Prędkość grupowa

Prędkość grupowa

Superpozycja dwu fal biegnących

Załóżmy, że w punkcie z=0 struna wykonuje drgania

generator

z

) cos(

) cos(

) , 0

( t A ω

₁

t A ω

₂

t

ψ = +

) cos(

) cos(

) ,

( z t = A ω

₁

t − k

₁

z + A ω

₂

t − k

₂

z ψ

W strunie wytworzone zostaną dwie fale biegnące…

z k t

₁

1

− ω

1

t ω

2

t

ω ω

₂

^t − ^k

₂

^z

) cos(

) cos(

2 )

,

( z t = A ω

_mod

t − k

_mod

z ω

_śr

t − k

_śr

z ψ

) 2 (

1

2 1

mod

ω ω

ω = −

) 2 (

1

2 1

mod

k k

k = −

) 2 (

1

2

1

ω

ω ω

_śr

= +

) 2 (

1

2

1

k

k k

_śr

= +

) cos(

) ,

( z t = A

_mod

ω

_śr

t − k

_śr

z ψ

) cos(

2 )

,

(

_{mod mod}

mod

z t A t k z

A = ω −

Prędkość rozchodzenia się modulacji

Załóżmy, że

ω

_mod

<< ω

_śr

Z jaką prędkością porusza się grzbiet modulowanej fali?

) cos(

2 )

,

(

_{mod mod}

mod

z t A t k z

A = ω −

const z

k

t −

_mod

= ω

mod

mod

0

mod

dt − k dz = ω

2 1

2 1

mod mod

mod

k k k

dt dz

−

= −

=

= ω ω ω

υ ) (

),

(

_{1 2 2}

1

ω k ω ω k

ω = =

Obowiązuje związek dyspersyjny

2 1

2 2 1

1 mod

) ( )

(

k k

k k

−

= ω − ω

υ

2

1

k

k →

dk

g

d ω υ υ

_mod

= ≡

υ υυ

υ_g - prędkość grupowa

λ

_śr

z z z z z

z

t=5/2T

_ś

r

t=2T

_ś

r

t=3/2T

_ś

r

t=T

śr

t=1/2T

_ś

r

t=0

t=5/2T

_ś

r

t=2T

_ś

r

t=3/2T

_ś

r

t=1/2T

_ś

r

śr śr

k dk

d ω ω

2

= 1

10 ω

mod

ω

_śr

=

Symulacja:

Takie zachowanie można obserwować np. wodzie - wystarczy wrzucić kamień…

Związek dyspersyjny dla fal na wodzie

Fale na wodzie

• siła ciążenia (decydujące dla fal o długości powyżej kilku cm)

• napięcie powierzchniowe

3

2

T k

gk ρ

ω ^{= +}

ρ - gęstość (wody)

T – napięcie powierzchniowe g – przyspieszenie ziemskie Dyspersja fal na głębokiej

wodzie (długość fali mała w porównaniu z głębokością)

Dla fal krótszych niż ok. 1.7cm υ_g> υ_ϕ , dla długich fal υ_g< υ_ϕ .

Warto to sprawdzić samodzielnie…

k→∞→∞→∞→∞ υ_g →→→→ 3/2υ_ϕ k→→→→0 υ_g →→ 1/2υ→→ _ϕ

Fale radiowe o modulowanej amplitudzie

Napięcie wymuszające przyłożone do anteny

moduluje amplitudę fali nośnej. Wpływ tego napięcia możemy wyrazić za pomocą szeregu Fouriera:

∑ ⁺

+

=

mod

)) (

cos(

) (

)

(

_{0 mod mod mod}

mod

ω

ω ϕ ω

ω t

A A

t A

0 mod

( t ) A

A −

Różnica tak dobrana, aby była proporcjonalna do sygnału elektrycznego np. z mikrofonu w studio radiowym Stała A₀ jest obecna bez względu na to, czy do mikrofonu docierają dźwięki,

czy też nie…

Reszta wyrazów pochodzi od fal akustycznych docierających do mikrofonu.

