§ 12. R´ ownanie r´ o˙zniczkowe liniowe n -tego rze

R ´ OWNANIA R ´ O ˙ZNICZKOWE LINIOWE WY ˙ZSZYCH RZE

‘ D ´ OW

§ 12. R´ ownanie r´ o˙zniczkowe liniowe n -tego rze

‘ du

Na pocza

‘ tek zauwa˙zmy, ˙ze podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy dla funkcji zespolonych zmiennej rzeczywistej pochodne wy˙zszych rze

‘ d´ow z analo- gicznymi oznaczeniami.

Niech podobnie jak w poprzednim paragrafie K = R lub C.

W paragrafie tym rozwa˙za´c be ‘ dziemy r´ownanie r´o˙zniczkowe postaci (1) y ⁽ⁿ⁾ = a ₁ (x)y ⁽ⁿ⁻¹⁾ + . . . + a _n (x)y + b(x),

gdzie a ₁ , . . . , a _n , b sa

‘ funkcjami cia

‘ g lymi na przedziale (p, q) ⊂ R o warto´sciach z cia la K. R´ownanie to nazywa´c be

‘ dziemy r´ownaniem r´o˙zniczkowym liniowym n-tego rze ‘ du.

Niech dany be

‘ dzie uk lad r´owna´ n r´o˙zniczkowych liniowych pierwszego rze

‘ du po- staci

(2)

y ₁ ⁰ = y ₂

. . . .

y _n−1 ⁰ = y n

y _n ⁰ = a n (x)y 1 + . . . + a 1 (x)y n + b(x) .

W lasno´s´ c 1. Je˙zeli Ψ jest integralnym rozwia

‘ zaniem uk ladu (2), to jest postaci

(3) Ψ = [ϕ ^(l−1) ] _1≤l≤n ,

gdzie ϕ : (p, q) → K jest rozwia ‘ zaniem r´ownania (1). Odwrotnie, je´sli ϕ : (p, q) → K jest rozwia

‘ zaniem r´ownania (1), to Ψ postaci (3) jest rozwia

‘ zaniem integralnym uk ladu (2).

D o w ´o d. Niech Ψ = [ψ l ] 1≤l≤n be

‘ dzie integralnym rozwia

‘ zaniem uk ladu (2).

Oczywi´scie ψ _l : (p, q) → K. Po l´o˙zmy ϕ = ψ ₁ . W´owczas z kolejnych r´owna´ n uk ladu (2) mamy ψ 2 = ϕ ⁰ , . . . , ψ n = ϕ ⁽ⁿ⁻¹⁾ , ϕ ⁽ⁿ⁾ (x) = a 1 (x)ϕ ⁽ⁿ⁻¹⁾ (x) + . . . + a n (x)ϕ(x) + b(x), x ∈ (p, q).

Odwrotnie, niech ϕ : (p, q) → K spe lnia r´ownanie (1). Po l´o˙zmy ψ 1 = ϕ, ψ 2 = ϕ ⁰ , . . . , ψ n = ϕ ⁽ⁿ⁻¹⁾ . W´owczas ψ ⁰ ₁ (x) = ψ 2 (x), . . . , ψ _n−1 ⁰ (x) = ψ n (x), ψ _n ⁰ (x) = a _n (x)ψ ₁ (x) + . . . + a ₁ (x)ψ _n (x) + b(x), x ∈ (p, q).

To ko´ nczy dow´od. 

W dalszym cia

‘ gu tego paragrafu za lo˙zymy, ˙ze K = R. Zatem a 1 , . . . , a n , b be ‘ da

‘ teraz funkcjami rzeczywistymi.

