n X i=1 λixiyi jest iloczynem skalarnym w przestrzeni liniowej nad ciałem R wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie liczby λi sa dodatnie

ALGEBRA M2 - Lista 6 Iloczyn skalarny, bazy ortogonalne

Zad.1. Niech λ1, . . . , λn∈ R. Wykazać, że forma dwuliniowa określona wzorem

ϕ(x, y) =

n

X

i=1

λ_ix_iy_i

jest iloczynem skalarnym w przestrzeni liniowej nad ciałem R wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie liczby λ_i sa dodatnie.

Zad.2. Sprawdzić czy dane formy dwuliniowe ϕ : R²×R² → R są iloczynami skalarnymi w przestrzeni R²:

(a) ϕ(x, y) = x₁y₁+ x₁y₂+ x₂y₁ − x₂y₂ (b) ϕ(x, y) = x₁y₁+ x₁y₂+ 2x₂y₁+ x₂y₂ (c) ϕ(x, y) = x₁y₁+ x₁y₂+ x₂y₁+ 3x₂y₂ gdzie x = (x₁, x₂), y = (y₁, y₂).

Zad.3. Niech w przestrzeni V = R będzie dana forma kwadratowa hx, xi = 3x²₁+ 2x²₂+ x²₃− 4x₁x₂− 2x₁x₃+ 2x₂x₃. gdzie x = x₁e₁+ x₂e₂+ x₃e₃ (w bazie {e₁, e₂, e₃}).

(a) Sprawdzić, że ta forma kwadratowa jest istotnie dodatnio określona.

(b) Wyznaczyć odpowiadający jej iloczyn skalarny.

(c) Znaleźć wszystkie wektory ortogonalne do x = (1, 1, 1) względem tego iloczynu.

(d) Wyznaczyć kąt między wektorami x = (1, 1, 1), y = (2, 2, 1).

Zad.4. Znaleźć w przestrzeni R⁴ z kanonicznym iloczynem skalarnym wektor o normie 1, ortogonalny do wektorów x = (1, 1, 1, 1), y = (1, −1, −1, 1), z = (2, 1, 1, 3).

Zad.5. Stosując proces ortogonalizacji Grama-Schmidta, znaleźć bazę ortogonalną pod- przestrzeni W przestrzeni V = R⁴ z kanonicznym iloczynem skalarnym:

1. W = Lin((1, 1, 1, 1), (3, 3, 1, 1), (7, 5, 3, 1)),

2. W = Lin((1, 2, −3, 1), (4, 3, −3, −4), (−9, 2, 4, 2)).

Zad.6. Stosując proces ortogonalizacji Grama-Schmidta do bazy kanonicznej w przestrzeni R3[x], wyznaczyć bazę ortogonalną tej przestrzeni, a następnie unormować otrzymaną bazę, jeśli iloczyn skalarny jest postaci

hf, gi = Z 1

−1

f (x)g(x)dx

1

Zad.7. Sprawdzić, że wektory x = (1, −2, 2, −3), y = (2, −3, 2, 4) są ortogonalne w przestrzeni R⁴ z kanonicznym iloczynem skalarnym i jeśli tak, uzupełnić je do bazy ortogonalnej oraz unormować otrzymaną bazę.

Zad.8. Niech x = (1, 2, , 3, −1, 2), y = (2, 4, 7, 2, −1) oraz W = Lin(x, y) ⊂ R⁵. Znaleźć bazę ortonormalną podprzestrzeni W^⊥.

Zad.9. Znaleźć rzut ortogonalny wektora x = (2, −1, 1) na podprzestrzeń W przestrzeni R³ z iloczynem skalarnym

hx, yi = x₁y₁+ x₁y₂ + x₂y₁+ 2x₂y₂+ x₃y₃ rozpiętą przez wektory (1, 0, 0), (0, 1, 0).

2