Liczby zespolone
Oznaczenia B¦dziemy u»ywali nast¦puj¡cych oznacze«:
• N = {1, 2, 3, . . .}- zbiór liczb naturalnych,
• Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}- zbiór liczb caªkowitych,
• Q = {
ab: a, b ∈ Z, b 6= 0}- zbiór liczb wymiernych,
• R- zbiór liczb rzeczywistych,
• R
+- zbiór liczb rzeczywistych dodatnich,
• x ∈ X - oznacza, »e element x nale»y do zbioru X,
• ∀ -kwantykator ogólny (du»y),
• ∀
x∈Xφ(x) czyt.: dla ka»dego x nale»¡cego do zb. X zachodzi φ(x),
• ∃ -kwantykator szczegóªowy (maªy),
• ∃
x∈Xφ(x) czyt.: istnieje x nale»¡cy do zb. X taki, »e zachodzi φ(x) Iloczyn kartezja«ski
B¦dziemy u»ywali nast¦puj¡cych oznacze«:
• A ⊂ X -zb. A jest podzbiorem zb. X ∀
x(x ∈ A ⇒ x ∈ X) ,
• ∅ - zbiór pusty.
Iloczyn kartezja«ski zbiorów A i B to, z denicji, zbiór zªo»ony z uporz¡dkowanych par elementów zbiorów A i B :
A × B = {(a, b) : a ∈ A, b ∈ B} . Przykªad:
Niech A = {1, 2, 3}, B = {p, q}. Wówczas iloczyn kartezja«ski zbiorów A i B:
A × B = n
(1, p), (1, q), (2, p), (2, q), (3, p), (3, q) o . Liczby zespolone jako pary liczb rzeczywistych
Denicja. Liczbami zespolonymi nazywamy uporz¡dkowane pary liczb rzeczywistych np. (a, b).
Liczb¦ zespolon¡ oznaczamy najcz¦±ciej przez z, (z
1, z
2, z
3, . . . ), a zbiór wszystkich liczb zespolo- nych oznaczamy symbolem C (ªac. complexus - zespolony). Zatem:
C = R × R = n
z = (a, b) : a, b ∈ R o .
Niech z
1= (a
1, b
1), z
2= (a
2, b
2) b¦d¡ dwiema dowolnymi liczbami zespolonymi. W zbiorze C
wprowadzamy dziaªania dodawania i mno»enia liczb zespolonych:
• z
1+ z
2= (a
1+ a
2, b
1+ b
2) -dodawanie liczb zespolonych
• z
1· z
2= (a
1a
2− b
1b
2, a
1b
2+ a
2b
1) -mno»enie liczb zespolonych.
Przykªady:
1. (3, 5) + (−2, 1) = (3 − 2, 5 + 1) = (1, 6)
2. (3, 5) · (−2, 1) = (3 · (−2) − 5 · 1, 3 · 1 + (−2) · 5) = (−11, −7).
Geometryczne liczb¦ zespolon¡ z = (a, b) interpretujemy na pªaszczy¹nie jako punkt o wspóª- rz¦dnych (a, b), albo jako wektor o pocz¡tku w punkcie (0, 0) i ko«cu w punkcie (a, b). Zbór wszyst- kich liczb zespolonych nazywamy pªaszczyzn¡ zespolon¡.
O± poziom¡ (Re z) nazywamy osi¡ rzeczywist¡, a o± pionow¡ (Im z) osi¡ urojon¡.
Liczby zespolone jako wielomiany
Ze zbioru liczb zespolonych mo»na wyodr¦bni¢ podzbiory o elementach (a, 0), które wzgl¦dem dodawania i mno»enia jego elementów ma analogiczne wªa±ciwo±ci jak zbiór liczb R :
(a
1, 0) + (a
2, 0) = (a
1+ a
2, 0), (a
1, 0) · (a
2, 0) = (a
1· a
2, 0).
Wobec tego zbiór liczb rzeczywistych jest podzbiorem zbioru liczb zespolonych: R ⊂ C. Zamiast (a, 0) b¦dziemy pisa¢ a.
