Algebra liniowa – dr Michał Góra Zestaw 9. Odwzorowania liniowe
Zadanie 1. Odwzorowanie liniowe injektywne (odp. surjektywne, bijektywne) nazywamy monomorfizmem (odp. epimorfizmem, izomorfizmem). Niech F : X → Y, gdzie dim X = dim Y = n (n ∈N), b˛edzie odwzorowaniem liniowym. Uzasadnij, ˙ze nast˛epu- j ˛ace warunki s ˛a równowa˙zne.
a) odwzorowanie F jest monomorfizmem;
b) ker F = {0};
c) dim m (F) = dim Y;
d) odwzorowanie F jest epimorfizmem;
e) odwzorowanie F jest izomorfizmem.
Zadanie 2. Rozwa˙zmy funkcj˛e F :R2×2→R2×2 okre´slon ˛a wzorem F :
b c d
→
2 − b + 2c − d b+ 2c − d 2c b− 2c + 3d
.
a) Uzasadnij, ˙ze F jest endomorfizmem.
b) Wyznacz j ˛adro oraz obraz endomorfizmu F; wyznacz bazy tych przestrzeni. Czy F jest injekcj ˛a (surjekcj ˛a)?
c) W wybranej bazie przestrzeniR2×2 wyznacz macierz AF endomorfizmu F.
d) Wyznacz warto´sci oraz wektory własne macierzy AF. e) Wyznacz warto´sci oraz wektory własne endomorfizmu F.
f) Wyznacz macierz przej´scia z wybranej w punkcie c) bazy przestrzeni R2×2 do bazy e:
e1=
1 0 0 1
, e1=
1 0 0 −1
, e3=
0 1 1 0
, e4=
0 1
−1 0
.
g) Wyznacz macierz Jordana macierzy AF.
h) Wyznacz baz˛e Jordana przestrzeniR2×2 wzgl˛edem endomorfizmu F.
Zadanie 3. Niech n: n3 ƒ → ƒ0∈ n.
a) Wyznacz ker n, m noraz bazy tych przestrzeni.
b) Wyznacz macierz An odwzorowania nw bazie e:
e0= 1, e1= 1 + , e2= 1 + + 2, . . . , en= 1 + + . . . + n.
c) Rozwa˙zmy baz˛e ˜e = ( ˜e0, . . . ,e˜n) przestrzeni n, gdzie ˜e = ( = 0, . . . , n).
Wyznacz macierz przej´scia P z bazy e do bazy ˜e oraz macierz P−1.
d) Wyznacz warto´sci i wektory własne macierzy An oraz endomorfizmu n. e) Czy endomorfizm njest diagonalizowalny?
f) Wykorzystuj ˛ac macierzow ˛a reprezentacj˛e endomorfizmu 3oblicz1 + 2+ 630. Zadanie 4. Niech X = spn {e, sin , cos , sin 2, cos 2}. Rozwa˙zmy odwzorowanie
F(ƒ ) = ƒ00+ ƒ .
a) Czy F jest endomorfizmem na X?
b) Je˙zeli odpowied´z w punkcie a) jest pozytywna, wyznacz warto´sci własne endo- morfizmu F. Czy jest on diagonalizowalny?
21
