17 stycznia 2020

Geometria z algebrą liniową I, 2019/2020 ćwiczenia 27. – rozwiązania

17 stycznia 2020

1. Niech α₁ = (1, 1, 1, 1), α₂ = (1, 1, 1, 0), α₃= (1, 1, 0, 0) i α₄= (1, 0, 0, 0) oraz niech A = {α₁, α₂, α₃, α₄}.

Niech ponadto ϕ : R⁴→ R⁴będzie przekształceniem liniowym takim, że ker ϕ = lin(α₁, α₄), ϕ(α₂) = α₁ i ϕ(α3) = α2. Znaleźć:

a) M (ϕ)^st_st,

W takim razie ϕ((1, 0, 0, 0)) = (0, 0, 0, 0), ϕ((0, 1, 0, 0)) = ϕ(α3) − ϕ(α4) = (1, 1, 1, 0), ϕ((0, 0, 1, 0)) = ϕ(α2) − ϕ(α3) = (0, 0, 0, 1) i ϕ((0, 0, 0, 1)) = ϕ(α1) − ϕ(α2) = (−1, −1, −1, −1). Zatem M (ϕ)^st_st =









0 1 0 −1 0 1 0 −1 0 1 0 −1 0 0 1 −1







 .

b) M (ϕ)^A_A,

A = M (ϕ)^A_A=









0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0







 .

c) rząd przekształcenia ϕ^k= ϕ ◦ . . . ◦ ϕ (k-krotne złożenie) dla k = 1, 2, 3.

Dla k = 1 jest to rząd macierzy A, czyli 2. Dla k = 2 liczymy A · A i mamy









0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0









, a zatem

rząd wynosi 1. Dla k = 3 liczymy A · A · A i wychodzi macierz zerowa, a więc rząd jest równy 0.

2. Dane są baza A = {(1, 2, 4), (1, 1, 1), (0, 0, 1)} przestrzeni R³, bazy B = {(0, 1), (1, 1)}, C = {(1, 2), (1, 3)}

przestrzeni R²oraz przekształcenia liniowe ϕ1: R³→ R²dane wzorem ϕ1(x, y, z) = (x − y + z, 2x + y − z) oraz ϕ2: R²→ R² dane warunkiem M (ϕ2)^C_B=

 1 2 1 3

 .

a) Obliczyć M (ϕ2◦ ϕ1)^C_A.

M (id)^B_st=

 −1 1

1 0



. M (id)^st_A=





1 1 0 2 1 0 4 1 1



.

M (ϕ2◦ ϕ1)^C_A= M (ϕ2)^C_B· M (ϕ1)^B_A= M (ϕ2)^C_B· M (id)^B_stM (ϕ1)^st_st· M (id)^st_A=

=

 1 2 1 3



·

 −1 1

1 0



·

 1 −1 1

2 1 −1



·





1 1 0 2 1 0 4 1 1



=

=

 1 1 2 1



·

 3 1 1 0 2 −1



=

 3 3 0 6 4 1

 .

b) Czy istnieją bazy B⁰ oraz C⁰ takie, że M (ϕ₂)^C_B⁰0 =

 −1 1

2 −2



? Nie, bo rząd podanej macierzy to 1 a rząd ϕ₂to 2.

1

c) Niech ψ : R² → R będzie funkcjonałem liniowym ψ(a, b) = a + 2b. Znaleźć współrzędne funkcjonału ϕ^∗₁(ψ) w bazie sprzężonej do bazy A.

(1, 0, 0) = −(1, 2, 4)+2(1, 1, 1)+2(0, 0, 1), (0, 1, 0) = (1, 2, 4)−(1, 1, 1)−3(0, 0, 1) oraz (0, 0, 1) = (0, 0, 1).

Zatem α₁^∗(x, y, z) = −x + y, α^∗₂(x, y, z) = 2x − y i α^∗₃(x, y, z) = 2x − 3y + z.

