Wkl¦sªo±¢ splotów funkcji log-wkl¦sªych

Wkl¦sªo±¢ splotów funkcji log-wkl¦sªych

Mateusz Kwa±nicki 2 lipca 2008

1. Denicja. Ci¡gª¡ funkcj¦ f : D → (0, ∞), gdzie D jest wypukªym podzbiorem R^d, nazywamy p-wkl¦sª¡, je±li fp jest wkl¦sªa, gdzie fp = f^p dla p > 0, fp = −f^p dla p < 0 oraz f0 = log f. Funkcje 0-wkl¦sªe nazywamy log-wkl¦sªymi.

2. Wªasno±ci. Funkcja f jest p-wkl¦sªa, p 6= 0, wtedy i tylko wtedy, gdy f (λx+µy) ≥ (λf (x)^p+µf (y)^p)⁽1/p), o ile λ, µ ≥ 0 oraz λ+µ = 1. Funkcja f jest log-wkl¦sªa, wtedy i tylko wtedy, gdy f(λx + µy) ≥ f(x)^λf (y)^µ. W obu przypadkach wystarczy za»¡da¢, by warunek byª speªniony dla µ = λ = 1/2.

Funkcja f klasy C¹ jest p-wkl¦sªa wtedy i tylko wtedy, gdy y − x = λu, λ > 0, implikuje Duf (x)·f (y)^(1−p)≤ D_uf (y)·f (x)^(1−p); Duoznacza pochodn¡

w kierunku u. Funkcja f klasy C² jest p-wkl¦sªa wtedy i tylko wtedy, gdy f (x) · D_u²f (x) ≤ (1 − p)(Duf (x))².

3. Twierdzenie. Splot dwóch funkcji log-wkl¦sªych na R jest log-wkl¦sªy.

Dowód. Wystarczy rozwa»y¢ funkcje klasy C¹. Je±li f, g s¡ log-wkl¦sªe, to:

(f (u)f⁰(v) − f (v)f⁰(u)) · (g(x − v)g⁰(x − u) − g(x − u)g⁰(x − v)) ≥ 0 . Zatem:

h(x)h⁰⁰(x) = f ∗ g(x) · f⁰∗ g⁰(x)

= Z Z

(f (u)f⁰(v)g(x − u)g⁰(x − v) + f⁰(u)f (v)g⁰(x − u)g(x − v))dudv

≤ Z Z

(f (u)f⁰(v)g⁰(x − u)g(x − v) + f⁰(u)f (v)g(x − u)g⁰(x − v))dudv

= f ∗ g⁰(x) · f⁰∗ g(x) = h⁰(x)². To dowodzi tezy.

1