Van Korrel-kracht tot Kust Texel: Van Micro tot Meso

I

I

I

I

I

I

Van Korrel-kracht tot Kust Texel:

van Micro tot Meso

I

door Vl.T.Bakker

I

I

I

Deel 1

I

I

I

I

I

I

Rijkswaterstaat

Technische Universiteit Delft Nederlands Centrum voor Kustonderzoek

I

I

I

I

I

Rooel

I

I

I

I

I

I

I

Van Korrel-kracht tot Kust Texel:van Micro tot Meso

I

W.T.Bakkerdoor

I

I

Deel 1

I

I

I

I

I

I

Rijkswaterstaat

Technische Universiteit Delft Nederlands Centrum voor Kustonderzoek

I

I

I

I

I

I

I

I

- 11- January 7. 1992

I

I

Table of Contents 1 Inleiding. ... 1

2 Eerste regel van de fuga: le roulenboule 1

2.1 Tweede-orde effecten. . 2

I

3 Tweede regel van de fuga: Grain meets grain 3

4 Derde regel van de fuga: Een korrelsuspensie 3

5 Korrels in dichte pakking 4

6 Bagnold: probleem. ...•... 6 7 Bailard. . 8 8 V. d.Kerk- profielen 9

I

I

I

I

I

9 Stabielè kustvormen 11

9.1 Inleiding tot hoofdstuk 9 ...•... 11 9.2 Het evenwichtsprofiel hangt af van de kromming van de kust 11 9.3 Voorbeeld van de berekeningsmethode: een kust met offshore

breakwaters ... ... 12

9.3.1 Inleiding tot par. 9.3 12

9.3.2 Het golfbeeld 12

9.3.3 Een eerste benadering van het evenwichtsprofiel 13 9.3.4 Het horizontaal alignement; algemene opmerkingen 13 9.3.5 Het horizontaal alignement, als de golfkammen

evenwij-dig aan de golfbrekers zouden zijn 14

9.3.6 het horizontaal alignement bij scheef invallende golven ...• . ... 15

I

9.3.7 De invloed van de kromming van de kust op het

evenwichtsprofiel ....;... 16 10 Lijntheorieen in het algemeen ...•... 17 10.1 Berekening van s bij de Bailard/Stive aanpak 18

11 Toekomstig onderzoek v.w.b. kustmodelering 19

12 Appendix A. Enige detaillering van de vergelijking van Bakker

&

van Kesteren (par.5) 20

13 Appendix B. Fragment uit "Nagels in Ning-tsjo" [47] 22 14 Appendix C: Verklaring van enige gebruikte termen 23

15 Literatuur 23

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

- 1- January 7, 1992 1 Inleiding.

Het patroon van de volgende lezing is zeer eenvoudig te herkennen.

De schering is de gang van micro- tot mesoschaal; de inslag het elimineren van periodieke processen die weliswaar beweging geven, maar geen resul-tante, die voor de daarop volgende grotere beschouwde schaal interessant is.

Startend bij het gedrag van één korrel in een visceuze vloeistof (hoofdstuk

2) wordt via twee korrels (hoofdstuk 3) en de korrelsuspensie (hoofdstuk 4) het transportgedrag van korrels in dichte pakking nagegaan (hoofdstuk S). Daarna komt de resulterende zandbeweging t.g.v. de orbitaalbeweging van golven aan de orde (hoofdstuk 6 en 7). Verder de schaal vergrotend wordt het evenwichtsprofiel en het bijna-evenwichtsprofiel met zijn asymptotisch gedrag besproken (hoofdstuk 8). Na dit twee-dimensionale probleem volgt het analoge drie-dimensionale: de stabiele en bijna-stabiele kustvorm (hoofd-stuk 9). Het zal blijken, dat het evenwichtsprofiel van een rechte kust aanzienlijk af kan wijken van dat van een gekromde kust. Als voorbeeld van de berekeningsmethode zal worden toegelicht, hoe de stabiele kustvorm bij een door offshore breakwaters verdedigde kust zou kunnen worden bepaald. Een verdere schaalvergroting volgt in hoofdstuk 10, waarin deze hele sta-biele (of bijna-stasta-biele) vorm door één of twee lijnen wordt gekarakteri-seerd en de essentie van de dynamiek in enkele constanten wordt

geparametriseerd.

Hiermee eindigt dit deel 1; het is de bedoeling in een tweede deel de buitendelta-problematiek nader te beschouwen.

Het woord "ribbel" zal men in dit verhaal1 niet aantreffen; de wijsheid

hiervan ligt in beperking van het onderwerp en niet in het ontkennen van het belang van zandtransport na ribbelvorming.

2 Eerste regel van de fuga: le roulenboule.

Als eerste stap wordt de echte zandkorrel, voer der sedimentologen, ver-vangen door een hypothetisch.wezen uit de Escher-wereld [1]: "le roulen-boule" (Fr), "r-constant" (wisk.); "bol" (Ned). Een toekomstig proefschrift van Van Kesteren zal moeten uitwijzen, of zandkorrel en roulenboule familie van elkaar zijn.

Als biotoop van het amphibische wezen is het object van studie: "onder water" of: "onder de olie"

[2].

"Ergens" is deze vloeistof begrensd; "a" is de kortste afstand van middelpunt bol tot begrenzing.

Zolang de vloeistof stilstaat en de bol transleert (snelheid u) zijn Reynolds nummer Re=ur/v (waarin v de kinematische viscositeit van de vloeistof2) en

air

de eni§e relevante dimensieloze grootheden, welke rel-evant zijn voor de kracht op de bol; echter, ook andere randvoorwaarden

(bewegende vloeistof: Couette stroom, begrensd of onbegrensd; Poiseuille stroom; stilstaande, al of niet roterende bol) zijn in de literatuur onder-zocht.

Verder kan de bol zich evenwijdig aan of loodrecht op het grensvlak bewegen.

Beweegt men een bol met een constante kracht naar een vlak toe, dan zal deze dit vlak nooit bereiken [3],[4]: het vloeistof-laagje tussen bol en vlak moet worden weggeknepen ("squeezing forces") en de nader-snelheid is evenredig met de overgebleven spleetwijdte. Bij constante nadersnelheid nemen de krachten tot oneindig toe, als het vloeistoflaagje oneindig dun wordt: de kracht is omgekeerd evenredig met de spleetwijdte. In dit verband mag dan ook het bestaan van artikelen [SJ worden genoemd, die aangeven, hoe staal (in een lager bijv.) door olie vervormd wordt.

1 M.u.v. het gebruik in de huidige zin

2 Een Newton's gedrag van de vloeistof (d.i."gewoon" visceus) wordt aange-nomen

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

- 2 - January 7. 1992

Beweegt een bol zich van een vlak af, dan ontstaat een onderdruk in het (pseudo-4)contactvlak; deze kan zo groot zijn, dat cavitatie optreedt: "met

een klap" worden dan de contacten verbroken.

Beweegt een bol zich evenwijdig aan een grensvlak, dan zal de sleepkracht ook groter zijn, als de afstand tussen bol en grensvlak kleiner is. Evenals bij de hiervoor besproken drukkracnt nadert deze sleepkracht tot oneindig, als men de spleetafstand tussen bol en ~d oneindig klein kiest. De sleep-kracht is evenredig met minus de lOgari~e van de spleetwijdte.

2.1 Tweede-orde effecten.

De belangstelling voor tweede-orde effecten spruit voort uit de in de inleiding genoemde "inslag".

Uiteindelijk gaat de interesse uit naar zandkorrels, welke in golven heen en weer geslingerd worden, nog meer specifiek: naar de resulterende

kracht, welke op de zandkorrel wordt uitgeoefend, als de oscillerende kracht is uitgemiddeld. Daarbij middelen krachten evenredig met u wel uit, maar krachten evenredig met UZ niet.

Het is dus zinvol naar krachten op de bol te kijken tot in de orde Re2• Dit geldt met name voor krachten loodrecht op de stroomrichting; hierom-trent handelt de rest van deze subparagraaf.

Bekijkt men andere randvoorwaarden dan een bewegende bol in een vloeis-tof, in rust op oneindig, bijv. een bol in Couette flow tussen twee platen, dan komt men met de twee dimensieloze parameters Re en air niet meer toe.

