ZAGADNIENIA NIESTACJONARNE PRZEWODNICTWA CIEPLNEGO PERIODYCZNYCH KOMPOZYTÓW

ZAGADNIENIA NIESTACJONARNE PRZEWODNICTWA CIEPLNEGO PERIODYCZNYCH KOMPOZYTÓW

WARSTWOWYCH

Vazgen Bagdasaryan

Szkoáa Gáówna Gospodarstwa Wiejskiego w Warszawie

Streszczenie. Przedmiotem rozwaĪaĔ w niniejszej pracy są periodyczne kompozyty warstwowe. Zakáada siĊ, Īe skáadniki kompozytów są jednorodne. W pracy konstruuje siĊ model przewodnictwa cieplnego, w którym zamiast klasycznego równania Fouriera o nieciągáych i skokowo zmiennych wspóáczynnikach wystĊpuje równanie o staáych wspóá- czynnikach. Wpáyw niejednorodnoĞci oĞrodka na rozkáad temperatury opisany jest nowymi funkcjami, które wyznacza siĊ, znając temperaturĊ uĞrednioną. W pracy analizuje siĊ za- gadnienia niestacjonarne

Sáowa kluczowe: kompozyty warstwowe, równanie Fouriera, uĞrednianie tolerancyjne

PRZEWODNICTWO CIEPLNE W PERIODYCZNYCH KOMPOZYTACH WARSTWOWYCH

W pracy rozwaĪane bĊdą przewodniki warstwowe, których kon¿ guracją jest zbiór 0, 0, 0, L1  L2  L3

: u u . Przewodnik jest periodyczny w kierunku x₁, z elementem reprezentatywnym / { 0, O ! podzielonym na n czĊĞci o dáugoĞciach O_i, 1, i ..., n, tak Īe

1 n

i

¦

WprowadĨmy oznaczenia

1

1 1

1 1

0, oraz ,_i ⁱ _k ⁱ _k ,

k k

O ^{§ } O O ^·

/ {  ! / ¨ ¸ /

©

¦ ¦

ZaáóĪmy, Īe przewodnik jest warstwowo niejednorodny oraz Īe kaĪda warstwa jest jednorodna. Na rysunku 1 przedstawiono periodyczny przewodnik trójwarstwowy.

Adres do korespondencji – Corresponding author: Vazgen Bagdasaryan, Szkoáa Gáówna Gospodarstwa Wiejskiego, Wydziaá Budownictwa i InĪynierii ĝrodowiska, Zakáad Mechaniki, ul. Nowoursynowska 159, 02-776 Warszawa, e-mail: vazgen_bagdasaryan@sggw.pl

W przypadku przewodnika warstwowego wspóáczynniki tensora przewodnictwa cie- páa K, ciepáo wáaĞciwe c i gĊstoĞü masy ȡ są funkcjami periodycznymi o okresie Ȝ.

Dla wspóáczynników tensora przewodnictwa ciepáa przyjmujemy K_kl = K, dla k = l, oraz K_kl = 0, dla k  l, k, l = 1, 2, 3.

ZaáóĪmy, Īe funkcja K zmienia siĊ tylko wzglĊdem x₁, K(x₁, x₂, x₃) = K(x₁):

1 1 1

2 1 1 1 2

1 0,

1

dla (0, )

dla ( , )

( )

dla ( , )

n n

K x

K x

K x

K x

O

O

O O O

O O O

­ 

°°  

®°

°°

°  

¯



WielkoĞci Kⁱ, i = 1, ..., n, są staáe.

W podobny sposób zde¿ niowane są funkcje ciepáa wáaĞciwego c = c(x₁, x₂, x₃) oraz gĊstoĞci masy ȡ = ȡ(x₁, x₂, x₃).

Oznaczmy przez ș = ș(x₁, x₂, x₃, t), (x₁, x₂, x₃) ȍ, t < t_o, t₁> temperaturĊ, a przez f = f(x₁, x₂, x₃, t) – wydajnoĞü Ĩródeá ciepáa. Równanie przewodnictwa cieplnego rozpa- trywanych przewodników ma postaü:

 , , ,1 1  22 ,33

cUT KT K T T f (1)

Równanie przewodnictwa ciepáa (1) jest równaniem róĪniczkowym liniowym o zmieniających siĊ skokowo wspóáczynnikach. Dla takiego opisu moĪna zbudowaü mo- del prostszy, w którym wspóáczynniki bĊdą staáe.

