• Nie Znaleziono Wyników

Oznaczenia B¦dziemy u»ywali nast¦puj¡cych oznacze«:

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Oznaczenia B¦dziemy u»ywali nast¦puj¡cych oznacze«:"

Copied!
11
0
0

Pełen tekst

(1)

Liczby zespolone

Oznaczenia B¦dziemy u»ywali nast¦puj¡cych oznacze«:

• N = {1, 2, 3, . . .}- zbiór liczb naturalnych,

• Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}- zbiór liczb caªkowitych,

• Q = {

ab

: a, b ∈ Z, b 6= 0}- zbiór liczb wymiernych,

• R- zbiór liczb rzeczywistych,

• R

+

- zbiór liczb rzeczywistych dodatnich,

• x ∈ X - oznacza, »e element x nale»y do zbioru X,

• ∀ -kwantykator ogólny (du»y),

• ∀

x∈X

φ(x) czyt.: dla ka»dego x nale»¡cego do zb. X zachodzi φ(x),

• ∃ -kwantykator szczegóªowy (maªy),

• ∃

x∈X

φ(x) czyt.: istnieje x nale»¡cy do zb. X taki, »e zachodzi φ(x) Iloczyn kartezja«ski

B¦dziemy u»ywali nast¦puj¡cych oznacze«:

• A ⊂ X -zb. A jest podzbiorem zb. X ∀

x

(x ∈ A ⇒ x ∈ X)  ,

• ∅ - zbiór pusty.

Iloczyn kartezja«ski zbiorów A i B to, z denicji, zbiór zªo»ony z uporz¡dkowanych par elementów zbiorów A i B :

A × B = {(a, b) : a ∈ A, b ∈ B} . Przykªad:

Niech A = {1, 2, 3}, B = {p, q}. Wówczas iloczyn kartezja«ski zbiorów A i B:

A × B = n

(1, p), (1, q), (2, p), (2, q), (3, p), (3, q) o . Liczby zespolone jako pary liczb rzeczywistych

Denicja. Liczbami zespolonymi nazywamy uporz¡dkowane pary liczb rzeczywistych np. (a, b).

Liczb¦ zespolon¡ oznaczamy najcz¦±ciej przez z, (z

1

, z

2

, z

3

, . . . ), a zbiór wszystkich liczb zespolo- nych oznaczamy symbolem C (ªac. complexus - zespolony). Zatem:

C = R × R = n

z = (a, b) : a, b ∈ R o .

Niech z

1

= (a

1

, b

1

), z

2

= (a

2

, b

2

) b¦d¡ dwiema dowolnymi liczbami zespolonymi. W zbiorze C

wprowadzamy dziaªania dodawania i mno»enia liczb zespolonych:

(2)

• z

1

+ z

2

= (a

1

+ a

2

, b

1

+ b

2

) -dodawanie liczb zespolonych

• z

1

· z

2

= (a

1

a

2

− b

1

b

2

, a

1

b

2

+ a

2

b

1

) -mno»enie liczb zespolonych.

Przykªady:

1. (3, 5) + (−2, 1) = (3 − 2, 5 + 1) = (1, 6)

2. (3, 5) · (−2, 1) = (3 · (−2) − 5 · 1, 3 · 1 + (−2) · 5) = (−11, −7).

Geometryczne liczb¦ zespolon¡ z = (a, b) interpretujemy na pªaszczy¹nie jako punkt o wspóª- rz¦dnych (a, b), albo jako wektor o pocz¡tku w punkcie (0, 0) i ko«cu w punkcie (a, b). Zbór wszyst- kich liczb zespolonych nazywamy pªaszczyzn¡ zespolon¡.

O± poziom¡ (Re z) nazywamy osi¡ rzeczywist¡, a o± pionow¡ (Im z) osi¡ urojon¡.

Liczby zespolone jako wielomiany

Ze zbioru liczb zespolonych mo»na wyodr¦bni¢ podzbiory o elementach (a, 0), które wzgl¦dem dodawania i mno»enia jego elementów ma analogiczne wªa±ciwo±ci jak zbiór liczb R :

(a

1

, 0) + (a

2

, 0) = (a

1

+ a

2

, 0), (a

1

, 0) · (a

2

, 0) = (a

1

· a

2

, 0).