Natomiast liczby postaci (0,b), ró»nej od zera, nie mo»na w analogiczny sposób uto»sami¢ z
»adn¡ liczb¡ rzeczywist¡.
St¡d mamy nast¦puj¡c¡ denicj¦:
Denicja: Liczb¦ (0, 1) b¦dziemy nazywa¢ jednostk¡ urojon¡ (jedynk¡ urojon¡) oraz oznacza¢
symbolem i
i = (0, 1) .
Jedynk¡ urojon¡ dlatego, »e i
2= −1 :
i
2= (0, 1) · (0, 1) = (0 · 0 − 1 · 1, 0 · 1 + 1 · 0) = (−1, 0) = −1.
Liczb¦ zespolon¡ z = (a, b) mo»emy zapisa¢:
z = (a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (b, 0) · (0, 1) = a + bi.
Posta¢ z = a + bi nazywamy postaci¡ algebraiczn¡ liczby zespolonej (postaci¡ kanoniczn¡ Gaussa).
Zatem, mamy
C = a + bi : a, b ∈ R, i
2= −1 . Niech z = a + bi, gdzie a, b ∈ R, b¦dzie liczb¡ zespolon¡. Wówczas:
• liczb¦ a nazywamy cz¦±ci¡ rzeczywist¡ (ªac. realis) liczby zespolonej z, co oznaczamy: Re z = a ;
• liczb¦ b nazywamy cz¦±ci¡ urojon¡ (ªac. imaginarius) liczby zespolonej z, co oznaczamy: Im z = b .
Dodawanie, odejmowanie i mno»enie liczb zespolonych w postaci algebraicznej wykonujemy jak odpowiednie dziaªania na wielomianach zmiennej i zachowuj¡c warunek i
2= −1 oraz odpowiednio
i
3= i
2· i = −i, i
4= i
2· i
2= 1,
i
5= i
3· i
2= i, itd.
Przykªady:
1) (3 + 5i) + (−2 + i) = (3 − 2) + (5 + 1)i = 1 + 6i
2) (3+5i)·(−2+i) = 3·(−2)+3·i+5i·(−2)+5i·i = −6 + 3i − 10i + 5i
2=
−6 − 7i + 5 · (−1) = −11 − 7i.
Sprz¦»enie liczby zespolonej
Denicja. Liczb¦ sprz¦»on¡ do liczby zespolonej z = a + bi oznaczamy poprzez z i okre±lamy wzorem:
z = a − bi.
Przykªady:
1) 3 + 5i = 3 − 5i;
2) −2 − 4i = −2 + 4i.
Wªasno±ci sprz¦»enia: Niech z, z
1, z
2b¦d¡ liczbami zespolonymi. Wówczas:
1. z
1± z
2= z
1± z
2, 2. z
1· z
2= z
1· z
2, 3.
z1
z2
=
zz12
, dla z
26= 0 = (0, 0), 4. (z) = z.
Dzielenie liczb zespolonych
Aby podzieli¢ liczb¦ zespolon¡ z
1= a
1+ ib
1, przez liczb¦ zespolon¡ z
2= a
2+ ib
2nale»y dzieln¡ i dzielnik pomno»y¢ przez liczb¦ sprz¦»on¡ do dzielnika (z
2):
z
1z
2= a
1+ ib
1a
2+ ib
2= a
1+ ib
1a
2+ ib
2· a
2− ib
2a
2− ib
2= (a
1a
2+ b
1b
2) − i(a
1b
2− b
1a
2) a
22+ b
22Przykªad:
1 + 2i
3 − 4i = 1 + 2i
3 − 4i · 3 + 4i
3 + 4i = 3 + 4i + 6i − 8
3
2+ 4
2= −5 + 10i 25 = − 1
5 + 2 5 i Funkcje trygonometryczne - wtr¡cenie
Zdeniujmy funkcje trygonometryczne dowolnego k¡ta α ∈ [0, 2π) :
sin α = y
r , cos α = x r , tg α = y
x , ctg α = x y ,
gdzie r to odlegªo±¢ punktu P (x, y) od pocz¡tku ukªadu wspóªrz¦dnych, wi¦c r = px
2+ y
2.