Niech η = (η 1 , . . . , η n ) ∈ R ⁿ . Z twierdzenia 8.1 i powy˙zszej w lasno´sci (dla K = R) dostajemy

Twierdzenie 1. Dla ka˙zdego punktu (ξ, η) ∈ (p, q) × R ⁿ istnieje dok ladnie jedno rozwia

‘ zanie integralne ϕ : (p, q) → R r´ownania (1) spe lniaja

‘ ce warunki pocza

‘ tkowe ϕ(ξ) = η ₁ , ϕ ⁰ (ξ) = η ₂ , . . . , ϕ ⁽ⁿ⁻¹⁾ (ξ) = η _n ,

(por. (1.2)).

Wobec powy˙zszego twierdzenia ograniczymy sie

‘ tylko do rozwia

‘ za´ n integralnych r´ownania (1).

Gdy b = 0, to r´ownanie (1) ma posta´c

(4) y ⁽ⁿ⁾ = a 1 (x)y ⁽ⁿ⁻¹⁾ + . . . + a n (x)y.

R´ownanie (4) nazywa´c be

‘ dziemy jednorodnym r´ownaniem r´o˙zniczkowym liniowym n-tego rze ‘ du.

Z w lasno´sci 1 (dla K = R) i z w lasno´sci 8.3 dostajemy

W lasno´s´ c 2. Og´o l integralnych rozwia ‘ za´ n r´ownania (4) jest rzeczywista ‘ przestrze- nia ‘ wektorowa

‘ n-wymiarowa

‘ . Ka˙zda

‘ baze

‘ przestrzeni, o kt´orej mowa powy˙zej, nazywa´c be

‘ dziemy fundamen- talnym uk ladem rozwia

‘ za´ n r´ownania (4).

Z w lasno´sci 2 otrzymujemy natychmiast Twierdzenie 2. Je˙zeli ϕ 1 , . . . , ϕ n tworza

‘ fundamentalny uk lad rozwia

‘ za´ n r´ow- nania (4), to og´o l rozwia

‘ za´ n integralnych r´ownania (4) wyra˙za sie

‘ wzorem ϕ(x) = c 1 ϕ 1 (x) + . . . + c n ϕ n (x), x ∈ (p, q),

gdzie c 1 , . . . , c n sa

‘ dowolnymi liczbami rzeczywistymi.

Podamy teraz twierdzenie analogiczne do twierdzenia 9.1. sprowadzaj¸ace poszu- kiwanie fundamentalnego uk ladu rozwi¸aza´ n r´ownania rz¸edu n-tego, do poszukiwa- nia fundamentalnego uk ladu rozwi¸aza´ n r´ownania rz¸edu (n − 1) - go.

Twierdzenie 3. Je´sli

1 ^◦ ϕ ₁ jest integralnym rozwi¸azaniem r´ownania (4) takim, ˙ze ϕ ₁ (x) 6= 0 dla x ∈ (p, q),

2 ^◦ ψ ₂ , . . . , ψ _n tworz¸a fundamentalny uk lad rozwi¸aza´ n r´ownania

(5) z ⁽ⁿ⁻¹⁾ = 1 ϕ 1 (x)

n−2 X

l=0

" _n−1 X

k=l+1

 k l + 1



a n−k (x) ϕ ^(k−l−1) ₁ (x)

−

 n

l + 1



ϕ ^(n−l−1) ₁ (x)



z ^(l) ,

3 ^◦ ω 2 , . . . , ω n s¸a dowolnymi ustalonymi funkcjami pierwotnymi odpowiednio fun- kcji ψ 2 , . . . , ψ n , to funkcje

(6) ϕ 1 , ϕ 1 ω 2 , . . . , ϕ 1 ω n

tworz¸a fundamentalny uk lad rozwi¸aza´ n r´ownania (4).