MODEL UĝREDNIONY PERIODYCZNYCH PRZEWODNIKÓW WARSTWOWYCH

Do modelowania zastosujemy technikĊ uĞredniania tolerancyjnego [WoĨniak i Wierz- bicki 2000].

Rys. 1. Ciaáo periodycznie trójwarstwowe Fig. 1. A three-layered object

Zgodnie z tą techniką przyjmujemy rozkáad temperatury w postaci:

1 2 3 1 2 3 1 1 2 3

( , , , )x x x t ( , , , )x x x t h x^A( ) ^A( , , , )x x x t

T -  ˜\ A = 1, 2, ..., M (2)

gdzie - jest temperaturą uĞrednioną, a ȥ^A są funkcjami opisującymi wpáyw niejednorod- noĞci na przewodnictwo ciepáa, nazwanymi À uktuacjami. Funkcje h^A są danymi, ȁ-perio- dycznymi, oscylującymi funkcjami ksztaátu. Funkcjami poszukiwanymi są - oraz ȥ^A.

W technice uĞredniania tolerancyjnego równania na niewiadome - i ȥ^A otrzymuje siĊ w postaci:

,

,

1 0

,

1 0

,

k k

A A

A k k

P P P

P P P

- W - -

W \ \

\

w  ! w  ! w  !

ª º

 

« w » w w

¬ ¼

ªw  !º w  ! w  !

« »  

«w » w w

¬ ¼





(3)

gdzie <P> jest funkcjonaáem uĞrednionym po komórce 1 1

P Pdx

 ! { /

/

³

a P ma postaü

1( 2 , , )

2 ^{k k}

P W Tc KT T  fT (5)

Po podstawieniu do zaleĪnoĞci (5) dekompozycji (2) równania (3) przyjmą postaü:

1 1

22 33 1 1 1 1

, , ,

( , , ) , , , ,

A A

kk

A B B A B B B A B B A A

c K Kh f

c h h Kh h Kh h Kh fh

U - - \

U \ \ \ \ -

 

   





(6)

W przypadku przewodnika dwuwarstwowego funkcjĊ ksztaátu przyjmiemy w postaci    

1 1 1 , 1 :

h x {h x A

2 1

1 1

1 1

1 1

1 1 1

1

2 1

1 1

1 1

dla ,

2( ) 2 2

( ) dla ,

2 2

dla ,

2( ) 2 2

x x

h x x x

x x

O O O O

O O O O

O O O

O

O O O O

O O O O

­    

°  

°°

°  

®°

°°

 

°  

¯

(7)

UĞrednione wielkoĞci wystĊpujące w równaniach (6) bĊdą dla rozpatrywanego przy- padku równe:

1 1 2 2 1 2

1 (1 1) ; _i 1 (1 1)

cU K Uc  K c U K K K  K K

1 1 2 2 1 2

2 1 (1 1) 2; 2 1 (1 1) 2

12 12

c c K K

c hU K U ^{ }K U O Kh K ^{ }K O (8)

1 1

1 1

, ; ( , )

1

K K

Kh K K K h

K K

ª º

 «  »

«  »

¬ ¼

gdzie: K1 O¹, 1 K1 O².

O ^ O

MODEL ASYMPTOTYCZNY

W równaniach (6)₂ pierwszy i drugi skáadnik jest rzĊdu O(Ȝ²). Wykorzystując przej- Ğcie graniczne Ȝ ĺ 0, otrzymujemy:

11 22 33 1 1

1 1 1 1

, , , , , 0

, , , , 0

A A

A B B A

c K K Kh

Kh h Kh

U - - - - \

\ -

   





(9)

Oznaczmy przez E^AB macierz odwrotną do Kh h,1^A , ,1^B wtedy z równania (9)₂ wy- znaczyü moĪna À uktuacjĊ:

1 1

, ,

A EAB K B

\  - (10)

Podstawiając równanie (10) do (9)₁ oraz de¿ niując

1 1

, ,

eff A AB B

K K  Kh E Kh (11)

otrzymujemy równanie na temperaturĊ uĞrednioną - w postaci

11 22 33

, , , 0

cU -Keff-  K - - (12)

Równanie (12) ma postaü analogiczną do równania Fouriera (1), z tym Īe wystĊpują w nim uĞrednione staáe wspóáczynniki.