Rysunek 1: wykres funkcji sinus
Rysunek 2: wykres funkcji kosinus
Rysunek 3: wykres funkcji tanges
Rysunek 4: wykres funkcji kotanges
Znaki funkcji trygonometrycznych w ¢wiartkach
ϕ I ¢w. II ¢w. III ¢w. IV ¢w.
sin ϕ + + − −
cos ϕ + − − +
tg ϕ + − + −
ctg ϕ + − + −
Mo»na nauczy¢ si¦ wierszyka, który obrazuje powy»sz¡ tabel¦: w pierwszej ¢wiartce same plusy, w drugiej tylko sinus(jest dodatni), w trzeciej tangens i kotangens, a w czwartej kosinus.
Wzory redukcyjne
ϕ
π2− α
π2+ α π − α π + α
3π2− α
3π2+ α 2π − α sin ϕ cos α cos α sin α − sin α − cos α − cos α − sin α cos ϕ sin α − sin α − cos α − cos α − sin α sin α cos α
tg ϕ ctg α − ctg α − tg α tg α ctg α − ctg α − tg α ctg ϕ tg α − tg α − ctg α ctg α tg α − tg α − ctg α Pewne wªasno±ci funkcji trygonometrycznych:
• funkcje sinus, tangens, kotangens s¡ funkcjami nieparzystymi tzn.
sin(−x) = − sin x, tg(−x) = − tg x, ctg(−x) = − ctg x;
• funkcja kosinus jest parzysta tzn.
cos(−x) = cos x;
• funkcje sinus i kosinus s¡ okresowe o okresie podstawowym 2π tzn.
∀
k∈Z, sin(x + 2π · k) = sin x, cos(x + 2π · k) = cos x;
• funkcje tangens i kotangens s¡ okresowe o okresie podstawowym π tzn.
∀
k∈Z, tg(x + π · k) = tg x, ctg(x + π · k) = ctg x.
Przykªad. Wykorzystuj¡c wªasno±ci (równie» wzory redukcyjne) funkcji trygonometrycznych mamy:
a) sin
54π = sin(π +
π4) = − sin
π4= −
√ 2 2
;
b) cos(−23
13π) = cos 23
13π = cos 1
13π = cos(π +
π3) = − cos
π3= −
12; c) tg 3
34π = tg
34π = tg(
π2+
π4) = − ctg
π4= −1;
d) ctg(−
253π) = − ctg 8
13π = − ctg
13= −
√3 3
.
Moduª liczby zespolonej
Denicja.Moduªem liczby zespolonej z = a + ib nazywamy liczb¦ rzeczywist¡ |z| okre±lon¡ nast¦- puj¡co:
|z| = √
a
2+ b
2. Ma on nast¦puj¡ce wªasno±ci:
1. |z| = |z|,
2. |z
1· z
2| = |z
1| · |z
2|, 3. |z
n| = |z|
n,
4.
z1
z2
=
|z|z1|2|
,
5. |z
1+ z
2| ≤ |z
1| + |z
2|.
Przykªad.
|3 − 4i| = p3
2+ (−4)
2= √
25 = 5.
Argument liczby zespolonej
Denicja. Argumentem niezerowej liczby zespolonej z = a + bi (ozn. arg z ) nazywamy ka»d¡
liczb¦ ϕ ∈ R speªniaj¡c¡ warunki:
cos ϕ = a
|z| oraz sin ϕ = b
|z| .
Argument liczby z = 0 jest nieokre±lony. Argumentem gªównym niezerowej liczby z (ozn. Arg z ) nazywamy ten argument ϕ liczby z, nale»y do przedziaªu [0, 2π).
Interpretacja geometryczna moduªu i argumentu liczby zespolonej:
Posta¢ trygonometryczna liczby zespolonej Dokonujemy przeksztaªcenia dla liczby zespolonej z 6= 0 :
z = a + bi = √
a
2+ b
2·
a
√ a
2+ b
2+ i b
√ a
2+ b
2= |z|(cos ϕ + i sin ϕ).
Otrzyman¡ posta¢ z = |z|(cos ϕ + i sin ϕ) nazywamy postaci¡ trygonometryczn¡ liczby zespolonej.
