3.2. PRAWA KIRCHHOFFA I ZASADA TELLEGENA

3. PODSTAWOWE PRAWA I TWIERDZENIA TEORII OBWODÓW

3.1. SCHEMAT IDEOWY OBWODU

Schematem ideowym obwodu (siecią) nazywamy graficzne przed- stawienie obwodu , pokazujące kolejność i sposób połączeń jego elementów.

Wszystkim uwzględnionym w modelu parametrom układu odpowiadają określone elementy, ich symbole graficzne oraz wartości, natomiast odcinki łączące elementy traktujemy jako idealne przewodniki (nie rozpraszające i nie akumulujące energii).

Na schemacie wyróżniamy: ^gałęzie, ^węzły i ^oczka.

Gałąź obwodu jest to układ zawierający jeden lub wiele dowolnie po- łączonych elementów (zarówno pasywnych jak i aktywnych), posia- dający dwie wyprowadzone końcówki (zaciski) do połączenia z po- zostałą częścią obwodu.

Gałąź jest więc dwójnikiem do opisu którego wystarczy znajomość napięcia gałęziowego ug i prądu gałęziowego ig.

u

1 2

Gałąź obwodu

Końcówkom gałęzi często narzuca się kolejność, tzn. oznaczamy jed- ną z nich jako pierwszą (1), która stanowi początek gałęzi a pozostałą jako drugą (2), stanowiącą jej koniec.

Węzłem obwodu nazywamy końcówkę (zacisk) gałęzi, do której jest przyłączona jedna następna gałąź lub kilka gałęzi.

• Węzłem głównym obwodu nazywamy końcówkę (zacisk) gałęzi do której dołączono co najmniej dwie inne gałęzie (w1 i w3). Zatem wę- zeł główny (zwany potocznie węzłem), to taki punkt (zacisk) obwodu w którym zbiegają się co najmniej trzy końcówki różnych gałęzi.

• Jeśli liczba zbiegających się w punkcie końcówek gałęzi jest równa dwa, to punkt nazywamy węzłem pomocniczym. (w2).

w1 w2

w3

Ilustracja pojęcia węzła głównego i pomocniczego

Oczko obwodu elektrycznego jest to zbiór połączonych ze sobą ga- łęzi tworzących zamkniętą drogę dla prądu i posiadającą tę właści- wość, że po usunięciu dowolnej gałęzi oczka pozostałe gałęzie nie tworzą drogi zamkniętej.

oczko

Ilustracja pojęcia oczka obwodu

UWAGA: • obwodem prostym bądź obwodem nierozgałęzionym na- zywamy obwód zawierający wyłącznie jedno oczko,

• obwodem złożonym lub inaczej rozgałęzionym nazywamy obwód zawierający nie mniej niż dwa oczka.

Gałęzie obwodu mogą tworzyć połączenie:

szeregowe, równoległe, gwiazdowe lub wieloboczne (wielokątne).

¾ Układ połączeń nazywamy szeregowym, wtedy gdy w każdej gałęzi układu występuje ten sam prąd elektryczny, tzn. o tej samej wartość i zwrocie.

Połączenie szeregowe

¾ Układ połączeń nazywamy równoległym, wtedy gdy na każdej gałęzi układu występuje to samo napięcie elektryczne, tzn. o tej samej war- tość i zwrocie.

u u u

u

Połączenie równoległe

¾ Połączenie n gałęzi obwodu w taki sposób, że końce każdej z gałęzi tworzą wspólny węzeł (zwany punktem zerowym), pozostałe zaś koń- ce dołączone są do innych elementów obwodu nazywamy połącze- niem gwiazdowym.

Szczególnym przypadkiem połączenia gwiazdowego przy n = 3 jest połączenie w gwiazdę trójramienną.

¾ Połączenie gałęzi obwodu w figurę płaską, która ma n wierzchołków i boki łączące każdy wierzchołek z wszystkimi pozostałymi, nazywa- my połączeniem wielokątnym (wielobocznym).

Szczególnym przypadkiem połączenia wielokątnego przy n = 3 jest po- łączenie w trójkąt.

