IMPLIKACJE TEORII RYNKU FRAKTALNEGO DLA OCENY RYZYKA INWESTYCJI FINANSOWYCH
RAFAŁ BUŁA
IMPLIKACJE TEORII RYNKU FRAKTALNEGO DLA OCENY RYZYKA INWESTYCJI FINANSOWYCH
Implikacje teorii rynku fraktalnego dla oceny ryzyka inwestycji finansowych
Rafał Buła
Warszawa 2019
Monografia stanowi skróconą wersję rozprawy doktorskiej pt. „Implikacje teorii rynku fraktalnego dla oceny ryzyka inwestycji finansowych”, za którą Autorowi przyznano Nagrodę Przewodniczącego Komisji Nadzoru Finansowego za najlepszą pracę doktorską z zakresu rynku finansowego w VI edycji ww. Konkursu.
Recenzent: dr hab. Krystian Pera, prof. UE
Publikacja została wydana nakładem Urzędu Komisji Nadzoru Finansowego
© Urząd Komisji Nadzoru Finansowego ul. Piękna 20
00-549 Warszawa www.knf.gov.pl Warszawa 2019
ISBN 978-83-66322-02-8 Nakład: 50 szt.
Przygotowanie do druku i druk: Pracownia C&C Sp. z o.o.
Spis treści | 3
Spis treści
Spis treści
Wstęp . . . 5
Rozdział I. Matematyczne podstawy geometrii fraktalnej . . . 9
1.1. Powstanie geometrii fraktalnej . . . 10
1.2. Pojęcie wymiaru w geometrii fraktalnej . . . 23
1.2.1. Wymiar topologiczny . . . 24
1.2.2. Wymiar Hausdorffa . . . 25
1.2.3. Wymiar pudełkowy . . . 27
1.2.4. Wymiar cyrklowy . . . 29
1.2.5. Wymiar samopodobieństwa . . . 30
1.2.6. Podsumowanie . . . 31
1.3. Krytyczna analiza współczesnych definicji obiektu fraktalnego . . . 33
1.4. Konkluzje . . . 38
Rozdział II. Znaczenie i przydatność teorii rynku fraktalnego dla pomiaru ryzyka inwestycji finansowych . . . 39
2.1. Teoria rynku fraktalnego – istota i znaczenie dla pomiaru ryzyka inwestycji finansowych . . . 39
2.1.1. Krytyczna analiza współzależności pomiędzy teorią rynku fraktalnego a teorią chaosu deterministycznego . . . 40
2.1.2. Pojęcie fraktala w teorii rynku fraktalnego . . . 41
2.1.3. Samopodobieństwo jako kluczowe pojęcie określające teorię rynku fraktalnego . . . 42
2.1.4. Ekonomiczna istota teorii rynku fraktalnego . . . 46
2.1.5. Pojęcie losowości w teorii rynku fraktalnego . . . 52
2.1.6. Rozkłady α-stabilne w teorii rynku fraktalnego . . . 55
2.1.7. Ułamkowy ruch Browna w teorii rynku fraktalnego . . . 61
2.2. Problemy pomiaru ryzyka inwestycji na fraktalnym rynku finansowym . . . 67
2.2.1. Wymiar fraktalny jako proponowana miara ryzyka inwestycji finansowych . . . 69
2.2.2. Autorskie podejście do oceny ryzyka inwestycji finansowych w oparciu o wymiar fraktalny . . . 74
2.3. Konkluzje . . . 79
4 | Spis treści
Spis treści
Rozdział III. Metodyka estymacji wymiaru fraktalnego finansowych szeregów
czasowych . . . 81
3.1. Metoda pudełkowa . . . 81
3.2. Metoda segmentowo-wariacyjna . . . 84
3.3. Metoda podziału pola . . . 87
3.4. Krytyczna analiza użyteczności metody segmentowo-wariacyjnej i podziału pola w szacowaniu wymiaru fraktalnego finansowych szeregów czasowych . . . 93
3.5. Konkluzje . . . 95
Rozdział IV. Pomiar ryzyka inwestycji finansowych z wykorzystaniem wymiaru fraktalnego – badania empiryczne . . . 96
4.1. Charakterystyka przedmiotu badań . . . 97
4.2. Procedura i wyniki badań . . . 105
4.2.1. Analiza wybranych podstawowych własności statystycznych . . . 105
4.2.2. Analiza wymiaru fraktalnego w świetle przynależności do indeksu giełdowego . . . 108
4.2.3. Analiza zależności pomiędzy klasycznymi miarami ryzyka i wymiarem fraktalnym . . . 112
4.2.4. Analiza zależności pomiędzy odchyleniem standardowym a długością horyzontu inwestycyjnego . . . 116
4.2.5. Analiza porównawcza dla szeregów czasowych o losowo wymieszanych obserwacjach . . . 118
4.2.6. Analiza zależności pomiędzy odchyleniem standardowym, długością horyzontu inwestycyjnego a wymiarem fraktalnym . . . 122
4.2.7. Prezentacja zależności pomiędzy krótko- i długoterminową zmiennością stóp zwrotu z akcji a wymiarem fraktalnym na przykładzie spółek Orange Polska SA oraz Wawel SA . . . 125
4.3. Dyskusja wyników i konkluzje . . . 126
Zakończenie . . . 129
Literatura . . . 132
Spis rysunków . . . 140
Spis tabel . . . 143
Wstęp | 5
Wstęp
Godna tej nazwy nauka nie może istnieć bez dokładnych określeń i udowodnień. Zaniedbanie potrzebnej ścisłości w wypowiadaniu twierdzeń było głównym powodem, dla którego ekonomja klasyczna tak łatwo padła pod ciosami przeciwników. To też wszelki postęp w tym kierunku musi być z radością witanym przez tych, którzy życzą, żeby ekonomja była czemś więcej, niż zbiorem wiadomości bez wewnętrznego między niemi związku.
W. Zawadzki
Podejmowanie decyzji ekonomicznych wiążących się z uczestnictwem podmiotów gospodarują- cych w transakcjach rynku finansowego cieszy się niegasnącym zainteresowaniem ekonomistów.
W chwili obecnej ta problematyka jest przedmiotem wieloaspektowych analiz poświęconych roz- maitym ujęciom wskazanych zagadnień. Spośród wielu problemów cząstkowych do najstarszych – i wydawałoby się stosunkowo mało skomplikowanych – należy kwestia oceny finansowych skutków wspomnianych decyzji, uwzględniającej osiągane dochody oraz ryzyko ponoszone przez inwestora. Relatywnie mniej wątpliwości budzi zagadnienie oceny dochodowości dokonywanych inwestycji. Wypracowane dotychczas metody pozwalają na dokonanie takiej oceny zarówno w uję- ciu względnym, jak i bezwzględnym w wielu sytuacjach, nie budząc większych kontrowersji wśród uczonych i praktyków, choć nie wszystkie problemy z nią związane zostały zapewne dotychczas uświadomione i rozwiązane. Tym niemniej zainteresowanie ową kwestią jest daleko mniejsze.
Z całkowicie odmiennym stanem rzeczy spotykamy się w przypadku oceny ryzykowności in- westycji. Znamienny jest fakt, że o ile terminami dochodu i stopy zwrotu posługiwano się przed wieloma wiekami, o tyle pojęcie ryzyka pojawiło się w ubiegłym stuleciu. Jakkolwiek stopniowo (choć nie bez trudu) rozwijano jakościowe i ilościowe metody oceny ryzykowności inwestycji, to ich upowszechnienie nastąpiło dopiero w ostatnim półwieczu. Początkowo rozwiązania oma- wianego problemu upatrywano w wykorzystaniu wariancji i odchylenia standardowego oraz miar pokrewnych – które to ujęcie stało się powszechne w drugiej połowie XX wieku, przyczyniając się do powstania wielu doniosłych koncepcji współczesnej teorii finansów (jak np. model wyceny ak- tywów kapitałowych Treynora-Sharpe’a-Lintnera-Mossina). Użyteczność oraz płodność naukowa tego podejścia przesłoniły fakt (bądź skłoniły do uznania za relatywnie nieistotny), że nagroma- dzone dane empiryczne skłaniają do podania w wątpliwość fundamentalnych założeń tkwiących u podstaw wykorzystania tych miar. W tej sytuacji popularyzacja wspomnianej metodyki oceny ryzyka inwestycyjnego wśród podmiotów rynku finansowego paradoksalnie prowadziła, zdaniem
Wstęp
6 | Wstęp
autora, do powstania dodatkowych zagrożeń, albowiem „(...) człowiek, który błądzi, błądzi po- dwójnie, bo nie zna właściwej odpowiedzi i nie wie, że jej nie zna. Niewiedza tego drugiego rodzaju jest szczególnie niebezpieczna (...)”1. Nadmierne zaufanie pokładane w samej metodzie, miernikach oraz rezultatach dokonywanych ocen w warunkach niedostatecznej adekwatności prze- słanek jej stosowania można uznać za jeden z czynników przyczyniających się do wystąpienia wielu turbulencji na rynkach finansowych w ostatnich dekadach.