Bij Couette flow worden twee Reynolds parameters belangrijk i.p.v. een: het "particle Reynolds number" Rep-ur/v en het "shear Reynolds number"

Re.=r2Slv. Hierbij is u het verschil tussen de bolsnelheid en de

snel-heid, die op grote afstand van de bol heerst (op de stroomlijn door het middelpunt van de bol). Verder is S de snelheidsgradient van de Couette flow. Bij Couette flow speelt als tweede-orde effect de zuigkracht een rol, die ontstaat, wanneer een vloeistof om een gewelfd oppervlak heen stroomt. Is deze verschillend aan boven- en onderkant van de bol

(Rep" 0), dan ontstaat resulterend de loodrecht op de stroom gerichte

Saffman kracht [6]. Eenzelfde soort zuigkracht ontstaat als een bol zich bij een stilstaande wand bevindt (en daardoor wordt afgeremd) in een .

overigens stromend medium (zie bijv Fischer [7]).

Een bols tussen'twee evenwijdige platen in Couette stroom centreert zich-zelf (Vasseur

&

Cox [8]; Bakker et al. [9])

4 Immers, echt contact is er nooit (zie boven)

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

- 3 - January 7, 1992

3 Tweede regel van de fuga: Grain meets grain

Bij het beschouwen van een tweede korrel in relatie tot de eerste is de

eerste vraag, wat er gebeurt bij het contactvlak.

Zoals men zou verwachten, wijkt dit gedrag slechts in details (coeffic i-enten) af van het gedrag van een bol en een vaste wand.

Een tweede aspect van het toelaten van een tweede korrel in de beschouwde

biotoop is echter de interactie van twee korrels, gezien in samenhang met

de omringende vloeistof en (eventueel) de begrenzing van de vloeistof. Bij voorbeeld: wat gebeurt er met twee korrels in een Couette flow, waarbij de

een de ander inhaalt? Zij vormen een "doublet" voor enige tijd en reageren

die betreffende tijd grootschalig als een grote korrel i.p.v. als twee

kleine. x. B:."~. lil 8,·62 ,-hiJ

,....

,.

fiii)

FI(;.JJ. Two-bodv srandard collisions betweenequal-sized ri!,!i..Jsphnes. as seen inthe .\"zX Jplane Ia'an.! 'heXIX)plane tb),The stages shown arelilarrrO-.Jeh.liilarrarenlconlael al <p," = _(~Ioand <I>!" = -590• Iliil mid-poim ofdoublet rotanon asrigio..l'rheroid r,= 2

tin an orhil here ha,in!,! l =2.0Ltiv]point of!ieparalion al<1>';- = totl·and <p'; = ~'10.anoJtv r.:a..,.sion.Thecollision rr,N:.:ss 's svmmerncal and rc\'enihle. For eonverucnc.... Ihe ..ri~ini, rla ...-dal the mid-poin: between(he sphere centers.

Fig.l Samenvoeging van 2 bollen tot een doublet en het uiteenvallen ervan. Uit Goldsmith

&

Mason [10].

Goldsmith

&

Mason [10] berekenden de contacttijd van dergelijke doublets.

Er zijn echter ook situaties denkbaar, waarin de bollen in eeuwige trouw om elkaar heen blijven wentelen. Het aantal van dit laatste soort doub1ets is echter (in tegenstelling tot het aantal van de eerste soort) moeilijk te schatten; dit verkleint de nauwkeurigheid van berekeningen naar het aantal doublets in Couette flow (par.4).

4 Derde regel van de fuga: Een korrelsuspensie.

5/2

.

'

:

5/2

.

:

...

s

o o

,

-

,

Fig.2 Rotatie en dilatantie in een Couette stroom

Beschouw een kubus vloeistof in een Couette stroom, waarbij boven- en

onder-, voor- en achtervlak van de kubus met stroomlijnen samenvallen. Deze kubus wordt in de Couette-stroom scheef getrokken en de diagonalen van

voor-en achtervlak roteren (in dezelfde richting). De kubus krijgt dus een rotatie en een vervorming_ Een (solide) bol in deze vloeistof kan weliswaar

I

I

- 4 - January 7. 1992

I

I

de rotatie volgen, maar i.p.v. de vervorming van de bol komen er schuif-spanningen op het oppervlak, welke door inwendige krachten in het korrel-materiaal worden opgenomen. Actie is reactie: de bol oefent dus (in een stationaire situatie) gelijke (doch tegengesteld gerichte) schuifspanningen op de vloeistof uit. Via deze vloeistof worden deze schuifspanningen ook op de wanden overgebracht, die deze Couettestroom begrenzen. Om dezelfde

Couettestroom teweeg te brengen, zal men de twee evenwijdige wanden, welke deze stroom begrenzen daarom met meer (schuif)kracht t.O.V. elkaar moeten bewegen, als zich bollen6 in deze stroom bevinden. Anders gezegd: korrels in een vloeistof geeft een vergroting van de schijnbare viscositeit. Eins-tein1 [11] berekende deze viscositeits-verhoging als een factor l+~c,

waarin c de (volume-)concentratie is. Zijn formule is echter een

eerste-orde benadering en alleen geldig voor kleine c. Naderhand werd de formule uitgebreid tot tweede en derde orde van c, o.a. door Vand [12] en Do Ik Lee [13]. Hierbij speelt een grote rol: de grotere weerstand van doublets (en, analoog, triplets), waarvan het aanwezige aantal weer een functie is van de concentratie.

I

I

I

I

I

5 Korrels in dichte pakking

Wordt de concentratie (gelijkvormige) bollen in een vloeistof te groot, dan kan volledige blokkering van (grootschalige) beweging optreden. Afhankelijk van de stapeling gebeurt dit bij een poriengehalte van 26 tot 40% Onder deze omstandigheden vindt men dus een oneindige schijnbare viscositeit. Bij een iets groter poriengehalte (nog net niet blokkerend) kan de schijn-bare viscositeit richtingsgevoelig worden. Bij voorbeeld: een simpel-ku-bische stapeling heeft een kleine viscositeit in de hoofdrichtingen van de stapeling, maar een grotere in diagonaalrichting.

Bakker en van Kesteren [14], [15] kwamen tot de volgende formule aangaande de beweging8 van een dergelijke dichte stapeling:

9 v { iJ

(=

iJV)}

=iJV

(

9 v - -)

--- - A- -M-+ t.g+--K.V.j j

16r2 èz ; •ëz ;

iJt

2r2

Hierin is

V

de locale snelheid van het korrelmateriaal, Zr een verticale coordinaat. De term in het linkerlid geeft het verschil van de krachten die wordt uitgeoefend op een laag korrels, door resp. de laag korrels onder de beschouwde laag en de laag erboven.

De vector

7

is verticaal naar boven gericht;

V.

7

geeft in vector-notatie de grootte van de verticale component van de snelheidsvector

ï7

aan. De term

t.g geeft de invloed van de zwaartekracht weer (~ is de relatieve specifieke dichtheid van het ondergedompelde korrelmateriaal). De laatste term aan de rechterkant (met de factor

V

.

D

geeft de verticaal gerichte

(vloeis-tof)wrijvingscomponent aan, die een korrellaag ondervindt, wanneer ~eze zich omhoog beweegt. Hierbij is K. een wrijvingscoefficient.

In de eerste term aan de rechterzijde herkent men het "ma" in de wet van Newton (K-ma). M is een anisotrope massa-term; d.W.Z. dat de versnelling anders wordt als dezelfde kracht horizontaal dan wel verticaal wordt uit-geoefend. Als een korrellaag horizontaal beweegt, wordt ook de hele vloeis-toflaag (ter dikte van de korrel) meegenomen; als de korrellaag verticaal beweegt, stroomt er vloeistof door de porien tussen de korrels: de

korrellaag werkt als een soort filter voor de vloeistof. In dit laatste geval (verticale stroming) is de massa, welke in beweging wordt gebracht weliswaar kleiner, echter, 'dan komt wel de hiervoor besproken wrijvingsterm

-in actie.

=

In de matrix As zit de locale structuur van de korrelstapeling opgeslagen.

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

6 Voor de eenvoud even zwevend gedacht7 op zoek naar het getal van Avogadro

8 Ervan uitgaand, dat de zwaartekracht de enige drijvende kracht is

I

~ De versnelling van de lagen is des te groter, naarmate de snelheidsgradi-tussen de verschillende lagen en/of de structuur ervan sterker vers-en.

