• Nie Znaleziono Wyników

Zadanie 1 (6p). Wykaż, że każdy graf G zawiera podgraf dwudzielny zawierający co najmniej

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Zadanie 1 (6p). Wykaż, że każdy graf G zawiera podgraf dwudzielny zawierający co najmniej"

Copied!
1
0
0

Pełen tekst

(1)

Dyskretna Matematyka dyskretna Semestr letni 2018/2019

Kraków 13 czerwca 2019

Kolokwium 2

Zadanie 1 (6p). Wykaż, że każdy graf G zawiera podgraf dwudzielny zawierający co najmniej

|E(G)|2

krawędzi.

Zadanie 2 (5p+2.5p). Na zbiorze kół K na płaszczyźnie o rozłącznych wnętrzach okre- ślamy graf G = (K, E(K)) tak, że dwa koła z K są połączone krawędzią wtedy i tylko wtedy, gdy mają niepuste przecięcie (koła takie muszą się więc dotykać).

(i) Wskaż najlepsze możliwe ograniczenie górne na liczbę kolorującą grafu G = (K, E(K)) w przypadku, gdy wszystkie koła z K mają średnicę 1.

(ii) Wykaż, że istnieje stała c taka, że dla każdego zbioru kół K o dowolnych średnicach, liczba kolorująca grafu G = (K, E(K)) jest ograniczona przez c.

Zadanie 3 (3p+3p). Zdecyduj, które z poniższych zdań są prawdziwe:

(i) Jeżeli grafy G = (V, E) i H = (V

0

, E

0

) są takie, że V = V

0

, to wtedy χ(V, E ∪ E

0

) ¬ χ(G) + χ(H).

(ii) Każdy graf G posiada kolorowanie χ(G) kolorami, w którym moc wierzchołków pewnego koloru jest równa mocy największego zbioru niezależnego w G.

Zadanie 4 (6p). Niech (X, Y, E) będzie grafem dwudzielnym takim, że |X| = |Y | i niech d = max{|A| − |N (A)| : A ⊆ X},

gdzie N (A) to zbiór sąsiadów wierzchołków w A. Wykaż, że graf (X, Y, E) posiada dopa- sowanie rozmiaru |X| − d.

Zadanie 5 (6p). Dany jest zbiór punktów P na płaszczyźnie taki, że odległość pomiędzy każdymi dwoma punktami w P jest ­ 1. Wykaż, że istnieje co najwyżej O(n) par punktów {X, Y } ⊂ P takich, że odległość pomiędzy X a Y jest równa dokładnie 1.

Zadanie 6 (6p). Niech a

1

, . . . , a

n

oraz b

1

, . . . , b

k

będą nieujemnymi liczbami całkowitymi spełniającymi warunek a

1

+ . . . + a

n

= b

1

+ . . . + b

k

. Wykaż, że istnieje macierz A rozmiaru n × k o elementach będących nieujemnymi liczbami całkowitymi o tej własności, że dla każdego i ∈ [n] suma elementów w i-tym wierszu A jest równa a

i

oraz dla każdego j ∈ [k]

suma elementów w j-tej kolumnie A jest równa b

j

.

Powodzenia!

Strona 1/1

Cytaty

Powiązane dokumenty

Znajdź granicę tego

[r]

Zapewne tylko jeden solidny wniosek da się wyprowadzić z tych dwóch zestawień, a mianowicie taki, że częściej można natrafić na abstynen- tów w próbie losowej

Jeśli natomiast wynik 4 otrzymamy dodając cztery jedynki stojące w pewnej kolumnie, to sumę 0 możemy uzyskać jedynie dodając cztery zera w innej kolumnie.. Wobec tego drugą sumę

Plusik przy numerze zadania oznacza, że zadanie jest trudniejsze; gwiazdka, że dość trudne.. Wykaż, że część wspólna pięciu zbiorów domkniętych jest

Udowodnić, że (Q, +) nie jest skończenie

Znaleźć przykład podgrupy indeksu 3, która nie jest dzielnikiem

Łukowa liczba chromatyczna D, oznaczana A(D) to najmniejsza liczba kolorów jaką można pokolorować