2 Własno´sci rozkładu normalnego

1 Rachunek

1. Poj˛ecie wektora losowego

2. Warto´s´c oczekiwana wektora losowego

3. Warunkowa warto´s´c oczekiwana wektora losowego 4. Macierz wariancji kowariancji wektora losowego

5. Własno´sci rozkładu normalnego, rozkładu χ², rozkładu t i F .

1.1 Zadania: własno´sci warto´sci oczekiwanej i wariancji

1. Pokaza´c, ˙ze Cov (x_i, x_j) = E (xix_j) − E (xi) E (xj) 2. Pokaza´c, ˙ze je´sliE (xi) = 0 to Var (xi) = E (x²_i) 3. Które z macierzy

A =



 1 3 2 3 2 1 4 2 3



 , B =



 1 3 2 3 2 2 2 2 3



 , C =



 1 1 1 1 2 1 1 1 4





mog ˛a by´c macierzami kowariancji?

4. Pokaza´c, ˙ze dla dowolnego wektora losowego ε, wektora nielosowego a i macierzy nielosowej B

E (a + Bε) = a + B E (ε) Var (a + Bε) = B Var (ε) B⁰

5. Mamy wektor losowy x, przy czymE (x) =

· 1 2

¸

, Var (x) =

· 1 2 2 5

¸

. Policz warto´s´c oczekiwan ˛a i wariancj˛e y =

· x1+ 2x2+ 5 x₁+ x₂+ 1

¸ .

6. Mamy wektor losowy x =

· x₁ x₂

¸

, przy czymE (x) =

· 1 2

¸

, Var (x) =

· 1 2 2 5

¸ . Policzy´c:

(a) odchylenie standardowe x₁, x₂ (b) współczynnik korelacji mi˛edzy x₁, x₂

1

(c) warto´s´c oczekiwan ˛a i wariancj˛e dla y = y = 5 + x₁+ 2x2

7. Udowodni´c, ˙ze dla dowolnej macierzy losowej A:E [tr (A)] = tr [E (A)]

8. Załó˙zmy, ˙zeE (x) > 0. Jaka jest relacja mi˛edzy E (x) i E¡₁

x

¢? Podpowied´z: wykorzystaj twierdzenie Jensena.

9. Załó˙zmy, ˙ze y i x s ˛a zmiennymi losowymi, czemu równe jestE¡_y

x

¯¯ x¢

? 10. Wiemy, ˙zeE (x) = 2 oraz E (y| x) = 1 + 2x. Czemu równe jest E (y)?

2 Własno´sci rozkładu normalnego

1. Jaki rozkład ma v = a + Bε, je´sli ε ∼ N (µ, Σ)?

2. Pokaza´c, ˙ze dla k-wymiarowego wektora losowego ε ∼ N (0, Σ) forma kwadra- towa ε⁰Σ⁻¹ε ∼ χ²_k

3. Mamy wektor losowy x ∼N (µ, Σ) , gdzie µ =



 1 3 2



 , Σ =



 1 1 1 1 2 1 1 1 2



. Jaki rozkład ma zmienna losowa v = x₁+ 2x₂+ x₃?

4. Mamy wektor losowego x ∼N (µ, Σ) , gdzie µ =

· 2 3

¸ , Σ =

· 5 3 3 2

¸

. Pokaza´c,

˙ze wektor v =

· x₁− x₂− 1

−x₁+ 2x₂+ 4

¸

ma rozkład v ∼ N (0, I). Udowodni´c, ˙ze (x₁− x₂− 1)²+ (−x₁+ 2x₂+ 4)² ∼ χ²₂.

Pokaza´c ten sam wynik przy u˙zyciu faktu, ˙ze Σ⁻¹² =

· 1 −1

−1 2

¸

5. (*)

(a) Pokaza´c, dla macierzy idempotentej M warto´sci własne s ˛a równe 0 lub 1.

Jaka form˛e b˛edzie miała macierz Λ w dekompozycji spektralnej M = CΛC⁰ (b) Jaki rozkład ma Cε je´sli CC⁰ = I a ε ∼ N¡

0, σ²I¢

(c) Pokaza´c, ˙ze dla macierzy idempotentnej rz ˛ad macierzy jest równy jej ´slad- owi

(d) Pokaza´c, ˙ze dla n-wymiarowego wektora losowego ε ∼ N¡

0, σ²I¢

i dowol- nej macierzy idempotentnej M rz˛edu k forma kwadratowa ^ε0_σ^Mε2 ∼ χ²_k Podpowied´z: skorzystaj z punktu 5a.