Met ergelijking zoals de bovenstaande (waarbij wiskundigen in eerste term links en rechts een diffusievergelijking ontdekken) ontstaat een soort uit-middeling van verschillen, totdat een zo regelmatig mogelijke structuur en/of snelheidspatroon ontstaat. Een Couette flow in regelmatige structuur tussen twee platen zal geen versnellingen ondervinden. Ditzelfde hoeft echter niet te gelden als zich boven een Couette flow van korrelmateriaal een stromende vloeistof bevindt. Mogelijk wordt dan op de bovenste laag

(die wel van de onderzijde, doch niet van de bovenzijde krachten

onder-vindt) een dispersieve kracht uitgeoefend.

Zoals vermeld, wordt de structuur van d~ korrelstapeling in de bovenstaande vergelijking vastgelegd door de matrix

As

.

Deze verandert echter van moment tot moment. Tot op heden is de vergelijking alleen uitgewerkt voor een structuur, waarin wel de spleetwijdte tussen de lagen in de tijd en in de verticaal varieert, maar waarbij de hoek, waaronder een korrel in een laag zijn dichtstbijzijnde bovenbuur ziet (praktisch) niet verandert. Men denke hierbij aan een "bevriezende" zandregen (die in principe scheef mag

invallen). Gedurende het sedimentatieproces ritst deze dicht tot solide materiaal. Fig. 3 toont, hoe.de valsnelheden zich in de verschillende lagen verhouden.

In Appendix A wordt nog iets nader op vergelijking en aannamen ingegaan. Belangrijk lijkt, dat de eerste term in de vergelijking niet-lineaire pro-cessen suggereert: als

As

en

_V

beide met dezelfde periode harmonisch in de tijd verlopen, zijn tijdsgemiddelde resultanten (bijv. een geleidelijk uit elkaar drijven van de lagen) desondanks heel goed mogelijk.

Evenzo zijn in de laatste term van de vergelijking niet-lineaire

koppel-ingen tussen

K.

en

V

mogelijk. .

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

·

1

- 5 - January 7. 1992

Deze wordt bepaald door de spleetafstand tussen de korrels en door de orientatie van de korrels t.O.V. elkaar. Deze laatste is in de matrix

vastgelegd door de hoek cp, waaronder een gegeven korrel de dichtstbijzijnde

korrel in de erboven gelegen laag ziet. Aan de rechterzijde van de

verge-lijking is ook de wrijvingscoefficient K. afhankelijk van

q,

.

Samenvattend vertelt de bovenstaande vergelijking, dat korrellagen niet alleen een resulterende kracht ondervinden als het snelheidspatroon boven en onder de beschouwde laag verschillend is, maar ook als de

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

- 6 - JanuarT 10. 1992

Fig.3. Valsnelheden als functie van

laagnummer.

Op de horizontale as staat uit:

de valsnelheid (beinvloed door de

dichtheid van de korrelpakking). Dit in relatie tot de valsnelheid van

die korrels, welke zover van de

bodem zijn, dat deze bodem

de valsnelheid nog niet beinvloedt.

De verticale as geeft de verticale

coordinaat op een bepaalde schaal;

deze schaal is weer aan de valsnel-heid

gekoppeld.

6 Bagnold: probleem.

De geleidelijke schaalvergroting in dit relaas gaat zich nu aftekenen.

Tevens blijken de gaten in het te vervaardigen weefsel. B~iten de heilige

hallen der mathematici bevinden zich de ingenieurs met hun platvloerse

empirie, die berekenen hoeveel gaten zich in een laken mogen bevinden om

uit een ivoren toren te kunnen ontsnappen.

Een (geniaal) voorbeeld is brigade-generaal Bagnold, die in de tweede

wer-eldoorlog in de woestijn bij El Alamein ("zingend" [16]) zand bestudeerde

en daar tussen zijn SOste en 90ste levensjaar mee doorging.

Hij verdeelde (zoals in de grondmechanica gebruikelijk) de interne krachten

in het vloeistof-korrelmengsel in vloeistofspanningen en korrelspanningen

([17] ,[18]) en vond (experimenteel) een dispersieve druk wanneer hij een

korrel-vloeistof mengsel in de ruimte tussen twee concentrische cylinders

(waarvan één draaiend) liet bewegen. De statische Coulomb-wrijving (Y-fN)9

bleek ook in het dynamische gebied zijn geldigheid te behouden, Als

wrij-vingscoefficient f vond Bagnold (in het visceuze gebied10) een waarde 0,75.

Dit betekent een wrijvingshoek van 37 graden.

•

Bakker

&

van Kesteren ([19J, [4) gebruikten de resultaten van Bagnold om de

over de golfoscillatie gemiddelde dispersieve kracht te berekenen. Immers,

de dispersieve kracht is uiteraard niet gevoelig voor de richting van de

schuifspanning; daardoor is de periode-gemiddelde dispersieve kracht

evenredig met het periode-gemiddelde van de absolute waarde van de

schuif-spanning.

De (eveneens te berekenen) momentane verticale gradiènt van de dispersieve

kracht veroorzaakt het "dansen" (verticaal verplaatsen) van de korrellaag

gedurende de golfperiode. Hoe kleiner de locale concentratie, hoe meer de

laa~ danst, omdat de (filter-)weerstand kleiner wordt bij lagere

concentra-tie 1. Boven in de sheetf10wlaag dansen de korrel1agen sterk op en neer,

onder nauwelijks. In (19) en (4] wordt berekend, hoe intensief de korreLs

in de opeenvolgende lagen van de sheetflow dansen, ervan uitgaand, dat bij

9 W-wrijving; N-normaalkracht (d.w.z.: dispersieve kracht)

10 Bagnold onderscheidt een "visceus" en een "inertia"-gebied; in het

laatstgenoemd gebied zou de impuls van de korrels een grotere rol spelen.

I

I

- 7 - January 7. 1992

I

I

het omkeren van de orbitaalbeweging de hele sheetflowlaag een uniforme

"rust"-concentratie heeft.

Hieruit is een indruk te verkrijgen van het concentratieverloop in de tijd

en over de hoogte in sheetflow. tieemt men een parabolische

snelheidsverti-caal12 aan, dan volgt tevens een redelijk beeld aangaande de indringdiepte,

d.w.z. van de dikte van de bewegende sheecflowlaag gedurende de

golfperiode. De redelijkheid blijkt door vergelijken met metingen, van

con-centratie en sedimentsnelheid, zoals die van Horikawa et al. [20]. Echter,

voor een berekening van het zandtransport gedurende een golfperiode is de

genoemde berekening veel te onnauwkeurig, omdat faseverschillen in snelheid

tussen de verschillende lagen niet meegenomen zijn. Bovendien geeft Bagnold

([17],[18]) geen uitsluitsel aangaande instationaire beweging.

Om deze redenen werd door Bakker et al. ([9],[15]) de blackbox van de

kor-rel-korrelinteractie bij sheetflow verder en verder opengebroken. Dit te

meer omdat de fysica van de dispersieve druk van Bagnold (m.n. in ~et

visceuze gebied) onduidelijk was. De oorspronkelijke numerieke berekeningen

van Bakker

&

Van Kesteren, waarin m.n. de squeezing forces (par. 1)

over-heersten gaven om voor de hand liggende redenen een even grote druk wanneer

de korrels elkaar naderden als trek wanneer de korrels zich van elkaar af

bewogen.

Hieruit resulteerde geen periode-gemiddelde dispersieve druk.

Waarschijn-lijk daarom geeft de huidige numerieke modelering dan ook een te klein

aantal korrellagen13, dat in geval van sheetflow wordt gemobiliseerd.

Uit het voorafgaande volgen echter drie14 van elkaar onafhankelijke redenen

voor dispersieve druk:

cavitatie (par 2);

tweede-orde effecten (par.2.l);

variatie van de korrelstructuur over de hoogte (par.5)

Het blijkt overigens, dat de meetresultaten van Bagnold [17J niet eenduidig

zijn, maar sterk afhankelijk van de proefopstelling. Zo vond Klomp ([21];

zie ook Bakker et al. [2J) in een "korrel-carrousel" bij concentraties

groter dan 40% een orde grotere normaal- en schuifspanningen dan Bagnold

l17]; bij concentraties kleiner dan 30% werden kleinere schuifspanningen

gevonden, terwijl de dispersieve druk afwezig was15. In dit Carrousel

bewoog het korrelmateriaal (bollen met 14 mm diameter) in een vloeistof met

dezelfde dichtheid tussen twee planparallelle (één stilstaande en één

rond-draaiende) ringen (uitwendige diameter 1.20 m). Essentieel in de proeven

van Klomp [21] was de starre begrenzing van het korrelmateriaal, waardoor

iedere dilatantie onmogelijk was. Grote spanningen traden op bij

cluster-vorming, die de ronddraaiende beweging van de ronddraaiende bovenste ring

beletten; heel geringe spanningen als de korrels "ongehinderd" konden

ronddraaien in de Carrousel. Dan trad tevens een zekere mate van ordening

(mede t.g.v. het "centrerend effect", par.2.l) op. Hoewel het aantal lagen

bewegende korrels in dit Carrousel gering was (1 tot 5) traden toch nog

belangrijke concentratieverschillen tussen de boven- en de onderlagen op.

