Тут ε( t ) і λ( t ) - (ядра релаксації) задані цілі функції експоненціального типу, 0 0 2 f ( x,t, )∈L (Ω) і f ( s,t, )1 0 ∈L ( Г )2 1 для всіх 0 t t0 ; d ; d dt dt ε λ ε λ < ≤ < ∞ &= &= . Виникають питання про локальну і глобальну (за часом) розв’язність та конс-труктивні методи інтегрування цієї задачі. Для класичного рівняння теплопровідності вони розглянуті в [3]. 2. Сформулюємо задачу в операторному вигляді. Нехай u ( x )0 ∈L (2 Ω) і 1 2 u ( s )∈L ( Г ). Утворимо пару
[
u ( x ),u ( s )0 1]
= u( x ) та введемо дійсний гільбертовий простір L (2 Ω)=L (2 Ω)⊕L ( Г )2 зі скалярним добутком(
)
(
u, v)
=(
u ,v0 0)
Ω + u ,v1 1 Г, (5) де u, v∈L (2 Ω). Якщо функція ϕ( x ) C (∈ 2 Ω), а(
n⋅ ∇ϕ)
=0 на Г, то, утворивши па-руϕ( x )=[
ϕ( x ), ( s )ϕ]
, де ϕ( x ) - звуження функції ϕ( x ) на Г, в L (2 Ω) можна ввести оператор(
)
2 A%ϕ = −∇ ϕ( x ), n⋅ ∇ϕ( s ) (6) При цьому, очевидно,{
(
)
}
2 2 0 A Г D% = ϕ ϕ: ( x ) C (∈ Ω), n⋅ ∇ϕ( s ) = . Відомо [4], що цей оператор симетричний, додатно визначений, а його область означення DA% щільна в гільбертовому просторі 2 L (Ω). Таким чином, оператор А, який є замиканням A% в 2 L (Ω), самоспряжений та додатно визначений [5]. З (6) зрозуміло, що рівняння Au = f в 2 L (Ω) еквівалентне еліптичній задачі(
) (
)
(
) (
)
(
)
2 0 1 1 0 2 u f x Ω ; u f s Г , u s Г −∇ = ∈ n⋅ ∇ = ∈ n⋅ ∇ = ∈ , (7) а рівняння Aϕ βϕ=(
β =const)
еквівалентне задачі на власні значення(
) (
)
(
) (
)
(
)
2 1 0 2 x ; s Г , s Г β βϕ Ω ϕ βϕ ϕ −∇ = ∈ n⋅ ∇ = ∈ n⋅ ∇ = ∈ . (8) Використовуючи А, задачу (2)-(4) запишемо у вигляді d d A A = (t, ); (0) = dt + +ε∗ dt + ∗λ & & u u u u f u u g, (9)де u=
[
u( x,t ),u( s,t ) ,]
f =[
f ( x,t ,u( x,t )), f ( s,t ,u( s,t )) ,0 1]
g=[
g( x ),g( s )]
. Функція u( x,t )Нехай S - підпростір, породжений N першими власними функціями N ϕn( x ) оператора А, В – деякий лінійний оператор з областю визначення DB ⊇DG, а ϕn∈DB. Оскільки послідовність
{ }
SN гранично щільна в L (2 Ω), наближений розв’язок задачі (9) шукається у вигляді 1 N N n n n ( x,t ) ( t ) ( x ) = =∑
u b ϕ . (21) Невідомі компоненти b ( t ) можна знайти з системи рівнянь: n(
)
0 db db ˆ ˆ H G b b f ; b( ) dt ε dt χ + ∗ + + ∗ = = & & g, (22) де b=[
b ,1KbN]
T; f =(
(
f,Bϕ1)
)
,K(
(
f,BϕN)
)
T;g=[
g ,1KgN]
T; Hˆ =[
Hnm]
,(
)
(
)
nm n m H = ϕ ,Bϕ ; Gˆ =[
Gnm]
, Gnm =(
(
Gϕn,Bϕm)
)
; m=1,N . Вибір сталих g , взагалі n кажучи, довільний і підпорядкований лише вимозі 1 0 N n n n g = −∑
→ g ϕ при N → ∞. Алгоритм (22) як часткові випадки включає узагальнені методи Гальоркіна (при В=І), моментів (коли оператор G є В-додатно визначеним) для нестаціонарних задач [8]. Дослідження швидкості збіжності і стійкості цих методів у розглядуваному варіанті та оцінка впливу на них нормування ϕ (в n 2 A B L , H , H або H ) становлять окремий G інтерес. Якщо задача лінійна, то перетворенням Лапласа нестаціонарна система (22) зво-диться до системи алгебраїчних рівнянь відносно зображень B( s ):(
ˆ ˆ)
1(
ˆ)
s H XG B Hg F s Ε + = + , (23) де Ε, X і F - трансформанти функцій ,ε χ та f відповідно. Визначивши корені s k рівняння D( s )=det s H(
Ε ˆ +ΧGˆ)
= та розв’язавши систему (23), знайдемо, що 0 n n P ( s ) B ( s ) sD( s ) = , де P ( s ) - деяка раціональна алгебраїчна функція, вигляд якої залежить від ядер n ε і λ . Оригінали таких функцій обчислюються за лемою Жордано і в загальному випадку мають вигляд [7]( ) (
)
(
)
1 1 1 1 0 e j -1 ! ! k k k k k m t m j s m j N k n n j k j k s s s s P ( s ) d b ( t ) d m j ds D( s ) τ τ − − τ − = = = − = − ∑∑∫
, де m - кратність кореня k s . k Висновки Одержані результати можна застосовувати не тільки при розв’язуванні початко-во-граничних задач тепломасопереносу в середовищах з пам’яттю, але і в математич-них задач суміжматематич-них дисциплін таких як електродинаміка, теорія пружності тощо).Література
1. Nunziato I.W. On heat conduction in materials with memory // Quart. Appl. Math. – 1971. – N 6. – P. 187-204. 2. Галицын А.С. Построение решений некоторых неоднородных задач для диффузионного уравнения с затухающей памятью . – Киев, 1983. – 43 с. – (Препринт / АН УССР. Ин-т математики; 83.51). 3. Митропольский Ю.А., Нижник Л.П., Кульчицкий В.Л. Нелинейные задачи теплопроводности прои-зводной по времени в граничном условии. – Киев, 1974. – 31 с. – (Препринт / АН УССР. Ин-т мате-матики; 74.15).
4. Oddnoff J. Operators generated by differential problems with eigenvalue parameter in equation and boundary condition // Medd. Lunds univ. math. semin. – 1979. - 14.- P.3-88.