W przypadku przewodnika periodycznie dwuwarstwowego otrzymujemy:

12 1 2

, ,

eff Kh

K K

 K h (13)

Podstawiając do równania (13) wielkoĞci uĞrednione (8), otrzymujemy:

2 1 2

1 2 1 1

1 1 1 2

1 1

( ) 1

(1 )

1

eff K K

K K K

K K

K K K K

K K

 

  

  (14)

JeĞli do równania (2) wstawimy wartoĞü À uktuacji (10), to otrzymamy poszukiwaną temperaturĊ ș w postaci:

1 2 3 1 2 3 1 1 1 1 2 3

( , , , )x x x t ( , , , )x x x t E^AB Kh,^B h x^A( ) , ( , , , )x x x t

T -  - (15)

Równania (12) i (15) przedstawiają model przewodnictwa cieplnego przewodników warstwowych uzyskany w ramach techniki uĞredniania tolerancyjnego.

PRZYKàADY ROZWIĄZAē

Niech przedmiotem rozwaĪaĔ bĊdzie dwuwarstwowy przewodnik záoĪony z jedno- rodnych i izotropowych warstw równolegáych do osi x2, x3 (rys. 2). Rozpatrywaü bĊdzie- my jednokierunkowy, niestacjonarny przepáyw ciepáa w kierunku x1, bez Ĩródeá ciepáa.

Zakáadając - -x t1, , otrzymujemy temperaturĊ uĞrednioną:

,11 0

cU -Keff- (16)

gdzie K^eff okreĞlono związkiem (13).

Rys. 2. Przewodnik periodycznie dwuwarstwowy wzdáuĪ osi x₁ Fig. 2. A periodically two-layered conductor along the x₁-axis

Równanie (16) moĪna zapisaü w postaci:

2 ,11

- N -^ (17)

gdzie ² . Keff

N c

U

Warunki brzegowe przyjĊto w postaci:

1 1 1 1

(0, )t 0; ( , )L t _o; ( , 0)x 0; 0 x L

- - - -   (18)

Rozwiązanie równania (17) otrzymujemy, stosując transformatĊ Laplace’a:

1 1 1 1 1 1

1 0

2 2

( , )

2 2

on

nL L x nL L x

x t erf erf

t t

- -

N N

f ª¬« ©¨§   ·¸¹ §¨©   ·º¸¹¼»

¦

gdzie

2

0

( ) 2 e

x u

erf x du

S

{

³

SprawdĨmy, jaki bĊdzie rozkáad temperatury w páycie, w której L₁ = 120 cm oraz Ȝ = 6 cm. Niech rozpatrywana páyta bĊdzie záoĪona z dwu jednorodnych i izotropo- wych warstw: styropianu (c¹ = 1200 J·(kg·K)^–1, ȡ¹ = 15 kg·m^–3, K¹ = 0,042 W·(m·K)^–1, Ȝ₁ = 2 cm) oraz betonu komórkowego o klasie gĊstoĞci 600 (c² = 840 J·(kg·K)^–1, ȡ² = 600 kg·m^–3, K² = 0,210 W·(m·K)^–1, Ȝ₂ = 4 cm).

Dla takiego przewodnika mamy:

3 1 1

2

1 1

1 1

0,303 W m K 342 000 J m K

, 0,168 W m K ( , ) 0,441 W m K

eff

i i

K c

K h K h

U ^



 

˜ ˜ ˜ ˜

 ˜ ˜ ˜ ˜

Po obliczeniu podstawowych wielkoĞci uzyskujemy wystĊpującą w równaniu (16) wartoĞü wspóáczynnika ² 8,860 10 ⁷

Keff

N c

U ^{˜ } .

