• Nie Znaleziono Wyników

1. Grupy i ciaªa

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "1. Grupy i ciaªa"

Copied!
2
0
0

Pełen tekst

(1)

Zestaw zada« z Geometrii z algebr¡ liniow¡

dla kierunku Informatyka, rok akadem. 2015/2016

1. Grupy i ciaªa

Zad. 1. Wyja±ni¢ poj¦cia: dziaªanie dwuargumentowe, dziaªanie ª¡czne, dziaªanie prze- mienne, element neutralny (jedynka), póªgrupa, monoid.

Zad. 2. Który z poniz»szych zbiorów wraz ze wskazanym dziaªaniem jest grupa? Wskaza¢

element neutralny.

(a) zbiór wszystkich caªkowitych wielokrotno±ci danej liczby rzeczywistej a z dzia- ªaniem dodawania;

(b) zbiór dodatnich liczb wymiernych z dziaªaniem mnozenia;

(c) zbiór liczb wymiernych z dziaªaniem dodawania;

(d) zbiór liczb wymiernych z dziaªaniem odejmowania.

Zad. 3. Ile ró»nych dziaªa« mo»na okre±li¢ w dowolnym zbiorze zawieraj¡cym tylko jeden element?

Zad. 4. Niech nZ = {nm : m ∈ Z} b¦dzie zbiorem liczb caªkowitych podzielnych przez n. Pokaza¢, »e (nZ, +, 0) jest monoidem przemienym, a (nZ, ·) jest póªgrup¡ bez jedynki (dla n > 1).

Zad. 5. W dowolnym niepustym zbiorze rozpatrujemy dziaªanie ◦ zdeniowane nast¦puj¡co:

x◦ y = x. Sprawdzi¢, czy dziaªanie jest ª¡czne i przemienne. Okre±li¢, kiedy to dziaªanie ma element neutralny, a kiedy go nie ma.

Zad. 6. W zbiorze liczb wymiernych Q wprowadzamy dwa dziaªania ⊕ oraz ⊙ okre±lone w nast¦uj¡cy sposób:

a⊕ b = a + b + 1, a⊙ b = ab + a + b,

dla dowolnych licz a, b ∈ Q, gdzie + oraz · oznaczaj¡ zwykªe dziaªania dodawania oraz mno»enia w zbiorze Q. Udowodni¢, »e dziaªania ⊕ i ⊙ s¡ ª¡czne, przemienne oraz maj¡ elementy neutralne. Wykaza¢, »e dziaªanie ⊙ jest rozdzielne wzgl¦dem

⊕, ale dziaªanie ⊕ nie jest rozdzielne wzgl¦dem dziaªania ⊙.

Zad. 7. Wyja±ni¢ poj¦cia: element odwrotny, grupa, grupa abelowa.

Zad. 8. Zbada¢, czy zbiór liczb caªkowitych Z z dziaªaniem ⋄ zdeniowanym:

a⋄ b = a + ab + b jest grup¡.

Zad. 9. Niech Zn={0, 1, ..., n − 1}. Na zbiorze Zn rozwa»amy dziaªanie + jako dodawanie modulo n. Pokaza¢, »e (Zn, +, 0) jest n-elementow¡ grup¡ abelow¡.

Zad. 10. Niech Zn = Zn\{0}. Na zbiorze Zn rozwa»amy dziaªanie · jako mno»enie modulo n. Pokaza¢, »e je±li n jest liczb¡ pierwsz¡, to (Zn,·, 1) jest grup¡ abelow¡.

(2)

Zad. 11. Ile ró»nych dziaªa« ⋄ mo»na okre±li¢ na zbiorze (a) 2-elementowym X = {a, e},

(b) 3-elementowym X = {a, b, e}, tak, aby (X, ⋄, e) byªo grup¡?

Zad. 12. Czy dziaªanie w grupie permutacji (Sn,◦, id) jest przemienne?

Zad. 13. Czy istnieje grupa nieabelowa maj¡ca 2 lub 3 elementy?

Zad. 14. Niech (G, ⋄, e) b¦dzie grup¡ i a, b ∈ G. Pokaza¢, »e (a⋄ b)−1 = b−1⋄ a−1. Zad. 15. Wyja±ni¢ poj¦cie: ciaªo.

Zad. 16. Pokaza¢, »e zbiór {0, 1, a, b} z wyró»nionymi elementami 0 i 1 oraz z dziaªaniemi okre±lonymi nast¦puj¡co:

+ 0 1 a b

0 0 1 a b 1 1 0 b a

a a b 0 1

b b a 1 0

· 0 1 a b

0 0 0 0 0 1 0 1 a b

a 0 a b 1

b 0 b 1 a

tworzy ciaªo.

Zad. 17. Pokaza¢, »e zbiór Q(

2)zªo»ony ze wszystkich liczb rzeczywistych postaci a + b√ 2, gdzie a, b ∈ Q, ze zwykªymi dziaªaniami dodawania i mno»enia oraz z wyró»nionymi liczbami 0 i 1 jest ciaªem.

Zad. 18. Niech (K, +, ·, 0, 1) b¦dzie ciaªem, a x, y, z b¦d¡ jego dowolnymi elementami. Poka- za¢:

(a) (tzw. prawo skracania)

• je±li x + z = y + z, to x = y,

• je±li x · z = y · z i z ̸= 0, to x = y;

(b) x· 0 = 0;

(c) 0̸= 1;

(d) −(−x) = x.

Cytaty

Powiązane dokumenty

Cz esto wygodnie jest u˙zy´c ֒ r´ownie˙z postaci trygonometrycznej, kt´ora jest konsekwencj a interpretacji ֒ liczby zespolonej (a, b) jako punktu na p laszczy´znie

2 Zauwa˙zmy, ˙ze znaki dodawania i mno˙zenia wyst epuj , a tu w dw´ , och znaczeniach, jako dzia lania na liczbach rzeczywistych oraz jako dzia lania na liczbach zespolonych... Cz

W poni»szych zadaniach grupa oznacza grup¦ permutacji lub grup¦ ilorazow¡  albo po prostu zbiór z dziaªaniem o trzech wªasno±ciach: dziaªanie jest ª¡czne; istnieje

Definicja Zbiór A, którego ka dy punkt jest punktem wewn trznym nazywamy zbiorem otwartym... Zbiór otwarty i spójny nazywamy

Podaj denicj¦ relacji równowa»no±ci, wyja±niaj¡c u»yte w denicji poj¦cia..

4K Przypomnie¢ sobie, co to jest posta¢ algebraiczna i trygonometryczna liczby zes- polonej oraz denicje dodawania i mno»enia

4K Przypomnie¢ sobie, co to jest posta¢ algebraiczna i trygonometryczna liczby zes- polonej oraz denicje dodawania i mno»enia

Materiaª teoretyczny (denicje, twierdzenia, przykªady): dziaªanie w zbiorze, ª¡czno±¢, przemienno±¢, element neutralny.. Denicja grupy i pierwsze