Ca lki niew la´sciwe
1 Ca lki niew la´sciwe pierwszego rodzaju
Definicja Niech funkcja f b¸edzie okre´slona na przedziale [a; ∞). Ca lk¸e niew la´sciw¸a pierwszego rodzaju funkcji f na przedziale [a; ∞) definiujemy wzorem
Z ∞ a
f (x) dx = lim
B→∞
Z B a
f (x) dx.
Je˙zeli granica po prawej stronie jest w la´sciwa, to m´owimy, ˙ze ca lka niew la´sciwa funkcji f na [a; ∞) jest zbie˙zna. Je˙zeli granica ta jest r´owna +∞ lub −∞, to m´owimy, ˙ze ca lka jest rozbie˙zna odpowiednio do +∞ lub −∞. W pozosta lych przypadkach m´owimy, ˙ze ca lka jest rozbie˙zna.
Definicja Niech funkcja f b¸edzie okre´slona na przedziale (−∞; b]. Ca lk¸e niew la´sciw¸a pierwszego rodzaju funkcji f na przedziale (−∞; b] definiujemy wzorem
Z b
−∞
f (x) dx = lim
A→−∞
Z b A
f (x) dx.
Je˙zeli granica po prawej stronie jest w la´sciwa, to m´owimy, ˙ze ca lka niew la´sciwa funkcji f na (−∞; b] jest zbie˙zna. Je˙zeli granica ta jest r´owna +∞ lub −∞, to m´owimy, ˙ze ca lka jest rozbie˙zna odpowiednio do +∞ lub −∞. W pozosta lych przypadkach m´owimy, ˙ze ca lka jest rozbie˙zna.
Definicja Niech funkcja f b¸edzie okre´slona na przedziale (−∞; ∞). Ca lk¸e niew la´sciw¸a pierwszego rodzaju funkcji f na przedziale (−∞; ∞) definiujemy wzorem
Z ∞
−∞
f (x) dx = Z c
−∞
f (x) dx + Z ∞
c
f (x) dx.
gdzie c oznacza dowoln¸a liczb¸e rzeczywist¸a.
Przyk lady
I1 = Z ∞
2
dx
x2 = lim
B→∞
Z B 2
dx
x2 = lim
B→∞
−1 x
B 2
= lim
B→∞
−1 B + 1
2
= 1 2 czyli I1 jest zbie˙zna;
I2 = Z ∞
4
√dx
x = lim
B→∞
Z B 4
√dx
x = lim
B→∞2√ xB
4 = lim
B→∞
h 2√
B − 2√ 4i
= +∞
czyli I2 jest rozbie˙zna do +∞;
I3 = Z −9
−∞
dx
√3
x + 1 =
&
x + 1 = t3 dx = 3t2dt
%
= Z −2
−∞
3t dt = lim
A→−∞
Z −2 A
3t dt =
= lim
A→−∞
3 2t2
−2 A
= lim
A→−∞
6 − 3
2A2
= −∞
czyli I3 jest rozbie˙zna do −∞;
I4 = Z ∞
−∞
dx x2+ 1 =
Z 0
−∞
dx x2+ 1 +
Z ∞ 0
dx
x2+ 1 = I41+ I42
I41 = lim
A→−∞
Z 0 A
dx
x2+ 1 = lim
A→−∞ [ arctg x ]0A= lim
A→−∞[ −arctg A ] = π 2
I42 = lim
B→∞
Z B 0
dx
x2+ 1 = lim
B→∞[ arctg x ]B0 = lim
B→∞[ arctg B ] = π 2 Poniewa˙z obie ca lki I41 i I42 s¸a zbie˙zne, to ca lka I4 te˙z jest zbie˙zna oraz
I4 = Z ∞
−∞
dx
x2 + 1 = π.
Twierdzenie Niech funkcje f i g spe lniaj¸a dla ka˙zdego x ∈ [a; ∞) nier´owno´s´c 0 ≤ f (x) ≤ g(x). W´owczas
1. je˙zeli ca lka R∞
a g(x)dx jest zbie˙zna, to ca lkaR∞
a f (x)dx jest tak˙ze zbie˙zna;
2. je˙zeli ca lka R∞
a f (x)dx jest rozbie˙zna, to ca lkaR∞
a g(x)dx jest tak˙ze rozbie˙zna.
Twierdzenie Niech funkcje f i g spe lniaj¸a dla ka˙zdego x ∈ (−∞; b] nier´owno´s´c 0 ≤ f (x) ≤ g(x). W´owczas
1. je˙zeli ca lka Rb
−∞g(x)dx jest zbie˙zna, to ca lkaRb
−∞f (x)dx jest tak˙ze zbie˙zna;
2. je˙zeli ca lka Rb
−∞f (x)dx jest rozbie˙zna, to ca lka Rb
−∞g(x)dx jest tak˙ze rozbie˙zna.