Dotychczasowe doświadczenia wskazują jednoznacznie na konieczność modyfikacji wykorzy- stywanych metod pomiaru ryzyka inwestycji finansowych bądź opracowania nowych, które umoż- liwiałyby istotnie lepsze aproksymowanie rzeczywistych fluktuacji cen. Starania takie są czynione w środowisku naukowym, owocując pokaźną liczbą stworzonych modeli, mających uwzględniać wszelakie zależności pomiędzy różnymi zmiennymi opisującymi poszczególne instrumenty fi- nansowe. W tej liczności (pozornie pozytywnej) autor upatruje jednak przyczyny sprawiającej, że większość z nich najprawdopodobniej nigdy nie zyska uznania, jakim cieszyło się (i częścio- wo nadal cieszy się) podejście oparte na klasycznych miernikach ryzyka. Wspomniane modele wydają się powstawać wskutek czynionych ad hoc poprawek, mających ratować dotychczasowy paradygmat przed ostatecznym odesłaniem go do lamusa teorii ekonomii. Ich porażka wydaje się więc nieunikniona.
Istnieje tymczasem nowe podejście, zyskujące sobie stopniowo zwolenników, opierające się na wykorzystaniu w ocenie ryzyka inwestycyjnego koncepcji matematycznej określanej mianem geometrii fraktalnej. Wydaje się, że te idee, nazwane teorią rynku fraktalnego, umożliwiają wy- pracowanie bardziej adekwatnej metodyki kwantyfikacji ryzyka. Dlatego też przedmiotem badań zaprezentowanych w niniejszej monografii autor uczynił teorię ryzyka inwestycji finansowych z uwzględnieniem implikacji dla oceny poziomu tego ryzyka niesionych przez teorię rynku fraktalnego. W szczególności pogłębionym analizom poddano pojęcie wymiaru fraktalnego jako potencjalnego miernika ryzyka oraz zasadność jego wykorzystania w procesie kwantyfikacji ry- zyka inwestycyjnego.
Zasadniczym celem autora jest dokonanie oceny przydatności wymiaru fraktalnego jako miary ryzyka inwestycji finansowych. Autor jest głęboko przekonany, że dotychczasowe instru- mentarium pomiaru ryzyka nie jest zdolne uchwycić w zadowalający sposób skali turbulentności współczesnych rynków finansowych, prowadząc nieuchronnie do zaniżania w istotny sposób jego poziomu. Zjawisko to jest niepokojące, jako że w sytuacji powszechnego wykorzystywania wspo- mnianych metod, przy niezachwianej wierze w ich skuteczność, może ono prowadzić do nieko- rzystnej z punktu widzenia ogólnogospodarczego alokacji zasobów, przyczyniając się zarazem do nieuzasadnionej redystrybucji dochodów.
Osiągnięcie celu głównego jest determinowane zrealizowaniem wyznaczonych celów cząstko- wych. Pierwszym celem cząstkowym jest określenie na gruncie teoretycznym przydatności wy- branych, uznanych za najistotniejsze, miar fraktalnych jako charakterystyk badanych finansowych szeregów czasowych. Należy bowiem dążyć do wyeliminowania bezkrytycznego posiłkowania się miernikami uznanymi za użyteczne w innych dyscyplinach, których wykorzystanie już na mocy ich apriorycznych własności można przyjąć za bezzasadne.
Rozpoznanie walorów i niedostatków wspomnianych mierników fraktalnych jest jednak nie- wystarczające, jako że ze względu na ich stosowanie do analizowania danych empirycznych ko- nieczne jest posłużenie się określonymi metodami estymacji. Ponieważ sposób szacowania istotnie oddziałuje na otrzymywane rezultaty – a w szczególności ich dokładność i stabilność – celowe jest dokonanie oceny przydatności wybranych metod kalkulowania wymiaru fraktalnego finansowych
1 E. Borel: Prawdopodobieństwo i pewność. PWN, Warszawa 1963, s. 112.
Wstęp
Wstęp | 7 szeregów czasowych, by przekonać się, czy posiłkowanie się poszczególnymi estymatorami jest zasadne, a także jakie są ich podstawowe własności.
Kolejnym celem zakreślonym przez autora jest ocena i porównanie zawartości informacyjnej klasycznych miar ryzyka oraz wymiaru fraktalnego z wykorzystaniem badanych finansowych szeregów czasowych.
Za ostatni cel uznano dokonanie oceny zależności wiążącej wymiar fraktalny oraz poziom ryzyka inwestycyjnego (w sensie zmienności) w warunkach zróżnicowanej długości rozpatry- wanego horyzontu inwestycyjnego. Istniejące w literaturze przedmiotu ujęcie tego kluczowego dla oceny użyteczności wymiaru fraktalnego jako miary ryzyka problemu jest bowiem, zdaniem autora, niesatysfakcjonujące czy wręcz mylące, jako że wpływ długości horyzontu inwestycyjnego jest całkowicie pomijany. Tymczasem, jak wykazano w niniejszej monografii, ma on decydujące znaczenie dla poprawnej interpretacji wymiaru fraktalnego i określenia poziomu ryzyka inwesty- cyjnego. Uznając wskazane zagadnienie za kluczowe dla oceny przydatności wymiaru fraktalnego w procesie kwantyfikacji ryzyka, autor zdecydował o uczynieniu go przedmiotem pogłębionej analizy krytycznej.
Dążąc do realizacji przedstawionych celów badawczych, autor stanął przed koniecznością zaję- cia określonego stanowiska metodologicznego determinującego jego dalsze postępowanie. Mając świadomość panującej różnorodności poglądów w tym zakresie, zwłaszcza w naukach ekono- micznych, przyjęto jednak jednoznacznie pogląd natury epistemologicznej, że słuszne i zasadne jest posiłkowanie się nomologiczno-dedukcyjnym modelem odkrycia naukowego i ideą wiedzy obiektywnej2. Dlatego też kolejnym krokiem było sformułowanie stosownych hipotez, poddawa- nych następnie testowaniu.
Zasadnicza hipoteza badawcza brzmi następująco: wykorzystanie wymiaru fraktalnego w procesie kwantyfikacji ryzyka inwestycji finansowych przyczynia się do pełnej oraz po- prawnej oceny jego poziomu. W warunkach prawdziwości przedstawionej hipotezy poznanie wymiaru fraktalnego staje się zatem nieodłącznym elementem procesu oceny ryzykowności in- westycji, a wszelkie analizy pomijające te aspekty z konieczności tracą walor kompleksowości.
Uwzględniając hipotezę główną, postawiono korespondujące hipotezy o charakterze cząstko- wym. Pierwsza z nich głosi, że klasyczne miary ryzyka inwestycyjnego nie umożliwiają dokonania pełnej i poprawnej oceny jego poziomu w warunkach fraktalnego rynku finansowego.
Kolejna hipoteza badawcza polega na wysunięciu przypuszczenia, że wykorzystanie wymiaru fraktalnego w istotnym stopniu rekompensuje utratę informacji niesionej przez klasyczne miary ryzyka w sytuacji występowania na rynku finansowym struktur o charakterze fraktalnym.
Ostatnia hipoteza stwierdza, że pomiędzy wymiarem fraktalnym a poziomem ryzykowności da- nej inwestycji (w sensie zmienności) zachodzi następująca zależność: dla nieskończenie krótkich horyzontów inwestycyjnych wzrost wymiaru fraktalnego skutkuje zwiększeniem poziomu ryzyka.
Dla horyzontów nieskończenie długich prawdziwa jest zależność odwrotna.
Monografia została ustrukturyzowana w korespondencji ze zdefiniowanym przedmiotem ba- dań, wyznaczonymi celami oraz postawionymi hipotezami badawczymi. Pierwsze dwa rozdziały mają charakter teoriopoznawczy, zaś pozostałe – metodyczny i empiryczny.
Rozdział pierwszy jest poświęcony najistotniejszym koncepcjom matematycznym zwią- zanym z geometrią fraktalną, w szczególności pojęciu wymiaru (zwłaszcza fraktalnego) jako kluczowej charakterystyce badanych obiektów. Ponadto autor poddaje ocenie rozmaite definicje obiektów fraktalnych, analizując je z punktu widzenia przydatności w badaniu finansowych sze- regów czasowych.
2 K. Popper: Wiedza obiektywna. Ewolucyjna teoria epistemologiczna. WN PWN, Warszawa 1992, s. 103–109.
8 | Wstęp
W rozdziale drugim prezentowana jest teoria rynku fraktalnego. Autor poszukuje w nim odpowiedzi na pytanie, jakie są kluczowe determinanty konstytuujące teorię rynku fraktalnego, oraz szczegółowo omawia związane z nią koncepcje matematyczne. Ponadto w rozdziale prezen- towana jest ekonomiczna istota teorii rynku fraktalnego. Autor pokazuje także, że w warunkach występowania na rynkach finansowych struktur o charakterze fraktalnym celowe jest poznanie ich wymiaru fraktalnego, mogącego służyć jako miara ryzykowności inwestycji. Dostrzegając pewne niedostatki prezentacji tej problematyki pojawiające się w literaturze przedmiotu, autor ponadto przedstawia własne podejście do wykorzystania wymiaru fraktalnego w procesie pomiaru ryzyka.