Tenminste kan worden geconcludeerd, dat de begrenzing van de korrelmassa

voor de validiteit van de Bagnold-relatie een belangrijke rol speelt.

Het huidige onderzoek richt zich op de vraag, welke van de hier boven

aangegeven drie redenen van dispersieve kracht het meest van belang is, als

functie van de omstandigheden.

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

12 Gebaseerd op benaderende aannamen: verwaarloosbare instationaire

effecten en uniforme viscositeit van de sheetflowlaag

13 Vergeleken met metingen

14 Nog afgezien van redenen, die buiten de scope van de hier gevolgde

benadering (in stroomrichting uniforme pakking; eenvormige, ronde bollen)

vallen

15 Onder sommige omstandigheden werden zelfs geringe trekspanningen tussen

de lagen korrels gemeten.

I

I

I

I

- 8 - January 7, 1992

I

I

In de bovenstaande hoofdstukken is het probleem van de korrel-korrel inter

-actie sterk vanuit een zekere optiek belicht, waarbij met name de visceuze

interactie belangrijk werd geacht. Vele onderzoekers van

korrel-korrel-interactie startten echter niet vanuit deze optiek, hetzij

omdat de problematiek, waar zij mee geconfronteerd werden anders was, h

et-zij door een andere aard of conditionering.

Daarom wordt ter complementering van des lezers visie ook de

literatuurstudie van Besselink

&

Winterwerp [22] aanbevolen.

I

I

7 Bailard.

Opnieuw vinden wij een groot gat in het weefsel. Er is zelfs slechts we~n~g

relatie tussen de voorgaande hoofdstukken en de volgende! Namelijk, de nu

volgende formuleringen aangaande sedimenttransport berusten op heel andere

beschouwingen dan de voorgaande. De voornaamste schakel met het

vooraf-gaande is Bagnold: immers beschouwingen van zijn hand vormen ook de basis

van de Bailard formule, welke nu aan de orde komt. Het artikel [23] van

Bagnold, waarop Bailard

([24

]

,125

])

zijn theorie voornamelijk baseert, is

echter een ander dan de hiervoor genoemde ([16],[17] ,[18]). De enige "waa'r>

heid" ,welke van de voorgaande naar de volgende hoofdstukken doorgevoerd

wordt, is: het gewicht van de "bedload" wordt gedragen door dispersieve

kracht. welke zodanig is, dat deze samen met de op de bodem uitgeoefende

schuifspanning aan de relatie W-fN (hoofdstuk 6) voldoet.

Om de snelheid te berekenen, waarmee dit materiaal getransporteerd wordt

maakt Bagnold [23] gebruik van het principe, dat deze bedload met minimaal

benodigde energie (dus met optimale efficiency) getransporteerd zal worden.

Soortgelijke beschouwingen levert Bagnold [23] voor het suspensietransport.

Ook dit artikel [23] van Bagnold handelt over stationaire stroom.

Op pogingen van Bagnold ([23] ,[26]) zijn theorieen op transport t.g.v.

oscillerende waterbeweging toe te passen16 is de beroemde CERC-formule

gebaseerd17. Hij stelt, dat de golfbeweging een hoeveelheid sediment heen

en weer beweegt, evenredig aan de mate van energiedissipatie. Een op deze

golfbeweging gesuperponeerde'stroom kan deze hoeveelheid meenemen en zijn

transportformule geeft dan ook een (golfperiode-gemiddeld) transport

evenredig aan de energiedissipatie en aan de resulterende s tnroom.

Bailard

[

25]

gaat echter terug naar Bagnold's resultaten voor stationaire

stroom en past deze instationair toe; hij neemt dus impliciet aan, dat de

tijd van reageren van het korrel- en stromingsmechanisme op wijzigingen in

het krachtenspel klein is t.O.V. de tijdschaal van de wijzigingen in dit

krachtenspel. In zijn resultaat zijn de derde en vijfde snelheidsmomenten

van de golfbeweging van belang, m.a.w. de derde en vijfde harmonische van

de waterbeweging. De tijdschaal van veranderingen in deze derde en vijfde

harmonische (bij een golfperiode in de oräe van seconden) is: tienden van

seèonden. Alleen al ten gevolge vàn de traagheid van de waterbeweging

zullen snelheidsprofielen van de instationaire beweging een grote afwijking

vertonen t.O.V. de stationaire toestand18. Dit zal zoveel te meer gelden

voor de zandbewegin~, waarbij traagheid in de krachtsoverdracht tussen de

verschillende lagen 9 een belangrijke rol speelt.

Echter, metingen van het resulterend zandtransport in een oscillating

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

16 N.B. de schaalvergroting (de "inslag"): in tegenstelling tot het

vooraf-gaande wordt hier niet meer gekeken naar momentane transporten maar naar

over de golfperiode gemiddelde transporten.

17 Voor deze formule zijn echter ook andere verklaringen denkbaar [27J,[28J

18 met als vergelijkingcriterium bij voorbeeld: dezelfde

schuifspanningss-nelheid bij de bodem

19 denk bijv. aan het diffusiekarakter van de in hoofdstuk 5 gegeven

verge-lijking. Deze indiceert uitdempen van kortperiodieke verschijnselen.

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

January 7. 1992

watertunnel van Ribberink

&

Al Salem [29] met asymmetrische golfbeweging20

geven desondanks een verrassend goede overeenstemming met de theorie van

Bailard (fig.4), met name in het sheetflowgebied.

Al zou men de gaten in het weefsel graag dichten, "het laken houdt".

i,ii.iil 'i iA

i"

.

/

-" / ~ 'actor 2At.. 1 " /~/ 1 , / .' 1 ,''Cl/,,' ! .' 6 ,,/ -:

,//

/

8

/

'/

.

~

~

_

~

,

"

"

"

/

,~<>

"I'

t'

" /

,

I .~/ / .' _. ,:! . / / rippl.O plan., T(s)l :

,

,

-

~

//<//,/,/

:*

~

~

.

5

1

1

-J..- ' • } • * 9.1 I ; / I / " • ti. 12.0' '0 -~---f-'"T'"T'TTT''''''''---'-"'T'''''''TTT'm---'-'''''''''''''''''''''''---'''-'''-'-''''''''''''' ,0-.-V i iiii ii f i ,iIiiii i i i'ii ii 10•• 1 10 .')• ') IQ- , 10 la' <Q.> computed (10"6rn2/5) <q.> computeOp0"6m2/s) jj11,j i Iii H"j mode' I ''': / , /

•

,Ii iilil '

.

.

Fig.4. Zandtransport bij asymmet=ische waterbeweging

volgens Ribberink

&

Al Salem [29].

De linker figuur geeft een verificatie van Bailard's model;

de rechter een "eigen" mathematische modelering van de auteurs [29J

vergeleken met 10 metingen onder sheetflow condities

8 V.d.Kerk- profielen

De schaal van de beschouwde processen neemt toe. Bij de

sedimenttransport-formule, die in hoofdstuk 7 aan de orde was, werd de invloed van de

harmo-nische waterbeweging al uitgemiddeld. ~aast de invloed van de resulterende

waterbeweging bleven nog slechts de derde en vijfde harmonische van de

waterbeweging over. Een hele school wetenschappers van het Waterloopkundig

Laboratorium ([30Jt/m [33]) richtte zich met succes op een nadere

verfij-ning van de Bailard-aanpak en de implementatie ervan in

quasi-driedimen-sionale modellen. Hiermee werd het mogelijk met redelijke aannamen

tenmi~ste initiele veranderingen in een bodemligging uit te rekenen.

Redelijke tot goede kustmodelering werd mogelijk.