Wobec tego zbiór liczb rzeczywistych jest podzbiorem zbioru liczb zespolonych: R ⊂ C. Zamiast (a, 0) b¦dziemy pisa¢ a.

Natomiast liczby postaci (0,b), ró»nej od zera, nie mo»na w analogiczny sposób uto»sami¢ z

»adn¡ liczb¡ rzeczywist¡.

St¡d mamy nast¦puj¡c¡ denicj¦:

Denicja: Liczb¦ (0, 1) b¦dziemy nazywa¢ jednostk¡ urojon¡ (jedynk¡ urojon¡) oraz oznacza¢

symbolem i 

i = (0, 1)  .

Jedynk¡ urojon¡ dlatego, »e i

2

= −1 :

i

2

= (0, 1) · (0, 1) = (0 · 0 − 1 · 1, 0 · 1 + 1 · 0) = (−1, 0) = −1.

(3)

Liczb¦ zespolon¡ z = (a, b) mo»emy zapisa¢:

z = (a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (b, 0) · (0, 1) = a + bi.

Posta¢ z = a + bi nazywamy postaci¡ algebraiczn¡ liczby zespolonej (postaci¡ kanoniczn¡ Gaussa).

Zatem, mamy

C = a + bi : a, b ∈ R, i

2

= −1 . Niech z = a + bi, gdzie a, b ∈ R, b¦dzie liczb¡ zespolon¡. Wówczas:

• liczb¦ a nazywamy cz¦±ci¡ rzeczywist¡ (ªac. realis) liczby zespolonej z, co oznaczamy: Re z = a ;

• liczb¦ b nazywamy cz¦±ci¡ urojon¡ (ªac. imaginarius) liczby zespolonej z, co oznaczamy: Im z = b .

Dodawanie, odejmowanie i mno»enie liczb zespolonych w postaci algebraicznej wykonujemy jak odpowiednie dziaªania na wielomianach zmiennej i zachowuj¡c warunek i

2

= −1 oraz odpowiednio

i

3

= i

2

· i = −i, i

4

= i

2

· i

2

= 1,

i

5

= i

3

· i

2

= i, itd.

Przykªady:

1) (3 + 5i) + (−2 + i) = (3 − 2) + (5 + 1)i = 1 + 6i

2) (3+5i)·(−2+i) = 3·(−2)+3·i+5i·(−2)+5i·i = −6 + 3i − 10i + 5i

2

=

−6 − 7i + 5 · (−1) = −11 − 7i.

Sprz¦»enie liczby zespolonej

Denicja. Liczb¦ sprz¦»on¡ do liczby zespolonej z = a + bi oznaczamy poprzez z i okre±lamy wzorem:

z = a − bi.

(4)

Przykªady:

1) 3 + 5i = 3 − 5i;

2) −2 − 4i = −2 + 4i.

Wªasno±ci sprz¦»enia: Niech z, z

1

, z

2

b¦d¡ liczbami zespolonymi. Wówczas:

1. z

1

± z

2

= z

1

± z

2

, 2. z

1

· z

2

= z

1

· z

2

, 3. 

z1

z2



=

zz1

2

, dla z

2

6= 0 = (0, 0), 4. (z) = z.

Dzielenie liczb zespolonych

Aby podzieli¢ liczb¦ zespolon¡ z

1

= a

1

+ ib

1

, przez liczb¦ zespolon¡ z

2

= a

2

+ ib

2

nale»y dzieln¡ i dzielnik pomno»y¢ przez liczb¦ sprz¦»on¡ do dzielnika (z

2

):

z

1

z

2

= a

1

+ ib

1

a

2

+ ib

2

= a

1

+ ib

1

a

2

+ ib

2

· a

2

− ib

2

a

2

− ib

2

= (a

1

a

2

+ b

1

b

2

) − i(a

1

b

2

− b

1

a

2

) a

22

+ b

22

Przykªad:

1 + 2i

3 − 4i = 1 + 2i

3 − 4i · 3 + 4i

3 + 4i = 3 + 4i + 6i − 8

3

2

+ 4

2

= −5 + 10i 25 = − 1

5 + 2 5 i Funkcje trygonometryczne - wtr¡cenie

Zdeniujmy funkcje trygonometryczne dowolnego k¡ta α ∈ [0, 2π) :

sin α = y

r , cos α = x r , tg α = y

x , ctg α = x y ,

gdzie r to odlegªo±¢ punktu P (x, y) od pocz¡tku ukªadu wspóªrz¦dnych, wi¦c r = px

2

+ y

2

.

