Badanie współzmienności cech przy pomocy funkcji potęgowej

Henryk Płudowski

Badanie współzmienności cech przy

pomocy funkcji potęgowej

Annales Universitatis Mariae Curie-Skłodowska. Sectio H, Oeconomia 13-14, 87-93

U N I V E R S I T A T I S M A R I A E C U R I E - S K Ł O D O W S K A L U B L I N — P O L O N I A

V O L. X III/X IV , 6 S E C T IO H 1979/1980

M ięd zyw yd ziałow y Instytut E konom iki i O rganizacji R olnictw a AR w Lublinie

H e n r y k P Ł U D O W S K I

Badanie współzmienności cech przy pomocy funkcji potęgowej И с с л е д о в а н и е к о в а р и а н т н о с т и п р и з н а к о в п р и п о м о щ и степ ен н о й ф у н к ц и и E x a m in a tio n of C h a r a c te r is tic s C o v a ria tio n b y M ean s of th e P o w e r F u n c tio n

W P R O W A D Z E N IE

Jednym z podstawowych zagadnień występujących przy analizie związ­ ków i zależności między zmiennymi jest wybór odpowiedniego modelu funkcji. Przy rozwiązywaniu tego zagadnienia staram y się wybrać taki model, który najlepiej opisuje zależności między interesującym i nas ce­ chami i posiada najkorzystniejsze charakterystyki statystyczne.1 Chodzi tu głównie o współczynnik determ inacji, który określa stopień w yjaśnie­ nia zmienności jednej cechy przez zmienność innych cech wprowadzo­ nych do modelu funkcji, a całe zagadnienie sprowadza się do badania współzmienności.

Wobec tego regresję stosuje się wówczas, gdy w ystępuje między zmiennymi dostatecznie wysoka korelacja, a ściślej determ inacja.2 Nale­ ży jednak zwrócić uwagę, że stopień zdeterminowania jednej cechy przez drugą nie może stanowić jedynego kryterium oceny modelu, gdyż nie jest to w ystarczające dla właściwego odzwierciedlenia kształtu zależności. Do­ tyczy to w szczególności funkcji potęgowej, która ze względu na swoje właściwości matem atyczno-analityczne jest często stosowana do badania związków i zależności między zmiennymi. W ystępują okoliczności, że

opi-1 A. S. G o l d b e r g e r : T eo ria e k o n o m e t r i i , W a rs z a w a opi-1972; Z. P a w ł o w - s k i : E k o n o m e t r i a , W a rs z a w a 1969; H. P ł u d o w s k i : B a d a n ie e f e k t y w n o ś c i n a ­

w o ż e n i a m e t o d ą f u n k c j i p r o d u k c j i , P u ła w y 1975.

2 W s p ó łc z y n n ik k o re la c ji p o d n ie s io n y do k w a d r a tu s ta je się w s p ó łc z y n n ik ie m d e te r m in a c ji.

88 Henryk Płudow ski

sywane przy pomocy omawianej funkcji zależności nie odpowiadają rze­ czywistości.

Celem artykułu jest przedstawienie niektórych problemów, jakie mo­ gą wystąpić i jakie autor napotkał podczas posługiwania się korelacją i re­ gresją potęgową.3 Zagadnienia te zostaną przedstawione na przykładzie pochodzącym z K om binatu PGR Machnów Nowy.4 Jest to przedsiębior­ stwo wieloobiektowe, położone w południowo-wschodniej części woj. za­ mojskiego, gospodarujące na dobrych glebach rędzinowych; powierzchnia użytków rolnych wynosi 8 tys. ha.

W Y N IK I B A D A N

We wspomnianym przedsiębiorstw ie zestawiono i przeliczono na 1 ha użytków rolnych produkcję końcową brutto (rolniczą) i koszty ponoszone na tę produkcję celem określenia związku i zależności między tym i wskaź­ nikami. Na podstawie w stępnej analizy danych zauważono, że koszty w zrastały szybciej niż produkcja, co wskazywało na to, że między anali­ zowanymi wskaźnikami występowała zależność nieliniowa, a krańcowe przyrosty produkcji na 1 tys. zł przyrostu kosztów były coraz mniejsze. Zastosowano więc funkcję potęgową, której param etry obliczono metodą najm niejszych kw adratów po zlogarytm ow aniu zmiennych, czyli oblicza­ no następujący model funkcji:

(In y ) ' = ln a + b In x,

gdzie: In — logarytm natu raln y ,5

a — stały p aram etr funkcji,

b — współczynnik regresji,

y — produkcja końcowa brutto, x — koszty w tys. zł/ha UR.

