• Nie Znaleziono Wyników

Zadania i problemy do wykładu Statystyka (Zestaw nr 5) Zadania

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Zadania i problemy do wykładu Statystyka (Zestaw nr 5) Zadania"

Copied!
2
0
0

Pełen tekst

(1)

Zadania i problemy do wykładu Statystyka (Zestaw nr 5)

Zadania

Zadanie 1. Dane są dwa estymatory parametru θ, S i T , o których wiadono, że V ar(S) = 40 i V ar(T ) = 3.

1. Załóżmy, że E(S) = θ i E(T ) = θ + 3. Który z estymatorów wybierzesz i dlaczego?

2. Załóżmy, że E(S) = θ i E(T ) = θ + a dla pewnej dodatniej liczby a. Który z estymatorów wybierzesz i dlaczego?

Zadanie 2. Niech X1, ..., Xnbędzie próba losową z rozkładu wykładniczego Exp(λ).

1. Uzasadnij, że T1 = 1n(X1+ X2+ ... + Xn) jest nieobciążonym estymatorem λ1. 2. Niech Mn oznacza minimum z próby, Mn = min {X1, X2, ..., Xn} . Wykaż, że

statystyka T2 = nMn jest również nieobciążonym estymatorem λ1. 3. Który, z estymatorów T1 i T2 wybierzesz i dlaczego?

Zadanie 3. Przy przyjętych w zadaniu 2 założeniach i oznaczeniach rozpatrzy es- tymatory parametru 1λ, postaci

Wc= c (X1+ X2+ ... + Xn) , gdzie c jest liczbą rzeczywistą.

1. Policz błąd średniokwadratowy estymatora Wc.

2. Dla jakiego c, otrzymamy najlepszy, w sensie błędu średniokwadratowego, es- tymator?

3. Jak jest jego względna efektywność w porównaniu do nieobciążonego estyma- tora ¯Xn, (średniej próbkowej)?

Zadanie 4. Niech X1, ..., Xnbędzie próba losową z rozkładu 0-1, dla którego P {Xi = 1 } = p.

Rozpatrujemy estymatory postaci T1 = 1

n (X1+ X2+ ... + Xn) i Tn = min {X1, X2, ..., Xn} . 1. Czy estymatory T1 i T2 są nieobciążonymi estymatorami parametru p?

2. Pokaż, że błędy średniokwadratowe estymatorów T1i T2są równe odpowiednio,

1

np(1 − p) oraz pn− 2pn+1+ p2.

3. Który, z estymatorów T1 i T2 jest bardziej efektywny, gdy n = 2?

(2)

Problemy

Problem 1. (Zagadnienie regresji liniowej)

Dla ustalonych liczb rzeczywistych x1, x2, ..., xn niech Yi = β xi + Ui,

gdzie U1, U2, .... Un są niezależnymi zmiennymi losowymi, dla których E(Ui) = 0 i V ar(Ui) = σ2. Rozpatrujemy trzy estymatory parametru β, a mianowicie

T1 =

Pn i=1xiYi

Pn

i=1x2i , T2 = 1 n

n

X

i=1

Yi

xi, T1 =

Pn i=1Yi

Pn i=1xi.

1. Wykaż, że wszystkie trzy estymatory są nieobciążonymi estymatorami para- metru β.

2. Policz błąd średniokwadratowy każdego z nich.

3. Wykaż, że estymator T1 jest zawsze bardziej efektywny niż estymator T3, oraz że estymator T3 jest zawsze bardziej efektywny niż estymator T2.

Wskazówka. Skorzystaj odpowiednio z nierówności Cauchy’ego-Schwartza oraz nierówności Jensena

Problem 1. Czasami mamy do dyspozycji dwa nieobciążone estymatory U i T o tej samej wariancji V ar(U ) = V ar(T ). W tej sytuacji nie ma powodów aby przedkładać jeden z nich nad drugi. Możemy jednak rozpatrzyć trzeci estymator W , postaci

W = U + T 2 .

Łatwo widać, że W jest nieobciążonym estymatorem. W celu ocenienia estymatora powinniśmy policzyć jego wariancję. Jednak ponieważ nie dysponujemy informacją o łącznym rozkładzie U i T nie jest to możliwe.

Jednak, w każdym przypadku powinniśmy wybrać estymator W . Wskazówka. Policz względną efektywność estymatora T , czyli V ar(W )V ar(U ).

Cytaty

Powiązane dokumenty

Kurczący się miesień ma dodatnią prędkość skracania, podczas gdy mięsień z bardzo dużym obciążeniem raczej się rozciąga niż kurczy, tj.. ma ujemną

Energia cieplna jest produkowana wewnątrz roju, w tempie proporcjonalnym do masy roju (można przyjąć, że masa jest równa objętości pomnożonej przez stałą).. Roje, które nie

Współczynnik konwersji na jednostkę czasu jest proporcjonalny do aktualnego poziomu alkoholu we krwi, tak że równanie różniczkowe spełniane przez poziom alkoholu we krwi

Narysuj wykres dystrybuanty lub gęstości swojego ulubionego rozkładu praw- dopodobieństwa, podaj wartości jego charakterystyk oraz powód, dla którego lubisz ten rozkład2.

Jaka duża musi być próba aby z prawdopodobieństwem większym niż 0.95 zawierał ona osobę nierozróżniającą kolory?. Zakładamy, że populacja z której wybieramy próbę jest

Metoda jackknife jest ogólną technika redukcji obciążenia estymatora.. Esty- mator jackknife jest zdefiniowany w

Wykorzystując drugi moment, wyznacz metodą momentów estymator para- metru θ2. Wykorzystując medianę rozkładu, wyznacz metodą momentów estymator pa-

Pierwszy eksperyment: czerwona ścianka pojawiła się po raz pierwszy w trzecim rzucie Drugi eksperyment: czerwona ścianka pojawiła się po raz pierwszy w piatym rzucie Trzeci