Przyk lad Rozwa˙zmy ca lk¸e
I = Z ∞
1
dx
√3
x4+ 1 Poniewa˙z dla ka˙zdego x ≥ 1 zachodzi
1
√3
x4+ 1 ≤ 1
√3
x4 oraz ca lka
Z ∞ 1
dx
√3
x4 jest zbie˙zna, a wi¸ec ca lka I jest tak˙ze zbie˙zna.
Twierdzenie Niech funkcje f i g okre´slone na przedziale [a; ∞) spe lniaj¸a warunek
x→∞lim f (x)
g(x) = λ, gdzie 0 < λ < ∞.
Wtedy ca lki R∞
a f (x)dx, R∞
a g(x)dx s¸a jednocze´snie zbie˙zne albo rozbie˙zne.
Twierdzenie Niech funkcje f i g okre´slone na przedziale (−∞; b] spe lniaj¸a warunek
x→−∞lim f (x)
g(x) = λ, gdzie 0 < λ < ∞.
Wtedy ca lki Rb
−∞f (x)dx, Rb
−∞g(x)dx s¸a jednocze´snie zbie˙zne albo rozbie˙zne.
Przyk lad Rozwa˙zmy ca lk¸e
I = Z ∞
2
dx
√3
x4− 1 Poniewa˙z
x→∞lim
√3
x4− 1
√3
x4 = 1 oraz ca lka
Z ∞ 1
dx
√3
x4 jest zbie˙zna, a wi¸ec ca lka I jest tak˙ze zbie˙zna.
Definicja Ca lka niew la´sciwa pierwszego rodzaju jest zbie˙zna bezwzgl¸ednie, gdy ca lka niew la´sciwa funkcji |f (x)| jest zbie˙zna.
Twierdzenie Je˙zeli ca lka niew la´sciwa jest zbie˙zna bezwzgl¸ednie, to jest zbie˙zna. Ponadto
Z ∞ a
f (x) dx
≤ Z ∞
a
|f (x)| dx
oraz
Z b
−∞
f (x) dx
≤ Z b
−∞
|f (x)| dx
Przyk lad Rozwa˙zmy ca lk¸e
I = Z ∞
1
sin 2x dx x2+ 1 Poniewa˙z dla ka˙zdego x ≥ 1 zachodzi
sin 2x x2+ 1
≤ 1
x2+ 1 oraz ca lka
Z ∞ 1
dx x2+ 1 jest zbie˙zna, a wi¸ec ca lka I jest zbie˙zna bezwzgl¸ednie.
2 Ca lki niew la´sciwe drugiego rodzaju
Definicja Niech funkcja f okre´slona b¸edzie na przedziale (a; b] oraz granica limx→a+ f (x) jest niew la´sciwa (±∞). Ca lk¸e niew la´sciw¸a drugiego rodzaju funkcji f na przedziale [a; b]
definiujemy wzorem
Z b a
f (x) dx = lim
ε→0+
Z b a+ε
f (x) dx.
Je˙zeli granica po prawej stronie jest w la´sciwa, to m´owimy, ˙ze ca lka niew la´sciwa funkcji f na [a; b] jest zbie˙zna. Je˙zeli granica ta jest r´owna +∞ lub −∞, to m´owimy, ˙ze ca lka jest rozbie˙zna odpowiednio do +∞ lub −∞. W pozosta lych przypadkach m´owimy, ˙ze ca lka jest rozbie˙zna.
Definicja Niech funkcja f okre´slona b¸edzie na przedziale [a; b) oraz granica limx→b− f (x) jest niew la´sciwa (±∞). Ca lk¸e niew la´sciw¸a drugiego rodzaju funkcji f na przedziale [a; b]
definiujemy wzorem
Z b a
f (x) dx = lim
η→0+
Z b−η a
f (x) dx.
Je˙zeli granica po prawej stronie jest w la´sciwa, to m´owimy, ˙ze ca lka niew la´sciwa funkcji f na [a; b] jest zbie˙zna. Je˙zeli granica ta jest r´owna +∞ lub −∞, to m´owimy, ˙ze ca lka jest rozbie˙zna odpowiednio do +∞ lub −∞. W pozosta lych przypadkach m´owimy, ˙ze ca lka jest rozbie˙zna.