W w yniku przeprowadzonych obliczeń uzyskano funkcję wyrażającą się równaniem:

- (In y )' = -0 ,6 4 5 6 + 1,0406 In x. (I) Zdeterminowanie między logarytm am i zmiennych y i x jest bar­ dzo wysokie i wynosi 0,9274. Możemy więc powiedzieć, że zmienność In y

3 H . P ł u d o w s k i : M o d e l p o t ę g o w e j f u n k c j i p r o d u k c j i w z a s t o s o w a n i u do b a d a n ia e f e k t y w n o ś c i n a w o ż e n i a m i n e r a l n e g o , „ P o s tę p y N a u k R o ln ic z y c h ”, 1976, n r 2. 4 T , W i e r z b i c k i : A n a l i z a w y k o r z y s t a n i a z i e m i n a tle r o z w o j u p r o d u k c j i z w i e r z ę c e j w p a ń s t w o w y m p r z e d s i ę b i o r s t w i e r o l n i c z y m n a p r z y k ł a d z i e K o m b i n a t u P G R M a c h n ó w N o w y , L u b lin 1978, A R (m a sz y n o p is — p r a c a d o k to rs k a ).

5 M o żn a ró w n ie ż sto so w a ć lo g a r y tm y d z ie s ię tn e , lecz p rz y m a ły c h lic z b a c h le p ie j p o słu g iw a ć się lo g a r y tm a m i n a tu r a ln y m i.

została wyjaśniona przez zmienność In x w 92,74%, czyli ścisłość związku jest tu taj bardzo wysoka. Można by sądzić, że dokonano trafnego wybo­ ru modelu funkcji, ale w rzeczywistości tak nie jest, bo współczynnik re­ gresji b jest większy od jedności, co wyklucza malejącą efektywność kosz­ tów, jaką zaobserwowano podczas wstępnej analizy danych.

K orzystając z tego, że In a = —0,6456, można obliczyć współczynnik a i funkcję napisać w postaci potęgowej:

W zasadzie funkcje (I) i (II) są tożsame w sensie równań m atem atycz­ nych, ale do (II) nie odnosi się współczynnik determ inacji między logaryt- mami zmiennych, jaki został obliczony dla funkcji (I). Przy aproksymo- waniu funkcji Y '= a x b mamy na myśli funkcję nieliniową, którą przy po­ mocy logarytmów transform ujem y do funkcji liniowej: (In y ) '= ln a +

+ b In x. Przyjm ując, że (In y)/==V, In a=c, In x = z , otrzymamy:

Przy obliczaniu b i c klasyczną metodą najmniejszych kw adratów m i­ nim alizuje się sumę o w yrażeniu 2(Ui— c — bz{)2, a nie minimalizuje się 2(2/i_ axiX))2. Dlatego metoda estym acji odnosi się do regresji między lo- garytm am i zmiennych, a tym samym współczynnik determ inacji (r2vz) do­ tyczy funkcji (I) i nie równa się indeksowi 6 determ inacji potęgowej (i2Vz)> Chcąc zatem ocenić funkcję potęgową, należy obliczyć indeks determ ina­ cji potęgowej, który można wyrazić wzorem:

W naszym przykładzie indeks determ inacji potęgowej wynosi 0,8562 i jest mniejszy od współczynnika determ inacji między logarytmami zmiennych o 7,12%. Jest to różnica stosunkowo duża i wskazuje, że obli­ czony współczynnik determ inacji dla funkcji (I) nie powinien być stoso­ w any do oceny ścisłości związku wynikającego z funkcji (II).