Rozdział trzeci ma charakter metodyczny. W rozdziale tym przedstawiono wybrane, uznane za najistotniejsze z punktu widzenia przedmiotu badań, metody szacowania wymiaru fraktalnego.
Ponadto zostały one poddane krytycznej analizie. W tym celu wykorzystano dane, którymi posiłko- wał się Grzegorz Przekota (twórca metody podziału pola). Mimo że wnioski natury ekonomicznej sformułowane w oparciu o uzyskane wielkości mają dziś charakter jedynie historyczny, to jed- nak konkluzje o charakterze metodycznym są niebagatelne. Autor doszedł bowiem w oparciu o te same dane empiryczne do wniosków (dodatkowo solidnie uzasadnionych w drodze rozumowania) przeciwnych konkluzjom twórcy metody. Sformułowane wskazania wykorzystano w kolejnym rozdziale pracy.
Ostatni rozdział monografii ma charakter empiryczny. Zaprezentowano w nim wyniki badań nad fraktalnymi własnościami cen akcji wybranych spółek notowanych na warszawskiej gieł- dzie. Taki wybór przedmiotu analiz wynika z faktu, że nie dysponujemy odpowiednio liczny- mi badaniami poświęconymi omawianym zagadnieniom, dotyczącymi relatywnie dużych prób, a odnoszącymi się do papierów wartościowych z krajowego rynku kapitałowego. Ponadto wybór wspomnianych instrumentów finansowych – tj. akcji – jest podyktowany dostępnością szeregów czasowych o stosownych, uznanych za pożądane własnościach. Uzyskane wyniki, zdaniem autora, nie umożliwiają sfalsyfikowania postawionych hipotez, a tym samym stanowią ich popperowską koroborację.
Niniejsza praca powstała jako efekt zainteresowania autora funkcjonowaniem rynków finanso- wych – w szczególności koncepcjami ich efektywności oraz charakterem struktur występujących na tych rynkach. Ponadto należy podkreślić istotę przedmiotowych zagadnień – warto bowiem pamiętać, że problemy oceny ryzyka inwestycyjnego mają istotny wpływ na efektywność gospoda- rowania. Tymczasem „Niepewność jest jednym z podstawowych zjawisk towarzyszących naszemu życiu. Jest nieodłącznie związana tak z decyzjami natury ekonomicznej jak i każdej innej”3. Autor ma nadzieję, że niniejsza monografia przyczynia się, choćby w niewielkim stopniu, do lepszego zrozumienia tych niezmiernie skomplikowanych, ale i fascynujących z naukowego (i nie tylko) punktu widzenia zagadnień.
3 F. Knight: Risk, Uncertainty and Profit. Augustus M. Kelley, New York 1964, s. 347.
Rozdział I. Matematyczne podstawy geometrii fraktalnej | 9
Rozdział I Matematyczne podstawy
geometrii fraktalnej
Chmury nie są sferami, linie brzegowe nie są okręgami, a kora nie jest gładka.
Nawet błyskawica nie porusza się po linii prostej.
B. Mandelbrot Obraz jest wart tysiąca słów.
Przysłowie chińskie
Przedmiotem rozważań zawartych w niniejszym rozdziale są obiekty geometryczne nazwane przez BenoÎt Mandelbrota fraktalami. Początkowo odkrycie zbiorów określanych współcześnie tym mianem stało się dla matematyków na tyle szokujące, że traktowano je jako „patologiczne”.
Jednocześnie panowało przekonanie, że żaden poważny uczony nie powinien czynić ich przed- miotem swoich badań, właśnie ze względu na odmienność od tego wszystkiego, co dotychczas było analizowane przez matematyków. Choć odkrywanie kolejnych reprezentantów „galerii mon- strów” (jak określił je Poincaré4) nie dobiegło końca, a ich istnienie było niezaprzeczalnym fak- tem, to jednak przez wiele lat nie spotkały się ze znaczącym zainteresowaniem. Dopiero w latach sześćdziesiątych ubiegłego wieku Mandelbrot, badając rozmaite zjawiska i procesy, doszedł do wniosku, że zdecydowanie lepiej odzwierciedlają one obiekty występujące w rzeczywistości niż galileuszowskie „trójkąty, koła i inne figury geometryczne”5, mające być w tym ujęciu alfabetem matematyki – jako nauki opisującej naturę. Choć wykorzystanie figur takich jak sfery, stożki czy walce było znacznie prostsze niż posługiwanie się owymi „matematycznymi dziwolągami”, to jednak rezultaty kolejnych badań skłaniały do przyjęcia wniosku, że realnie istniejące obiekty mają (przynajmniej w pewnym zakresie) charakter fraktalny. W tej sytuacji dalszy postęp nauki wymagał zarzucenia dotychczasowego podejścia do tworów fraktalnych i uczynienia ich przed- miotem intensywnych analiz.
Początkowo fraktale były wykorzystywane głównie w naukach ścisłych – przede wszystkim fizyce. Wiązało się to z prowadzonymi wówczas badaniami nad zjawiskiem chaosu i chaotycznymi układami dynamicznymi. Okazało się bowiem, że atraktory6 niektórych układów dynamicznych
4 B. Mandelbrot: The Fractal Geometry of Nature. W.H. Freeman & Company, New York 1983, s. 9.
5 I. Stewart: Czy Bóg gra w kości? Nowa matematyka chaosu. WN PWN, Warszawa 1996, s. 252.
6 Nieformalnie przez atraktor układu dynamicznego rozumie się „(...) podzbiór przestrzeni stanów, do którego z upływem czasu zmierzają (przyciągane są) punkty z pewnego otoczenia tego zbioru” (H. Zawadzki (red.): Zbiory graniczne i atraktory w modelach ekonomii matematycznej. Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej im. Karola Adamieckiego w Katowicach, Katowice 2006, s. 35). Określenie „atraktor” pochodzi z łac. attraho – przyciągać (ibid.).
Rozdział I. Matematyczne podstawy geometrii fraktalnej
10 | Rozdział I. Matematyczne podstawy geometrii fraktalnej
wykazują własności fraktalne. Użyteczność podejścia wykorzystującego obiekty fraktalne spra- wiła, że zaczęto je stosować w dziedzinach takich jak geologia, hydrodynamika czy astronomia.
Twórca geometrii fraktalnej przekonywał do wykorzystania jej także w naukach społecznych – już w latach sześćdziesiątych ubiegłego wieku wskazywał na możliwość modelowania cen surowców czy papierów wartościowych z wykorzystaniem procesów stochastycznych, których trajektorie miały cechy fraktalne. Jednak mimo wielu argumentów przemawiających na korzyść zastosowania metod opierających się na założeniu o fraktalnych właściwościach badanych obiektów, stopień skomplikowania odnośnej teorii nie zachęcał do podjęcia takich działań. Zaniechanie analizowania funkcjonowania rynków finansowych z wykorzystaniem narzędzi dostarczanych przez geometrię fraktalną nie było także całkowicie bezzasadne. Dysponowano albowiem teorią zdecydowanie prostszą (będącą de facto przypadkiem szczególnym bardziej ogólnej teorii rynku fraktalnego), która wydawała się stosunkowo poprawnie opisywać rzeczywistość – była nią hipoteza o kształ- towaniu się cen papierów wartościowych zgodnie z modelem Osborne’a-Samuelsona7. Ponieważ jednak dane nagromadzone od tego czasu skłaniają do uznania go w pierwotnej postaci za sfalsy- fikowany, metodologiczna oraz empiryczna konieczność wymusiła podjęcie dodatkowych analiz mających na celu wypracowanie nowej teorii. Dla jej poprawnej prezentacji, zbadania zgodności z rzeczywistością, sformułowania uzasadnionych wniosków natury ekonomicznej oraz zapropo- nowania ewentualnych korekt (zarówno co do istoty koncepcji, jak i wykorzystywanego instru- mentarium) niezbędne jest przedstawienie podstawowych pojęć związanych z geometrią fraktalną.
Jest to celem niniejszego rozdziału.
1.1. Powstanie geometrii fraktalnej
Tytuł niniejszego podrozdziału może wydawać się niezbyt trafny, bowiem jego poprawność moż- na zakwestionować, dowodząc, że obiekty rzeczywiste cechujące się własnościami fraktalnymi istniały także przed pojawieniem się wspomnianej gałęzi geometrii. Warto w tym miejscu przy- pomnieć o nader pożytecznym rozróżnieniu dokonanym przez Michała Hellera – pomiędzy mate- matyką a Matematyką. O ile matematyka (bądź nasza matematyka) jest tworem ludzkiego umysłu, powstałym w długim procesie ewolucyjnym, o tyle Matematyka (lub matematyka jako taka) to relacje i struktury „(...) którym podlegały ruchy atomów i gwiazd, zanim jeszcze rozpoczęła się ewolucja biologiczna” 8. W naszym przypadku celowy wydaje się podobny zabieg – pozwalający na odróżnienie geometrii fraktalnej od Geometrii Fraktalnej. Jego dokonanie gwarantuje, że dalsze rozważania o powstaniu geometrii fraktalnej nie będą mogły być niewłaściwie zinterpretowane.
