — liYM * -f Tc2K * , oraz (54) I d C f (*, r, li, 1г»г > V ij * • ■ > Ц211)
d
dPi Gi&4h, rx, I !, • • •, l 2n> Vi i • • • > V211) <
2 n
<
? = i
P r a c e M a t e m a t y c z n e V I I I . 1 5
(56)
W i
< M c < oo.
gdzie K c = Jc4M * ~f- Jc3K *, M c = Jc6M *, przy czym Тсг , &2, 1c3, Jc4, k5 i &6 są to stałe dodatnie zależne od elementów macierzy G(t), pi < pxx < 1.
Oznaczając
dT] {t) = B v[t,<p(? 4 t ) , . . . , c p W { t ) - ] - B v\t,<pT-l\t), (56)
4 m)(<, r) = C,[<, T,<pim)(r ), ..., <pSt)(r)'\ — Cv[t, r, ^ “ ^(t), у й -1)(т)]
i stosując uogólniony lemat Hadamarda, otrzymamy, z uwagi na (21), (22) i (52)-(55), oceny:
Г
(57)
[J
| «- c 0|e|<5jw)(«)| ^ Я п М в в ^ - у ^ - Ч ] orazr
(58) . / 7 | r-e „ r r)| < 8»Ж 0Я[,»<” > -
0 = 1
a ponadto, wobec (44),
(59) i p -ri\t Ц i l ^ ’ w - « Г ’(<.)1 «
< 8nMBH[ / ”>- ę>(m- 1)] + %nDxK B{ 1 + 5w*)S[>(w)- oraz
(6« )
___ W (r , r x) ____
lT— Til^ “h — ^a!^ł l 4 * ) ( « , T ) ~ 4 m)« i , r 1)i <
< SnMcI l [cP{m) - + 8flJ>2iTc (l + 5wx)/8 [>(m)- (p(n~l)]
dla v = 1, 2, ..., 2w, m ~ 1, 2, ..., przy czym Dx i D2 są to pewne stałe dodatnie.
Oceny (57) i (59) oraz (58) i (60) — z których wynika, że ń^n)(t, t) spełnia założenia twierdzenia 1 — prowadzą bezpośrednio do następujących nierówności:
(61) ^[ę>(w+1)- ^ (m)] < Sn [ M B + C, M c + C2J)2K c (± -f 5ux)]8 [<p{ m ) !)] + + 8 nC2M cH [>(m> - ę»<m" 1>] ,
Badanie nieliniowego zagadnienia Hilberta 67
oraz (62)
#[/»*+■>--/»>] < & n[(D lK E+ D 1CiK c ) ( l + 5nx) + C 3M 0] S [ V™ - ę.'”*-1»] + + » п ( М Б+ С аМ с ) Н [ ^ - ^ т- 1^ , gdzie Clf C2, 03 i (74 są to stałe występujące w tezie twierdzenia 1.
Z nierówności (61) i (62) wynika zbieżność szeregów liczbowych (46), jeżeli wartości stałych K B, M B, K c i M c , a więc stałych M * i K * występujących w założeniu 4° są dostatecznie małe.
Podamy prosty warunek d o s t a t e c z n y zbieżności tych szeregów.
Dodając nierówności (61) i (62) stronami, dostajemy (63) S[<p{m+1)- ( p {m)]+ H [< p {m+1)-<p{m)] <
gdzie oznaczono
M — т а х ( Ж* , К *), (64)
С = 16ti• m ax[1 -f-Oi“ЬОз-j- (1 -f~ 5 u > c ) -Ą-D^-j--D2(74), 1 —(—C?2-|~£ч] m axTc-t.
Szeregi (46) będą więc zbieżne, jeżeli
(65) т а х (Ж *, К * ) < i , C a ponadto, jeżeli spełniony jest warunek (45).
Zbieżność pierwszego z szeregów (46) pociąga za sobą niemal jedno
stajną zbieżność szeregów funkcyjnych
OO
(ев) у (v = i , 2 , . . . , 2 » ) ,
m=0
w zbiorze L*, do funkcji granicznych
(67) <pv(t) = lim ę T ^ h
то-*00
przy czym funkcje te są klasy £)£ w tym zbiorze i stanowią r o z w ią z a n ie u k ła d u ró w n a ń (35) w klasie funkcji spełniających warunki (43).
W znany sposób dowodzi się, że uzyskane rozwiązanie (67) jest je d y n e w tej klasie funkcji.
Podstawiając uzyskane rozwiązanie (67) do prawej strony wzoru (32) otrzymujemy na mocy twierdzenia 2, lematu 1 oraz założeń 1°, 2°, i 3°, rozwiązanie nieliniowego zagadnienia Hilberta, przy czym P (z ) jest jednokolumnową macierzą dowolnych funkcji całkowitych. Warunek (28) jest spełniony z wykładnikiem 0 = a.
Tak więc rozwiązanie postawionego zagadnienia zawsze istnieje i można je uzyskać metodą kolejnych przybliżeń, jeżeli spełnione są założenia 1°, 2°, 3° i 4°, oraz dodatkowo warunki (45) i (65), przy czym wartości brzegowe elementów macierzy rozwiązań są klasy w zbiorze L * .