(5)

Rysunek 1: wykres funkcji sinus

Rysunek 2: wykres funkcji kosinus

Rysunek 3: wykres funkcji tanges

Rysunek 4: wykres funkcji kotanges

(6)

Znaki funkcji trygonometrycznych w ¢wiartkach

ϕ I ¢w. II ¢w. III ¢w. IV ¢w.

sin ϕ + + − −

cos ϕ + − − +

tg ϕ + − + −

ctg ϕ + − + −

Mo»na nauczy¢ si¦ wierszyka, który obrazuje powy»sz¡ tabel¦: w pierwszej ¢wiartce same plusy, w drugiej tylko sinus(jest dodatni), w trzeciej tangens i kotangens, a w czwartej kosinus.

Wzory redukcyjne

ϕ

π2

− α

π2

+ α π − α π + α

2

− α

2

+ α 2π − α sin ϕ cos α cos α sin α − sin α − cos α − cos α − sin α cos ϕ sin α − sin α − cos α − cos α − sin α sin α cos α

tg ϕ ctg α − ctg α − tg α tg α ctg α − ctg α − tg α ctg ϕ tg α − tg α − ctg α ctg α tg α − tg α − ctg α Pewne wªasno±ci funkcji trygonometrycznych:

• funkcje sinus, tangens, kotangens s¡ funkcjami nieparzystymi tzn.

sin(−x) = − sin x, tg(−x) = − tg x, ctg(−x) = − ctg x;

• funkcja kosinus jest parzysta tzn.

cos(−x) = cos x;

• funkcje sinus i kosinus s¡ okresowe o okresie podstawowym 2π tzn.

k∈Z

, sin(x + 2π · k) = sin x, cos(x + 2π · k) = cos x;

• funkcje tangens i kotangens s¡ okresowe o okresie podstawowym π tzn.

k∈Z

, tg(x + π · k) = tg x, ctg(x + π · k) = ctg x.

Przykªad. Wykorzystuj¡c wªasno±ci (równie» wzory redukcyjne) funkcji trygonometrycznych mamy:

a) sin

54

π = sin(π +

π4

) = − sin

π4

= −

√ 2 2

;

b) cos(−23

13

π) = cos 23

13

π = cos 1

13

π = cos(π +

π3

) = − cos

π3

= −

12

; c) tg 3

34

π = tg

34

π = tg(

π2

+

π4

) = − ctg

π4

= −1;

d) ctg(−

253

π) = − ctg 8

13

π = − ctg

13

= −

√3 3

.

(7)

Moduª liczby zespolonej

Denicja.Moduªem liczby zespolonej z = a + ib nazywamy liczb¦ rzeczywist¡ |z| okre±lon¡ nast¦- puj¡co:

|z| = √

a

2

+ b

2

. Ma on nast¦puj¡ce wªasno±ci:

1. |z| = |z|,

2. |z

1

· z

2

| = |z

1

| · |z

2

|, 3. |z

n

| = |z|

n

,

4.

z1

z2

=

|z|z1|

2|

,

5. |z

1

+ z

2

| ≤ |z

1

| + |z

2

|.

Przykªad.

|3 − 4i| = p3

2

+ (−4)

2

= √

25 = 5.

Argument liczby zespolonej

Denicja. Argumentem niezerowej liczby zespolonej z = a + bi (ozn. arg z ) nazywamy ka»d¡

liczb¦ ϕ ∈ R speªniaj¡c¡ warunki:

cos ϕ = a

|z| oraz sin ϕ = b

|z| .