Najprawdopodobniej pierwszym obiektem o własnościach uznawanych za fraktalne był wy- kres funkcji odkrytej przez Karla Weierstrassa najpóźniej w 1872 r.9 Funkcja ta okazała się być
7 Zob. M.F.M. Osborne: Brownian Motion in the Stock Market. „Operations Research”, Vol. 7, No. 2 March-April 1959 oraz P. Samuelson: Rational Theory of Warrant Pricing. „Industrial Management Review”, Vol. 6, No. 2 Spring 1965.
8 M. Heller: Co to znaczy, że przyroda jest matematyczna? [W:] M. Heller, J. Życiński, A. Michalak (red.): Matematycz- ność przyrody. Papieska Akademia Teologiczna, Kraków 1990, s. 15.
9 Weierstrass przedstawił swoje odkrycie innym członkom Berlińskiej Akademii Nauk 18 lipca 1872 r. Wspomina on także, że Bernhard Riemann miał najpóźniej w 1861 r. stwierdzić, że innym przykładem funkcji o opisywanych włas- nościach jest f x k x
k k
sin 22 1
, jednak nie pozostawił żadnego dowodu tego faktu (K. Weierstrass: On Continuous Functions of a Real Argument that do not have a Well-defined Differential Quotient. [In:] G. Edgar (ed.): Classics on Fractals. Westview Press, Boulder 2004, s. 4).
Rozdział I. Matematyczne podstawy geometrii fraktalnej
1.1. Powstanie geometrii fraktalnej | 11 niezmiernie interesująca i jednocześnie szokująca matematyków – jest ona ciągła i jednocześnie nieróżniczkowalna w żadnym punkcie swej dziedziny (dokładniej rzecz biorąc, różniczkowalna co najwyżej dla punktów ze zbioru o mierze równej zero). Co więcej – jak widać na przedstawionych wykresach – cechuje się pewną formą samopodobieństwa. Została ona określona następująco10:
W x ak bk x
k
cos 0
przy czym a
0 1, , a b jest liczbą nieparzystą, taką, że ab 1 3 2
. Istnienie tej funkcji zadawało kłam poglądom większości ówczesnych matematyków, że „(...) każda funkcja ciągła jest różnicz- kowalna poza kilkoma izolowanymi punktami” (Ampère)11. Przedstawienie kontrprzykładu przez Weierstrassa, rozpowszechnionego następnie przez DuBois Reymonda w 1875 r., spowodowało, że „Rok 1875 stał się datą symbolizującą początek wielkiego kryzysu w matematyce”12.
Rys. 1. Przybliżenie funkcji Weierstrassa dla a = 0,9, b = 7 za pomocą funkcji
W x ak bk x
k 20
0
20
cos
dla x ∈ 0 2,
Źródło: Opracowanie własne.
Rys. 2. Przybliżenie funkcji Weierstrassa dla a = 0,9, b = 7 za pomocą funkcji
W x ak bk x
k 20
0
20
cos
dla x x ∈ 0 0 2; ,
Źródło: Opracowanie własne.
10 Notacja za: T. Szarek: O wymiarze wykresu funkcji nigdzie nieróżniczkowalnej. „Wiadomości Matematyczne”, t. 42/2006, s. 15.
11 Ibid.
12 B. Mandelbrot: The Fractal..., op. cit., s. 420.
12 | Rozdział I. Matematyczne podstawy geometrii fraktalnej
Kolejnym przykładem (często uznawanym za najistotniejszy spośród omawianych) obiektu frak- talnego jest zbiór nazwany na cześć niemieckiego matematyka Georga Cantora. Idea konstrukcji tego zbioru została przedstawiona po raz pierwszy przez angielskiego matematyka Henry’ego Stephena Smitha w 1875 r., przy okazji badania całkowalności rozmaitych funkcji nieciągłych13. Jego specjalne własności zostały jednak zauważone dopiero przez Cantora w pracy wydanej przez niego w 1883 r. Procedura jego tworzenia dana jest w sposób rekurencyjny. W pierwszej kolejno- ści odcinek jednostkowy dzielony jest na trzy kolejne, równe części. Spośród nich środkowa jest usuwana ze zbioru. Następnie w podobny sposób postępujemy z pozostałymi dwoma odcinkami, itd. Zbiór punktów pozostały po dokonaniu nieskończenie wielu iteracji jest właśnie zbiorem Cantora. Formalnie, jeżeli A0 = ,0 1 , a przez An oznaczyć zbiór powstały wskutek usunięcia części środkowych odcinków tworzących zbiór An−1, A A A
0 ⊃ 1⊃ 2 ⊃ ..., to zbiór Cantora C można zdefiniować jako14:
C An
n
1 .Jego przybliżona graficzna ilustracja została przedstawiona poniżej (dla lepszego efektu wizual- nego zaprezentowano właściwie iloczyn kartezjański zbioru Cantora i odcinka zawartego w prostej prostopadłej do prostej, której podzbiorem jest zbiór Cantora).
Rys. 3. Iloczyn kartezjański zbioru Cantora i odcinka zawartego w prostej prostopadłej do prostej, której podzbiorem jest zbiór Cantora (przybliżenie) Źródło: Opracowanie własne na podstawie: H.-O. Peitgen, H. Jürgens, D. Saupe: Granice chaosu.
Fraktale. Cz. 1. WN PWN, Warszawa 1997, s.108.
Zbiór Cantora, prócz innych ciekawych własności15, wykazuje zasadniczą cechę właściwą obiektom fraktalnym – jest samopodobny. Z tego też względu jest on jednym z podstawowych zbiorów rozpatrywanych podczas analizowania fraktali. Jego pojawienie się (jak i inne odkry- cia Cantora) stało się przedmiotem wielu kontrowersji. Charles Hermite odnotował: „Czytanie prac Cantora jest prawdziwą torturą... nikt z nas nie odczuwa potrzeby by iść jego śladem”16.
13 H.S. Smith: On the Integration of Discontinuous Functions. „Proceedings of the London Mathematical Society”, Vol. 6, No. 85 June 1875, s. 147–148. Koncepcja Smitha jest nieco odmienna niż w przypadku klasycznego zbioru Cantora.
Smith dzielił odcinek jednostkowy na m części (m > 2) i usuwał ostatni fragment. Należy także podkreślić, że o ile Cantor rozważał wszystkie punkty pozostałe po procesie nieskończonego eliminowania środkowych części kolejnych odcinków, o tyle Smith analizował jedynie zbiór punktów będących końcami owych odcinków. Z tego względu okre- ślanie Smitha mianem „odkrywcy zbioru Cantora” nie wydaje się ścisłe i do końca uprawnione.
14 P. Pierański: Fraktale. Od geometrii do sztuki. Ośrodek Wydawnictw Naukowych, Poznań 1992, s. 12.
15 Dla przykładu – mimo że zbiór Cantora jest mocy continuum, jego miara wynosi 0.
16 B. Mandelbrot: The Fractal..., op. cit., s. 410. Tłum. za: P. Pierański: Op. cit., s. 43.
1.1. Powstanie geometrii fraktalnej | 13 Początkowy silny sprzeciw matematyków był jedną z przyczyn, które zahamowały rozwój (czy raczej: powstawanie) geometrii fraktalnej na kilka dekad.
Czynnikiem, który przyczynił się do zaprezentowania omawianych dalej obiektów, była dys- kusja nad poprawną definicją krzywej. Rozważania nad wskazanym problemem doprowadziły matematyków: Giuseppe Peano oraz Davida Hilberta do konstrukcji krzywych wypełniających płaszczyznę17. Krzywe te cechują się samopodobieństwem – jedną z najistotniejszych własności obiektów fraktalnych.
Krzywa Peano została przedstawiona w 1890 r. Jej konstrukcję włoski uczony oparł na wy- wodzie arytmetycznym18, jednak był całkowicie świadom jego konsekwencji geometrycznych.
Krzywa ta jest niezmiernie interesująca nie tylko ze względu na swe własności fraktalne, lecz także z powodu podobieństwa do struktur występujących w organizmach żywych – jak np. układu krwionośnego czy oddechowego. Co więcej, podobnie jak w przypadku wskazanych układów, krzywa Peano posiada nieskończenie wiele punktów rozgałęzienia.
Rys. 4. Etapy konstrukcji krzywej Peano
Źródło: W. Sierpiński: O krzywych wypełniających kwadrat. „Prace matematyczno-fizyczne”, t.23/1912, s. 204–205.
Opis podobnej krzywej przedstawił w tym samym czasie także Hilbert19. Mimo różnic pomię- dzy metodami konstrukcji podanymi przez wspomnianych uczonych, obydwie krzywe wypełniają kwadrat i mają zbliżone własności.
Rys. 5. Etapy konstrukcji krzywej Hilberta
Źródło: D. Hilbert: O odwzorowaniu ciągłem linii na kawałku powierzchni.
„Prace matematyczno-fizyczne”, t.5/1894, s. 14.