D o w ´o d. Poka˙zemy najpierw, ˙ze ka˙zda z funkcji (6) jest rozwi¸azaniem r´ownania (4). Istotnie, pierwsza z funkcji (6) jest rozwi¸azaniem r´ownania (4) na mocy 1 ^◦ , natomiast dla pozosta lych funkcji (6) mamy

(ϕ ₁ ω _s ) ⁽ⁿ⁾ = X n k=0

 n k



ϕ ^(n−k) ₁ ω _s ^(k)

= ϕ ⁽ⁿ⁾ ₁ ω s +

n−1 X

k=1

 n k



ϕ ^(n−k) ₁ ψ _s ^(k−1) + ϕ 1 ψ ⁽ⁿ⁻¹⁾ _s

= ϕ ⁽ⁿ⁾ ₁ ω s +

n−1 X

k=1

 n k



ϕ ^(n−k) ₁ ψ _s ^(k−1)

+

n−2 X

l=0 n−1 X

k=l+1

 k l + 1



a n−k ϕ ^(k−l−1) ₁ ψ ^(l) _s −

n−2 X

l=0

 n

l + 1



ϕ ^(n−l−1) ₁ ψ ^(l) _s

= ϕ ⁽ⁿ⁾ ₁ ω s +

n−1 X

m=1 n−1 X

k=m

 k m



a n−k ϕ ^(k−m) ₁ ω _s ^(m)

= ϕ ⁽ⁿ⁾ ₁ ω s +

n−1 X

k=1

a n−k

X k m=1

 k m



ϕ ^(k−m) ₁ ω ^(m) _s

= ϕ ⁽ⁿ⁾ ₁ ω s +

n−1 X

k=1

a n−k

h

(ϕ 1 ω s ) ^(k) − ϕ ^(k) ₁ ω s

i

= ω _s

"

ϕ ⁽ⁿ⁾ ₁ −

n−1 X

k=0

a _n−k ϕ ^(k) ₁

# +

n−1 X

k=1

a _n−k (ϕ ₁ ω _s ) ^(k) + ω _s a _n ϕ ₁

=

n−1 X

k=0

a n−k (ϕ 1 ω s ) ^(k) , s = 2, . . . , n.

W konsekwencji wszystkie funkcje (6) s¸a rozwi¸azaniami r´ownania (4).

Poka˙zemy teraz, ˙ze funkcje (6) s¸a liniowo niezale˙zne. Istotnie, je´sli istniej¸a liczby c 1 , . . . , c n takie ˙ze

c ₁ ϕ ₁ (x) + c ₂ ϕ ₁ (x) ω ₂ (x) + . . . + c _n ϕ ₁ (x) ω _n (x) = 0 dla x ∈ (p, q), to poniewa˙z ϕ 1 (x) 6= 0 dla x ∈ (p, q), wi¸ec

(7) c 1 + c 2 ω 2 (x) + . . . + c n ω n (x) = 0 dla x ∈ (p, q) i po zr´o˙zniczkowaniu

c 2 ψ 2 (x) + . . . + c n ψ n (x) = 0

dla x ∈ (p, q). Poniewa˙z ψ 2 , . . . , ψ n tworz¸a fundamentalny uk lad rozwi¸aza´ n r´ow- nania (5), wi¸ec c 2 = 0, . . . , c n = 0 i z (7) wynika, ˙ze c 1 = 0.

To ko´ nczy dow´od. 

Z twierdzenia 2 i w lasno´sci 1 (dla K = R) otrzymujemy latwo Wniosek 1. Niech ϕ 0 be

‘ dzie rozwia

‘ zaniem integralnym r´ownania (1) oraz ϕ 1 , . . . , ϕ n be ‘ dzie fundamentalnym uk ladem rozwia ‘ za´ n r´ownania (4). W´owczas og´o l rozwia ‘ - za´ n r´ownania (1) wyra˙za sie

‘ wzorem

ϕ(x) = ϕ ₀ (x) + c ₁ ϕ ₁ (x) + . . . + c _n ϕ _n (x), x ∈ (p, q), gdzie c 1 , . . . , c n sa ‘ dowolnymi liczbami rzeczywistymi.