Argument liczby z = 0 jest nieokre±lony. Argumentem gªównym niezerowej liczby z (ozn. Arg z ) nazywamy ten argument ϕ liczby z, nale»y do przedziaªu [0, 2π).

Interpretacja geometryczna moduªu i argumentu liczby zespolonej:

(8)

Posta¢ trygonometryczna liczby zespolonej Dokonujemy przeksztaªcenia dla liczby zespolonej z 6= 0 :

z = a + bi = √

a

2

+ b

2

·

 a

√ a

2

+ b

2

+ i b

√ a

2

+ b

2



= |z|(cos ϕ + i sin ϕ).

Otrzyman¡ posta¢ z = |z|(cos ϕ + i sin ϕ) nazywamy postaci¡ trygonometryczn¡ liczby zespolonej.

Przykªad: Napisa¢ w postaci trygonometrycznej liczb¦ z = √ 3 + i.

Liczymy moduª: |z| = q √

3

2

+ 1

2

= 2.

Liczymy argument:

( cos ϕ =

√3 2

sin ϕ =

12

⇒ ϕ = π

6 + 2kπ, k ∈ N.

St¡d liczba z = √

3 + i ma nast¦puj¡c¡ posta¢ trygonometryczn¡

z = 2  cos π

6 + i sin π 6

 .

Posta¢ wykªadnicza liczby zespolonej Korzystaj¡c ze wzorów Eulera:

cos ϕ = e

+ e

−iϕ

2 , sin ϕ = e

− e

−iϕ

2i mamy:

e

= cos ϕ + i sin ϕ.

Wobec tego Mo»emy zapisa¢

z = |z|(cos ϕ + i sin ϕ) = |z|e

. Posta¢ z = |z|e

nazywamy postaci¡ wykªadnicz¡ liczby zespolonej.

Przykªad: Liczba zespolona z = √

3 + i korzystaj¡c z wylicze« poprzedniego przykªadu ma na- st¦puj¡c¡ posta¢ wykªadnicz¡

z = 2e

π6i

.

Mno»enie i dzielenie liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej Denicja. Dwie liczby zespolonych s¡ równe:

• |z

1

| = 0 ⇒ z

1

= z

2

⇔ |z

2

| = 0,

• |z

1

| 6= 0 ∧ |z

2

| 6= 0 ⇒ z

1

= z

2

⇔ (|z

1

| = |z

2

| ∧ Arg z

1

= Arg z

2

).

Twierdzenie. Niech z

1

, z

2

∈ C i z

1

= r

1

(cos ϕ

1

+ i sin ϕ

1

), z

2

= r

2

(cos ϕ

2

+ i sin ϕ

2

), gdzie r

1

=

|z

1

|, r

2

= |z

2

|. Wówczas:

• z

1

· z

2

= [r

1

(cos ϕ

1

+ i sin ϕ

1

)] · [r

2

(cos ϕ

2

+ i sin ϕ

2

)] = r

1

r

2

[(cos ϕ

1

cos ϕ

2

− sin ϕ

1

sin ϕ

2

) + i(cos ϕ

1

sin ϕ

2

+ sin ϕ

1

cos ϕ

2

)] = r

1

· r

2

[cos(ϕ

1

+ ϕ

2

) + i sin(ϕ

1

+ ϕ

2

)]

zz1

=

rr1

[cos(ϕ

1

− ϕ

2

) + i sin(ϕ

1

− ϕ

2

)].

(9)

Wniosek. Niech z

1

, z

2

∈ C. Wówczas:

• arg (z

1

· z

2

) = arg z

1

+ arg z

2

,

• arg 

z1

z2



= arg z

1

− arg z

2

,

• Arg (z

1

· z

2

) = Arg z

1

+ Arg z

2

± 2kπ dla pewnego k ∈ N,

• Arg 

z1

z2



= Arg z

1

− Arg z

2

± 2kπ dla pewnego k ∈ N.

Przykªad. Niech z

1

= √

2(cos

35

π + i sin

35

π) oraz z

2

= √

2[cos

25

π + i sin

25

π]. Wówczas:

z

1

· z

2

= 2(cos π + i sin π)

oraz z

1

z

2

= (cos 1

5 π + i sin 1 5 π).

