Denicja 2

Rozkªady: gamma, chi-kwadrat, t-Studenta, F-Snedecora

Denicja 1. Rozkªadem gamma Gamma(α, λ) nazywamy rozkªad o g¦sto±ci

f (x) = λ^α

Γ(α)x^α−1e^−λx, x > 0, gdzie

Γ(α) =

∞

Z

0

t^α−1e^−tdt.

EX = α

λ, V arX = α λ².

Denicja 2. Rozkªadem chi kwadrat o n stopniach swobody nazywamy rozkªad zmiennej losowej

Y =

n

X

i=1

X_i²,

gdzie X1, . . . , X_n s¡ niezale»nymi zmiennymi losowymi o rozkªadzie N(0, 1).

EX = n, V arX = 2n.

Denicja 3. Rozkªadem t-Studenta o n stopniach swobody nazywamy rozkªad zmiennej losowej

T = X

pY /n, gdzie X ∼ N(0, 1), za± Y ∼ χ²(n). Ozn. T ∼ t(n).

Denicja 4. Rozkªadem F-Snedecora (Fishera-Snedecora) o m i n stopniach swobody nazywamy rozkªad zmiennej losowej

Z = X/m Y /n ,

gdzie X i Y s¡ niezale»nymi zmiennymi losowymi o rozkªadach chi-kwadrat z m i n stop- niami swobody, odpowiednio.

FAKT

(1) E(λ) = Gamma(1, λ), (2) χ²(n) = Gamma ⁿ₂,¹₂

.

(3) Je»eli X1, . . . , X_n s¡ niezale»ne o tym samym rozkªadzie Gamma(α, λ), to Pⁿ

i=1

X_i ma rozkªad Gamma(nα, λ).

1 Przygotowaªa: Agnieszka Goroncy

Rozkªady: gamma, chi-kwadrat, t-Studenta, F-Snedecora Twierdzenie 1. Niech X1, . . . , X_n^iid∼ N (µ, σ²). Wówczas

X¯_n = 1 n

n

X

i=1

X_i,

S² = 1 n − 1

n

X

i=1

(X_i− ¯X_n)² s¡ niezale»nymi zmiennymi losowymi oraz

X¯_n ∼ N (µ,σ² n ), n − 1

σ² S² ∼ χ²(n − 1),

√n

X¯_n− µ

S ∼ t(n − 1).

Wynika st¡d, »e ES² = σ², V arS² = _(n−1)^2σ4 .

2 Przygotowaªa: Agnieszka Goroncy