Ćwiczenia AM II, 12.1.2018 Elementy teorii miary c.d.
Zadanie 1. Wykazać, że jeśli przynajmniej jeden ze zbiorów A, B ⊂ R jest miary zero, to produkt A × B ⊂ R2 jest też zbiorem miary zero (względem miary Lebesgue’a na R2).
Zadanie 2. Zbiór Cantora C składa się ze wszystkich liczb postaci
x= X∞ i=1
ci
3i,
gdzie ci ∈ {0, 2}. Rozwinięcie tej postaci jest jednoznaczne (Proszę to uzasadnić). Definiujemy funkcję f : C → R wzorem
f(x) = X∞ i=1
ci
2i+1.
Udowodnić, że funkcja f jest niemalejąca, ciągła i przeprowadza zbiór miary zero C na odcinek [0, 1]!
Funkcję f można przedłużyć do funkcji ˜f : [0, 1] → [0, 1] o tych samych własnościach.
Zadanie 3. Wykazać, że dla dowolnego zbioru A ⊂ Rk zachodzi
λz(A) = inf{λ(U) : A ⊂ U, gdzie U ⊂ Rk jest otwarty }.
Zadanie 4. Niech T : [0, 1) → [0, 1), T (x) = 2x − [2x]. Wykazać, że jeśli A ⊂ [0, 1) jest mierzalny, to T−1(A) też jest mierzalny i ma tę samą miarę.
Zadanie 5. Udowodnić, że jeśli miara zewnętrzna µz: 2X→ [0, +∞] spełnia µz(A ∪ B) = µz(A) + µz(B)
dla dowolnych rozłącznych zbiorów A, B ∈ F dla pewnego sigma-ciała F ⊂ 2X, to µz|F jest miarą.
Zadanie 6. Wprowadzamy k-wymiarową miarę wewnętrzną Lebesgue’a:
λw(A) = sup{λ(F ) : F ⊂ A, F -domknięty}.
Wykazać, że
(a) λw(∅) = 0; λw(A) ¬ λw(B), jeśli A ⊂ B; λw(S
j∈NAj)P∞
j=1λw(Aj) dla parami rozłącznych zbiorów Aj,
(b) λw(A) = λ(M) dla pewnego zbioru M ⊂ A typu Fσ,
(c) Jeśli E jest zbiorem mierzalnym, to λ(E) = λw(A) + λz(E \ A) dla dowolnego A ⊂ E.
Zadanie 7. Czy miara wewnętrzna jest skończenie addytywna? Ile wynosi miara wewnętrzna zbioru Vitaliego?
Zadanie 8. Wykazać, że λw(A) = λz(A) wtedy i tylko wtedy, gdy A jest mierzalny.
Zadanie 9. Przypuśćmy, że A ⊂ R jest zbiorem mierzalnym o dodatniej mierze. Wykazać, że istnieją x, y ∈ A takie, że x − y ∈ Q.
Zadanie 10. Ile może wynosić miara zewnętrzna Lebesgue’a zbioru Vitaliego?
Zadanie 11. Wykazać, że zbiór
{x = (0.0c20c40c6. . .)2: ci∈ {0, 1}}
jest mierzalny. Jaką ma miarę?
1