Pot¦gowanie liczb zespolonych Twierdzenie. (Wzór de Moivre'a)

Niech z = r(cos ϕ + i sin ϕ) b¦dzie dowoln¡ liczb¡ zespolon¡ oraz n ∈ N. Wówczas zachodzi wzór z

n

= r

n

(cos nϕ + i sin nϕ).

Uwaga. Powy»szy wzór zachodzi równie» dla liczb caªkowitych ujemnych.

Przykªad. Obliczy¢ (1 − i)

8

. Obliczaj¡c mamy |z| = √

2 oraz Arg φ =

74

π. Wobec tego

(1 − i)

8

=

 √ 2

 cos 7

4 π + i sin 7 4 π



8

= √ 2

8



cos  7π 4 · 8



+ i sin  7π 4 · 8



= 16[cos 14π + i sin 14π] = 16[1 + i · 0] = 16.

Pierwiastkowanie liczb zespolonych

Denicja. Pierwiastkiem stopnia n ∈ N z liczby zespolonej z nazywamy ka»d¡ liczb¦ zespolon¡ w speªniaj¡c¡ warunek: w

n

= z.

Twierdzenie. Dla ka»dej liczby zespolonej z = r(cosϕ + i sin ϕ) istnieje dokªadnie n ró»nych liczb zespolonych z

0

, z

1

, . . . , z

n−1

takich, »e (z

k

)

n

= z. Pierwiastki te wyra»aj¡ si¦ wzorem:

z

k

= √

n

r



cos ϕ + 2kπ

n + i sin ϕ + 2kπ n



dla k = 0, 1, 2, . . . , n − 1.

Geometryczne zbiór pierwiastków stopnia n ≥ 3 z liczby zespolonej z pokrywa si¦ ze zbio- rem wierzchoªków n-k¡ta foremnego wpisanego w okr¡g o promieniu √

n

r i o ±rodku w pocz¡tku

ukªadu wspóªrz¦dnych. Wierzchoªki wyznaczone s¡ w punktach z

0

, z

1

, ..., z

n−1

, a k¡t pomi¦dzy ich

s¡siednimi promieniami wodz¡cymi wynosi

n

.

(10)

Zadania

1.Wykonaj podane dziaªania w zbiorze liczb zespolonych. Wynik przedstaw w postaci algebraicznej.

(a) (−4 + 3i) + (8 − 7i) (b) (4i − 3) − (1 − 10i) (c) (1 + √

2i) − ( √

3 − 6i) (d) ( √

2 + i)(3 − √

3i) (e) ( √ 7 + √

3i)( √ 7 + √

3i) (f ) (3 − 2i)(1 + i) + |3 + 4i|

(g)

i(2−3i)5+4i

(h)

(2−3i)1−i2

3−7i2−3i

(i)

(1−i)(1+i)33−1+1

3. W zbiorze liczb zespolonych rozwi¡» podane równania.

(a) z

2

− 4z + 13 = 0 (b) z + i − z + i = 0 (c) (i − 3)z = 5 + i − z (d) z

2

+ (2 + 2i)z + 3 − 2i = 0 (e)

z−2i+13+i

=

2−izi−1

(f )

(i+1)Re z−iz−2iIm z−i

= 1 − 3i (g) z

2

+ (1 + 3i)z + i − 2 = 0 (h) z

2

− 6z + 10 = 0

4. Na pªaszczy¹nie zespolonej narysowa¢ zbiory liczb speªniaj¡ce podane warunki.

(a) Re z = 3 (b) Im z = −2 (c) |z − 2i| < 3

(d)

π3

< arg z <

43

π (e) 1 < |z − 3 + 2i| < 3 (f ) |z

2

| ≥ | Im (4z)| + 5 5. Przedstaw w postaci trygonometrycznej nast¦puj¡ce liczby zespolone.

