Zestaw zada« z Geometrii z algebr¡ liniow¡
dla kierunku Informatyka, rok akadem. 2015/2016
1. Grupy i ciaªa
Zad. 1. Wyja±ni¢ poj¦cia: dziaªanie dwuargumentowe, dziaªanie ª¡czne, dziaªanie prze- mienne, element neutralny (jedynka), póªgrupa, monoid.
Zad. 2. Który z poniz»szych zbiorów wraz ze wskazanym dziaªaniem jest grupa? Wskaza¢
element neutralny.
(a) zbiór wszystkich caªkowitych wielokrotno±ci danej liczby rzeczywistej a z dzia- ªaniem dodawania;
(b) zbiór dodatnich liczb wymiernych z dziaªaniem mnozenia;
(c) zbiór liczb wymiernych z dziaªaniem dodawania;
(d) zbiór liczb wymiernych z dziaªaniem odejmowania.
Zad. 3. Ile ró»nych dziaªa« mo»na okre±li¢ w dowolnym zbiorze zawieraj¡cym tylko jeden element?
Zad. 4. Niech nZ = {nm : m ∈ Z} b¦dzie zbiorem liczb caªkowitych podzielnych przez n. Pokaza¢, »e (nZ, +, 0) jest monoidem przemienym, a (nZ, ·) jest póªgrup¡ bez jedynki (dla n > 1).
Zad. 5. W dowolnym niepustym zbiorze rozpatrujemy dziaªanie ◦ zdeniowane nast¦puj¡co:
x◦ y = x. Sprawdzi¢, czy dziaªanie jest ª¡czne i przemienne. Okre±li¢, kiedy to dziaªanie ma element neutralny, a kiedy go nie ma.
Zad. 6. W zbiorze liczb wymiernych Q wprowadzamy dwa dziaªania ⊕ oraz ⊙ okre±lone w nast¦uj¡cy sposób:
a⊕ b = a + b + 1, a⊙ b = ab + a + b,
dla dowolnych licz a, b ∈ Q, gdzie + oraz · oznaczaj¡ zwykªe dziaªania dodawania oraz mno»enia w zbiorze Q. Udowodni¢, »e dziaªania ⊕ i ⊙ s¡ ª¡czne, przemienne oraz maj¡ elementy neutralne. Wykaza¢, »e dziaªanie ⊙ jest rozdzielne wzgl¦dem
⊕, ale dziaªanie ⊕ nie jest rozdzielne wzgl¦dem dziaªania ⊙.
Zad. 7. Wyja±ni¢ poj¦cia: element odwrotny, grupa, grupa abelowa.
Zad. 8. Zbada¢, czy zbiór liczb caªkowitych Z z dziaªaniem ⋄ zdeniowanym:
a⋄ b = a + ab + b jest grup¡.
Zad. 9. Niech Zn={0, 1, ..., n − 1}. Na zbiorze Zn rozwa»amy dziaªanie + jako dodawanie modulo n. Pokaza¢, »e (Zn, +, 0) jest n-elementow¡ grup¡ abelow¡.
Zad. 10. Niech Z∗n = Zn\{0}. Na zbiorze Z∗n rozwa»amy dziaªanie · jako mno»enie modulo n. Pokaza¢, »e je±li n jest liczb¡ pierwsz¡, to (Z∗n,·, 1) jest grup¡ abelow¡.
Zad. 11. Ile ró»nych dziaªa« ⋄ mo»na okre±li¢ na zbiorze (a) 2-elementowym X = {a, e},
(b) 3-elementowym X = {a, b, e}, tak, aby (X, ⋄, e) byªo grup¡?
Zad. 12. Czy dziaªanie w grupie permutacji (Sn,◦, id) jest przemienne?
Zad. 13. Czy istnieje grupa nieabelowa maj¡ca 2 lub 3 elementy?
Zad. 14. Niech (G, ⋄, e) b¦dzie grup¡ i a, b ∈ G. Pokaza¢, »e (a⋄ b)−1 = b−1⋄ a−1. Zad. 15. Wyja±ni¢ poj¦cie: ciaªo.
Zad. 16. Pokaza¢, »e zbiór {0, 1, a, b} z wyró»nionymi elementami 0 i 1 oraz z dziaªaniemi okre±lonymi nast¦puj¡co:
+ 0 1 a b
0 0 1 a b 1 1 0 b a
a a b 0 1
b b a 1 0
· 0 1 a b
0 0 0 0 0 1 0 1 a b
a 0 a b 1
b 0 b 1 a
tworzy ciaªo.
Zad. 17. Pokaza¢, »e zbiór Q(√
2)zªo»ony ze wszystkich liczb rzeczywistych postaci a + b√ 2, gdzie a, b ∈ Q, ze zwykªymi dziaªaniami dodawania i mno»enia oraz z wyró»nionymi liczbami 0 i 1 jest ciaªem.
Zad. 18. Niech (K, +, ·, 0, 1) b¦dzie ciaªem, a x, y, z b¦d¡ jego dowolnymi elementami. Poka- za¢:
(a) (tzw. prawo skracania)
• je±li x + z = y + z, to x = y,
• je±li x · z = y · z i z ̸= 0, to x = y;
(b) x· 0 = 0;
(c) 0̸= 1;
(d) −(−x) = x.