Wśród „matematycznych monstrów” odkrytych na przełomie wieku XIX i XX można odnaleźć także krzywą – we właściwym znaczeniu tego słowa – skonstruowaną po raz pierwszy w 1904 r.
przez matematyka szwedzkiego Helge von Kocha. Użycie pojęcia „krzywa” jest zdecydowanie bardziej uzasadnione w tym przypadku niż w odniesieniu do „krzywej” Peano czy Hilberta (jak się bowiem okaże, ich wymiar topologiczny wynosi 2, podczas gdy dla krzywej von Kocha 1).
17 Mandelbrot sugeruje, by raczej używać określenia „ruch Peano”, ponieważ wymiar topologiczny wspomnianego obiek- tu wynosi dokładnie 2, co z kolei sugeruje, by traktować go odmiennie niż standardowe krzywe (zob. B. Mandelbrot:
The Fractal..., op. cit., s. 58). W niniejszej pracy pozostano przy stwierdzeniu tradycyjnym.
18 G. Peano: Sur une courbe, qui remplit toute une aire plane. „Mathematische Annalen”, t. 36/1890, s. 157–160.
19 D. Hilbert: O odwzorowaniu ciągłem linii na kawałku powierzchni. „Prace matematyczno-fizyczne”, t.5/1894. Pier- wotny tekst niemiecki ukazał się w 1891 r.
14 | Rozdział I. Matematyczne podstawy geometrii fraktalnej
Krzywa nazwana następnie nazwiskiem von Kocha została stworzona jako przykład krzywej ciągłej, nieposiadającej stycznej w żadnym punkcie, a jednocześnie zadanej w sposób geometrycz- ny, bez uciekania się do skomplikowanego określenia analitycznego, jakie podał np. Weierstrass.
Rys. 6. Etapy konstrukcji krzywej von Kocha Źródło: H. von Koch: On
a Continuous Curve without Tangents Constructible from Elementary Geometry. [In:] G. Edgar (ed.):
Classics on Fractals. Westview Press, Boulder 2004, s. 29.
Początkowo rozważamy odcinek jednostkowy. Następnie dzielimy go na trzy przystające części, a środkową zastępujemy dwoma pozostałymi bokami trójkąta równobocznego, którego odcinek środkowy byłby podstawą. Postępowanie to powtarzamy ad infinitum. W rezultacie otrzymujemy krzywą, której przybliżenie uzyskane w siedmiu iteracjach przedstawiono poniżej. Jeżeli postę- powanie to zastosować względem boków pewnego trójkąta równobocznego, otrzymamy figurę nazywaną płatkiem śniegu von Kocha.
Rys. 7. Krzywa oraz płatek śniegu von Kocha (przybliżenie) Źródło: Opracowanie własne.
Obiekt geometryczny powstający w granicy nie tylko jest samopodobny, lecz cechuje się nie- skończenie wielką długością20, ponieważ lim
n n
4
3 . Wynik ten wydaje się być zaskakujący, zwłaszcza jeżeli odnieść go do płatka śniegu von Kocha – okazuje się bowiem, że figura płaska o niezerowym, lecz skończonym polu może mieć brzeg o nieskończonej długości. Wynik ten zdaje się przeczyć naszej intuicji, podobnie jak nieistnienie pochodnej funkcji ciągłej. Hermite w liście do Stieltjesa ubolewał nad jej odkryciem, „(...) odwracając się z przerażeniem i zgrozą od tej po- żałowania godnej plagi funkcji bez pochodnych”21. Mandelbrot zaproponował nazwanie krzywej von Kocha i obiektów konstruowanych w podobny sposób teragonami – co w języku greckim oznacza „monstrum”. Warto odnotować, że to najprawdopodobniej krzywa przedstawiona przez szwedzkiego uczonego była jedną z kluczowych inspiracji dla twórcy geometrii fraktalnej22.
20 Co więcej, „(...) długość łuku leżącego między dowolnymi dwoma punktami krzywej jest nieskończona” (H. von Koch:
On a Continuous Curve without Tangents Constructible from Elementary Geometry. [In:] G. Edgar: Op. cit., s. 38).
21 B. Mandelbrot: The Fractal..., op. cit., s. 36.
22 Mandelbrot słusznie stanowczo sprzeciwia się często występującemu określeniu krzywej Kocha jako „nieregularnej”
– co prawda nie zawiera ona żadnego odcinka, lecz algorytm jej konstrukcji jest niezmienny i mało skomplikowany (ibid., s. 41).
1.1. Powstanie geometrii fraktalnej | 15 Dla powstania geometrii fraktalnej niemałe zasługi położył także znakomity polski matematyk, Wacław Sierpiński. W 1915 r. przedstawił on konstrukcję obiektu fraktalnego nazwanego później na cześć uczonego trójkątem Sierpińskiego23. Rozważamy trójkąt równoboczny T. Następnie dzie- limy trójkąt T na cztery przystające trójkąty, łącząc środki jego boków. Przez U oznaczamy trójkąt zawierający środek trójkąta T. Całe wnętrze trójkąta U odrzucamy. Dalej postępowanie powtarzamy w odniesieniu do nowo powstałych trójkątów ad infinitum. W rezultacie uzyskujemy obiekt geome- tryczny samopodobny, o wszelkich klasycznych cechach fraktala oraz o zerowym polu.
Rys. 8. Etapy konstrukcji trójkąta Sierpińskiego
Źródło: W Sierpiński: O krzywej, której każdy punkt jest punktem rozgałęzienia. „Prace matematyczno- -fizyczne”, t.27/1916, s. 78.
Rys. 9. Trójkąt Sierpińskiego (przybliżenie)
Źródło: Opracowanie własne.
Prócz trójkąta Sierpińskiego uczony ten poddał także analizie obiekt nazwany później dywa- nem Sierpińskiego. Warto przypomnieć, że w rzeczywistości figura ta została po raz pierwszy skonstruowana przez Stefana Mazurkiewicza już w 1914 r., jednakże jego wywód nie został ogło- szony drukiem. Mimo iż Sierpiński nie był twórcą omawianego obiektu, to jednak ze względu na fakt odkrycia przezeń niezwykłych własności tej figury przyjęło się określać ją jego nazwiskiem.
Jak pisze: „Samą krzywą otrzymuje p. Mazurkiewicz, dzieląc kwadrat na 9 mniejszych kwa- dratów (zapomocą równoległych do boków) i usuwając wnętrze kwadratu środkowego, a z każ- dym z pozostałych 8-miu kwadratów postępując taksamo jak z pierwotnym kwadratem, i t. d.
in infinitum”24. W rezultacie opisanego postępowania otrzymujemy figurę geometryczną, której przybliżenie przedstawiono poniżej.
23 W. Sierpiński: O krzywej, której każdy punkt jest punktem rozgałęzienia. „Prace matematyczno-fizyczne”, t.27/1916, s. 77 (pierwotny tekst francuski ukazał się w roku 1915).
24 W. Sierpiński: O krzywej..., op. cit., s. 86.
16 | Rozdział I. Matematyczne podstawy geometrii fraktalnej
Rys. 10. Dywan Sierpińskiego (przybliżenie)
Źródło: Opracowanie własne.
Analogonem dywanu Sierpińskiego jest obiekt geometryczny nazwany na cześć jego odkrywcy gąbką Mengera. Został on po raz pierwszy przedstawiony przez matematyka austriackiego Karla Mengera w 1926 r. Podobnie jak dotychczas przedstawione fraktale jego konstrukcja opiera się na metodzie rekurencyjnej. Początkowo rozważamy pewien sześcian. W pierwszym kroku dzielimy go na 27 przystających sześcianów o boku trzykrotnie mniejszym. Następnie usuwamy sześcian zawierający środek sześcianu pierwotnego oraz sześciany zawierające środek każdej ze ścian sześ- cianu pierwotnego (tj. łącznie 7 sześcianów). Podobnie postępujemy z uzyskanym obiektem – ad infinitum. W granicy punkty nieusunięte tworzą właśnie gąbkę Mengera.
Rys. 11. Gąbka Mengera (przybliżenie)
Źródło: A. Barcellos: The Fractal Geometry of Mandelbrot. „The College Mathematics Journal”, Vol. 15, No. 2 March 1984, s. 109.
W tym samym czasie swoje kluczowe prace stworzyli Gaston Julia oraz Pierre Fatou. Doty- czyły one odwzorowań wymiernych płaszczyzny zespolonej25. Okazało się, że brzegi basenów przyciągania rozpatrywane przez wspomnianych uczonych mają niezmiernie skomplikowaną strukturę – strukturę, którą dziś nazwano by fraktalną. W najprostszym przypadku rozważamy
25 T. Martyn: Fraktale i obiektowe algorytmy ich wizualizacji. Wydawnictwo NAKOM, Poznań 1996, s. 96.
1.1. Powstanie geometrii fraktalnej | 17 odwzorowanie postaci z z2 c, gdzie z jest zmienną zespoloną, zaś c pewną stałą zespoloną.