Biorąc ponadto pod uwagę, że w naszym przypadku funkcja potęgo­ wa nie wykazywała malejącej efektywności wzrastających kosztów, nale­ ży dojść do wniosku, iż zastosowany model funkcji nie jest adekw atny do odzwierciedlenia występującej zależności między kosztami a produkcją. Z tego względu zastosowano funkcję paraboliczną i porównano ją z po­ tęgową.

Na podstawie obliczonych współczynników regresji parabolicznej funkcję można wyrazić równaniem:

Y '=0,524xł>0406. (II)

V = c + bz.

6 „ W sp ó łc z y n n ik ” d o ty c z y d e te r m in a c ji lin io w e j, a „ in d e k s ” d e te r m in a c ji n ie ­ lin io w e j — za T . M a r s z a ł k o w i e z: M e to d y s ta ty s ty c z n e w b a d a n ia c h e k o n o ­

90 Henryk Płudow ski

Y ' = - 2,986+ l,4 7 3 x-0,0333x2, (III) gdzie, podobnie jak w funkcji potęgowej, koszty (x) i produkcję (y) wy­ rażono w tys. zł/ha UR.

Zależność określona funkcją (III) jest zdeterminowana w 97,89%, a więc o 12,27% wyżej niż funkcją potęgową. Również dyspersja reszto- wa funkcji parabolicznej jest znacznie mniejsza niż w przypadku funkcji potęgowej. Wynosi ona dla funkcji (III) 524 i dla (II) 1313 zł/ha UR. Z tego wynika, że w rozpatryw anym przykładzie funkcja paraboliczna okazała się bardziej uzasadniona z m erytorycznego i statystycznego punktu wi­ dzenia.

Na podstawie pierwszej pochodnej funkcji (III) można określić, że krańcowe przyrosty funkcji na 1 tys. zł przyrostu kosztów w yrażają się formułą:

= 1,473- 0,0666x. A#

Z porównania omawianych funkcji wynika, że prowadzą one do zu­ pełnie innych wniosków. Na podstawie funkcji potęgowej należałoby stwierdzić, że we wspomnianym przedsiębiorstwie efektywność w zrasta­ jących kosztów nie m alała, natom iast analiza funkcji parabolicznej wy­ kazuje, że w m iarę w zrastania kosztów ich efektywność krańcowa m ala­ ła, co zgodne jest z rzeczywistością i wcześniejszymi spostrzeżeniami.

W arto też zwrócić uwagę, że współczynnik determ inacji między loga- rytm am i zmiennych (0,9274) niewiele różnił się od indeksu determ inacji parabolicznej (0,9789), dopiero znaczne różnice w ystąpiły przy porówna­ niu indeksu determ inacji potęgowej (0,8562). Wobec tego przy ocenie funkcji pod względem ścisłości związku porównywanie determ inacji obli­ czonej na logarytm ach zmiennych z determ inacją między naturalnym i wielkościami zmiennych nie jest w pełni uzasadnione i może prowadzić do niewłaściwego w yboru modelu funkcji.

Celem lepszego porów nania omawianych funkcji i wyjaśnienia, dla­ czego funkcja potęgowa przybrała inny kształt niż oczekiwano, zamiesz­ czono rysunek, na którym współrzędne rozpatryw anych cech zaznaczono krzyżykami.

Z rozkładu współrzędnych wynika, że krzywa paraboliczna lepiej od­ zwierciedla zależność między kosztami a produkcją w Kombinacie PGR Machnów Nowy niż krzyw a potęgowa, której krzywizna jest odwrócona w stosunku do parabolicznej. K rzywa potęgowa bierze swój początek z zerowego p unktu układu osi współrzędnych i następnie nawiązuje do rzeczywistego rozkładu obserwacji. W naszym przypadku rozkład współ­ rzędnych nie odpowiadał wspomnianym właściwościom tej funkcji, w wy­ niku czego powstał zniekształcony obraz w stosunku do rzeczywistości.

