x dx + y dy, (b

(1)

ANALIZA MATEMATYCZNA B3

LISTA ZADA 9 16.01.2017

(1) Oblicz nast¦puj¡ce caªki, sprawdziwszy najpierw, czy istotnie caªka nie zale»y od drogi caªkowania:

(a)

∫ _(3,₋₄₎

(0,1)

x dx + y dy,

(b)

∫ (2,3) (−1,2)

y dx + x dy,

(c)

∫ _(2,3)

(0,1)

(x + y) dx + (x− y) dy,

(d)

∫ (1,1) (1,−1)

(x− y) dx + (y − x) dy,

(e)

∫ (3,0) (−2,−1)

(x⁴+ 4xy²) dx + (6x²y²− 5y⁴) dy,

(f)

∫ _(1,2)

(2,1)

y dx− x dy

x² (uwaga na drog¦), (g)

∫ (6,8) (1,0)

x dx + y dy

x²+ y² (uwaga na drog¦), (h)

∫ _(2,1)

(1,0)

x dx− y dy

(x− y)² (uwaga na drog¦), (i)

∫ (2,π) (1,0)

( 1− y²

x² cosy x

)

dx +( siny

x +y xcosy

x )

dy (uwaga na drog¦),

(2) Pole elektrostatyczne mi¦dzy okªadkami kondensatora cylindrycznego ma nat¦»e- nie K o skªadowych

Kx = a x

r³, Ky = a y

r³, Kz = 0, r =√

x²+ y²+ z².

Wyznacz prac¦, któr¡ trzeba wykona¢, »eby ªadunek jednostkowy przesun¡¢ wzdªu»

prostej (3t, 4t, 0) z punktu (3, 4, 0) do (6, 8, 0).

(3) Dane jest pole siª P (x, y, z) = xz − z Q(x, y, z) = 0 R(x, y, z) = 2x + z². Wyznacz prac¦, jak¡ trzeba wykona¢ pokonuj¡c siªy pola wzdªu» drogi po ªuku z = x³ od punktu (0, 1, 0) do (1, 1, 1).

1

(2)

(4) Pole grawitacyjne ma skªadowe:

P = k x

r³, Q = k y

r³, R = k z

r³, r =√

x²+ y² + z².

Wyznacz prac¦, jak¡ trzeba wykona¢, aby przesun¡¢ punkt o masie jednostkowej wzdªu» drogi (cos t, 1, sin t) z punktu (1, 1, 0) do (0, 1, 1).

(5) Znajd¹ mas¦ krzywej (e^tcos t, e^tsin t, e^t), 0≤ t ≤ 1, je»eli g¦sto±¢ ªuku wyra»a si¦

funkcj¡ ρ(x, y, z) = e^t.

(6) Znajd¹ mas¦ pierwszego zwoju linii ±rubowej (a cos t, a sin t, bt). G¦sto±¢ w ka»dym punkcie zwoju jest równa kwadratowi promienia wodz¡cego tego punktu.

(7) Korzystaj¡c ze wzoru Greena oblicz podane caªki, przy zaªo»eniu, »e krzywe s¡

zorientowane dodatnio:

(a)

∫

C

y dx− x dy, gdzie C jest brzegiem kwadratu [−1, 1] × [−1, 1], (b)

∫

C

(y²+ x³) dx + x∗ 4 dy, gdzie C jest brzegiem kwadratu [0, 1] × [0, 1], (c)

∫

C

xy²dy− x²y dx, gdzie C jest okr¦giem x²+ y² = a², (d)

∫

C

(e^xsin y − my), dx − (e^xcos y − m) dy, gdzie C jest górnym póªokr¦giem x² + y² = ax, y≥ 0,

(e)

∫

C

cos∠(v, n) ds, gdzie C jest dowoln¡ zamkni¦t¡ krzyw¡ Jordana, n zewn¦trz- nym wektorem normalnym do krzywej, a v dowolnym ustalonym wektorem.

(f)

∫

C

(x, y) · n ds, gdzie C i n jak wy»ej.

(8) Znajd¹ pole elipsy korzystaj¡c ze wzoru na pole P : P (D) = 1

2

∫

∂D

x dy− y dx.

(9) Znajd¹ pole obszaru ograniczonego przez jeden ªuk cykloidy x = a(θ − sinθ), y = a(θ− cosθ), a > 0, 0 ≤ θ ≤ 2π i o± OX.

2