Przyjmując określoną wartość z0, badamy następnie zachowanie wyrazów ciągu z
n , gdzie
z z c
n 1 n
2 . W zależności od wyboru punktu początkowego ciąg z
n może być ograniczony lub nie. W tej sytuacji zbiorem Julii (Julia set) nazywamy brzeg zbioru tych punktów, dla których ciąg z
n nie jest ograniczony (ekwiwalentnie: dla których ciąg ten jest ograniczony). Rozważa się także wypełniony zbiór Julii (filled-in Julia set), tj. zbiór wszystkich punktów, dla których ciąg
zn
jest ograniczony (a nie tylko jego brzeg). Przykłady wypełnionych zbiorów Julii w zależ- ności od stałej c przedstawiono poniżej.
Rys. 12. Wypełnione zbiory Julii (przybliżenia) dla odwzorowań:
z z2 0 5, 0 5, i, z z2 1, z z2 0 25, 0 5, i, z z2 0 25, 0 5, i Źródło: Opracowanie własne.
Można rozważać także dowolne odwzorowanie wymierne płaszczyzny zespolonej w sie- bie. Wówczas definiuje się w sposób formalny: „Zbiorem Julii J (Wc) nazywamy brzeg zbioru przyciągania U ∈ punktu stałego z odwzorowania wymiernego Wc, czyli
J W Fr z W z
c n c
: lim n
”26, gdzie przez oznaczamy zbiór liczb zespolonych do- mknięty przez punkt w nieskończoności, Fr – brzeg zbioru, zaś Wc
n – n-krotne złożenie odwzo- rowania Wc. W tym przypadku określamy zbiór Fatou jako zbiór, którego zbiór Julii jest dopeł- nieniem do zbioru . Z powodu trudności z analitycznym określeniem, czy dany punkt należy do wspomnianych zbiorów, na pierwsze dokładniejsze ich wizualizacje należało czekać aż do po- wstania odpowiednio wydajnych obliczeniowo komputerów27. Ze względu na niezmiernie bogatą strukturę zainspirowały one twórcę geometrii fraktalnej – BenoÎt Mandelbrota do dalszych analiz nad odwzorowaniami płaszczyzny zespolonej i spopularyzowania zbioru o fraktalnych własnoś- ciach, nazwanego następnie zbiorem Mandelbrota.
26 Ibid., s. 98.
27 Istniały one oczywiście także wcześniej, jednak dotyczyły albo przypadków mało skomplikowanych, albo były niedo- kładne (zob. H.-O. Peitgen, H. Jürgens, D. Saupe: Granice chaosu. Fraktale. Cz. 1. WN PWN, Warszawa 1997, s. 173).
18 | Rozdział I. Matematyczne podstawy geometrii fraktalnej
Zbiór Mandelbrota został przedstawiony po raz pierwszy28 w pracy Roberta Brooksa i Petera Matelskiego z 1978 r. oraz przez Mandelbrota w 1980 r. Zbiór ten został określony przez niektó- rych matematyków mianem „najbardziej skomplikowanego obiektu matematycznego” – obiektu o własnościach fraktalnych.
Rys. 13. Przybliżenie zbioru Mandelbrota wg Brooksa i Matelskiego
Źródło: R. Brooks, P. Matelski:
The Dynamics of 2-Generator Subgroups of PSL (2, C). [In:] I. Kra, B. Maskit (eds.): Riemann Surfaces and Related Topics: Proceedings of the 1978 Stony Brook Conference.
Princeton University Press, Princeton 1981, s. 71.
Zbiór nazwany przez Johna Hubbarda i Adriena Douady’ego nazwiskiem Mandelbrota można zdefiniować następująco: „Zbiorem Mandelbrota M W
c nazywamy zbiór tych wartości parametru c ∈ , dla których zbiór Julii J W
c wielomianu Wc jest zbiorem spójnym, czyli
M Wc c W
n c
: lim n
0 ”29.
28 Kwestia pierwszeństwa odkrycia zbioru Mandelbrota budziła znaczne kontrowersje. Bezapelacyjnie o swoim pierw- szeństwie w odkryciu tego obiektu był przekonany chyba wyłącznie sam Mandelbrot. Podkreślał on, że nawet jeżeli rzeczywiście wydruk Brooksa i Matelskiego powstał wcześniej niż jego (czego także nie uznawał za dowiedzione), to mimo to jemu należy przypisać ów honor, w jego opinii bowiem Brooks i Matelski „(...) nie analizowali dogłębnie tego rysunku” (B. Mandelbrot: Some „Facts” That Evaporate Under Examination. „The Mathematical Intelligencer”, Vol. 11, No. 4/1989, s. 17). Brooks odrzucił sugestie Mandelbrota, stwierdzając, że ten nie może być „(...) tak pewnym tego, co przemyśleliśmy [tj. Brooks z Matelskim – przyp. R.B.], a czego nie (...)” (R. Brooks: The Mandelbrot Set.
„The Mathematical Intelligencer”, Vol. 12, No. 1/1990, s. 3). Jednocześnie wskazał on, że w jego opinii właściwym odkrywcą zbioru Mandelbrota – całkowicie świadomym jego postaci – był Fatou już ok. 1920 r., a jedynie brak narzędzi informatycznych uniemożliwił mu wówczas sporządzenie prezentacji graficznej. Z kolei Matelski stwierdził, że uznanie Mandelbrota za odkrywcę wspomnianego zbioru zmusza do przyjęcia, iż Brooks i on sam byli jego współodkrywca- mi: „Nie musisz w pełni eksploatować wszystkich surowców mineralnych kontynentu by go odkryć” – „Wszystko co musisz zrobić, to uklęknąć i ucałować plażę” (zob. J. Horgan: Mandelbrot Set-To. „Scientific American”, April 1990). Do podkreślenia osiągnięć na drodze wiodącej do odkrycia zbioru Mandelbrota dąży ponadto matematyk John Hubbard, który twierdzi, że już w 1976 r. uzyskał wizualizację (częściową) tego zbioru, a swoje rysunki przekazał Mandelbrotowi. Ten z kolei wskazuje, że Hubbard pokazał mu jedynie prezentacje graficzne zbiorów Julii, a nie zbioru Mandelbrota. Jednocześnie odpiera on argumentację wspomnianych uczonych podkreślających rolę definicji Fatou, gło- sząc, że „Definicja nic nie znaczy” – „Musisz wskazać, dlaczego coś jest istotne” (zob. J. Horgan: Mandelbrot Set-To.
„Scientific American”, April 1990). Oponenci Mandelbrota mimo sporów i bezkompromisowości swego adwersarza nie kwestionują słuszności określenia wspomnianego zbioru jego nazwiskiem, niezależnie od tego, kogo należałoby wskazać za jego rzeczywistego odkrywcę.
29 T. Martyn: Op. cit., s. 111.
1.1. Powstanie geometrii fraktalnej | 19
Rys. 14. Zbiór Mandelbrota (przybliżenie) wraz z wydrukiem uzyskanym przez Mandelbrota Źródło: H.-O. Peitgen, H. Jürgens, D. Saupe: Granice chaosu. Fraktale.
Cz. 2. WN PWN, Warszawa 1997, s. 475.
Pojawienie się zarówno zbioru Mandelbrota, jak i zbiorów Julii rodziło wiele pytań odnośnie do ich natury i własności, które zaowocowały wzrostem zainteresowania matematyków – lecz także uczonych z innych dziedzin – koncepcją zastosowania obiektów fraktalnych do modelowa- nia zjawisk występujących w rzeczywistym świecie. Z tego też względu o właściwym powstaniu geometrii fraktalnej możemy mówić w odniesieniu do okresu po ukazaniu się pierwszych pub- likacji Mandelbrota z lat siedemdziesiątych ubiegłego wieku. Do tego czasu obiekty o własnoś- ciach fraktalnych pojawiały się bardzo rzadko i na marginesie rozważań dotyczących wyłącznie matematyki abstrakcyjnej. Za jedyny wyjątek należy uznać pracę Lewisa Fry Richardsona oraz rozważania (bardzo często pomijanych w tym kontekście) znakomitych matematyków polskich:
Hugo Steinhausa i Juliana Perkala.
Steinhaus jeszcze w latach trzydziestych ubiegłego wieku zwrócił uwagę na fakt (który już wówczas nie był tajemnicą dla kartografów30), że wymierzona długość pewnych obiektów geogra- ficznych jest uzależniona od wielkości podziałki31, za pomocą której dokonuje się pomiaru. Jeżeli w przypadku kolejnych przybliżeń przy określaniu pola obszarów uzyskany rezultat różni się coraz mniej od rzeczywistego, to „Inaczej jest z długością. Zgeneralizowany obraz rzeki nie uwzględnia
30 Por. np. M. Goldschlag: Przyczynek do metodyki pomiarów długości linij krzywych na kartach. „Kosmos”, z. 4–6 czer- wiec 1913, s. 532–535, 539–540.