Z a le ż n o ść m ięd zy k o s z ta m i (cc) a p r o d u k c ją k o ń c o w ą (y ) w ty s. z ło ty c h n a 1 h a U R w y ra ż o n a f u n k c ją p o tę g o w ą i p a ra b o lic z n ą w K o m b in a c ie P G R M a c h n ó w

N o w y w la ta c h 1960/61— 1974/75

T h e d e p e n d e n c e b e tw e e n th e co sts (£) a n d th e fin a l p ro d u c tio n (y) in th o u s a n d s of z lo ty s p e r 1 h e c ta re of fa r m la n d (UR), e x p re s s e d w ith p o w e r a n d p a ra b o lic f u n c tio n s in th e C o lle c tiv e F a r m C o m b in e in M a c h n ó w N ow y, in th e y e a rs 1960/61—

1974/75

K rzywa paraboliczna tych właściwości nie posiada i może przecinać osie współrzędnych w dowolnym miejscu, a w obszarze badanej zmienności jest całkowicie przyporządkowana rozkładowi współrzędnych analizowa­ nych cech. Jest więc bardziej elastyczna i lepiej daje się „dopasować” do badanej współzmienności. Jej wadą jest natom iast to, że posiada wię­ cej współczynników strukturalnych i tym samym mniejszą ilość stopni swobody, co może utrudniać statystyczną weryfikację. W naszym przy­ padku takie trudności nie w ystąpiły i wszystkie param etry funkcji potę­ gowej i parabolicznej są statystycznie istotne przy poziomie prawdopo­ dobieństwa 0,999.

Z porównania omawianych funkcji na przykładzie Kombinatu PGR Machnów Nowy nie wynika jeszcze, że funkcja potęgowa nie nadaje się do badania tego typu zależności i nie o to chodzi. Trzeba natomiast wie­ dzieć, iż podstawowymi założeniami jej są:

1) asymptotyczność (funkcja perm anentnie rosnąca), 2) stała elastyczność względem zmiennych objaśniających,

3) niemożność przybierania wartości ujemnych i wyjście krzywej zawsze z zerowego punktu układu osi współrzędnych,

4) pierwsza pochodna funkcji (przyrosty krańcowe) maleje, lecz nie może przybierać wartości ujemnych.

Henryk Płudow ski

We wszystkich przypadkach, kiedy te założenia mogą odpowiadać ba­ danej rzeczywistości, funkcja potęgowa może być stosowana i to z dużym powodzeniem. W naszym przykładzie nie odzwierciedlała ona właściwego kształtu zależności ze względu na swój specyficzny przebieg od początku układu osi współrzędnych. Gdyby w podanym przykładzie nie występo­ wał ujem ny wyraz wolny w funkcji parabolicznej, to analizowaną zależ­ ność można byłoby opisać dość dokładnie przy pomocy potęgowego mode­ lu funkcji.

W N IO S K I

Na podstawie przeprowadzonej analizy można sformułować trzy za­ sadnicze wnioski.

1. Funkcja potęgowa nie powinna być oceniana pod względem ścisłości związku na podstawie współczynnika determ inacji pomiędzy logarytm a- mi zmiennych. Oceny takiej można dokonać na podstawie indeksu de­ term inacji potęgowej.

2. Przy wyborze modelu funkcji poza statystyczną w eryfikacją współ­ czynników stru kturaln y ch konieczna jest w eryfikacja m erytoryczna. Z tego względu posługiwanie się metodami statystycznym i wymaga dobrej znajomości badanego zjawiska.

3. Aproksym ując model funkcji wskazane jest przeprowadzenie gra­ ficznej analizy współzmienności, gdyż to pomaga wyeliminować niepra­ widłowości i sformułować poprawne wnioski merytoryczne.