ϕ^∗₁(ψ)(x, y, z) = ψ((x − y + z, 2x + y − z)) = 5x + y − z = 3α^∗₁+ 5α^∗₂− α^∗₃. Czyli szukane współrzędne to 3, 5, −1.

3. Niech A ∈ Mm×n(K) będzie macierzą o wierszach w1, . . . , wm. Niech r = dim lin(w1, . . . , wm) i niech k = max{s ∈ N ∪ {0} : A zawiera podmacierz s × s o niezerowym wyznaczniku}. Wykazać, że r = k.

Mamy r ¬ k, bowiem jeśli dim lin(w1, . . . , w_m) = r, to istnieją 0 < i1< . . . < i_r¬ m takie że wi1, . . . , w_ir są liniowo niezależne, zatem macierz złożona z tych wierszy ma rząd r i jest w niej też r liniowo niezależnych kolumn. Wyrazy z tych wierszy w tych kolumnach są więc podmacierzą r × r o rzędzie r, a więc o niezerowym wyznaczniku.

Z drugiej strony r ­ k, bowiem jeśli mamy daną podmacierz k×k o niezerowym wyznaczniku, to jej wiersze są liniowo niezależne. Tym bardziej wiersze macierzy A zawierające tę macierz są liniowo niezależne, zatem dim lin(w1, . . . , wm) ­ k.

4. Niech

A =













1 2 0 0 . . . 0 1 3 2 0 . . . 0 0 1 3 2 . . . 0

. . . . . . . . . 0 0 0 0 . . . 3











 ,

B =





1 0 t 2 1 0 1 1 1



.

a) Obliczyć det A.

Po dokonaniu po kolei operacji wi+1− wi, i = 1, . . . , n − 1 (po kolei to znaczy do kolejnej operacji bierzemy nowy wiersz wi), dostaniemy:













1 2 0 0 . . . 0 0 1 2 0 . . . 0 0 0 1 2 . . . 0

. . . . . . . . . 0 0 0 0 . . . 1











 ,

a wyznacznik tej macierzy wynosi 1 i tyle też wynosi wyznacznik macierzy A.

b) Dla jakich t ∈ R, macierz B jest odwracalna?

det B = 1 + 0 + 2t − t − 0 − 0 = 1 + t, a zatem ta macierz jest odwracalna dla t 6= −1.

5. Zadanie składa się z następujących krótkich problemów.

a) V, W są przestrzeniami liniowymi nad ciałem K. Czy dla każdego układu wektorów α1, . . . , αk roz- pinającego przestrzeń V i każdego układu wektorów β1, . . . , βk ∈ W istnieje przekształcenie liniowe ϕ : V → W takie, że ϕ(αi) = βi dla każdego i = 1, . . . , k?

Nie, założenie jest tylko takie, że α1, . . . , αkrozpina V , niech więc V = R²i α1= (1, 0), α2= (0, 1), α3= (1, 1). Niech W = R oraz β¹= 1, β2= 0, β3= 0. Każde odwzorowanie ϕ spełniające warunki zadania daje ϕ(α1) + ϕ(α2) = 1, ale ϕ(α1+ α2) = ϕ(α3) = 0, a zatem ϕ nie jest przekształceniem liniowym.

b) Przekształcenia liniowe ϕ : R⁴ → R⁵ i ψ : R⁵ → R⁴ spełniają r(ϕ) = 4 = r(ψ). Czy wynika stąd, że przekształcenie ψ ◦ ϕ : R⁴→ R⁴ jest izomorfizmem?

Nie, niech ϕ((a, b, c, d)) = (a, b, c, d, 0) zaś ψ((p, q, r, s, t)) = (q, r, s, t). Wtedy ψ(ϕ((a, b, c, d))) = (b, c, d, 0) i jest rzędu 3, zatem nie jest izomorfizmem.

c) Niech V będzie przestrzenią liniową wymiaru 3. Dane są dwa liniowo niezależne funkcjonały liniowe ϕ₁, ϕ₂∈ V^∗. Czy musi istnieć niezerowy wektor α ∈ V taki, że ϕ₁(α) = ϕ₂(α) = 0?