31 Właściwie należałoby stwierdzić: od stopnia generalizacji mapy. Jeżeli bowiem dysponujemy mapą o określonej do- kładności, to zmiana jej skali i wielkości podziałki nie sprawi, że uzyskane wyniki będą odmienne. Jak zauważa Ste- inhaus: „Chcąc określić stopień generalizacji linii krzywej na mapie, natrafiamy na poważne trudności, gdyż pojęcie generalizacji nie jest w geografii sprecyzowane”, jednak „Wystarczy nam następująca umowa: uważamy, że linie na mapie uzyskuje się przez zaznaczanie na niej punktów i łączenie ich odcinkami prostymi; dokładności położeń punktów nie kwestionujemy. Gdy między punkty już zaznaczone wstawiamy nowe na podstawie zdjęć geodezyjnych, a stare zostawiamy, liczba boków wzrasta i wzrasta stopień generalizacji. Możemy więc mówić o generalizacjach G1, G2, ..., Gm, ..., nie precyzując znaczenia tych symboli, żądając jednak, żeby mapy oznaczone większym wskaźnikiem powsta- wały z map oznaczonych mniejszym przez dodanie punktów” (H. Steinhaus: O długości krzywych empirycznych i jej pomiarze, zwłaszcza w geografii. „Sprawozdania Wrocławskiego Towarzystwa Naukowego”, nr 4/1949, dod. 5, s. 4).
W dalszych rozważaniach przyjęto powyższe rozumienie sformułowania „wielkość podziałki”, zaś „Przez długość łuku rozumiemy granicę długości łamanych wpisanych w ten łuk, przy skracaniu boków łamanej do zera” (J. Perkal:
O długości krzywych empirycznych. „Zastosowania matematyki”, nr 3/1957, s. 258.
20 | Rozdział I. Matematyczne podstawy geometrii fraktalnej
np. zakrętów, których promień byłby na mapie mniejszy niż ⅓ milimetra. (...) Za każdą zmianą ska- li długość wzrośnie o kilka, nawet o kilkanaście procent”32. Steinhaus dopuszcza zatem możliwość, że (jak w przypadku teoretycznych krzywych fraktalnych) długość mierzonego obiektu okaże się nieskończona – „Lewy brzeg Wisły, jeżeli mierzyć go z rosnącą dokładnością, zwiększyłby dłu- gość dziesięć, sto czy nawet tysiąc razy w stosunku do długości odczytanej z mapy szkolnej”33. Kluczowe jest tu uznanie niezmiernej złożoności właściwej obiektom rzeczywistym – złożoności odzwierciedlającej ich fraktalny charakter oraz własności długości – „Paradoks długości bierze się stąd, że długość jest funkcjonałem nieograniczonym w sąsiedztwie każdego łuku”34. Jako jeden z pierwszych zauważył on, że „Stwierdzeniem najbardziej zbliżonym do rzeczywistości byłoby określenie większości łuków spotykanych w naturze jako nieprostowalnych. Ta konstatacja jest przeciwieństwem poglądu, że łuki nieprostowalne są wymysłem matematyków, a łuki wy- stępujące w naturze są prostowalne: w rzeczywistości jest bowiem odwrotnie”35. Zdaniem autora to właśnie Steinhausa można uznać za prekursora zastosowania geometrii fraktalnej do badania zjawisk występujących w świecie rzeczywistym.
Problematyka mierzenia długości krzywych empirycznych była także przedmiotem zaintere- sowań Perkala. Ze względu na konieczność posługiwania się pojęciem długości (skończonej), uwzględniając mankamenty „długości rzędu n” zaproponowanej przez Steinhausa, wprowadził on pojęcie „długości rzędu ε”, będącej modyfikacją określenia podanego przez Hermanna Minkowskie- go36. W tym celu dla dowolnego łuku X zdefiniował on ε‑aureolę37 jako A X x X
x
E
,
, gdzie (x, X) oznacza odległość punktu x od łuku X, tj. x X x y
y X
, min ,
, gdzie x y
, to
32 H. Steinhaus: W sprawie mierzenia długości linij krzywych płaskich. „Polski Przegląd Kartograficzny”, nr 37 styczeń 1932, s. 145–146. W swej kolejnej pracy zauważa on, że „Matematycznie to zjawisko tłumaczy się tym, że długość nie jest funkcjonałem ciągłym”, zaś „Pole jest funkcjonałem ciągłym: dwa kontury bliskie siebie zamykają pola mało się różniące, ale długości tych konturów mogą się różnić bardzo znacznie. Możemy np. w sąsiedztwie linii kolejowej Wrocław-Warszawa i nie dalej od niej jak o 1 km poprowadzić ścieżkę o długości 10 000 km” (H. Steinhaus: O długości krzywych..., op. cit., s. 2).
33 H. Steinhaus: Length, shape and area. „Colloquium Mathematicum”, Vol. 3/1954, s. 8. Warto nadmienić, że stwier- dzenie to znalazło się w pierwotnej wersji słynnego artykułu Mandelbrota o mierzeniu wybrzeży Wielkiej Brytanii (B. Mandelbrot: How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension. „Science”, Vol. 156, No. 3775 May 1967, s. 636). Jak współcześnie wyjaśnia Mandelbrot, stało się tak wskutek zwrócenia mu uwagi przez Steinhausa (który był recenzentem wspomnianego artykułu) na prace autorstwa polskiego matematyka.
W obecnie udostępnionej wersji tego artykułu cytat ten został usunięty z głównego tekstu i przeniesiony do komenta- rza, co autor uzasadnia słowami Alfreda Whiteheada: „Jak poucza nas historia nauki, zbliżyć się do prawdziwej teorii a uchwycić jej dokładne zastosowanie, to dwie różne rzeczy. Wszystko co istotne zostało powiedziane już wcześniej przez kogoś, kto jej nie odkrył” (za: B. Mandelbrot: How long is the coast of Britain? Statistical self-similarity and fra- ctional dimension. Annotations. http://users.math.yale. edu/mandelbrot/web_pdfs/howLongIsTheCoastOfBritain.pdf, s. 5). Mandelbrot uważa także, że fakt, iż owe prace Steinhausa pozostały praktycznie nieznane, należy w mniejszym stopniu przypisać temu, że „(...) nikt nie czyta polskich czasopism naukowych (...)”, a raczej domniemanemu brakowi poczucia ich wartości u samego autora, bowiem „Gdyby uznał on swoje dokonanie za godne szerszej uwagi, znalazłby sposób na opublikowanie go tam, gdzie nie zostałoby przeoczone” (B. Mandelbrot: How long is the coast of Britain?
Statistical self-similarity and fractional dimension. Annotations, s. 5). Analizując współczesne wydania dawniejszych prac Mandelbrota, trzeba zatem uwzględnić hołdowanie przezeń wspomnianej uprzednio zasadzie i być świadomym ewentualnych różnic pomiędzy publikacjami oryginalnymi a ich późniejszymi redakcjami.
34 H. Steinhaus: O długości linij krzywych empirycznych. „Časopis pro pěstování matematiky a fysiky”, Vol. 74, No. 4/1949, s. 303.
35 H. Steinhaus: Length..., op. cit., s. 8. Trzeba zauważyć, że „Łuki o skończonej długości nazywamy prostowalnymi”
(J. Perkal: O długości..., op. cit., s. 258).
36 J. Perkal: On the ε-Length. „Bulletin de l’Académie Polonaise des Sciences”, Vol. 4, No. 7/1956, s. 401–402.
37 J. Perkal: O ε-aureolach. „Roczniki Polskiego Towarzystwa Matematycznego. Prace Matematyczne”, No. 3/1959, s. 73.
1.1. Powstanie geometrii fraktalnej | 21 odległość między punktami x i y. Jeżeli pole ε-aureoli oznaczyć jako aε (X), to długością rzędu ε Perkal nazywa wielkość L X a X
2
2 . Podstawową jej zaletą jest fakt, że jest ona funk- cjonałem ciągłym, co pozwoliło na wyeliminowanie sytuacji, w których dwa bliskie sobie łuki mogą cechować się bardzo różnymi długościami. Dla celów praktycznych sugerował on także wykorzystanie „ε-zgeneralizowanego brzegu” obszarów, co umożliwiało uproszczenie struktury łuków występujących w przyrodzie. Zarówno Perkal, jak i Steinhaus proponowali zatem ominięcie trudności związanych z istnieniem łuków nieprostowalnych poprzez posługiwanie się dla potrzeb praktycznych zdefiniowanymi przez siebie długościami. Podejście to, jak najbardziej celowe z uty- litarystycznego punktu widzenia, miało znaczne zalety, jednak nie prowadziło do bardziej szcze- gółowego scharakteryzowania łuków nieprostowalnych. Odnośne badania podjął wspomniany już Richardson. Należy go uznać także za jednego z pierwszych badaczy analizujących występowanie zjawisk o charakterze fraktalnym w oparciu o dane empiryczne.