Р Е З Ю М Е В р аб о те р а с с м а т р и в а л и с ь в о п р о сы в ы б о р а со о тв е тс тв у ю щ е й м о д е л и ф у н к ц и и п р и и с с л е д о в а н и и к о в а р и а н т н о с т и п р и з н а к о в и о ц е н к и то ч н о с ти у р а в н е н и я , в ы ­ т е к а ю щ е г о и з зав и с и м о с т и , к о т о р а я в ы р а ж е н а сте п е н н о й ф у н к ц и е й . И с с л е д о ­ в а н и я п р о в о д и л и с ь н а о с н о в е д а н н ы х , п о л у ч е н н ы х в Г о су д ар ств ен н о м с е л ь с к о ­ х о зя й с т в е н н о м к о м б и н а т е „ М а х н у в - Н о в ы ”. А н а л и з и р о в а л а с ь за в и с и м о с т ь , в ы ­ с т у п а ю щ а я м е ж д у и з д е р ж к а м и п р о и зв о д с т в а и к о н е ч н о й п р о д у к ц и е й б р утто, р а с с ч и т а н н ы х н а 1 га с е л ь с к о х о з я й с т в е н н ы х угоди й . В р е з у л ь т а т е п р о в е д е н н ы х и с с л е д о в а н и й у с т а н о в л е н о , что п р и м е н е н н а я с т е п е н н а я ф у н к ц и я н е п о л н о сть ю в ы р а ж а е т за в и с и м о с т ь , к о т о р а я в ы с т у п а е т м е ж д у п ер ем ен н ы м и . О к а з а л о с ь , ч то в этом с л у ч а е к р а з л о ж е н и ю к о о р д и н а т о в и з у ч а е м ы х п р и з н а к о в л у ч ш е п од­ х о д и л а п а р а б о л и ч е с к а я м о д е л ь ф у н к ц и и . Н а о сн о ве с р а в н и т е л ь н о г о а н а л и з а а в т о р п р и ш е л к в ы в о д у , ч то с т е п е н н а я ф у н к ц и я н е д о л ж н а о ц е н и в а т ь с я с т о ч к и з р е н и я т о ч н о с т и у р а в н е н и я н а о сн о в е к о э ф ф и ц и е н т а д е т е р м и н а ц и и м е ж д у л о ­ г а р и ф м а м и п е р е м е н н ы х . Т а к у ю о ц е н к у м о ж н о п р о в е с т и п р и п о м о щ и и н д е к с а сту п е н н о й д е т е р м и н а ц и и . П р и в ы б о р е м о д ел и , к р о м е с та т и с ти ч е с к о й о ц е н к и ф у н к ц и и , н еоб х о д и м о т а к ж е п р о в е д е н и е м е р и т о р и ч е с к о й п р о в ер к и .

S U M M A R Y

T h e a rtic le c o n s id e rs th e p ro b le m of a choice of a n a p p r o p r ia te fu n c tio n m o d e l w h e n e x a m in in g th e c o v a ria tio n of c h a ra c te ris tic s a n d a n e s tim a tio n of th e c lo se n e ss of fit r e s u ltin g fr o m th e d e p e n d e n c e e x p re s s e d b y a p o w e r fu n c tio n . T h e a n a ly s is w a s c a r r ie d o u t o n th e b a sis of th e d a ta p ro v id e d b y th e C o lle c tiv e F a rm C o m b in e in M a c h n o w N ow y. T h e d e p e n d e n c e b e tw e e n th e co sts a n d th e fin a l g ro ss p r o d u c ­ tio n p e r 1 h e c ta re of fa r m la n d w a s a n a ly s e d . As a r e s u lt it w a s sh o w n t h a t th e a p p lie d p o w e r fu n c tio n d id n o t fu lly re f le c t th e d e p e n d e n c e o c c u rrin g b e tw e e n th e v a ria b le s . I t tu r n e d o u t t h a t in th e case a n a ly s e d th e p a ra b o lic fu n c tio n m o d e l fitte d m o re clo sely th e c o o rd in a te d is tr ib u tio n of th e c h a ra c te ris tic s e x a m i n ­ ed. O n th e b asis of a c o m p a r a tiv e a n a ly s is th e a u th o r re a c h e s a c o n c lu s io n t h a t th e p o w e r fu n c tio n sh o u ld n o t be e s tim a te d in r e s p e c t to th e c lo sen ess of fit of th e r e la tio n on th e b asis of th e d e te r m in a tio n c o e ffic ie n t b e tw e e n th e lo g a r ith m s of th e v a ria b le s . S u c h a n e s tim a tio n m a y be c a rr ie d o u t by m e a n s of th e p o w e r d e t e r ­ m in a tio n in d e x . B esid es s ta tis tic a l e s tim a tio n of th e f u n c tio n m o d el, s u b s ta n tia l v e r if ic a tio n is a lso n e c e s s a ry fo r m a k in g th e a p p r o p r ia te choice.