Streszczenie wykªadu 1 (24 lutego), 2 (03. 03.) i 3 (10. 03.). Rekomendowane zadania

Streszczenie wykªadu 1 (24 lutego), 2 (03. 03.) i 3 (10. 03.). Rekomendowane zadania

 zestaw 1, 2 i 3.

Edward Malec

Institute of Physics, Jagiellonian University, Reymond 4, 30-059 Krakow, Poland (Dated: March 11, 2015)

PACS numbers:

I. STRESZCZENIE WYKŠADU 1.

Geneza liczb urojonych  pierwiastki równa« alge- braicznych trzeciego i czwartego stopnia (Cardano i in.) Denicja grupy. Denicja ciaªa. Denicja ciaªa liczb ze- spolonych (Hamilton). Zapis z=a+bi (Euler). Moduª i faza liczby zespolonej. Liczby zespolone jako wektory na pªaszczy¹nie, mno»enie wektorów (Gauss).

II. STRESZCZENIE WYKŠADU 2.

Dowody wªasno±ci moduªu i sprze»enia zespolonego.

sprawdzenie, »e |z| = √

¯

zz . Sprawdzenie, »e cze±¢ rzeczy- wista liczby zespolonej <z = ¹ ₂ (z + ¯ z) . Sprawdzenie, »e cze±¢ urojona liczby zespolonej =z = _2i ¹ (z − ¯ z) .

Dowód nierówno±ci −|z| ≤ <z ≤ |z|.

Dowody nierówno±¢ trójkata

|z 1 + z 2 | ≤ |z 1 | + |z 2 | . Dowód

|z ₁ + z ₂ | ≥ ||z ₁ | − |z ₂ ||

Posta¢ wykªadnicza liczby zespolonej (wywód - poprzez rozwiniecie Taylora - poza algebra):

e ^iφ = cos φ + i sin φ. (1) Przykªady.

Wzór de Moivre'a

(cos φ + i sin φ) ⁿ = cos nφ + i sin nφ

- dowód metoda indukcji matematycznej. Alternatywny dowód z wykorzystaniem wªasno±ci funkcji wykªadniczej i wzoru (1).

Wyprowadzenie relacji

cos φ = <e ^iφ = 1

2 (e ^iφ +e ^−iφ ), sin φ = =e ^iφ = 1

2i (e ^iφ −e ^−iφ ) Przykªad zastosowania: policzenie sumy

Σ ⁿ _k=1 sin(kα) = =Σ ⁿ _k=1 e ^ikα .

Sformuªowanie zasadniczego twierdzenia algebry.

III. STRESZCZENIE WYKŠADU 3.

Niekonstruktywny charakter zasadniczego twierdzenia algebry. Rozwiazanie równania

z ⁿ = w,

 gdzie w = |w|(cos φ w + i sin φ w )  przez kon- strukcje:

z k = |w|

ⁿ¹

(cos( φ w

n + 2πk

n ) + i sin( φ w

n + 2πk n )).

Powy»ej n jest naturalne, natomiast naturalna liczba k:

1 ≤ k ≤ n .

Przykªad: pierwiastki trzeciego stopnia z 1.

Pojecie permutacji. Skªadanie permutacji. Sprawdze- nie, »e ogóª wszystkich permutacji liczb (1,2) stanowi grupe abelowa. Rozkªad permutacji na transpozycje, liczba inwersji, parzysto±¢ permutacji (bez dowodów, przykªady). Antysymetryczny symbol Levi-Civita

 _α

₁

_,α

₂

_...α

_n

. Macierze. Iloczyn macierzy. Przykªady.

Dygresja: permutacje, wariacje, kombinacje i ich liczba. Symbol ( ⁿ _k ) .

IV. ZADANIA DO POLICZENIA WE WSZYSTKICH GRUPACH

A. Zestaw 1  25. 02.

1. Sprawdzi¢, »e mno»enie Hamiltona (a, b)(c, d) ≡ (ac − bd, ad + bc) jest ªaczne.

2. Policzy¢ (1 + i) ² , (1 + i) ⁴ , (1 + i) ⁸ . Pokaza¢ 1 + i oraz ka»da z tych liczb zespolonych na pªaszczy¹nie ze- spolonej. Zinterpretowa¢ otrzymane wyniki odwoªujac sie do reguª mno»enia wektorów na pªaszczy¹nie zden- iowanych przez Gaussa.

3. Policzy¢ z ^∗ , |z/z ^∗ |, |z|, |z ^∗ | dla z = 1 + i; z = 1 − i, z = 1/(1 + i) . Liczba z ^∗ jest sprze»ona do z.

4. (Trudne). Udowodni¢, stosujac zasade indukcji, to»samo±¢

Σ ⁿ _k=1 sin(kα) = sin( ^(n+1)α ₂ ) sin( ^nα ₂ )

sin( ^α ₂ ) (2)

2 B. Zestaw 2  03. 03.

1. Udowodni¢ nierówno±ci

−|z| ≤ =z ≤ |z|.

2. Pokaza¢ na pªaszczy¹nie zespolonej wszystkie wektory odpowiadajace caªkowitym potegom liczby ze- spolonej z = ^{√ 1} ₂ (1 + i) .

3. Policzy¢ 

1 2 + i

√ 3 2

 ¹²⁰ .

4. Jaka gure geometryczna tworza liczby zespolone z takie, »e |z| = R (R > 0)?

5. (Trudne) Policzy¢

Σ ⁿ _k=1 cos(kα).

Wskazówka: Wykorzysta¢ cos φ = <e ^iφ

C. Zestaw 3  10. 03.

1. Pokaza¢, »e ogóª pierwiastków równania z ⁴ = 1 stanowi grupe przemienna ze wzgledu na mno»enie.

2. Czy da sie pokaza¢, »e ogóª pierwiastków równa- nia z ⁴ = 16 stanowi grupe przemienna ze wzgledu na mno»enie?

3. Znale¹¢ wszystkie rozwiazania równania z ⁻⁴ = 16 . 4. (Bardzo trudne) Policzy¢

Σ ⁿ _k=0 (k + 1) ^k ,

gdzie  jest jednym z pierwiastków n-tego stopnia z 1.

Rozwa»y¢ osobno przypadki  = 1 i  6= 1.

5. Wypisa¢ jawnie wszystkie permutacje liczb (1,2,3).

Sprawdzi¢, »e stanowia one grupe. Policzy¢ parzys- to±¢ permutacji i sprawdzi¢, »e mo»na je (równowa»nie) okre±li¢ w oparciu o rozkªad na transpozycje lub liczbe inwersji.

6. Niech A = ¹ 0 0

−1

, B = ⁰ −i i 0

. Policzy¢ iloczyny

macierzowe A ² , B ² , AB, BA .