1

3

0

2 3 2

a) b) 1

Połączenie: a) gwiazdowe (gwiazda trójramienna), b) wielokątne (trójkątowe)

3.2. PRAWA KIRCHHOFFA I ZASADA TELLEGENA

I prawo Kirchhoffa - prądowe prawo Kirchhoffa (PPK) Algebraiczna suma natężeń prądów we wszystkich gałę- ziach dołączonych do jednego, dowolnie wybranego węzła obwodu jest w każdej chwili czasu równa zeru:

∑

=

∧ ⁿ

k

k

t k i t

1

0 )

λ ( (3.1)

gdzie: λk = ±1 (+ jeśli prąd elektryczny ma zwrot do węzła; - jeśli zwrot jest przeciwny, od węzła)

b) a)

( )

( ) ( )

( )

1 + − + =

−i t i t i t i t i₁

( )

( ) ( )

Ilustracja PPK: a) dla węzła, b) dla węzła jako obszaru

II prawo Kirchhoffa - napięciowe prawo Kirchhoffa (NPK) Algebraiczna suma napięć na wszystkich elementach, two- rzących dowolnie wybrane oczko obwodu, jest w każdej chwili czasu równa zeru:

∑

=

∧ ⁿ

k

k

t k u t

1

0 )

ν ( (3.2)

gdzie: νk = ±1 (+ jeśli zwrot napięcia jest zgodny z przyjętym za dodatni kie- runkiem obiegu oczka; - jeśli jest przeciwny)

( )

( )

( )

( )

( )

1 t −u t +u t +u t −u t = u

Ilustracja NPK

Zasada Tellegena

W każdym odosobnionym obwodzie (obwodzie nie wymienia- jącym energii z otoczeniem) skupionym suma mocy chwilo- wych pobieranych przez wszystkie elementy obwodu jest w każdej chwili czasu równa zeru:

∑

=

∧ ⁿ

k

t pk t

1

0 )

( (3.3)

Pamiętając, że w każdej chwili niektóre elementy obwodu faktycznie pobierają moc (pk > 0) a inne ją faktycznie oddają (pk < 0) z powyższej za- leżności wynika, iż:

suma mocy pobieranych przez elementy obwodu skupionego jest w każdej chwili równa sumie mocy oddawanych przez po- zostałe elementy obwodu.

Zasada Tellegena zwana jest także zasadą BILANSU MOCY.

Taki sam wniosek formułuje się w odniesieniu do energii pobranych i oddanych przez elementy obwodu skupionego w dowolnym przedziale czasu od t1 do t2:

∑ ∫

∫ ∑

=

= ⁿ

k t

t k t

t n k

k t p t

p

1 1

0 ) ( )

(

2

1 2

1

(3.4)

Oznacza to, że

w dowolnym przedziale czasu <t₁,t₂> suma energii pobranych przez elementy obwodu skupionego jest równa sumie energii oddanych przez pozostałe elementy obwodu.

Zasada Tellegena wyraża zatem także zasadą zachowania energii.

3.3.

¾ ŁĄCZENIE REZYSTORÓW

• Połączenie szeregowe n rezystorów

i R i R i

R i

R i R u

u u u

n k

k n

n = + + + = =

+ + +

=

∑

=1 2

1 2

1 K K (3.5)

∑

= ⁿ

k

Rk

R

1

(3.6)

• Połączenie równoległe n rezystorów

u G u G u

G u

G u G i

i i i

n k

k n

n = + + + = =

+ + +

=

∑

=1 2

1 2

1 K K (3.7)

∑

∑

=

= ⁿ

k k

n k

k R R

G G

1 1

1

lub 1 (3.8)

¾ ŁĄCZENIE CEWEK INDUKCYJNYCH

• Połączenie szeregowe n cewek indukcyjnych

dt d dt

d dt

d dt u d

u u

u _{= + + + n =} Ψ ₊ Ψ _{+ +} Ψⁿ ₌ Ψ K

K ^{1 2}

2

1 (3.9)

i L i L i

L i

L i L

n k

k

n = =

+ + +

=

∑

=1 2

1 K

Ψ (3.10)

∑

= ⁿ

k

Lk

L

1

(3.11)

• Połączenie równoległe n cewek indukcyjnych

.

Ψ Ψ

Ψ Ψ Ψ

Ψ Ψ

Ψ _{= = = = ⇒ = = = =}

= ⁿ _n

dt d dt

d dt

d dt

u d 1 2 K 1 2 K (3.12)

L L

L L

i L i

i i

n

k k

n ₌Ψ ₊Ψ _{+ +}Ψn ₌ Ψ ₌Ψ

+ + +

=

∑

2 =1 2 1

1 1

K

K (3.13)

∑

= ⁿ 1

1 (3.14)

¾ ŁĄCZENIE KONDENSATORÓW

• Połączenie szeregowe n kondensatorów

q q q

dt q dq dt

dq dt

dq dt

i = dq1 = 2 =K= ⁿ = ⇒ 1 = 2 =K= _n = (3.15)

C q q C C

q C

q C

u q u

u u

n

k k

n = + + + n = =

+ + +

=

∑

2 =1 2 1

1 1

K

K (3.16)

∑

= ⁿ

k Ck

C ₁

1

1 (3.17)