Tak, dim ker ϕ₁­ 3 − 1 = 2, dim ker ϕ₂­ 3 − 1 = 2, zatem dim(ker ϕ₁∩ ker ϕ₂) = ker ϕ₁+ ker ϕ₂− 3 ­ 4 − 3 = 1, zatem istnieje tam niezerowy wektor.

2

d) Macierze A, B ∈ Mn×n(K) są odwracalne. Czy wynika stąd, że A · B jest macierzą odwracalną?

Tak, bowiem skoro det A, det B 6= 0, to det(AB) = det A · det B 6= 0, bowiem w dowolnym ciele jeśli ab = 0 to a = 0 lub b = 0.

e) Dana jest macierz A ∈ Mn×n(R) spełniająca warunki det(A + A) = det A + det A. Czy musi zachodzić det A = 0?

Dla n = 1 nie, bowiem wtedy (i tylko wtedy) det(A + A) = det A + det A jest prawdą dla dowolnej macierzy. det(A + A) = det(2A) = 2ⁿdet A.

f) Macierz A ∈ Mn×n(R) ma w każdym wierszu dokładnie jeden niezerowy element równy x i w każdej kolumnie dokładnie jeden niezerowy element. Ile wynosi | det A|?

Zatem mamy x dokładnie raz w każdym wierszu i w każdej kolumnie. Po przestawieniu wierszy macierzy tak, żeby i-ty wiersz to był ten, w którym x stoi na i-tym wierszu, mamy x-y na przekątnej, a zatem det A = (−1)^kxⁿ, gdzie k jest liczbą niezbędnych zamian wierszy. Zatem | det A| = xⁿ.

6. Dane są macierze A, B ∈ M_m×n(K) rzędu k.

a) Udowodnić, że istnieje przekształcenie liniowe ϕ : Kⁿ→ K^moraz bazy A, A⁰ przestrzeni Kⁿoraz bazy B, B⁰ przestrzeni K^m takie, że A = M (ϕ)^B_Aoraz B = M (ϕ)^B_A⁰0.

Skoro A i B są rzędu k mogą zostać sprowadzone przy pomocy operacji na wierszach i kolumnach do macierzy D o niezerowych wyrazach tylko na przekątnej, z których pierwsze k to jedynki a reszta to zera. Zatem istnieją macierze K, L, M, N takie, że KDL = A oraz M DN = B. Co więcej macierze K, L, M, N są odwracalne (bo macierze operacji na wierszach/kolumnach mają niezerowe wyznaczniki).

Zatem istnieją bazy A, A⁰, B, B⁰ takie, że K = M (id)^B_st, L = M (id)_A^st, M = M (id)^B_st⁰, N = M (id)^st_A0. Niech ϕ będzie takie, że M (ϕ)^st_st= D. Wtedy A = M (ϕ)^B_Aoraz B = M (ϕ)^B_A⁰0.

b) Czy można dodatkowo wymagać, że A = A⁰, czyli czy istnieje przekształcenie liniowe ϕ : Kⁿ → K^m oraz baza A przestrzeni Kⁿ oraz bazy B, B⁰ przestrzeni K^mtakie, że A = M (ϕ)^B_Aoraz B = M (ϕ)^B_A⁰? Nie. Załóżmy, że n = 2, k = 1, A =

 1 0 0 0

 , B =

 0 0 0 1



. Załóżmy, że ϕ oraz bazy opisane powyżej istnieją oraz A = {v₁, v₂}, B = {w1, w₂}, B⁰ = {w⁰₁, w⁰₂}. Wtedy ϕ(v2) = 0 na mocy macierzy A, ale ϕ(v₂) = w₂⁰ na mocy B. Ale w₂⁰ nie jest wektorem zerowym, bo jest wektorem z bazy, mamy więc sprzeczność.

3