Przyjmijmy, Īe na brzegu L₁ zadana jest temperatura -_o 100 K.

Rysunek 3 przedstawia wykres temperatury uĞrednionej (18) w przedziale 0 d x1 d1,2 m, 0,1 hd dt 50 h.

Na rysunkach 4 oraz 5 przedstawiono rozkáad temperatury odpowiednio w zaleĪnoĞci od upáywu czasu oraz miejsca. MoĪna zauwaĪyü, Īe rozkáad temperatury uĞrednionej w kierunku osi periodycznoĞci wraz z upáywem czasu dąĪy do rozkáadu liniowego.

W danym przypadku, zgodnie z równaniem (15), temperatura ș ma postaü:

1 2 1 2 1 12 1

1

( , ) ( , ) ( ) , ,

( , ) x x x x h x Kh

T -  K h - (19)

0 0.25

0.5 0.75

1

10 20

30 40

50

0 25 50 75 100

0 0.25

0.5 0.75

1

-

t

x1

Rys. 3. Rozkáad temperatury uĞrednionej w przewodniku w przedziale 0 dx₁d1,2 m, 0 dt d50 h Fig. 3. Distribution of averaging temperature in the conductor for 0 dx1d1,2 m, 0 dt d50 h

20 40 60 80 100

10 20 30 40 50

-

t m

x₁ 0,7

m x₁ 0,3

Rys. 4. Wykres temperatury -( , )x t1 dla x₁ = 0,3 m oraz x₁ = 0,7 m Fig. 4. A -( , )x t₁ temperature diagram for x₁ = 0,3 m and x₁ = 0,7 m

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

20 40 60 80 100

-

x1

h t 50

h t 10

Rys. 5. Wykres temperatury -( , )x t₁ po t = 10 h oraz t = 50 h Fig. 5. A -( , )x t₁ temperature diagram after t = 10 h and t = 50 h

Rysunek 6 przedstawia wykres temperatury ș(x1, t) z uwzglĊdnieniem dekompozy- cji (15), a rysunek 7 – wykres temperatury ș(x1, t) odpowiednio po: t = 0,1 h, t = 1 h, t = 10 h, t = 100 h, w przedziale x ¢².

Na rysunkach 6 oraz 7 wyraĨnie widaü wpáyw struktury warstwowej przewodnika na przepáyw ciepáa. Wpáyw ten maleje wzdáuĪ osi x1.

Dla analizowanego przewodnika przyjmijmy teraz warunki początkowo-brzegowe w postaci:

1 1 1 1

(0, )t 0, ( , )L t 0, ( , 0)x _o, 0 x L

- - - -   (20)

Rozwiązanie równania (17) otrzymujemy takĪe, stosując transformatĊ Laplace’a i ma ono postaü:

0.9 1

1.1 20

40 60

80 100

0 25 50 75 100

0.9 1

1.1

T

x1

t

Rys. 6. Wykres temperatury ș(x₁, t) dla x₁  (0,84 m, 1,2 m) oraz t (0,100 h) Fig. 6. A ș(x₁, t) temperature diagram for x₁  (0,84 m, 1,2 m) and t (0,100 h)

0.85 0.9 0.95 1.05 1.1 1.15 1.2

20 40 60 80 100

T

x1

h 1 , 0 h 1 h 10 h

100

Rys. 7. Wykres temperatury ș(x₁, t) po czasie t = 0,1 h, t = 1 h, t = 10 h, t = 100 h Fig. 7. A ș(x₁, t) temperature diagram after t = 0,1 h, t = 1 h, t = 10 h, t = 100 h

1 1 1 1

1 0

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 2

( , ) 1

2 2 2 2 2 2

1 2 1 2 2 1 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2

2

o n

x x nL x

x t erfc erfc erfc

t t t

nL x nL L x nL L x

erfc erfc erfc

t t t

nL L x nL L x

erfc erfc

t

- -

N N N

N N N

N

­  §  · § · f ª §  ·

® ¨© ¸¹ ¨© ¸¹ «¬ ¨© ¸¹

¯

    

§ · § · § ·

 ¨© ¸¹ ¨© ¸¹ ¨© ¸¹

   

§ ·

 ¨ ¸

© ¹

¦

`

1

2N t

§ ·º

¨ ¸»

© ¹¼

(21)

gdzie erfc x( ) { 1 erf x( ).