2

6. (*)

(a) Pokaza´c, ˙ze x − x = x¡

I − ¹_n11⁰¢

i macierz I − _n¹11⁰ jest macierz ˛a idem- potentn ˛a rz˛edu n − 1

(b) Pokaza´c, ˙ze dla n-wymiarowego wektora losowego x ∼ N (0, σ²I) suma

1 σ²

P_n

i=1(x_i− x)² ∼ χ²_n−1

Podpowied´z: wykorzystaj wynik z punktu (5d).

(c) (*) Pokaza´c, ˙ze x i x − x s ˛a nieskorelowane. Zało˙zmy, ˙ze x ∼ N (0, σ²I) ma rozkład normalny. Pokaza´c, ˙ze w tym przypadku x iP_n

i=1(x_i− x)² = (x − x)⁰(x − x) s ˛a niezale˙zne.

(d) Poka˙z, ˙ze ˙ze dla n-wymiarowego wektora losowego x ∼ N (0, σ²I) staystyka

√x s²x

∼ t_n−1a ^x_s2²

x ∼ F (1, n − 1), gdzie s²_x = ^Pni=1_n−1^(xi−x)2 Podpowied´z:Wykorzystaj wynik z punktów (6c i 6b).

3 Statystyka

1. Poj˛ecie estymatora

2. Nieobci ˛a˙zono´s´c estymatora

3. Wariancja estymatora i efektywno´s´c 4. Przedziały ufno´sci

5. Testowanie hipotez statystycznych, warto´sci krytyczne i warto´sci p

3.1 Zadania

1. Pokaza´c, ˙ze je´sli mamy dwa estymatory bθ i eθ wektora parametrów θ o warianc- jach eΣ i bΣ i ró˙znica bΣ − eΣ jest dodatnio okre´slona, to dla ka˙zdego δ 6= 0

Var

³ δ⁰θb

´

> Var

³ δ⁰θe

´

2. Mamy zmienne losowe y1i y2takie, ˙zeE (y1) = θ, E (y2) = ¹₂θ, Var (y1) = 3σ², Var (y₂) = σ², Cov (y₁, y₂) = σ².

(a) poda´c warunek jaki musz ˛a spełnia´c a₁i a₂, by estymator liniowy bθ = a₁y₁+ a₂y₂ był nieobci ˛a˙zony

3

(b) poda´c jakie powinny by´c a₁ i a₂, by estymator liniowy bθ miał najni˙zsz ˛a wariancj˛e i był nieobci ˛a˙zony

(c) dla y₁ i y₂ maj ˛acych rozkład normalny poda´c rozkład estymatora bθ

3. Mamy n wymiarowy wektor x. Elementy tego wektora maj ˛a t˛e sam ˛a warto´s´c oczekiwan ˛a µ i wariancj˛e σ² oraz s ˛a nieskorelowane.

(a) Poda´c posta´c macierzy wariancji kowariancji x (b) Udowodni´c, ˙ze x = _n¹ P_n

i=1x_i jest nieobci ˛a˙zonym estymatorem µ (c) Pokaza´c, ˙ze wariancja x maleje, gdy N ro´snie

(d) (*) Pokaza´c, ˙ze estymator σ² postaci s² = ¹_nP_n

i=1(xi− x)² jest nieob- ci ˛a˙zony

Podpowied´z: mo˙zesz wykorzysta´c fakt, ˙ze P_n

i=1(xi− x)² = P_n

i=1x²_i − nx² , E (xix_j) = Cov (x_ix_j) + E (xi) E (xj), (P_n

i=1a_i)² = P_n

i=1a²_i + (n − 1)P

i6=ja_ia_j

4. Mamy estymator bθ parametru θ i oszacowanie jego bł˛edu standardowego se

³bθ´ . Wiemy, ˙ze _se^bθ−θ(^bθ) ∼ t_s gdzie s jest liczb ˛a obserwacji. Dla bθ = 1, se

³bθ´

= 0.5, s = 10

(a) zbudowa´c 95% przedział ufno´sci dla bθ

(b) co si˛e stanie z przedziałem ufno´sci je´sli zamiast przedziału 95% policzymy przedział 90%?

(c) co sie najprawdopodobniej stanie z przedziałem ufono´sci je´sli zwi˛ekszy si˛e liczba obserwacji?

(d) zweryfikowa´c hipotez˛e, H₀ = 0 dla α = 0.05 Podpowied´z: warto´s´c dystrybuanty t10(2) = 0.07

4