Metody numeryczne – Wykład 6 – Metody rozwiązywania układów równań nieliniowych

Metody numeryczne – Wykład 6 – Metody rozwiązywania układów równań

nieliniowych

Marek Bazan

III rok - Elektornika

Semestr zimowy 2020/2021

Plan zajęć

1. Sformułowanie problemu 2. Zbieżność metod iteracyjnych 3. Metoda siecznych

4. Meoda stycznych

Sformułowanie problemu

Dla wektorowej funkcji wielowymiarowej F : Rⁿ→ Rⁿ znaleźć x = (x₁, x₂, . . . , x_n), które jest jednym z rozwiązań lub x-y, które stanowią wszystkie rozwiązania problemu:

F (x) = 0

przy czym F ∈ C¹ czyli F jest funkcją ciągłą z ciągłymi pochodnymi cząstkowymi.

Zagadnienie to odpowiada rozwiązaniu układu n równań nieliniowych z n niewiadomymi.

Zbieżność metod iteracyjnych

Definicja 1. Niech G : D ⊂ Rⁿ× Rⁿ× · · · × Rⁿ→ Rⁿ. Punkt α nazywamy punktem przyciągania metody iteracyjnej, jeżeli istnieje takie otoczenie U_α tego punktu, że obierając punkty

x^(−p+1), x^(−p+2), . . . , x⁽⁰⁾ z tego otoczenia uzyskamy ciąg punktów x⁽¹⁾, x⁽²⁾, . . . , ⊂ D, zbieżny do α.

Lemat 1. Niech G : D ⊂ Rⁿ→ Rⁿ i niech istnieje kula K (α, r ) ⊂ D i stała c < 1 takie, że

||G (x) − α|| < c||x − α||, ∀x ∈ K .

Wówczas dla dowolnego x⁽⁰⁾ ∈ K , ciąg x⁽¹⁾, x⁽²⁾, . . . generowany wzorem x^{(i +1)} = G (x^{(i )}) jest zawarty w K i jest zbieżny do α.

Zbieżność ta jest conajmniej liniowa, tzn.

||x^{(i +1)}− α|| ¬ c||x^{(i )}− α||, i = 0, 1, . . .

Zbieżność metod iteracyjnych (2)

Definicja 2. Odwzorowanie G : Rⁿ→ Rⁿ nazywamy

różniczkowalnym w sensie Fr´echeta w punkcie x, jeżeli istnieje taka macierz A : Rⁿ → Rⁿ, że

h→0lim

||G (x + h) − G (x) − Ah||

||h|| = 0

przy dowolnym sposobie wyboru wektorów h → 0. Macierz A nazywamy pochodną Fr´echeta odwzorowania G w punkcie x i oznaczamy ją jako G⁰(x ).

Twierdzenie 1 Jeśli pochodna Fr´echeta odwzorowania G : Rⁿ→ Rⁿ w punkcie α ma promień spektralny¹

ϕ(G⁰(α)) = β < 1 oraz G (α) = α, to α jest punktem przyciągania metody iteracyjnej

x^{(i +1)} = G (x^{(i )}).

1Promieniem spektralnym macierzy kwadratowej nazywamy największy spośród modułów wartości własnych tej macierzy

Metoda siecznych

Metody ta polega na przybliżeniu odwzorowania F : Rⁿ→ Rⁿ odwzorowaniem liniowym

F (y^{(i )}) ≈ Ay^{(i )}+ b, j = 0, 1, . . . , n (1) a następnie przyjęciu za przybliżenie rozwiązania α rozwiązania układu równań Ax + b = 0.

Niech ∆Y oznacza macierz o kolumnach y⁽¹⁾− y⁽⁰⁾, y⁽²⁾− y⁽¹⁾, . . . , y⁽ⁿ⁾− y⁽ⁿ⁻¹⁾, a ∆F - macierz o kolumnach F (y⁽¹⁾) − F (y⁽⁰⁾), F (y⁽²⁾) − F (y⁽¹⁾), . . . , F (y⁽ⁿ⁾) − F (y⁽ⁿ⁻¹⁾). Z warunku (1)

uzyskujemy wówczas

∆F = A · ∆Y.

Metoda siecznych (2)

Ponieważ rozwiązaniem układu równań Ax + b = 0 będzie punkt x = −A⁻¹b = −A⁻¹(F (y) − Ay) = y − A⁻¹F (y) więc (n + 1) punktowa metoda siecznych ma postać:

1. Wybieramy punkty x⁽⁻ⁿ⁾, x⁽⁻ⁿ⁺¹⁾, . . . , x⁽⁰⁾ oraz przyjmujemy i = 0

2. Obliczamy macierze ∆F^{(i )} oraz ∆Y^{(i )} przyjmując y⁽⁰⁾= x⁽⁻ⁿ⁾,y⁽¹⁾= x⁽⁻ⁿ⁺¹⁾, . . . , y⁽ⁿ⁾= x^{(i )} 3. Wyznaczamy x^{(i +1)} w sposób następujący

x^{(i +1)}= x^{(i )}− ∆Y^{(i )h}∆F^{(i )i−1}F (x^{(i )})

4. i = i + 1. Przejdź do kroku 2 jeśli nie jest spełniony warunek STOPu.

Metoda Newtona

Twierdzenie 3 Niech funkcja F (x ) będzie różniczkowalna w sensie Fr´echeta w pewnym otoczeniu K(α, r) punktu α, w którym

F (α) = 0. Załómy, że pochodna F⁰(x) jest ciągła w punkcie α, a pochodna F⁰(α) jest nieosobliwa. Wówczas punkt α jest

x^{(i +1)}= x^{(i )}− [F⁰(x^{(i )})]⁻¹F (x^{(i )}) zwanej metodą Newtona.

W metodzie tej w każdej iteracji jest konieczność rozwiązania układu

F⁰(x^{(i )})d^{(i )} = F (x^{(i )}) w celu obliczenia x^{(i +1)} = x^{(i )}+ d^{(i )}.

Metoda Newtona (2)

W przypadku, gdy pochodna nie jest dostępna bezposrednio w metodzie Newtona można korzystać z przybliżenia pochodnej F˜⁰(x^{(i )}) =

"

F (x^{(i )}+ he⁽¹⁾) − F (x^{(i )})

h , · · · ,F (x^{(i )}+ he⁽ⁿ⁾) − F (x^{(i )}) h

#

Dziekuję za uwagę ...