Niech ϕ 1 , . . . , ϕ n be

‘ da

‘ integralnymi rozwia

‘ zaniami r´ownania (4). Wyznacznik det[ϕ ^(l−1) _k ] 1≤l,k≤n nazywamy wro´ nskianem uk ladu ϕ 1 , . . . , ϕ n .

Uwaga 1. Gdy dany jest uk lad fundamentalny rozwia

‘ za´ n ϕ 1 , . . . , ϕ n r´ownania (4), to ϕ ₀ mo˙zna znale´z´c metoda

‘ wariacji sta lych, korzystaja

‘ c z twierdzenia 8.4.

Cwiczenia ´

1. Wyznaczy´c og´o l rozwi¸aza´ n integralnych nast¸epuj¸acych r´owna´ n liniowych jed- norodnych w (p, q) × R wiedz¸ac, ˙ze podana funkcja ϕ ₁ jest rozwi¸azaniem:

a) y ⁰⁰ = ^(x+1) _x

+1

y ⁰ − _x

^2x +1 y, (p, q) = R, ϕ 1 (x) = e ^x , x ∈ R, b) y ⁰⁰ = ¹² _x

y, (p, q) = (0, +∞), ϕ ₁ (x) = x ⁴ , x ∈ (0, +∞) .

2. Wyznaczy´c og´o l rozwi¸aza´ n integralnych nast¸epuj¸acych r´owna´ n liniowych w (p, q)×R wiedz¸ac, ˙ze podana funkcja ϕ 1 jest rozwi¸azaniem odpowiedniego r´ownania jednorodnego:

a) y ⁰⁰ = _x

^4x +1 y ⁰ − _(x ^6x

₊₁₎ ⁻²

y + 2x, (p, q) = R, ϕ ₁ (x) = x ² + 1, x ∈ R, b) y ⁰⁰ = _x

^2x +1 y ⁰ − _x

² +1 y − 1, (p, q) = R, ϕ 1 (x) = x, x ∈ R,

c) y ⁰⁰ = _x

^2x +1 y ⁰ − _x

² +1 y + ¹ _x , (p, q) = (0, +∞) , ϕ 1 (x) = x ² − 1, x ∈ (0, +∞) ,

d) y ⁰⁰ = − _1−x ^x y ⁰ + _1−x ¹ y + x − 1, (p, q) = (1, +∞) , ϕ 1 (x) = e ^x , x ∈ (1, +∞) ,

e) y ⁰⁰ = − ^2(x−1) _2x−x

y ⁰ + _2x−x ²

y − _2x−x ²

, (p, q) = (0, 2) ; ϕ 1 (x) = x − 1, x ∈ (0, 2) ,

f) y ⁰⁰ = ³ _x y ⁰ − _x ⁴

y + x, (p, q) = (0, +∞) , ϕ 1 (x) = x ² , x ∈ (0, +∞) , g) y ⁰⁰ = − ¹ _x y ⁰ + _x ¹

y + 4x (x − 1) , (p, q) = (0, +∞) , ϕ ₁ (x) = x,

x ∈ (0, +∞) .

3. Korzystaj¸ac z teorii r´owna´ n liniowych rz¸edu wy˙zszego, wyznaczy´c og´o l roz- wi¸aza´ n integralnych nast¸epuj¸acych r´owna´ n w zbiorze (p, q) × R:

a) x ² y ⁰⁰ = 12y, (p, q) = R (por. ´cwiczenie 1b)),

b) (1 − x) y ⁰⁰ = −xy ⁰ + y, (p, q) = R (por. ´cwiczenie 1d)),

c) x ² y ⁰⁰ = 3xy ⁰ − 4y, (p, q) = R (por. ´cwiczenie 2f)).

