Lista 15. Zastosowanie pochodnych
A. Optymalizacja
1. Liczb¦ 200 przedstaw w postaci sumy dwóch liczb x, y tak, aby:
(a) suma kwadratów byªa najmniejsza;
(b) wyra»enie W (x, y) = x3+ 3xy + 4y2 byªo ekstremalne.
2. Obj¦to±¢ walca jest równa 250π cm3. Przedstaw pole powierzchni caªkowitej tego walca jako funkcj¦ dªugo±ci promienia jego podstawy i okre±l dziedzin¦ tej funkcji. Wyznacz dªugo±¢
promienia takiego walca, którego pole powierzchni caªkowitej jest najmniejsze.
3. Z drutu dªugo±ci 20m chcemy wykona¢ szkielet kwadraty i trójk¡ta równobocznego. Jak dobra¢ wymiary tych gur, aby suma pól byªa najwi¦ksza?
4. Na kuli o promieniu R opisano sto»ek. Jaka b¦dzie wysoko±¢ sto»ka o najmniejszej obj¦to±ci.
5. Obwód trójk¡ta równoramiennego wynosi 18. Jakie powinny by¢ jego boki, aby obj¦to±¢
gury powstaªej przez obrót trójk¡ta wokóª jego podstawy byªa najwi¦ksza?
6. Dane s¡ punkty A = (1, 3) oraz B = (2, 2). Znale¹¢ punkt C le»¡cy na sinusoidzie (y = sin(x)), dla którego pole trójkata ∆(A, B, C) jest najmniejsze.
B. Wzór Taylora
Oznaczenie: (f0)0(x) = f(2)(x), (f(n))0(x) = f(n+1)(x).
Twierdzenie (Wzór Taylora). Je±li mamy dane: funkcj¦ f, punkt x0, n ∈ N, to warto±¢ f(x0+ h) (domy±lnie h jest maªe) mo»na policzy¢ ze wzoru:
f (x0+ h) = f (x0) + f0(x0)h +f(2)(x0)
2! h2+f(3)(x0)
3! h3+f(4)(x0)
4! h4+ ... +f(n)(x0)
n! hn+ rn+1(h), gdzie reszta rn+1(h)jest dana (nie do ko«ca jawnie, bo nie wiemy wszystkiego o θ) przez
rn+1(h) = f(n+1)(θ) (n + 1)! hn+1.
Ponadto punkt θ jest pomi¦dzy x0 a x0+ h(uwaga: θ jest dobrane do h).
Uwaga 1: Cz¦sto korzystamy z powy»szego wzoru z x0= 0.
Uwaga 2: Znaj¡c waro±¢ funkcji i jej pochodnych w punkcie x0, mo»na policzy¢ warto±¢ tej funkcji w punktach bliskich (tzn. x0+ h). Im h jest mniejsze, a napisana suma dªu»sza, tym mniejszy jesy bª¡d r. Dodatkowo wiemy jak oszacowa¢ ten bª¡d.
7. Napisz wzór Taylora dªugo±ci n w punkcie x0= 0dla funkcji:
(a) f(x) = x−11 , (b) f(x) =√
x + 1, (c) f(x) = sin(x), (d) f(x) = cos(x),
(e) f(x) = ex, (f) f(x) = x2ex, (g) f(x) = x21+2.
1
8. Znajd¹ warto±¢:
(a) √
1, 1z dokªadno±ci¡ do 10−2, (b) sin 2 z dokªadno±ci¡ do 10−3,
(c) cos 0, 1 z dokªadno±ci¡ do 10−6, (d) √
ez dokªadno±ci¡ do 10−3,
(e) π z dokªadno±ci¡ do 10−3 (skorzystaj z π = 4 arc tg12+ arc tg13), (f) √
10.
9. Uzasadnij, »e dla ka»dy wielomian W (x) stopnia n = st(W ) jest równy swojemu wzorowi Taylora rz¦du n.
10. Oznaczmy przez fn(x) n-ty wielomian Taylora funkcji f(x) = sin x. Sprawd¹, »e dla ka»dego punktu x zachodzi
n→∞lim fn(x) = f (x).
Wskazówka: Skorzystaj z wzrou na reszt¦.
11. Policz wszystkie pochodne g(k)(0)w punkcie x0= 0funkcji g(x) = e−x2. Czy jest prawd¡, »e
g(x) = lim
n→∞gn(x),
dla jakiego± x 6= 0. Tutaj, podobnie jak w wy»ej, gn(x) jest n-tym wielomianem Taylora w punkcie 0.
12. Udowodnij wzór Taylora z reszt¡ w postaci (wszystkie oznaczenia jak w twierdzeniu):
rn+1(h) = f(n)(θ) n! θnh.
Aby to zrobi¢:
(a) Rozwa» funkcj¦ pomocnicz¡:
F (t) = f (x0+ t) + f0(x0+ t)(h − t) +f00(x0+ t)
2! (h − t)2+ ... +f(n)(x0+ t)
n! (h − t)n. (b) Policz F0(t), upro±¢,
(c) Skorzystaj z twierdzenia o warto±ci ±redniej (patrz nast¦pna lista) dla funkcji F oraz punktów 0 oraz h.
Marcin Preisner preisner@math.uni.wroc.pl
2