Należy zaznaczyć, że metodę kolejnych przybliżeń stosował przy badaniu równań całkowych osobliwych pierwszy A. I. Gusejnow [9], a następnie 1). Przeworska-Rolewicz [10].
Prace cytowane
[1] J. P le m e lj, Riemannsche Funktionenseharen mit gegehener Monodromie- gruppe, Monatsheft tur Math, und Phys., X I X , 1908, str. 211-245.
[2] II. И. M у с Хе л и ш ви л и, Сингулярные интегральные уравнения, Москва 1946, str. 388-416.
[3] Н. П. В е к у а , Системы сингулярных интегральных уравнений, Москва 1950, str. 11-50, 85-124.
[4] W . Ż a k o w s k i, Uogólnione, ciągle zagadnienie brzegowe Hilberta dla układu n funkcji, Biuletyn W AT, nr 5, (105), 1961, str. 47-58.
[5] — Zagadnienie nieciągłe i nieliniowe Hilberta dla układu funkcji, Biuletyn W A T , nr 61, (106), 1961, str. 23-37; streszcz.: Problems non lineaire et discontinu d’Hilbert pour le systeme de fonctions, Biul. P A N , ser. mat. fiz. astr., Nr 7, 1961, str. 525 - 529.
[6] W . P o g o r z e ls k i, Równania całkowe i ich zastosowania, t. I I I , Warszawa I960, str. 202-205.
[7] — Proprietes d'une classe de fonctions holomorphes aux fonctions limites discontinues, Ann. Pol. Math. 9 (1960), str. 190.
[8] W . Ż a k o w s k i, Sur une ргоЫёте non lineaire d'Hilbert, Ann. Pol. Math.
9 (1960), str. 94.
[9] А. И. Г у с е й н о в , Об овном классе нелинейных сингулярных интеграль
ных уравнений, Известия Акад. Наук СССР, 12, 1948, str. 193-212.
[10] D. P r z e w o r s k a - R o le w ic z , Sur Vapplication de la methode des appro
ximations succesives a une equation integrate a forte singularity, Ann. Pol. Math. 6, 1959, str. 161-170.
В. /Ка к о в с к и (Варшава)
И С С Л Е Д О В А Н И Е Н Е Л И Н Е Й Н О Й З А Д А Ч И Г И Л Ь Б Е Р Т А Д Л Я Н Е С К О Л Ь К И Х Н Е И З В Е С Т Н Ы Х Ф У Н К Ц И Й МЕТОДОМ
П О С Л Е Д О В А Т Е Л Ь Н Ы Х П Р И Б Л И Ж Е Н И Й
Р Е З Ю М Е
Автор исследует нелинейную задачу Гильберта для системы п функций с граничным условием (27). Задача сводится к решению системы сингулярных интегральных уравнений (35), используя метод последовательных приближений.
С этой целью вводится бесконечная последовательность (40), определенная вы
Badanie nieliniowego zagadnienia Hilberta 69
раженном (41). При иоказательстве сходимости последовательности (40), иссле
дуются два всдомагательных числовых ряда (46) с членами (47) и (48).
Сходимость этих рядов доказывается при использовании некоторых теорем Погожельского, [6], [7], результатов работ [4], [5] и обобщенной леммы Адамара предполагая, что коэффициенты А > , К * и М * достаточно малы. Функциональ
ный ряд (66) является равномерно сходящимся при каждом замкнутом мно- г
жестве 1/ с L * — L V Са, к граничной функции (67), которая выполняет условия
<7—1
(43) и является единственным решением системы (35), когда данные функции (*v/}(t), gv{t) и F v(t, цх, ц2, ..., Ц2П) удовлетворяют условиям 1°-4°, и дополнительно постоянные задачи удовлетворяют условиям (45) и (65).
W. Ża k o w s k i (Warszawa)
IN V E S T IG A T IO N OF H IL B E R T ’S N O N -L IN E A R P R O B L E M FO R A SET OF n F U N C TIO N S B Y T H E M ETH O D OF SUCCESSIVE A P P R O X IM A T IO N S
SUMMARY
The author investigates Hilbert’s boundary problem for a set of n functions of form (27) w ith a non-linear boundary condition. The problem is reduced to the solution of the system of highly-singular equations (35) by the method of successive approx
imations. Accordingly, the author introduces an infinite sequence (40), defined by (41). To prove the convergence of the sequence (40), two auxiliary numerical series (46) with terms (47) and (48) are analysed; their convergence is proved applying Pogorzelski’ s theorems [6], [7], papers [4], [5] and Hadamard’ s lemma, under assumption that the coefficients К р , К * and ilI * are sufficiently small. It follows from this that the function series (66) is uniformly convergent in each closed region
r
J/ C L * = L — ca to the function (67) as a limit, satisfying conditions (43) and con-
(7—1
stituting the only solutions of system (35) if the given functions Gvp(t), gv{t) and F v{t, ux, u2, ..., Щп) satisfy the assumptions l° - 4 () and if the constants of the problem satisfy conditions (45) and (65).