Wykresy funkcji (21) wykonano dla pierwszych 50 wyrazów szeregu (rys. 8).

-

x1

t

Rys. 8. Rozkáad temperatury uĞrednionej w przewodniku w przedziale 0 d x1 d1,2 m, 0 d t dh Fig. 8. Distribution of averaging temperature in the conductor for 0 d x1 d1,2 m, 0 d t dh

-

t m

x₁ 0,7

m x₁ 0,3

Rys. 9. Wykres temperatury uĞrednionej dla x₁ = 0,3 m oraz x₁ = 0,7 m Fig. 9. An averaging temperature diagram for x₁ = 0,3 m and x₁ = 0,7 m

Rysunek 9 przedstawia wykres temperatury ș(x1, t) dla poáowy przewodnika z uwzglĊdnieniem dekompozycji (15), a rysunek 10 – wykres temperatury ș(x1, t) odpo- wiednio po t = 0,1 h, t = 1 h, t = 10 h, t = 100 h. Na rysunkach 10 oraz 11 widaü wpáyw struktury warstwowej przewodnika na przepáyw ciepáa.

0.6

0.8

1 2

4 6

8 10 0

25 50 75 100

6

0.8

1

T

x1

t

Rys. 10. Wykres temperatury ș(x₁, t) dla x₁  (0,6 m, 1,2 m) oraz t (0,10 h) Fig. 10. A ș(x₁, t) temperature diagram for x₁  (0,6 m, 1,2 m) and t (0,10 h)

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

20 40 60 80 100

T

x1

h 1 , 0

h 1

h 10

h 100

Rys. 11. Wykres temperatury ș(x₁, t) po czasie t = 0,1 h, t = 1 h, t = 10 h, t = 100 h Fig. 11. A ș(x₁, t) temperature diagram after t = 0,1 h, t = 1 h, t = 10 h, t = 100 h

PODSUMOWANIE

W klasycznym modelu przewodzenia ciepáa, opisanym równaniem Fouriera na ma- áych przedziaáach okreĞlonoĞci funkcji, dla rozwaĪanych przewodników wystĊpują wspóáczynniki nieciągáe, skokowo zmienne. Przedstawiony model, opisany równaniem na uĞrednioną temperaturĊ, ma wspóáczynniki staáe. Skonstruowany model wydaje siĊ byü wygodnym narzĊdziem do badania przewodnictwa ciepáa w warstwowych materia- áach wieloskáadnikowych. Obszarem dalszych badaĔ bĊdą zagadnienia naprĊĪeĔ ciepl- nych w takich przewodnikach.

PIĝMIENNICTWO

WoĨniak Cz., Wierzbicki E., 2000. Averaging techniques in thermomechanics of composite solids.

Tolerance averaging versus homogenization. Wydawnictwo Politechniki CzĊstochow- skiej, CzĊstochowa.

WoĨniak Cz., Michalak B., JĊdrysiak J. (red.), 2008. Thermomechanics of microheterogeneous solids and structures. Tolerance averaging approach. Politechnika àódzka, àódĨ.

TRANSIENT ANALYSIS OF HEAT CONDUCTION IN PERIODICAL LAYERED COMPOSITES

Abstract. The subject of the paper are periodical layered composites. It is assumed that the components of the composites are homogeneous. The work consists in forming a model of heat conduction in which the Fourier equation with discontinuous highly oscillating coef-

¿ cients was substituted with an equation with constant coef¿ cients. The inÀ uence of the conductor on the temperature is described with additional functions which are determined knowing the averaging temperature. The paper deals with transient problems. Further rese- arch will be done on thermal stresses in such cases.

Key words: layered composites, Fourier’s law, tolerance averaging

Zaakceptowano do druku – Accepted for print: 5.06.2014