Op weg naar de grote schaal zal in het nu volgende de aandacht echter meer

gericht worden op het asymptotisch gedrag bij de eindsituatie. Vaak (bij

voorbeeld als men de gevolgen van een ingreep wenst te kennen) is deze van

groot praktisch belang, omdat men door de kennis van de (reeds aanwezige)

begintoestand én de eindtoestand het probleem kan omperken. Kennis van de

snelheid, waarmee naar deze eindsituatie (meestal asymptotisch) wordt

"ber-eikt" is evenzo zeer nuttig. .

In

dit hoofdstuk 8 wordt alleen de vorming van het evenwichtsprofiel

bes-chouwd terwijl in het volgende de 3-d modelering wordt besproken.

20 Verhouding tussen de significante- topsnelheden van "swash" en "back

-wash" tussen 1.22 en 1.86; rms-orbitaalsnelheden tussen 0,2 en 1 ~/s;

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

:

~

I

I

I

I

I

I

I

- 10 - January 7, 1992

Reeds Bailard J24] berekende de evenwichtshelling als functie van de dimen-sieloze diepte 1en de dimensieloze valsnelheid22• Aangezien deze helling de

afgeleide van de (dimensieloze) diepte naar de (dimensieloze) afstand uit de kust is, zou een eenvoudige integratie23 hem het evenwichtsprofiel

hebben gegeven. De onnatuurlijke vorm die dit zou opleveren heeft hem mis-schien de lust daartoe ontnomen; immers, pas na de door Stive [30]

gein-troduceerde undertow t.g.v. brekende golven in Bailard's conceptie werden realistische profielvormen gevonden.

De volgende transportmechanismen zijn in Bailard's theorie van belang:

een transportcomponent (loodrecht op de dieptelijnen)

S

.,

evenredig met de kusthelling

een transportcomponent (in de golfrichting)

Sa

veroorzaakt door de asymmetrie van de golven. In Stive's [30] filosofie speelt deze alleen een rol voor niet-brekende golven.

S

c

;

t.g.v. niet-li

-benadering in de een door de stroom geinduceerde transportcomponent

neaire transportrelaties is deze slechts in eerste richting van de stroomZ4•

Voor de vorming van het evenwichtsprofiel bij een in langsrichting rechte kust speelt de hier genoemde gevoeligheid van het profiel voor langsstroom en scheef invallende golven meestal slechts een secondaire rol; in het

ver-volg zal hieraan worden voorbijgegaan.

Voor wat betreft de door de stroom geinduceerde component

S

,

haalt Bailard

[25] Komar [35] aan, die uit veldmetingen vond, dat 80% van het transport plaats vindt in de onderste laag tot ongeveer 10 cm boven de bodem.

Hierop wordt ingehaakt door Stive [30], die in de brandingszone de undertow (retourstroom) als agens voor

Sc

neemt, naast het ook door Bai1ard

([24],[25]) beschouwde massa-(water-)transport bij de bodem buiten de bran-dingszone, volgend uit Longuet Higgins' artikel [36].

In tegenstelling tot wat Bai1ard vindt kan

Sc

bij Stive dus zeewaarts gericht zijn (en is dit ook op enige afstand landwaarts van de brek-erllijn"25). Dit impliceert, dat ook zonder een kusthelling een evenwicht

in (dwars)transport kan ontstaan, nl. als

S

c

en

Sa

gelijk en tegengesteld gericht zijn. Uit globale (ongepubliceerde) berekeningen van de schrijver lijkt dit het geval te zijn, als ca. 25% van de golven nog ongebroken is. Daar zal bij een evenwichtsprofiel de helling dus nul zijn, m.a.w. men

vindt hier de top van een brekerrug.

Waar Stive [30] met zijn methode reeds in staat was natuurlijke ontwikkel-ingen (in een initieel model) te simuleren, leverde een studie van V.d.Kerk ([37], (381) aan de TUD de stabiele eindvorm op, te weten: dimensieloze profieleni6 als functie van (alleen) de dimensieloze valsnelheid en de diepwater golfsteilheid. Zijn methode: de integratie, die hierboven werd gesuggereerd toen de strandhellingen van Bailard ter discussie kwamen. De

{

?

21 koh met ko als golfgetal (diep water) en h als diepte

22 in feite neemt Bailard als variabele: een grootheid, evenredig aan de inverse (HjwT) van de dimen~ieloze valsnelheid (H-locale golfhoogte;

w-valsnelheid; T=golfperiode)

23 Iets gechargeerd: immers, ook H verandert mè·t de diepte; dit moet in de integratie worden meegenomen

24 Voor de afwijking tussen stroom- en zandtransportrichting wordt verwezen naar Bijker [34] .

25 hiermee een plaats aanduidend waar een redelijk percentage golven breekt 26 met het diep-water golfgetal ko als dimensieloos makende factor

I

I

- 11- January 7, 1992

I

I

conceptie van Stive27 werd zo nauwkeurig mogelijk gevolgd. Wel moest hier

en daar iets worden gesimplificeerd. Zo is een golfhoogte/diepte relatie,

die alleen een functie is van kh en de diepwater golfsteilheid (met k het

locale golfgetal) essentieel voor de methode van V.d.Kerk. Uit het

Batt-jes/Janssen model voor golfbreking [39] blijkt, dat bij brekende golven

afwijkingen van een unieke relatie kunnen voorkomen, met name in het

gebied, waar de golf "uitrolt" in de trog landwaarts van een brekerrug. Bij

constante waterdiepte kan men hier verschillende golfhoogten vinden,

afhankelijk van het stadium van uitrollen (golfdemping).

V.d.Kerk nam (door de nood geáwongen) genoegen met een eerdere benadering

van Battjes [40], die voor brekende golven wel een unieke golfhoogte/diepte

relatie kende. Het model van V.d.Kerk ([37],[38]) is door deze aanname dan

ook niet bruikbaar landwaarts van de buitenste brekerrug.

Behalve het evenwichtsprofiel berekende V.d.Kerk ([37], [38]) ook, welke

(het evenwicht restaurerende) transporten zouden optreden, als de

kusthell-ing een bepaald percentage af zou wijken van de evenwichtshellkusthell-ing. Deze

transporten zijn evenredig met genoemd percentage, waaruit het in het begin

van dit hoofdstuk genoemde asymptotische benadering tot het evenwicht

volgt. Tevens wordt een relatie gelegd met de twee-lijn theorie, waarop in

hoofdstuk 10 wordt teruggekomen.

Vanzelfsprekend vormt de limitering van de geldigheid van de

methode-V.d.Kerk tot het gebied buiten de buitenste brekertrog een zware beperking

van deze methode. Met instemming wordt dan ook uit Roelvink

&

Stive [33]

geciteerd:

"To improve our understanding of bar formation in natural surf zones,

it is important to consider the aspects of near equilibrium in

cross-shore direction"

In een voortgezette studie zou het mogelijk moeten zijn aandacht te

besteden aan de latere verfijningen van de theorieen van Stive et al.,

zoals de invloed van de lange golven, turbulentie op de radiation stress

etc.[33] .

I

I

I

I

I

I

I

I

I

9 Stabiele kustvormen

9.1 Inleiding tot hoofdstuk 9

In dit hoofdstuk: "Stabiele kustvormen" zal een uitbreiding in de derde

dimensie worden gegeven aan de berekening van stabiele kustprofielen,

zoals besproken in het voorgaande hoofdstuk. Hierbij zal de gedachtengang

van een presentatie van de auteur tijdens het congres "Coastal Sediments"

(1991) [41] worden gevolgd.

I

I

In dit hoofdstuk zal slechts worden ingegaan op kustvormen, beinvloed

door de golf-geinduceerde waterbeweging; aan effecten van getij,

dich-theidsstromen etc. wordt dus voorbijgegaan.

Eerst zal worden besproken, waarom het evenwichtsprofiel afhangt van de

kromming van de kust (par. 9.2); daarna zal de methode van berekenen

worden verduidelijkt aan de hand van een voorbeeld (par. 9.3)

I

I

9.2 Het evenwichtsprofiel hangt af·van de kromming van de kust

Stabiele kustvormen impliceren de aanwezigheid van stationaire water- en

zandbewegingen. Voor wat betreft het zand wordt - in overeenstemming met

de aannamen uit het voorgaande hoofdstuk - van de continuiteit van het

"zandtapij til ter hoogte van ca 10 cm28 uitgegaan (2-dimensionaal).