Richardson interesował się wieloma dziedzinami nauki (fizyką, matematyką, chemią czy biolo- gią), choć stopień doktorski uzyskał w zakresie psychologii matematycznej38. Najczęściej w chwili obecnej jego nazwisko jest przywoływane w związku z próbami przewidywania i kontrolowania pogody – w kontekście teorii chaotycznych układów dynamicznych39. Wpływ tego uczonego na powstanie geometrii fraktalnej był jednak niemały – jego badania zawarte w pracy opublikowanej (pośmiertnie) w 1961 r. należy uznać za pierwsze zastosowanie jej narzędzi do badania obiektów i zjawisk świata rzeczywistego40. Richardson analizował wpływ rozmaitych czynników na wystę- powanie konfliktów pomiędzy różnymi społecznościami. W tym celu badał m.in. problem długości granic regionów. Analizując to zagadnienie, Richardson jako pierwszy przedstawił postać zależno- ści opisującej wymierzoną długość krzywej od wielkości wykorzystanej podziałki: „Jej całkowita długość,
∑
, była rozpatrywana jako funkcja długości jej boku [tj. podziałki – przyp. R.B.], ”41.Rys. 15. Zależność pomiędzy wielkością podziałki a oszacowaną za jej pomocą długością wybranych krzywych naturalnych wg Richardsona Źródło: L. Richardson: The Problem of Contiguity: An Appendix to Statistics of Deadly Quarrels.
„General Systems of the Society for the Advancement of General Systems Today: Yearbook”, Vol. 6/1961, s. 169.
38 B. Mandelbrot: The Fractal..., op. cit., s. 401.
39 Por. np. I. Stewart: Czy..., op cit., s. 149–150.
40 Wspomniane badania musiały zostać ukończone najpóźniej w roku 1953 (kiedy to Richardson zmarł). Za oczywistą omyłkę należy zatem uznać twierdzenie, jakoby „W 1961 roku Lewis Fry Richardson zamierzał zbadać, ile wynosi długość brzegu Wysp Brytyjskich” (J. Kudrewicz: Fraktale i chaos. WNT, Warszawa 2007, s. 57).
41 L. Richardson: The Problem of Contiguity: An Appendix to Statistics of Deadly Quarrels. „General Systems of the Society for the Advancement of General Systems Today: Yearbook”, Vol. 6/1961, s. 168.
22 | Rozdział I. Matematyczne podstawy geometrii fraktalnej
Dokonując stosownych obliczeń, Richardson uzyskał, że dla analizowanych przezeń krzywych rozważana funkcja jest funkcją potęgową, tj.
. Dla różnych krzywych wartość współ- czynnika α była różna, co skłoniło angielskiego uczonego do wyciągnięcia wniosku, że może ona być traktowana jako charakterystyka danej krzywej: „Stała α wydaje się być dodatnio skorelowana z naszą wzrokową percepcją nieregularności granicy”42, przy czym dla α = 0 dana krzywa jest zbli- żona do łamanej, a jej wzrost świadczy o rosnącym stopniu nieregularności. (Zob. rys. 15, s. 21).
Prócz stwierdzenia występowania przedstawionej zależności, Richardson zwrócił także uwagę, że na ogół określanie skończonej długości krzywej naturalnej jest nie do końca poprawne.
Podkreślił mianowicie, że „Proste mówienie o «długości» wybrzeża jest równoznaczne z poczy- nieniem nieuzasadnionego założenia. Kiedy ktoś twierdzi, że «przeszedł 10 mil wzdłuż wybrzeża», ma zazwyczaj na myśli, że przeszedł 10 mil w pobliżu wybrzeża”43. Ze znalezionej przezeń za- leżności wynika bowiem, że dla α > 0 zachodzi: lim
0
, tj. długość krzywej przy malejącej wielkości podziałki dąży do nieskończoności.
Rezultaty badań Richardsona stały się jedną z inspiracji dla Mandelbrota w tworzeniu jego koncepcji modelowania fraktalnego. Zauważył on mianowicie, że krzywe opisujące wybrzeża czy granice państw są „(...) statystycznie «samopodobne», tzn. że dowolny fragment może być traktowany jako pomniejszona kopia całości”44. W ten sposób Mandelbrot sformułował jedną z kluczowych cech decydujących o sklasyfikowaniu obiektu jako fraktala – samopodobieństwo.
W odniesieniu do obiektów występujących jedynie w ujęciu teoretycznym, jak np. krzywa von Kocha, można bowiem mówić o ich samopodobieństwie (dokładnym). W odniesieniu do obiektów naturalnych niezbędne jest uwzględnienie wpływu losowości na ich kształt, stąd też konieczność uogólnienia samopodobieństwa dokładnego na samopodobieństwo statystyczne. Prócz opisanej ce- chy Mandelbrot uznał także, że wspomniane krzywe można syntetycznie scharakteryzować za po- mocą pojedynczej liczby – wykładnika samopodobieństwa D, który można traktować jak wymiar.
Jednocześnie zaproponował on odmienną wersję zależności przedstawionej przez Richardsona, daną jako L G
~G1 D, gdzie G oznacza wielkość podziałki, a L G
– oszacowaną długość krzywej przy wielkości podziałki G. Mandelbrot zamiast rozważanego przez Richardsona pa- rametru α skłania się do wykorzystania stałej D ze względu na możliwość interpretowania jej jako wymiaru krzywej. Ponadto Mandelbrot przedstawił sposób konstruowania krzywych nie- prostowalnych o zadanym wymiarze (tj. parametrze D). W tym celu systematycznie zastępuje on każdy z odcinków składających się na otrzymaną w poprzednim kroku łamaną (rozpoczynając od pojedynczego odcinka) odpowiednio pomniejszoną kopią łamanej o konstrukcji stosownej do żądanego wymiaru. Kontynuując to postępowanie ad infinitum w granicy uzyskuje on krzywe nieprostowalne o z góry określonym wymiarze D. Idea przedstawionej przezeń metody została zaprezentowana na rys. 16, s. 23.
Dotychczas przedstawione rezultaty badań nie powstały jako efekt zainteresowania geometrią fraktalną i jej zastosowaniami, lecz pojawiły się wskutek analizy innych problemów naukowych.
Z tego też względu o okresie trwającym do lat siedemdziesiątych XX wieku należy raczej mó- wić jako o okresie poprzedzającym pojawienie się idei geometrii fraktalnej. Koncepcja ta została w pełni przedstawiona dopiero w 1975 r. przez Mandelbrota w publikacji pt. Les objets fractals.
Forme, hasard et dimension, przetłumaczonej następnie i wydanej w zmienionej i poszerzonej wersji pt. The Fractal Geometry of Nature. Jej autor przedstawił w niej zbiorczo informacje o teo- retycznych podstawach geometrii fraktalnej. Wpływ tej publikacji wynikał także z faktu zawarcia
42 Ibid., s. 170.
43 Ibid.
44 B. Mandelbrot: How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension. Op. cit., s. 636.
1.2. Pojęcie wymiaru w geometrii fraktalnej | 23 w niej przykładów aplikacji analizy opartej na założeniu o fraktalnym charakterze badanych obiek- tów w wielu całkowicie różnych dziedzinach nauki: m.in. w astronomii, hydrologii czy nawet w naukach społecznych. Stąd też przez wielu wspomniana monografia została uznana za dzieło mające fundamentalne znaczenie dla powstania i rozwoju geometrii oraz wiedzy uczonych o geo- metrii fraktalnej. W niej także zawarto pierwszą definicję obiektu fraktalnego. W celu jej przed- stawienia oraz rozważenia, czy można uznać ją za uniwersalną, a także zbadania jej przydatności w modelowaniu cen instrumentów finansowych i procesie oceny ryzyka inwestycyjnego, w relacji do określeń konkurencyjnych, niezbędne jest wprowadzenie pewnych określeń matematycznych.
Zostaną one zaprezentowane w następnym punkcie.
1.2. Pojęcie wymiaru w geometrii fraktalnej
Jednym z kluczowych pojęć wykorzystywanych do charakteryzowania obiektów fraktalnych (lub nawet do ich definiowania) jest pojęcie wymiaru. W ubiegłym wieku powstało wiele definicji wymiaru, stworzono także teorie matematyczne poświęcone tym zagadnieniom. Niezwykła uży- teczność ujęcia fraktalnego i w konsekwencji zastosowanie go w analizie zjawisk będących przed- miotem badań najodleglejszych dyscyplin sprawiła, że pojęciem wymiaru fraktalnego zaczęto określać najrozmaitsze wymiary, często definiowane w całkowicie odmienny sposób i przyjmujące różne wartości dla tego samego obiektu. Zaistniały chaos pojęciowy, naturalny w przypadku nowo powstałych koncepcji, nie zaniknął i nadal w publikacjach naukowych panuje pewna dowolność w posługiwaniu się odnośnym określeniem45. Fakt ten skłonił nawet samego Mandelbrota do (jak skonstatował w kolejnym wydaniu The Fractal Geometry of Nature) „(...) pozostawienia terminu
45 Przyczyną tego stanu rzeczy jest także fakt, że dla niektórych obiektów fraktalnych różne wymiary fraktalne przybierają tę samą wartość. Jest to jednak raczej odstępstwem od reguły niż ogólną prawidłowością (zob. np. A. Gabryś: Rynek kapitałowy w ujęciu fraktalnym. Aurea Mediocritas, Warszawa 2005).
Rys. 16. Idea generowania krzywych nieprostowalnych o zadanym wykładniku samopodobieństwa wg Mandelbrota
Źródło: B. Mandelbrot: How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension. „Science”, Vol. 156, No. 3775 May 1967, s. 637.