Ich częstotliwości (20Hz-20KHz), są znacznie mniejsze od częstotliwości fali nośnej (np. Warszawa I – 225kHz)

) cos(

)]

( cos[

) (

) cos(

) (

mod

mod mod

mod

0

t A t t

A t

U ω

_śr

ω ω ϕ ω ω

_śr

ω

∑ ⁺

+

=

) 2 cos(

) 1 2 cos(

) 1 cos(

)

cos( x y = x + y + x − y

Pamiętamy:

] ) (

) cos[(

) (

2 1

] ) (

) cos[(

) (

2 1

) cos(

) (

mod mod

mod mod

mod

mod mod

mod 0

∑

∑

−

− +

+ +

+ +

+

=

ω ω

ω ϕ ω

ω ω

ω ϕ ω

ω ω

ω

t A

t A

t A

t U

śr śr

śr drganie nośne

górne pasmo nośne

dolne pasmo nośne

ω

śr

ω

(min)

ω

mod

ω

_śr +

(max)

ω

mod

ω

_śr + (max)

ω

mod

ω

_śr −

(min)

ω

mod

ω

_śr −

Modulacje (a zatem i muzyka) rozchodzą się w ośrodku z prędkością grupową fal elektromagnetycznych! (Dla próżni prędkość fazowa i grupowa są równe c.)

(max) 2

ω

_mod

ω

=

∆

(max) 2

ν

_mod

ν

=

∆ szerokość pasma

Układ mas połączonych sprężynkami (drgania podłużne) 2 )

sin(

2 ka

m

= K ω

k ka m

K k

2 ) sin(

= 2

= ω

υ

_ϕ ^g

^{= d} _dk ω ^{= a} _m ^{K cos( ka} ₂ ⁾ υ

Poznaliśmy już

związek dyspersyjny

Widać, że k→→→→0

ρ υ α

υ

_ϕ ⁰

) / 0 (

) 0

( → = → = = =

a m a Ka

m k K

k

_g

Czyli tak jak dla struny!

Natomiast, gdy k→π→π→π/a→π

0 2 )

cos(

2 )

( = =

a a m

a K

g

a

π υ π

m K a

k π

υ

_ϕ

= ω = ²

Fala biegnąca staje się falą stojącą!

Związek dyspersyjny dla fal de Broglie’a

t

e

i

z Af t

z

^ω

ψ ( , ) = ( )

⁻

Prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w przedziale dz wokół położenia z

dz t

z , )

²

ψ (

nie zależy od czasu…

Jeśli energia potencjalna cząstki jest stała i cząstka porusza się w jednorodnym ośrodku to f(z) jest sinusoidalną funkcją kz

t

e

i

kz B

kz A

t

z

^ω

ψ ( , ) = [ sin( ) + cos( )]

⁻

Dla cząstki nierelatywistycznej w obszarze o stałej energii potencjalnej V możemy napisać:

ω

= h

E h h k k

p = = = h

π λ ²

Związek energii z częstością Związek pędu z liczbą falową

t i ikz

ikz

Be e

Ae t

z

^ω

ψ ( , ) = [ +

⁻

]

⁻

lub

m V E = p +

2

2

Dla cząstek nierelatywistycznych

m V k +

= 2

2

h

2

h ω

Prędkość fazowa

k V m

k k k

h h +

=

= 2

)

( ω

υ

_ϕ

h

h V

m k +

= 2

2

ω

cz

cz

p

k = υ + V

υ

_ϕ

2 ) 1

cz

( m p = υ

Pęd cząstki

W mechanice kwantowej prędkość cząstki jest prędkością „paczki” fal złożonej z szeregu sąsiadujących wartości k. Prędkość rozchodzenia się paczki fal równa jest prędkości grupowej υυυυ_g:

cz

g

m

p m

k V

m k dk

d dk

k d ω υ

υ  = =



 



= 

 



 

 +

 =



 



= 

0 0 2

0

2

)

( h

h

h

Dla swobodnej cząstki relatywistycznej:

( )

^{2 2 2}

2

mc (cp )

E = +

ω

= h E

k

p = h ^h

²

^ω

²

⁼ ( ) ^mc

^{2 2}

^{+ ( ck h )}

²

p E k =

= ω

υ

_ϕ ale

c

2

p = υ

_cz

E

(patrz początkowe wykłady)

Czyli ostatecznie prędkość fazowa

cz

c

υ

_ϕ

υ

2

=

dla swobodnej cząstki

relatywistycznej

υ

_ϕ

> c

Prędkość grupowa

cz

g

E

p c k

c dk

d υ

ω

υ = ω = = =

2 2

Zależność pomiędzy prędkością fazową i grupową dla cząstki relat.

c

2 g

=

υ

υ

_ϕ Dla fotonu

w próżni:

υ

_ϕ

= υ

_g

= c

υ

cz -prędkość cząstki

mc

2

E

m p

γ υ γ

=

= r

r

Wnikanie w obszar „zabroniony”

Zanim przejdziemy do fal de Broglie’a uwięzionych w pewnym obszarze przestrzeni wróćmy na chwilę do wahadeł sprzężonych…

2

0

l

= g ω

ψ

n

ψ

_n+1

−1

ψ

n

Równanie ruchu:

M ψ ^{& &}

_n

= − M ω

₀²

ψ

_n

+ K ( ψ

_n+1

− ψ

_n

) − K ( ψ

_n

− ψ

_n−1

)

Najniższa częstość własna:

Przybliżenie ciągłości

) , ( )

( t z t

n

ψ

ψ =

) ...