Daar-entegen is de (golfperiode-gemiddelde) waterbeweging drie-dimensionaal en

mag in een verticaal-gemiddelde continuiteitsvergeliking slechts worden

I

I

27 voor zover op het moment van V.d.Kerk's studie ontwikkeld

28 De absolute grootte van de hoogte van deze laag speelt in het volgende

geen rol. Essentiele aanname in het volgende is, dat de Bailard/Stive

con-ceptie, gegeven in het voorgaande hoofdstuk correct is

I

I

I

_{- 12 -} January 7, 1992

I

I

uitgegaan van een waterkolom, die reikt van bodem tot oppervlak.

Het is dus heel goed mogelijk, dat het langstransport aan zand (het

geintegreerde transport door een kustprofiel) overal gelijk is, maar dat

het water-debiet in datzelfde profiel een langsgradient vertoont. Ga, om

de gedachte te bepalen, uit van een holle kust, welke overal een

"even-wichtsprofiel" vertoont, d.w.z. een profiel berekend volgens de in hoofd

-stuk 8 aangegeven wijze. Ga er verder van uit, dat de golfhoogte uniform

langs de kust is. De gradient in de brandingsstroom (t.g.v. een gradient

in hoek van golfinval) zal t.g.v. de continuïteit resulteren in het

afvoeren van het overschot aan water (restdebiet) in zeewaartse richting.

Behalve de undertow waarmee in hoofdstuk 8 was gerekend ontstaat dus een

extra dwarsstroom, ook in de onderste laag, welke van invloed zal zijn op

S

c

(hoofdstuk 8). Hierdoor wordt het cross-shore evenwicht aan

zandtran-sport verbroken: een evenwichtsprofiel van een rechte kust is dus anders

dan een evenwichtsprofiel van een gekromde kust.

In het bovenstaande is er even aan voorbijgegaan dat een holle kust

over-eenkomstig het hier gegeven gedachtenexperiment alleen al t.g.v. de

hier-bij aanwezige langstransportgradient aan zal zanden, zodat hierbij

uberhaupt niet van een stabiele kustvorm sprake is. Er is geprobeerd te

verduidelijken, dat een gelijke waarde van het over het dwarsprofiel

geintegreerd langstransport in alle doorsneden (continuiteit in

langs-transport) niet betekent, dat het evenwichtsprofiel, geldend bij een

rechte kust ook geldt bij een kromme kust.

9.3 Voorbeeld van de berekeningsmethode: een kust met offshore break-waters

9.3.1 Inleiding tot par. 9.3

In [41], waarin getracht is de kustvorm bij offshore breakwaters uit te

rekenen, is een iteratieve berekeningswijze gekozen om tot de stabiele

kustvorm te geraken. Overeenkomstig V.d.Kerk ([37], [38]) werden de

berekeningen uitgevoerd, uitgaande van dimensieloze grootheden. Deze

berekeningsmethode zal nu worden besproken, waarbij achtereenvolgens

aan de orde komt:

het,golfbeeld (par. 9.3.2)

een eerste benadering van het evenwichtsprofiel (par. 9.3.3)

algemene opmerkingen over de berekening van het alignement (par.

9.3.4)

het horizontaal alignement, als de golfkammen evenwijdig aan de

golfbrekers zouden zijn (par. 9.3.5)

het horizontaal alignement bij scheef invallende golven (par. 9.3.6)

de invloed van de kromming van de kust op het evenwichtsprofiel

(par. 9.3.7)

9.3.2 Het golfbeeld

Uitgegaan is van een eerste schatting van de (stabiele)

bodemtopogra-fie29 (diepten en afmetingen genormeerd met kol. Bij gegeven

golfrand-voorwaarden kan men hier een (dimensieloos) golfbeeld bij berekenen3o•

In de brekerzone zal men dan een naar de kust toe afnemende

(dimensieloze) golfhoogte vinden; in dieper water zal de golfhoogte

meer afhangen van de randvoorwaarden31. '

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

29 In dit geval werd (op grond van natuurwaarnemingen) een rechte helling

1:46 aangenomen

30 de wijze waarop doet voor het volgende weinig ter zake. Bijlage 1 geeft

echter (in "reeele" dimensies) een indruk waar het in'dit geval om ging.

N.b.: de golfrichting maakt een zekere hoek met de normaal op de kust

31 Bij voorbeeld: de plaats en afmetingen van de offshore breakwater

I

I

I

I

_{- 13 - January 7, 1992}

I

I

9.3.3 Een eerste benadering van het evenwichtsprofiel

In [41] is in ieder profiel loodrecht op de kust (bij gegeven korrel-materiaal, d.w.z. gegeven dimensieloze valsnelheid) een diep-water golfsteilheid gekozen, zodanig, dat zowel het verloop van de

golfhoogte32 als het bodemprofie133 zo goed mogelijk overeenkwam het

door V.d.Kerk (twee-dimensionaal) berekende profiel. Ter illustratie diene hierbij de tabel, gegeven in bijlage 2. De laatste kolom geeft de gekozen golfsteilheid. De eerste kolom geeft de raainummers; de waarden zijn gearceerd als zich in de betreffende raai een offshore golfbreker bevindt.~De bovenste regel geeft (dimensieloze) waterdiepten, afnemend van links naar rechts. Door de bovenste regel en de eerste kolom wordt dus a.h.w. een wat vertrokken plattegrond van het gebied landwaarts van

twee (halve) golfbrekers (met een gat ertussen) omkaderd. Aan de lin-kerzijde liggen de golfbrekers, aan de rechterzijde net strand. Met sterretjes staan in deze tabel de plaatsen aangegeven, welke landwaarts

van de top van de buitenste brekerrug liggen (berekend volgens

V.d.Kerk). Deze brekerrug ligt dieper en meer zeewaarts t.p.v het gat tussen de golfbrekers dan achter de golfbrekers, omdat de golven achter de golfbrekers kleiner zijn en dus ook de undertow34• De overige kolom-men in de tabel geven de verschillen tussen de waarden van H "rt.lh zoals deze uit de nauwkeurige golfhoogteberekening volgden en zoals deze benaderd zijn m.b.v. de V.d.Kerk berekening. De V.d.Kerk berekening

tendeert naar de constante golfhoogtejdiepte verhouding 0.48 voor zeer ondiep water, terwijl de in dit geval toegepaste golfberekening

(overeenkomstig de methode van Isobe [41][42],[43]) wat grotere waarden

voor grote en wat lagere waarden voor kleine waarden van koh geeft. Bij de strandlijn, waar de grootste relatieve fouten optreden, zullen de absolute verschillen in de praktijk toch niet meer dan enige cm's bedragen. Bij de uiteinden van de golfbreker treft men wat relatief grote verschillen, omdat het diffractieproces niet zo simpel te vangen is. Voor het gestelde doel is de benadering zeker aanvaardbaar.

9.3.4 Het horizontaal alignement; algemene opmerkingen

De voorgaande stap leidde er dus toe, dat de eerste schatting van de profielvorm door een "betere" (het evenwichtsprofiel ter plaatse,

indien de kust recht ware) kon worden vervangen. De tweede stap in het boetseren van de evenwichts-kustvorm betreft het horizontaal aligne-ment.

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

Het onderhavige geval betreft de modelering een "oneindig" lange kust met een oneindige rij van dezelfde soort golfbrekers. Men krijgt dan als evenwichtsligging een zich steeds repeterende kustvorm, waarbij men kan volstaan één "moot" uit te rekenen. Men kan als zijwaartse begren-zing van een dergelijke moot bij voorbeeld de dwarsprofielen in het centrum van twee naast elkaar gelegen golfbrekers kiezen.

Denkt men zich een x-as evenwijdig aan de rij golfbrekers, dan zal, wil een cyclische repetering mogelijk zijn, het linkerprofiel niet alleen gelijkvormig aan het rechterprofiel moeten zijn, maar ook precies dezelfde yz-coordinaten moeten hebben. Verder moeten de raaklijnen aan de dieptelijnen t.p.v. de linker-en rechterbegrenzing evenwijdig moeten lopen.

I

I

I

I

32 Dimensieloos: gedeeld door de locale diepte

33 dimensieloos gemaakt door vermenigvuldiging met ko

34 Immers, de undertow levert

S

c,

die

Sa

op de top van de brekerrug moet compenseren

I

I

I

_{- 14 - January 7}. 1992

I

I

Als de golfkammen evenwijdig aan de golfbrekers zijn, is het

resulter-end transport langs deze kust nul. Het golfbeeld achter de golfbrekers

is symmetrisch en men kan volstaan met het uitrekenen van een halve

moot. Mits men zorgt, dat alle dieptelijnen t.p.v. de raai door het

hart van de golfbreker en t.p.v. de raai halverwege.tussen de

golf-brekers evenwijdig lopen kan men de kustvorm van de hele moot vinden

door spiegeling van een halve moot. Aan de hierboven gestelde

randvoorwaarden is dan automatisch voldaan.

