11. Funkcje cyklometryczne

–

Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego

Biotechnologia

w ramach projektu „Era inżyniera – pewna lokata na przyszłość”

Projekt „Era inżyniera – pewna lokata na przyszłość” jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Funkcje cyklometryczne

11. Funkcje cyklometryczne

Jeśli dziedzina funkcji trygonometrycznej zostanie zawężona do przedziału, w którym funkcja jest różnowartościowa, to wtedy można określić funkcję odwrotną do niej.

Funkcje cyklometryczne są funkcjami odwrotnymi do funkcji trygonometrycznych. Są to funkcje y = arc sin x, y = arc cos x, y = arc tg x, y = arc ctg x.

Z definicji funkcji odwrotnej wynikają następujące zależności:

Jeżeli y ∈ [−

π,

π] oraz x ∈ [−1, 1], to

y = arc sin x ⇐⇒ x = sin y.

Jeżeli y ∈ [0, π] oraz x ∈ [−1, 1], to

y = arc cos x ⇐⇒ x = cos y.

Jeżeli y ∈ (−

π,

π) oraz x ∈ R, to

y = arc tg x ⇐⇒ x = tg y.

Jeżeli y ∈ (0, π) oraz x ∈ R, to

y = arc ctg x ⇐⇒ x = ctg y.

WŁASNOŚCI:

f (x) = arc sin x

• Dziedzina: [−1, 1];

• Zbiór wartości: [ −

π,

π];

• Monotoniczność: funkcja rosnąca;

• Funkcja nieparzysta.

0 x

y

-1 1

2?

1

?

f(x)=arccosx

f (x) = arc cos x

• Dziedzina: [−1, 1];

• Zbiór wartości: [0, π];

• Monotoniczność: funkcja malejąca.

f (x) =arctgx

• Dziedzina: R;

• Zbiór wartości: ( −

π,

π);

• Monotoniczność: funkcja rosnąca;

• Funkcja nieparzysta.

0 x

y

?

2?

1

f(x)=arcctgx

f (x) = arc ctg x

• Dziedzina: R;

• Zbiór wartości: (0, π);

• Monotoniczność: funkcja malejąca.

57

Funkcje cyklometryczne

11.1. Przykładowe zadania

1. Obliczyć arc sin

. Rozwiązanie:

Należy znaleźć kąt α ∈ [−

π,

π] taki, że sin α =

.

Istnieje nieskończenie wiele kątów spełniających równanie sin α =

, są to: x =

π + 2kπ ∨ x =

5

6

π + 2kπ, k ∈ Z, ale tylko jeden z nich należy do powyższego przedziału. Jest to kąt

π.

Stąd arc sin

=

π.

Odpowiedź:

π.

2. Obliczyć arc tg(− √ 3).

Rozwiązanie:

Należy znaleźć kąt α ∈ (−

π,

π) taki, że tg α = − √ 3.

Istnieje nieskończenie wiele kątów spełniających równanie tg α = − √

3, są to: x = −

π +kπ, k ∈ Z, ale tylko jeden z nich należy do powyższego przedziału. Jest to kąt −

π.

Stąd arc tg( − √

3 ) = −

π.

Odpowiedź: −

π.

3. Obliczyć cos

3arcctg √

3 + 2 arc cos

. Rozwiązanie:

arc ctg √

3 =

π, gdyż ctg

π = √

3 ∧

π ∈ (0, π).

arc cos

=

π, gdyż cos

π =

∧

π ∈ [0, π].

Zatem sin(3 ·

π + 2 ·

π) = sin(

π +

π) = sin(

π) = sin(π +

π) = − sin

π = −

. Odpowiedź: −

.

4. Obliczyć ctg

2

arc ctg

√3 3

)

− 3 arc cos

.

Rozwiązanie:

arc ctg(

) =

π arc cos

=

π

Zatem mamy ctg(

·

π − 3 ·

π) = ctg(π −

π) = ctg

π = 0.

Odpowiedź: 0.

5. Obliczyć sin

arc sin

+ arc sin

. Rozwiązanie:

Niech arc sin

= x, arc sin

= y. Wtedy x, y ∈ (0,

π) oraz sin x =

, sin y =

.

Z jedynki trygonometrycznej wynika, że cos x =

, cos y =

√ 2.

Korzystając ze wzoru na sinus sumy kątów mamy

sin(arc sin

+ arc sin

) = sin(arc sin

) · cos(arc sin

) + sin(arc sin

) · cos(arc sin

) =

· cos y +

1

3

· cos x =

·

√

2 +

·

=

+

=

. Odpowiedź:

.

58

Funkcje cyklometryczne

6. Obliczyć 2 arc sin( −

) + arc ctg( −1) + arc cos

+

arc cos( −1).

Rozwiązanie:

arc sin

−

= −

π arc ctg( −1) = −

π arc cos

2

=

π

1

2

arc cos( −1) = π

Zatem 2( −

π) + ( −

π) +

π +

π = −

π.

Odpowiedź:

π.

11.2. Zadania

Obliczyć:

1. arc cos

−

. 2. arc sin

. 3. arc tg √

3.

4. arc sin 1.

5. arc cos( −1).

6. arc tg(−1).

7. arc ctg(−1).

8. arc ctg( −

).

9. arc tg

3−1 3−√

3

)

.

10. arc ctg

24+2√ 3 2(1+√

2)

)

. 11. arc tg

tg

π

.

12. arc tg

tg

π

. 13. sin

(

2 arc cos

. 14. arc ctg

ctg

π

.

15. cos

arc cos

+ arc cos

. 16. sin

(

arc sin

+ arc cos

.

17. Udowodnić, że arc sin x + arc cos x =

π.

18. Udowodnić, że arc tg x + arc ctg x =

π.

Sporządzić wykresy funkcji:

19. f (x) = arc tg(x − 1) +

. 20. f (x) = − arc sin

. 21. f (x) = 2 arc ctg x + π.

22. f (x) = 1 − arc cos(x + 1).

23. f (x) = |

arc ctg x − 1|.

24. f (x) = arc cos( −x) +

. 25. f (x) = − arc ctg |x| + π.

Znaleźć dziedzinę funkcji:

26. f (x) = arc sin 2x + 1.

27. f (x) = arc cos

x−1

)

−

.

28. f (x) = √

arc ctg(x−^π₄)

. 29. f (x) = log arc sin(3x).

30. f (x) = arc cos(log

x).

31. f (x) =

√

arc sin

.

32. f (x) =

+ arc sin(x

).

59