, ( 2

1 )

, ) (

, ( )

, (

)

(

₂

2 2

1

+

∂ + ∂

∂ + ∂

= +

+

=

z t a z

z t a z

t z t

a z

n

t

ψ ψ ψ

ψ ψ

) ...

, ( 2

1 )

, ) (

, ( )

, (

)

(

₂

2 2

1

+

∂ + ∂

∂

− ∂

=

−

−

=

z t a z

z t a z

t z t

a z

n

t

ψ ψ ψ

ψ ψ

Korzystamy z rozwinięcia w szereg Taylora

) ...

, ( 2

1 )

, ) (

( )

(

₂

2 2

1

+

∂ + ∂

∂

= ∂

+

−

z t a z

z t a z

t

t

_n

n

ψ ψ ψ

ψ

) ...

, ( 2

1 )

, ) (

( )

(

₂

2 2

1

+

∂

− ∂

∂

= ∂

−

₋

z t a z

z t a z

t

t

_n

n

ψ ψ ψ

ψ

2 2 2 2

2 0

2

( , )

) , ) (

, (

z t z M

t Ka t z

t z

∂ + ∂

−

∂ =

∂ ψ

ψ

ψ ω

Równanie Kleina-Gordona-

spełniają je fale de Broglie’a relatywistycznych cząstek swobodnych

Skąd takie przypuszczenie?

t i ikz

ikz

Be e

Ae t

z

^ω

ψ ( , ) = [ +

⁻

]

⁻

) , ) (

,

( i z t

t t

z ωψ

ψ = −

∂

∂ ( , )

₂

( , )

2 2

t t z

t

z ω ψ

ψ = −

∂

∂

) ) (

,

(

_{i t ikz ikz}

ikBe ikAe

z e t

z

_{− −}

−

∂ =

∂ ψ

_ω

) , ) (

,

(

₂

2 2

t z z k

t

z ψ

ψ = −

∂

∂

Korzystając z tego, że dla cząstek nierelatywistycznych mamy:

m V k +

= 2

2

h

2

h ω

a) b)

c) d)

Mnożymy związek a) obustronnie przez

i h

Rozważmy monochromatyczne : fale , potencjał V=const

E = ^h ω

) , ) (

,

( z t

t t z

i ψ ωψ

h h

∂ =

∂

) , ) (

, ( 2

) , (

2 2

2

t z z V

t z m

t t

i ψ z ψ ψ

∂ +

− ∂

∂ =

∂ h

h

oraz ze związku d) dostajemy

Uogólnienie dla V=V(z) – równanie Schrödingera!

Dla cząstek relatywistycznych mamy:

( )

^{2 2 2}

2

2

mc ( ck h )

h ω = +

Mnożąc powyższe równanie przez

1 ( , )

2

ψ z t

− h

dostajemy

( ) _{( , )}

) , ( )

,

(

₂

2 2 2

2

2

mc z t

t z k

c t

z ψ ψ

ψ

ω = − − h

−

Korzystając z ze związków b) oraz d) otrzymujemy

( ) _{( , )}

) , ( )

, (

2 2 2 2

2 2 2

2

t mc z

z t c z

t t

z ψ ψ

ψ

− h

∂

= ∂

∂

∂

_Równanie

Kleina-Gordona

Dla cząstek o masie m=0, równanie Kleina-Gordona przechodzi w

klasyczne równanie falowe dla fal nie ulegających dyspersji o prędkości c!