I

I

9.3.5 Het horizontaal alignement, als de golfkammen evenwijdig aan de

golfbrekers zouden zijn

Alvorens het meer gecompliceerde geval te behandelen, waarbij de

golf-kammen een hoek met de golfbrekers maken, zullen nu eerst de

verschil-lende stappen worden besproken, die moeten worden gezet om de

evenwichtsvorm in dit bovenstaande "nultransport-geval" uit te rekenen.

De eerste stap is het berekenen van een benaderende formule voor de

locale longshore current in de brekerzone. In [41] is door Bakker et

al. de vroegere formulering, gegeven in [44] aangepast aan de conceptie

en notatie van De Vriend

&

Stive [32]35. Evenals in [44] wordt de

long-shore current gevonden als een optelling van twee componenten, waarvan

de één evenredig is met de set-up gradient in langsrichting en de ander

evenredig met het locale energieverlies (de gradient van H~m. loodrecht

op de kust) en tevens met de hoek van golfinval op een bepaalde

diepte-lijn hl' zodanig diep gelegen, dat het energieverlies t.g.v. breken

daar te verwaarlozen is.

I

I

I

I

I

Bij een kust in evenwicht kan - ook bij de hierboven genoemde

randvoor-waarden - niet a priori worden gesteld, dat het zandtransport overal

nul is; alleen het geintegreerde transport door iedere doorsnede is

nul. Er kunnen echter locale rondstromingen (binnen het "tapijt" in

dwarsrichting op de kust; en dus van boven naar beneden varierend)

voorkomen. De aanname dat de hierbij behorende locale stroomsnelheden

niet groot zullen zijn lijkt echter wel gerechtvaardigd. Onder die

oms-tandigheden kan de Bailard formule worden gelinearizeerd tot een

evenredigheid tussen transport en langsstroomsnelheid.36

Stel nu even, dat de set-up gradienten in langsrichting nul zouden

zijn. Dan zou uit het bovenstaande op iedere hoogte een langstransport

evenredig aan de hiervoor genoemde hoek van golfinval op de dieptelijn

hl volgen. Ook het totale over het profiel geintegreerde transport zou

evenredig met deze hoek zijn, met een evenredigheidscoefficient, die is

uit te rekenen37. Aangezien het totale geintegreerde transport als nul

is aangenomen, zou (zonder set-up gradienten) genoemde hoek van

golfin-val nul moeten zijn: de kust zou zich evenwijdig aan de golfkammen

orienteren.

I

I

I

I

I

Omgekeerd: als de hoek van golfinval nul zou zijn, zou het transport

zuiver bepaald worden door de locale set-up gradienten. De grootte van

het locale transport is dan uit te drukken in deze locale set-up

gradi-enten. Ook dit transport is weer te integreren over de totale

bran-dingszone38•

I

I

35 Vgl.36 Vgl.(ll) van(20) van[41[41]. Deze vergelijking] geeft tevens aan, dat een

soortge-lijke evenredigheid bestaat tussen het dwarstransport en de cross-shore

current

I

37 De coefficient

B:

vgl (32) van [41]

38 Dan vindt men Stlol gegeven in vg l .(31) van [41]

I

I

I

_{- 15 -} Januaxy 7, 1992

I

I

De beide laatste alinea's combinerend: Wil men een nultransport ber-eiken, dan moet men de kust t.O.V. de loodrechte golfinval dusdanig draaien, dat het transport t.g.v. de locale set-up gradienten juist wordt gecompenseerdê".

Blijft het punt, hoe de grootte en invloed op het langstransport van de

locale setup gradienten moeten worden bepaald. Deze gradienten ontstaan door drie oorzaken:

a. doordat de kust gekromd is;

b. doordat de golfhoogte langs de kust verschillend is;

c. doordat het profiel langs de kust verschillend is

In de volgende alinea's zullen deze drie mogelijkheden ieder apart worden belicht, waarbij bij het beschouwen van ieder van de drie varia-belen stilzwijgend het constant zijn van de overige twee zal worden aangenomen.

ad a:

Als de kust gekromd is, zal men vanzelfsprekend gradienten in set-up langs de (rechte) x-as vinden. Toch ontstaat een stabiele situatie, omdat er tevens gradienten in de xx-component van de radiation-stress ontstaan, die deze set-up gradienten compenseren [44].

ad b:

Dit zijn de gradienten, die het langstransport veroorzaken. Wil men deze destilleren bij een kromme kust, dan moet de kust dus eerst "rechtgebogen" worden.

ad c:

Deze vormen een complicerende factor, welke niet in de schematisering van [44] zijn opgenomen. In de berekeningen van [41] zijn deze qualita-tief meegenomen, door het "rechtbuigen" van de kust (zie "ad b") inter-actief in het computerprogramma op te nemen, zodanig dat bij

"engineering judgement"·de invloed van de xx-component van de radiation-stress kon worden gecompenseerd.

De berekeningswijze van het alignement gaat zich nu aftekenen. In de hiervoor genoemde V.d.Kerk berekening van de profielvormen zijn ook berekeningen van de setup40 opgenomen. De (verschillende) profielen van

alle raaien worden nu zodanig t.O.V. elkaar verschoven, dat de

setup-gradienten in langsrichting konden worden bepaald, rekening hou-dend met de hierboven onder a tjm c genoemde facetten. Vervolgens werd profiel voor profiel de hoekverdraaiing van de kustlijn berekend, die nodig was om de transporten door setup-gradienten te compenseren. De berekeningswijze van deze hoekverdraaiing werd eerder in dit hoofdstuk beschreven. Deze werd geeffectueerd door een nieuwe verschuiving in dwarsrichting op de kust van de profielen t.O.V. elkaar.

9.3.6 het horizontaal alignement bij scheef invallende golven

De nu beschreven berekeningsmethode van het alignement geldt, zoals genoemd, voor loodrecht invallende golven41• Zou men dezelfde methode

toepassen bij scheef invallende golven, dan is het onwaarschijnlijk dat men, bij de ene rand van de moot beginnend, en steeds de opeenvolgende profielen in landwaartse of zeewaartse richting t.O.V. elkaar verschui

-vend, bij de andere rand van de moot aankomend met een nul-verschuiving van het desbetreffende profiel zou kunnen volstaan. Dit echter was een conditie om de berekening, geldend voor één moot, tot in het oneindige te kunnen repeteren.

Echter, op soortgelijke wijze als men de verdraaing kan berekenen die

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

39 over een hoek StrorfE: vgl. (33) van [41]

40 geldend als datzelfde profiel het uniforme profiel van een oneindige rechte kust zou zijn

41 Beedoe1d is: golfkammen in diep water evenwijdig aan de golfbrekers

I

I

I

_{- 16 - January 7. 1992}

I

I

de kustlijn moet ondergaan om een nul transport (geintegreerd over de doorsnede) te verkrijgen, kan men nagaan, hoeveel men moet verdraaien om overal eenzelfde langstransport (geintegreerd over de doorsnede) te verkrijgen. Ook in dat geval heeft men een stabiele kustvorm. Dit geeft een extra "vrijheidsgraad", waardoor aan de genoemde randvoorwaarden

kan worden voldaan. Men heeft dan tevens het resulterende langstran-sport So' bij de betreffende randvoorwaarden gevonden.

I

I

De keuze van de bovenrandvoorwaarde vormt ook nog een probleem voor de integratie van het langstransport over het profiel42• De volgens

V.d.Kerk berekende profielen "eindigen" bij de top van de buitenste brekerrug. In het hiervóór gegeven voorbeeld is aangenomen, dat, aan ge-zien volgens de gegeven conceptie geen dwarstransport over deze top plaats vindt, het kustgedeelte landwaarts va~ deze top een geheel autonoom (niet berekend) gedrag t.O.V. het gedeelte zeewaarts ervan vertoont.

Een driedimensionaal beeld van de aldus berekende kustvorm geeft de bovenste figuur van bijlage 3.

