Ćwiczenia AM II, 13.10/2016 (funkcje ciągłe) Zadanie 1. Zbadać ciągłość funkcji
(a) f : Rk → R, f (x) = ln(1 + kxk),
(b) f : R2→ R, f (x, y) =((x + y) sinx1sin1y, jeśli xy 6= 0
0, jeśli xy = 0.
(c) f : R3→ R2, f(x, y, z) =
xy
1+z2,x2x+y2y22z+z22
, jeżeli (x, y, z) 6= (0, 0, 0) i f(0, 0, 0) = 0.
Zadanie 2. Niech
f(x, y) = ( x2y
x4+y2, jeśli (x, y) 6= (0, 0)
0, jeśli (x, y) = (0, 0). (1)
Pokazać, że obcięcie f|L : L → R funkcji f do dowolnej prostej L ⊂ R2 jest funkcją ciągłą, mimo że funkcja f nie jest ciągła w (0, 0).
Zadanie 3. Niech (ai, bi) będzie dowolnym ciągiem punktów płaszczyzny. Funkcję g : R2→ R definiujemy wzorem
g(x, y) =
∞
X
i=1
1
2if(x − ai, y− bi), gdzie f jest jak w (1). Wykazać, że
(a) g jest dobrze określona w każdym punkcie płaszczyzny.
(b) Dla dowolnej prostej L ⊂ R2, g|L jest ciągła.
(c) g nie jest ciągła w żadnym z punktów (ai, bi).
(d) g jest ciągła w pozostałych punktach.
(e) Istnieje funkcja R2→ R, której zbiorem punktów nieciągłości jest Q × Q, a co więcej której obcięcie do dowolnej prostej jest funkcją ciągłą.
Zadanie 4. Oblicz granicę lim(x,y)→(0,0)f(x, y), gdzie
f(x, y) =
(1−cos(x+y)2
x2+y2 , jeśli (x, y) 6= (0, 0) 0, jeśli x = y = 0.
Zadanie 5. Narysować wykres poziomicowy funkcji f(x, y) = xy, x > 0. Czy istnieje granica
(x,y)→(0,a)lim f(x, y) ?
Zadanie 6. Wykazać, że poziomice funkcji ciągłej są zbiorami domkniętymi.
Zadanie 7. Niech Ω1 i Ω2 będą zbiorami wypułymi w Rk. Pokazać, że dla dowolnych α, β ∈ R zbiór αΩ1+ βΩ2 = {αx + βy : x ∈ Ω1, y∈ Ω2} jest wypukły.
Zadanie 8. Wykazać, że zbiór Ω = {(x, y, z) ∈ R3: z x2+ y2} jest wypukły.
Zadanie 9. Czy jeśli f : Rk → Rljest funkcją ciągłą, różnowartościową, to funkcja odwrotna jest też ciągła?
Zadanie 10. Czy jeśli wykres funkcji f : Rk → Rljest zbiorem domkniętym, to f musi być ciągła?
Zadanie 11. Udowodnić, że f : Rk → R jest funkcją ciągłą w 0 ∈ Rk wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej funkcji ciągłej γ : R → Rk takiej, że γ(0) = 0 złożenie f ◦ γ : R → R jest funkcją ciągła w zerze.