Przykªad: Napisa¢ w postaci trygonometrycznej liczb¦ z = √ 3 + i.
Liczymy moduª: |z| = q √
3
2+ 1
2= 2.
Liczymy argument:
( cos ϕ =
√3 2
sin ϕ =
12⇒ ϕ = π
6 + 2kπ, k ∈ N.
St¡d liczba z = √
3 + i ma nast¦puj¡c¡ posta¢ trygonometryczn¡
z = 2 cos π
6 + i sin π 6
.
Posta¢ wykªadnicza liczby zespolonej Korzystaj¡c ze wzorów Eulera:
cos ϕ = e
iϕ+ e
−iϕ2 , sin ϕ = e
iϕ− e
−iϕ2i mamy:
e
iϕ= cos ϕ + i sin ϕ.
Wobec tego Mo»emy zapisa¢
z = |z|(cos ϕ + i sin ϕ) = |z|e
iϕ. Posta¢ z = |z|e
iϕnazywamy postaci¡ wykªadnicz¡ liczby zespolonej.
Przykªad: Liczba zespolona z = √
3 + i korzystaj¡c z wylicze« poprzedniego przykªadu ma na- st¦puj¡c¡ posta¢ wykªadnicz¡
z = 2e
π6i.
Mno»enie i dzielenie liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej Denicja. Dwie liczby zespolonych s¡ równe:
• |z
1| = 0 ⇒ z
1= z
2⇔ |z
2| = 0,
• |z
1| 6= 0 ∧ |z
2| 6= 0 ⇒ z
1= z
2⇔ (|z
1| = |z
2| ∧ Arg z
1= Arg z
2).
Twierdzenie. Niech z
1, z
2∈ C i z
1= r
1(cos ϕ
1+ i sin ϕ
1), z
2= r
2(cos ϕ
2+ i sin ϕ
2), gdzie r
1=
|z
1|, r
2= |z
2|. Wówczas:
• z
1· z
2= [r
1(cos ϕ
1+ i sin ϕ
1)] · [r
2(cos ϕ
2+ i sin ϕ
2)] = r
1r
2[(cos ϕ
1cos ϕ
2− sin ϕ
1sin ϕ
2) + i(cos ϕ
1sin ϕ
2+ sin ϕ
1cos ϕ
2)] = r
1· r
2[cos(ϕ
1+ ϕ
2) + i sin(ϕ
1+ ϕ
2)]
•
zz1=
rr1[cos(ϕ
1− ϕ
2) + i sin(ϕ
1− ϕ
2)].
Wniosek. Niech z
1, z
2∈ C. Wówczas:
• arg (z
1· z
2) = arg z
1+ arg z
2,
• arg
z1
z2
= arg z
1− arg z
2,
• Arg (z
1· z
2) = Arg z
1+ Arg z
2± 2kπ dla pewnego k ∈ N,
• Arg
z1
z2
= Arg z
1− Arg z
2± 2kπ dla pewnego k ∈ N.
Przykªad. Niech z
1= √
2(cos
35π + i sin
35π) oraz z
2= √
2[cos
25π + i sin
25π]. Wówczas:
z
1· z
2= 2(cos π + i sin π)
oraz z
1z
2= (cos 1
5 π + i sin 1 5 π).
Pot¦gowanie liczb zespolonych Twierdzenie. (Wzór de Moivre'a)
Niech z = r(cos ϕ + i sin ϕ) b¦dzie dowoln¡ liczb¡ zespolon¡ oraz n ∈ N. Wówczas zachodzi wzór z
n= r
n(cos nϕ + i sin nϕ).
Uwaga. Powy»szy wzór zachodzi równie» dla liczb caªkowitych ujemnych.
Przykªad. Obliczy¢ (1 − i)
8. Obliczaj¡c mamy |z| = √
2 oraz Arg φ =
74π. Wobec tego
(1 − i)
8=
√ 2
cos 7
4 π + i sin 7 4 π
8= √ 2
8cos 7π 4 · 8
+ i sin 7π 4 · 8
= 16[cos 14π + i sin 14π] = 16[1 + i · 0] = 16.