(a) 5 (b) i (c) − i (d) − 2 + 2i (e) 1 − i (f ) √

3 − i (g) √ 2 − √

6i

6. Korzystaj¡c ze wzorów redukcyjnych oraz wªasno±ci funkcji trygonometrycznych oblicz:

(a) sin 135

o

(b) cos

23

π (c) tg

56

π (d) cos 180

o

(e) ctg

54

π (f ) sin 210

o

(g) sin

32

π (h) ctg 315

o

(i) cos 330

o

(j) sin

73

π (k) cos

113

π (l) tg 510

o

(m) ctg

323

π (n) sin 37

23

π (o) cos 58

43

π (p) tg 1001

74

π

7. Oblicz i zapisz w postaci algebraicznej.

(a) ( √

3 − i)

32

(b) (2 √

3 − 2i)

30

(c) 

√1−i 3+i



6

(d) (cos 33

0

+ i sin 33

0

)

10

(e) (1 + i)

−6

(f )

(1+i)22

(1−√ 3i)6

(g)



1+i√ 7 2



4

+



1+i√ 7 2



4

(h) (1 + i)

8

· (1 − i √

3)

6

(i) (1 + i)

8

+ (1 − i)

8

(j)

(1+i)42

(√

3−i)17

(k)

(1−i

√3)6

i9(1+i)3

(l) 

−√ 3+i 1−i



20

8. Oblicz i narysuj na pªaszczy¹nie zespolonej.

(a) √

3

1 (b) √

6

64 (c) √

4

116i (d) √

5

1 + i (e) p 1 − √

3i (f ) √

5

−1 − i (g) p√

8

3 − i (h) √

4

1 + i (i) √

3 − 4i (j) √

−3 − 4i

Literatura:

1. Jurlewicz T., Skoczylas Z., Algebra i geometria analityczna. Denicje, twierdzenia, wzory, wyd. Ocyna Wydawnicza GiS, 2008r.

2. Jurlewicz T., Skoczylas Z., Algebra i geometria analityczna. Przykªady i zadania, wyd. O- cyna Wydawnicza GiS, 2008r.

3. Gewert M., Skoczylas Z., Analiza matematyczna 1. Denicje, twierdzenia, wzory., wyd.

Ocyna Wydawnicza GiS, 2001r.

4. Krysicki W., Wªodarski L., Analiza matematyczna w zadaniach., wyd. PWN, t.I, 2001r.

5. Gewert M., Skoczylas Z., Analiza matematyczna 1. Przykªady i zadania., wyd. Ocyna

Wydawnicza GiS, 2001r.

(11)

6. Siewierski L., ‚wiczenia z anzlizy matematycznej., wyd. PWN, 1982r.

7. Borsuk M., Dawidowicz A., Wykªady z analizy matematycznej., wyd. WSIiE TWP, 1998r.

Cytaty

Powiązane dokumenty

[r]

Najpierw Onufry kładzie swój klocek przykrywaj a , c jedno pole szachownicy, a nast e , pnie Joasia próbuje swoimi klockami pokryć reszt e , szachownicy. (a) Wykazać, że

Zauważmy najpierw, że z pewnego punktu wychodzą co najmniej 4 odcinki; w przeciwnym razie wszystkich odcinków byłoby co najwyżej 3·6 2 = 9, a jest ich 10. Oznaczmy więc dane

Liczb z rozpatrywnego zbioru spełniających każdą z tych podzielności jest 223, a więc łącznie istnieje dokładnie 446 liczb spełniających warunki zadania.. Czy istnieje

Materiaª teoretyczny: Twierdzenie o pierwiastach wymiernych wielomianu.. Kryterium

Materiaª teoretyczny: Pier±cienie wielomianów: denicja, podstawowe wªasno±ci (stopie« wielo- mianu, R: dziedzina ⇒ R[X]: dziedzina).. Ciaªo uªamków dziedziny: konstrukcja

Pier±cienie wielomianów: denicja, podstawowe wªasno±ci (stopie« wielomianu, R: dziedzina ⇒ R[X]: dziedzina).. Wielo- miany a

Wykaza¢, »e spo±ród liczb pierwszych jest niesko«czenie wiele:.. (a) elementów nierozkªadalnych Z[i], (b) elementów