§ 13. Jednorodne r´ ownanie r´ o˙zniczkowe liniowe

n -tego rze

‘ du o sta lych wsp´ o lczynnikach

Pod ta

‘ nazwa

‘ rozumie´c be

‘ dziemy r´ownanie postaci (1) y ⁽ⁿ⁾ = a ₁ y ⁽ⁿ⁻¹⁾ + . . . + a _n y,

gdzie a 1 , . . . , a n ∈ K. Tutaj, podobnie jak poprzednio, K = R lub C. Wielomianem charakterystycznym r´ownania (1) nazywamy wielomian postaci

(2) λ ⁿ − a 1 λ ⁿ⁻¹ − . . . − a n .

Rozwa˙zmy teraz jednorodny uk lad r´owna´ n r´o˙zniczkowych liniowych pierwszego rze ‘ du o sta lych wsp´o lczynnikach postaci

(3)

y ⁰ ₁ = y 2

. . . .

y ⁰ _n−1 = y n

y ⁰ _n = a _n y ₁ + a _n−1 y ₂ + . . . + a ₁ y _n Macierz charakterystyczna tego uk ladu jest postaci



 

−λ 1 . . . 0

. . . .

0 0 . . . 1

a n a n−1 . . . a 1 − λ



  .

Wielomian charakterystyczny uk ladu (3), be

‘ da

‘ cy wyznacznikiem powy˙zszej macie- rzy jest r´owny

(−1) ⁿ (λ ⁿ − a ₁ λ ⁿ⁻¹ − . . . − a _n ),

co sprawdzamy latwo z prostych w lasno´sci wyznacznik´ow. Widzimy sta

‘ d, ˙ze wielo- mian charakterystyczny (2) ma identyczne pierwiastki z wielomianem charaktery- stycznym uk ladu (3).

Twierdzenie 1. Je˙zeli λ ₀ ∈ K jest p-krotnym pierwiastkiem wielomianu (2), to (4) e ^λ

^x , xe ^λ

^x , . . . , x ^p−1 e ^λ

^x

sa ‘ liniowo niezale˙znymi nad K rozwia

‘ zaniami r´ownania (1).

D o w ´o d. Z powy˙zszej obserwacji wynika, ˙ze λ 0 jest p-krotnym pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego uk ladu (3). Zatem z twierdzenia 11.2 i w lasno´sci 12.1 dostajemy, ˙ze r´ownanie (1) ma p liniowo niezale˙znych nad K rozwia

‘ za´ n postaci (5) e ^λ

^x P ₁ (x), . . . , e ^λ

^x P _p (x), x ∈ R,

gdzie P k jest wielomianem o wsp´o lczynnikach z K stopnia nie wie

‘ kszego ni˙z k − 1, k = 1, . . . , p. Wynika sta

‘ d, ˙ze wielomiany P 1 , . . . , P p sa

‘ r´ownie˙z liniowo niezale˙zne nad K. Latwo sprawdzamy, ˙ze zbi´or wielomian´ow stopnia nie wie

‘ kszego ni˙z p − 1

jest p-wymiarowa

‘ przestrzenia

‘ wektorowa

‘ nad K. Zatem P 1 , . . . , P p sa

‘ jej baza

‘ . W konsekwencji dla ka˙zdego k ∈ {0, . . . , p − 1}

x ^k = a k1 P 1 (x) + . . . + a kp P p (x), x ∈ R, gdzie a _kl ∈ K. Sta

‘ d

(6) x ^k e ^λ

^x = a k1 P 1 (x)e ^λ

^x + . . . + a kp P p (x)e ^λ

^x , x ∈ R.

Latwo sprawdzamy, ˙ze kombinacja liniowa rozwia

‘ za´ n r´ownania (1) jest jego rozwia

‘ - zaniem (w przypadku K = R jest to bezpo´srednia konsekwencja w lasno´sci 12.2).

Sta ‘ d, z (5) i (6) dostajemy, ˙ze funkcje postaci (4) sa

‘ rozwia

‘ zaniem r´ownania (1).