• Połączenie równoległe n kondensatorów

dt dq dt

dq dt

dq dt

i dq i

i

i = 1 + 2 +K+ _n = ¹ + ² +K+ ⁿ = (3.18)

u C u C u

C u

C u C q

n k

k

n = =

+ + +

=

∑

=1 2

1 K (3.19)

∑

= ⁿ C_k

C (3.20)

¾ ŁĄCZENIE IDEALNYCH ŹRÓDEŁ NAPIĘCIA

• Połączenie szeregowe n idealnych źródeł napięcia

∑

= ⁿ

k

u k

u

1 0

0 (3.21)

• Połączenie równoległe n idealnych źródeł napięcia jest możliwe (z uwagi na równość definicyjną (2.19)) tylko w przypadku szcze- gólnym, gdy wszystkie siły elektromotoryczne są jednakowe.

n k

u

u₀ = _0k =1,2,K, (3.22)

¾ ŁĄCZENIE IDEALNYCH ŹRÓDEŁ PRĄDU

• Połączenie szeregowe n idealnych źródeł prądu jest możliwe (z uwagi na równość definicyjną (2.20)) tylko w przypadku szcze- gólnym, gdy wszystkie wydajności prądowe są jednakowe

n k

i

i_Z = _Zk =1 K,2, , (3.23)

• Połączenie równoległe n idealnych źródeł prądu

∑

= ⁿ _Zk

Z i

i (3.24)

3.4.

I twierdzenie Vaschy’ego

W obwodzie rozgałęzionym rozpływ prądów nie ulegnie zmianie, jeżeli do każdej gałęzi dołączonej do dowolnego węzła włączy się szeregowo idealne, jednakowe o tym sa- mym zwrocie względem węzła, źródła napięcia.

Uwaga:

• równanie wynikające z PPK dla przykładowo wyróżnionego węzła nie ulega zmianie po włączeniu źródeł napięciowych,

• równanie napięciowe dla dowolnie wybranego oczka, w którym wy- stąpi wyróżniony węzeł, będzie dodatkowo zawierało dwa napięcia u₀ o przeciwnych znakach.

II twierdzenie Vaschy’ego

W obwodzie rozgałęzionym rozpływ prądów nie ulegnie zmianie, jeżeli do każdej gałęzi wybranego oczka włączy się równolegle idealne, jednakowe o tym samym zwrocie względem obiegu oczka, źródła prądu.

Uwaga:

• równania wynikające z PPK dla każdego z węzłów przykładowo rozpatrywanego oczka, będą za- wierały dodatkowo dwa prądy iz o przeciwnych znakach.

• równanie napięciowe przykładowo wybranego oczka nie ulegnie zmianie po włączeniu idealnych źródeł prądowych.

3.5.

• zredukowanie obwodu do prostszej postaci (bardziej zwartej)

• przekształcenie obwodu do innej postaci, lub

które jest równoważne z obwodem wyjściowym.

Dwa układy są równoważne z punktu widzenia ich zacisków, jeżeli zależności między napięciami i prądami związanymi z tymi zaciskami są w obu układach identyczne

Przykład: transfiguracja trójników pasywnych 1

3 2 3 2

1

R₁ R₂ R₃

R₁₂

R₂₃ R₃₁

>

<

Dany trójkąt szukamy gwiazdy Dana gwiazda szukamy trójkąta

31 23

12

12

1 R 31R R

R R R

+

= +

31 23

12

23

2 R 12R R

R R R

+

= +

31 23

12

31

3 R 23R R

R R R

+

= +

3 2 2 1

1

12 R

R R R

R

R = + +

1 3 3 2

2

23 R

R R R

R

R = + +

2 1 1 3

3

31 R

R R R

R

R = + +

3.6.

2

1 R

R I U

= +

I R U

I R

U₁ = ₁ , ₂ = ₂ R U R U R

R U R U R

2 1 2 2

2 1

1 1 ,

= +

= +

¾ DZIELNIK NAPIĘCIA

Dzielnik napięciowy jest ukła- dem dwóch rezystorów połączonych szeregowo

U

I

U₁

U_{2 U}

G G U G

G U G U G

2 1 2 1

2 1

1 2 ,

= +

= +

R I R

R U R

2 1

2 1+

=

2 2

1

1 ,

R I U R

I = U =

R I R I R R I

R I R

2 1 2 1 2

1

1 2 ,

= +

= +

¾ DZIELNIK PRĄDU

Dzielnik prądowy jest układem dwóch rezystorów połączonych rów- nolegle

U

I

I₂ I₁

G I G I G G I

G I G

2 1 2 2

2 1

1 1 ,

= +

= +