Foton ma zerową masę…

Wahadła sprzężone (granica ciągłości)

) cos(

) ( )

,

( ω ϕ

ψ z t = A z t +

) cos(

) ) (

,

(

₂

2 2

ϕ ω

ψ ω

+

−

∂ =

∂ A z t

t t z

) ) cos(

( )

, (

2 2 2

2

ϕ ψ ω

+

∂ =

∂ t

dz z A d z

t z

2 2 2 2

2 0

2

( , )

) , ) (

, (

z t z M

t Ka t z

t z

∂ + ∂

−

∂ =

∂ ψ

ψ ψ ω

) ( ) ) (

(

_{2 2}

2 0 2

2

z Ka A

M dz

z A

d = ω − ω

2 0

2

ω

ω > ω

²

< ω

₀²

Fale sinusoidalne, gdy Fale wykładnicze

(

0²

)

₂

2 2

Ka k = ω − ω M

) cos(

) sin(

)

( z A kz B kz

A = +

(

0^{2 2}

)

₂

2

Ka ω M

ω κ = −

l

= g

2

ω

0

z

z

Be

Ae z

A ( ) =

^−κ

+

^κ

2 2 2

0

2

k

M + Ka

= ω

ω

²

2 2

0

2

ω κ

ω M

− Ka

=

Fale zanikające wykładniczo – ośrodek reaktywny

2 0

2

ω

ω <

l

= g

2

ω

0 - częstość progowa

F(t)

) cos(

)

( t F

₀

t

F = ω

0 Z

A(z)

Granica obszarów

F(t)

) cos(

)

( t F

₀

t

F = ω

Obszar dyspersyjny:

fale sinusoidalne

Obszar reaktywny

- fale wykładnicze wnikają na pewną głębokość…

ω ω = <

1 01

( )

l

z g ω = > ω

2 02

( )

l

z g

Elektron w studni (o nieskończonych barierach)

V₁

0 L

z

∞ ∞

V

)

2

( t z , ψ

t

e

i

kz B

kz A

t

z

^ω

ψ ( , ) = [ sin( ) + cos( )]

⁻

prawdopodobieństwo znalezienia elektronu równe zeru poza

przedziałem 0≤≤≤z≤≤ ≤≤≤L

warunki brzegowe jak dla struny zamocowanej z dwóch końców

t

e

i

kz A

t

z

^ω

ψ ( , ) = sin( )

⁻

sin( kL ) = 0 π n L

k

_n

=

1

L = π ....

k

) ( sin )

sin(

) ,

( z t

²

= e

^−iωt

A kz

²

= A

^{2 2}

kz ψ

Prawdopodobieństwo znalezienia elektronu na jednostkę długości

Powinno być ono unormowane

L A dz

kz A

dz t

z

L

z L

z

2

0 2 2 0

2

2 ) 1

( sin )

, (

1 = ∫ = ∫ =

=

=

ψ

^iα

^e

^iα

e L A

A 2

=

=

α α α

α - stała faza E₁

E₂

z

)

1

( z

f

h

= V

ω

0 Stąd funkcja falowa elektronu w w studni:

) 2 sin(

) ,

( e

^{( )}

k z

t L

z

^{i t} _n

n

α

ψ =

⁻ ω ⁻

Przyjmując (jak poprzednio) dla cząstki „klasycznej” związek dyspersyjny”

ω

= h E

k p = h

3...

2, , 1

2 ,

2

^{2 1}

2 2 2

1 2 2

= +

= +

= V n

n mL m V

E

_n

^h k

ⁿ

^h π

m k

_n

n

2

2 0

+ h

= ω ω

Częstości fal inne niż częstości fal stojących na strunie!

Przenikanie cząstki do zakazanego obszaru

V₁

0 L

z V

E₁ E₂

0 z

0 z

)

1

( z f

)

2

( z f

V₂

Analogia z wahadłami sprzężonymi:

2 2 2

0

2

( ) k

M z + Ka

= ω ω

2 2 2

0

2

ω ( ) κ

ω M

z − Ka

= l z ) ≡ g

2

( ω

0

2 0

2

ω

ω >

L z ≤

≤ 0

h

1

0

( ) V

z ≡ ω

Obszar dyspersyjny:

co odpowiada

Obszar reaktywny (zanik wykładniczy):

2 0

2 2

1

= >

− m

V k

E h

2 0

2

ω

ω <

L z ≤

≤ 0 2 0

2 2

1

= − <

− V m

E ^h κ

w innych miejscach

zanik wykładniczy

) 2 2 (

~ ) ,

( z t e

^{−κ z−L}

Fale de Broglie’a wnikają

ψ

w obszar zakazany…

Tunelowanie przez barierę

Nadajnik mikrofal

Odbiornik mikrofal d

Dla d~λλλλ mikrofale przenikają przez szczelinę – analogia

do efektu tunelowego – przenikania cząstek przez barierę potencjału…