1 − sin 3ϕ i oblicz pole obszaru ograniczonego tą krzywą

Zestaw zadań z pierwszej części drugiego semestru

1. Oblicz pole obszaru ograniczonego krzywymi:

(a) y = x², y =√

−x (b) y = −x², x = −y²

(c) y = x, y = x⁶ (d) y = _1+x²2, y = x⁴

(e) y = x², y = (x − 4)², y = 1 (f) y = sin x, y = |x −¹₂π| −¹₂π

2. Oblicz objętość bryły powstałej przez obrót wokół osi Ox obszaru ograni- czonego krzywymi:

(a) y =√

2x − x², y = 0 (b) y =√

1 − x, y = 0, x = 0

(c) y = 1 + cos x, y = 1 + 2 cos x dla −¹₂π ≤ x ≤ ¹₂π.

3. (a) Naszkicuj krzywą o równaniu biegunowym r(ϕ) = √

1 − sin 3ϕ i oblicz pole obszaru ograniczonego tą krzywą.

(b) Naszkicuj krzywą o równaniu biegunowym r(ϕ) = cos ϕ i oblicz pole obszaru ograniczonego tą krzywą.

(c) Oblicz pole obszaru zawartego między krzywymi o równaniu biegu- nowym r(ϕ) =√

1 + cos 2ϕ oraz r(ϕ) =√

3 + cos 2ϕ.

(d) Naszkicuj krzywą o równaniu biegunowym r(ϕ) = 2 −_2π¹ · ϕ i oblicz pole obszaru ograniczonego tą krzywą i odcinkiem od punktu (1, 0) do punktu (2, 0).

4. Oblicz (a) R∞

0 x (x²+1)³dx (b) R0

−∞

x x²+9dx (c) R0

−∞x · e^xdx (d) R∞

−∞

1 x²+4dx (e) R4

3 1

√3

x−3dx (f) R4

3(x − 4)⁻⁴dx (g) R1

0

√x · ln x dx

(h) R0

−2

√ 1

4−x² dx

5. (a) Oblicz pole trójkąta o wierzchołkach (3, 2, 4), (5, 2, 5), (4, 3, 6).

(b) Oblicz objętość czworościanu o wierzchołkach (3, 2, 4), (5, 2, 5), (4, 3, 6), (4, 4, 4) oraz oblicz długość wysokości tego czworościanu opuszczonej z dowolnego wierzchołka (tego czworościanu).

(c) Czy prosta ^x₁ = ^y₂ = ^z+2₁ i płaszczyzna x + 2y − 5z + 9 = 0 s¸a równoległe?

(d) Czy prosta ^x₁ = ^y₂ = ^z+2₁ i płaszczyzna 2x + 4y + 2z + 1 = 0 s¸a prostopadłe?

(e) Znajdź punkt przecięcia prostej ^x−1₁ = ^y−2₋₁ = ^z+2₂ z hiperboloidą

x²

8 +^y₂² −^z₁² = 1.

(f) Znajdź rzut punktu (4, 1, −3) na płaszczyznę x − y + 2z − 3 = 0.

6. Naszkicuj dziedzinę funkcji (a) f (x, y) =p

9 − x²− y²·p

x²+ y²− 1 − arc sin¹₂x (b) f (x, y) =√

1 − xy + ln(xy) (c) f (x, y) =√

sin x · sin y (d) f (x, y) =p

2 − y − x²+ ln(y − x²) +_xy¹.

7. Znajdź ekstrema lokalne funkcji (a) f (x, y) = x¹⁰+ 10x + y⁸− 8y + 1 (b) f (x, y) = y⁷+ 7xy + x⁷

(c) f (x, y) = y⁷− 7xy + x⁷ (d) f (x, y) = ln x + xy + ln y.

8. Znajdź wartość najwi¸ekszą i najmniejszą funkcji f (x, y) w zbiorze D, gdy (a) f (x, y) = x²+ y², D : x²+ y²≤ 100, y ≤ 6

(b) f (x, y) = x²− y², D : x²+ y²≤ 100, y ≥ 8

(c) f (x, y) = 3x−y³, D to w trójkąt o wierzchołkach (0, 0), (2, 0), (2, 2) (d) f (x, y) = x²− y², D to w prostokąt o wierzchołkach

(−1, −1), (−1, 2), (1, −1), (1, 2).

9. Znajdź wartość największą i najmniejszą

(a) funkcji f (x, y) = x − y przy warunku x²+ y²= 8

(b) funkcji f (x, y) = x − y przy warunku x²+ y²= 8 dla x ≥ 0 (c) funkcji f (x, y) = x − y przy warunku x²+ y²= 8 dla y ≤ 0 (d) funkcji f (x, y) = 2x + 3y przy warunku x²+ y²= 13

(e) funkcji f (x, y) = 4x + y przy warunku 4x²+ y²= 5 (f) funkcji f (x, y) = x + y przy warunku x⁴+ y⁴= 2.