Pierwiastkowanie liczb zespolonych
Denicja. Pierwiastkiem stopnia n ∈ N z liczby zespolonej z nazywamy ka»d¡ liczb¦ zespolon¡ w speªniaj¡c¡ warunek: w
n= z.
Twierdzenie. Dla ka»dej liczby zespolonej z = r(cosϕ + i sin ϕ) istnieje dokªadnie n ró»nych liczb zespolonych z
0, z
1, . . . , z
n−1takich, »e (z
k)
n= z. Pierwiastki te wyra»aj¡ si¦ wzorem:
z
k= √
nr
cos ϕ + 2kπ
n + i sin ϕ + 2kπ n
dla k = 0, 1, 2, . . . , n − 1.
Geometryczne zbiór pierwiastków stopnia n ≥ 3 z liczby zespolonej z pokrywa si¦ ze zbio- rem wierzchoªków n-k¡ta foremnego wpisanego w okr¡g o promieniu √
nr i o ±rodku w pocz¡tku
ukªadu wspóªrz¦dnych. Wierzchoªki wyznaczone s¡ w punktach z
0, z
1, ..., z
n−1, a k¡t pomi¦dzy ich
s¡siednimi promieniami wodz¡cymi wynosi
2πn.
Zadania
1.Wykonaj podane dziaªania w zbiorze liczb zespolonych. Wynik przedstaw w postaci algebraicznej.
(a) (−4 + 3i) + (8 − 7i) (b) (4i − 3) − (1 − 10i) (c) (1 + √
2i) − ( √
3 − 6i) (d) ( √
2 + i)(3 − √
3i) (e) ( √ 7 + √
3i)( √ 7 + √
3i) (f ) (3 − 2i)(1 + i) + |3 + 4i|
(g)
i(2−3i)5+4i(h)
(2−3i)1−i2−
3−7i2−3i(i)
(1−i)(1+i)33−1+13. W zbiorze liczb zespolonych rozwi¡» podane równania.
(a) z
2− 4z + 13 = 0 (b) z + i − z + i = 0 (c) (i − 3)z = 5 + i − z (d) z
2+ (2 + 2i)z + 3 − 2i = 0 (e)
z−2i+13+i=
2−izi−1(f )
(i+1)Re z−iz−2iIm z−i= 1 − 3i (g) z
2+ (1 + 3i)z + i − 2 = 0 (h) z
2− 6z + 10 = 0
4. Na pªaszczy¹nie zespolonej narysowa¢ zbiory liczb speªniaj¡ce podane warunki.
(a) Re z = 3 (b) Im z = −2 (c) |z − 2i| < 3
(d)
π3< arg z <
43π (e) 1 < |z − 3 + 2i| < 3 (f ) |z
2| ≥ | Im (4z)| + 5 5. Przedstaw w postaci trygonometrycznej nast¦puj¡ce liczby zespolone.
(a) 5 (b) i (c) − i (d) − 2 + 2i (e) 1 − i (f ) √
3 − i (g) √ 2 − √
6i
6. Korzystaj¡c ze wzorów redukcyjnych oraz wªasno±ci funkcji trygonometrycznych oblicz:
(a) sin 135
o(b) cos
23π (c) tg
56π (d) cos 180
o(e) ctg
54π (f ) sin 210
o(g) sin
32π (h) ctg 315
o(i) cos 330
o(j) sin
73π (k) cos
113π (l) tg 510
o(m) ctg
323π (n) sin 37
23π (o) cos 58
43π (p) tg 1001
74π
7. Oblicz i zapisz w postaci algebraicznej.
(a) ( √
3 − i)
32(b) (2 √
3 − 2i)
30(c)
√1−i 3+i
6(d) (cos 33
0+ i sin 33
0)
10(e) (1 + i)
−6(f )
(1+i)22(1−√ 3i)6
(g)
1+i√ 7 2 4+
1+i√ 7 2 4(h) (1 + i)
8· (1 − i √
3)
6(i) (1 + i)
8+ (1 − i)
8(j)
(1+i)42(√
3−i)17
(k)
(1−i√3)6
i9(1+i)3
(l)
−√ 3+i 1−i
20