Sa ‘ one oczywi´scie liniowo niezale˙zne nad K. To ko´ nczy dow´od.  W dalszym cia ‘ gu zak ladamy, ˙ze K = R i a 1 , . . . , a n ∈ R. Bezpo´srednio z twierdzenia 1 dostajemy

Wniosek 1. Je˙zeli λ 0 jest p-krotnym rzeczywistym pierwiastkiem r´ownania (2), to r´ownanie (1) ma p liniowo niezale˙znych nad R rozwia

‘ za´ n postaci (4).

Wniosek 2. Je˙zeli λ 0 = σ +iτ jest p-krotnym zespolonym pierwiastkiem r´ownania (2), τ 6= 0, to r´ownanie (1) ma 2p liniowo niezale˙znych nad R rozwia ‘ za´ n postaci

(7) e ^σx cos τ x, xe ^σx cos τ x, . . . , x ^p−1 e ^σx cos τ x,

e ^σx sin τ x, xe ^σx sin τ x, . . . , x ^p−1 e ^σx sin τ x, x ∈ R.

D o w ´o d. Z twierdzenia 1 (dla K = C) wynika, ˙ze funkcje postaci (4) sa

‘ roz- wia ‘ zaniami r´ownania (1). Sta

‘ d i z faktu, ˙ze r´ownanie (1) ma teraz wsp´o lczynniki rzeczywiste wynika, ˙ze funkcje postaci (7) sa

‘ r´ownie˙z rozwia

‘ zaniami (1). Liniowa niezale˙zno´s´c nad R funkcji (7) wynika bezpo´srednio z lematu 10.1. To ko´ nczy

dow´od. 

Z lematu 10.1 i z powy˙zszych wniosk´ow dostajemy latwo twierdzenie o fundamen- talnym uk ladzie rozwia

‘ za´ n r´ownania (1).

Niech λ 1 = σ 1 + iτ 1 , . . . , λ r = σ r + iτ r be

‘ da

‘ wszystkimi r´o˙znymi pierwiastkami wielomianu (2) spe lniaja ‘ cymi warunek τ k ≥ 0. Niech p 1 , . . . , p r be ‘ da ‘ odpowiednio krotno´sciami tych pierwiastk´ow.

Twierdzenie 2. Je˙zeli ka˙zdemu k ∈ {1, . . . , r} zgodnie z wnioskiem 1 albo 2 przyporz¸adkujemy p _k albo 2p _k rozwi¸aza´ n w zale˙zno´sci od tego czy τ _k = 0, czy τ _k > 0, to otrzymamy fundamentalny uk lad rozwia

‘ za´ n r´ownania (1).

Uwaga 1. W przypadku r´ownania (12.1), gdy a 1 , . . . , a n sa

‘ sta lymi rzeczywistymi, mo˙zna znajdowa´c rozwia

‘ zania szczeg´olne tego r´ownania metoda

‘ przewidywa´ n nie korzystaja

‘ c z metody wariacji sta lych.

Cwiczenia ´

1. Wyznaczy´c og´o l rozwi¸aza´ n integralnych nast¸epuj¸acych r´owna´ n liniowych jed- norodnych o sta lych wsp´o lczynnikach w R × R:

a) y ⁰⁰⁰ − 2y ⁰⁰ − y ⁰ + 2y = 0, b) y ⁽⁵⁾ − 2y ⁽⁴⁾ + y ⁽³⁾ = 0,

c) y ⁰⁰ + 4y = 0, d) y ⁽⁴⁾ + y = 0.

2. Wyznaczy´c og´o l rozwi¸aza´ n integralnych nast¸epuj¸acych r´owna´ n liniowych w R × R:

a) y ⁰⁰ − y ⁰ = _e

¹ +1 ,

b) y ⁰⁰⁰ − 3y ⁰⁰ + 3y ⁰ − y = _1+x ^e

, c) y ⁰⁰ − y = x ² − x + 1,

d) y ⁰⁰ − y = e ^2x , e) y ⁰⁰ − y = e ^x ,

f) y ⁰⁰ + y ⁰ + y = cos 2x.