Definicja Niech funkcja f okre´slona b¸edzie na przedziale [a; c) ∪ (c; b], gdzie a ≤ c ≤ b oraz granice limx→c− f (x) i limx→c+ f (x) s¸a niew la´sciwe (±∞). Ca lk¸e niew la´sciw¸a drugiego rodzaju funkcji f na przedziale [a; b] definiujemy wzorem
Z b a
f (x) dx = Z c
a
f (x) dx + Z b
c
f (x) dx Przyk lady
I1 = Z 1
0
dx
√4
x5 = lim
ε→0+
Z 1 ε
dx
√4
x5 = lim
ε→0+
−4
√4
x
1 ε
= lim
ε→0+
−4 + 4
√4
ε
= ∞ czyli I1 jest rozbie˙zna;
I2 = Z 1
0
dx
p(1 − x)5 4 = lim
η→0+
Z 1−η 0
dx
p(1 − x)5 4 = lim
η→0+ −5√5
1 − x1−η
0 = lim
η→0+
[−5√5
η + 5 ] = 5
czyli I2 jest zbie˙zna;
I3 = Z 8
−8
dx
√3
x = Z 0
−8
dx
√3
x + Z 8
0
dx
√3
x = I31+ I32
I31= lim
η→0+
Z −η
−8
dx
√3
x = lim
η→0+
3 2
√3
x2
−η
−8
= lim
η→0+
3 2
p3
η2− 6
= −6
I32= lim
ε→0+
Z 8 ε
dx
√3
x = lim
ε→0+
3 2
√3
x2
8 ε
= lim
ε→0+
6 − 3
2
√3
ε2
= 6
Poniewa˙z obie ca lki I31 i I32 s¸a zbie˙zne, to ca lka I3 te˙z jest zbie˙zna oraz I3 =
Z 8
−8
dx
√3
x = 0.
Twierdzenie Niech funkcje f i g spe lniaj¸a dla ka˙zdego x ∈ (a; b] nier´owno´s´c 0 ≤ f (x) ≤ g(x) oraz granice limx→a+ f (x) i limx→a+ g(x) s¸a niew la´sciwe (±∞). W´owczas
1. je˙zeli ca lka Rb
ag(x)dx jest zbie˙zna, to ca lka Rb
a f (x)dx jest tak˙ze zbie˙zna;
2. je˙zeli ca lka Rb
af (x)dx jest rozbie˙zna, to ca lka Rb
a g(x)dx jest tak˙ze rozbie˙zna.
Twierdzenie Niech funkcje f i g spe lniaj¸a dla ka˙zdego x ∈ [a; b) nier´owno´s´c 0 ≤ f (x) ≤ g(x) oraz granice limx→b− f (x) i limx→b− g(x) s¸a niew la´sciwe (±∞). W´owczas
1. je˙zeli ca lka Rb
ag(x)dx jest zbie˙zna, to ca lka Rb
a f (x)dx jest tak˙ze zbie˙zna;
2. je˙zeli ca lka Rb
af (x)dx jest rozbie˙zna, to ca lka Rb
a g(x)dx jest tak˙ze rozbie˙zna.
Przyk lad Rozwa˙zmy ca lk¸e
I = Z 1
0
exdx
√x Poniewa˙z dla ka˙zdego x ∈ (0; 1] zachodzi
ex
√x ≤ 3
√x oraz ca lka
Z 1 0
3dx√ x jest zbie˙zna, a wi¸ec ca lka I jest tak˙ze zbie˙zna.
Twierdzenie Niech funkcje f i g okre´slone na przedziale [a; b) spe lniaj¸a warunki: granice limx→b− f (x) i limx→b− g(x) s¸a niew la´sciwe (±∞) oraz
lim
x→b−
f (x)
g(x) = λ, gdzie 0 < λ < ∞.
Wtedy ca lki Rb
a f (x)dx, Rb
a g(x)dx s¸a jednocze´snie zbie˙zne albo rozbie˙zne.
Twierdzenie Niech funkcje f i g okre´slone na przedziale (a; b] spe lniaj¸a warunki: granice limx→a+ f (x) i limx→a+ g(x) s¸a niew la´sciwe (±∞) oraz
lim
x→a+
f (x)
g(x) = λ, gdzie 0 < λ < ∞.
Wtedy ca lki Rb
a f (x)dx, Rb
a g(x)dx s¸a jednocze´snie zbie˙zne albo rozbie˙zne.
Przyk lad Rozwa˙zmy ca lk¸e
I = Z 4
0
dx x2+√
x
Poniewa˙z
lim
x→0+
√x x2+√
x = 1 oraz ca lka
Z 4 0
√dx x jest zbie˙zna, a wi¸ec ca lka I jest tak˙ze zbie˙zna.
Definicja Ca lka niew la´sciwa drugiego rodzaju jest zbie˙zna bezwzgl¸ednie, gdy ca lka niew la´sciwa funkcji |f (x)| jest zbie˙zna.
Twierdzenie Je˙zeli ca lka niew la´sciwa jest zbie˙zna bezwzgl¸ednie, to jest zbie˙zna. Ponadto
Z b a
f (x) dx
≤ Z b
a
|f (x)| dx
Przyk lad Rozwa˙zmy ca lk¸e
I = Z π
0
sin x dx
√x3 Poniewa˙z dla ka˙zdego x ∈ (0; π] zachodzi
sin x
√x3
≤ x
√x3 = 1
√x oraz ca lka
Z π 0
√dx x jest zbie˙zna, a wi¸ec ca lka I jest zbie˙zna bezwzgl¸ednie.