9.3.7 De invloed van de kromming van de kust op het evenwichtsprofiel De kustvorm wordt nu nader gepreciseerd door de invloed van de door de langsstroomgradient geindiceerde dwarsstroom op het kustprofiel in rekening te brengen.

Deze volgt simpel uit de continuiteit. Reeds werd de evenredigheid genoemd van de langsstroom met de hoek van golfinval op de diepte hl'

De langsstroom-gradient is dus evenredig met de verandering van de hoek van golfinval, d.W.Z. met de kromming (in langsrichting) van de kust43•

Deze kromming van de kust is hiervóór uitgërekend. Na enig rekenen blijkt44 deze extra dwarsstroom (het gevolg van de langsstroomgradient)

door een bepaalde doorsnede45 tevens evenredig met de locale waarde van

de golfenergie, minus de gemiddelde waarde46 van de golfenergie over het kustwaarts van de beschouwde doorsnede gelegen deel van het

pro-fiel47. De hier berekende dieptegemiddelde dwarsstroom zal natuurlijk ook de undertow beinvloeden. Overeenkomstig de suggestie van de Vriend

&

Stive [32] is als "meeneemstroom" voor het zandtransport in de

onderste laag de helft van de dieptegemiddelde waarde aangehouden. Deze stroom verandert het evenwicht tussen

Sc'

S"

en

Sa.

Een holle kust zal een flauwer evenwichtsprofiel vertonen dan een bolle.

Bij de berekeningen is opnieuw (bij gebrek aan beter) aangenomen, dat het gedeelte van de kust landwaarts van de top van de buitenste

breker-rug een autonoom regiem heeft en geen invloed heeft op het zeewaartse gedeelte.

Deze aanname kan tot een inconsistentie leiden.

De hoogte van de top van de buitenste brekerrug is gevonden, uitgaande van de aanname van een rechte kust. Hier vindt men dieptegemiddeld geen

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

42 Voor de onderrandvoorwaarde geldt dit minder als het brandingsstroom-transport groot t.O.V. overig transport kan worden gesteld.

43 Effecten van de kromming van de golfkam en kromming van het wateropper-vlak in langsrichting buiten beschouwing latend

44 Vgl. (24) van [41]

45 evenwijdig aan de kust

46 Hierbij ware niet over de lengte van het profiel te middelen, maar over de diepte: d.W.Z. eerst de hoeveelheid energie tussen twee opeenvolgende dieptelijnen berekenen en dan over het aantal diepte-intervallen middelen 47 Dit, als de waterlijn de landwaartse begrenzing is (dwarsstroom-O). Is de dwarsstroom nul op de top van de meest zeewaartse brandingsrug, dan wordt de formulering wat gecompliceerder.

I

I

I

I

I

I

- 17 - January 7, 1992

I

I

dwarsstroom.

Als de kust hol is, groeit vanaf deze diepte in zeewaartse richting een extra zeewaartse dwarsstroom in sterkte; deze begint pas weer te ver-zwakken buiten de "brekerlijn", waar het debiet zich over een steeds groter wordende diepte verdeelt. In de buurt van de brekerlijn kan deze zoveel retourstroom geven, dat de aanvoer van zand door asymmetrietran-sport reeds zonder kusthelling er volledig door wordt gecompenseerd. Dit geeft dus een (buitenste) brekerbank op grotere diepte dan tevoren was aangenomen. Dit is echter tegen de afspraak bij het gebruik van de theorie van V.d.Kerk: deze mag niet landwaarts van de buitenste

breker-rug worden toegepast!. .

Deze situatie deed zich ook voor in het geval van de offshore breakwaters48•

Een indruk van de invloed van dit soort dwarsstroom op de profielvorm-ing geeft de onderste figuur van bijlage 3; echter niet meer dan een indruk, aangezien ter voorkoming van de problematiek met de extra brekerrug de dwarsstroom (geheel kunstmatig; numeriek) aan een maximum

is gebonden.

I

I

I

I

I

10 Lijntheorieen in het algemeen

In analogie met de lineaire golftheorie zijn lijntheorieen bijna altijd wel "een beetje waar" en praktisch nooit "geheel waar".

In 196849 maakte dr. Kemp50 de auteur eens het (dubieuze?) compliment: "This is a vèry nice way of solving problems by simply calling them q".

Dit is inderdaad de kern van de lijntheorieen. Welke (rationele) transport -formule men ook aanneemt, er bestaat altijd wel een gradient s van het kusttransport S, aangevend de verandering als de kustrichting verandert. De relatie tussen s en de golfkarakteristieken is, voor de geldigheid en voor de wijze van kustvormverandering niet relevant. Men kan de grootte van s vaak nauwkeuriger uit de voorgeschiedenis van de kust (indien bekend) dan uit de golfkarakteristieken bepalen

(

[

38

]

,[45],[52] ,[53])51.

Voor een grove voorspelling of voor het verkrijgen van kwalitatief (en soms zelfs kwantitatief) inzicht zijn de lijntheorieen dan ook uitstekend ges-chikt; men moet zich echter wel van de (beperkende) schematisaties bewust zijn:

een vlak gebied, liggend vààr de kust, zonder transport(gradient) wordt aangenomen;

kustrichtingsveranderingen moeten klein zijn; ook de kustlijn zelf mag niet zo grillig worden, dat deze zelf golfwerking afschermt (schaduw geeft) voor andere kustgedeelten.

Hetzelfde geldt voor kusthellingsveranderingen in de tweelijntheorie: het dwarstransport over een heel brede plaat zal niet veel groter zijn dan over een matig brede. De lineariteit tussen afwijking van even-wichtshelling en dwarstransport kent zijn begrenzingen.

bij de twee-lijn theorie: de strandaangroeijerosie is wel afhankelijk (volgens de aannamen) van de kromming van het strand, maar niet van de kromming van de vooroever. Aan de invloed op de strandverandering van de refractie op een gekromde vooroever wordt dus voorbijgegaan

aan andere stroominvloeden dan die van brandingsstroom, zoals meander-vorming, wordt voorbijgegaan.

I

I

I

I

I

I

I

I

I

48 Het betreft hier de huidige, nog niet definitieve resultaten. Een nadere studie van het setup mechanisme zou tot andere gevolgtrekkingen kunnen lijden.

49 toen langstransport nog met Q en -dQj~ nog met q werd aangeduid 50 University of London

51 Vergelijk: het bepalen van de doorlatendheid van de grond in een bepaalde situatie. Theoretisch zou deze te berekenen moeten zijn uit de korrelgroo.tte en structuur etc.; vaak is het uitvoeren van een pompproef en het daaruit bepalen van de Kd- waarde veel sneller en doeltreffender

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

·

1

I

I

I

I

I

I

I

I

- 18 - January 7, 1992

zoals uit hoofdstuk 9 bleek, moet eigenlijk in kustmoàellen zowel aan de continuiteitsvoorwaarde v.w.b. het zand als v.w.b. het water worden voldaan. De lijntheorieen bekijken alleen de continuiteit van het zand, uitgaand van vereenvoudigde dynamische vergelijkingen. Convec-tietransport van zand, doordat water bij een holle kust van strand naar vooroever vloeit (hoofdstuk 9) is niet gemodelleerd in de tweelijntheorie52.

De schaal, waarop de lijntheorieen toepasbaar zijn, moet niet zo groot zijn, dat de kustconstante(n) in langsrichting van het gebied

verandert(c.q.-ren)5J en niet zo klein, dat kleinschalige verstoringen (zie

laatste bovenstaande gedachten-streepje) een grote rol gaan spelen.

Het effectief gebruiken van de lijntheorieen is een kunst, naast een kunde.

Men heeft een aantal (vrij simpele) basisvormen ter beschikking, waarmee men (met veel ingenieursgevoel) een duidelijker beeld van de werkelijkheid kan geven dan een fotografisch beeld: een goed gelijkend karikatuur, waarin alleen de essenties worden weergegeven. Deze gedachte wordt verduidelijkt

in fig.S, met als aanvulling een citaat van Van Gulik [47J in Appendix B.

fig. 5 Het zevenbord en de dronken gerechtsdienaar Uit: Van Gulik [47J (zie Appendix B)

Het is de bedoeling, in deel 11 van dit rapport deze gedachte nader uit te werken.

Dit deel zal eindigen met een beschouwing over de wijze van parametrisering

van het golfklimaat tot kustconstanten, uitgaande van de hiervoor behan-delde Bailard-aanpak. Ook zal worden besproken, hoe de invloed van offshore breakwaters (in principe) in deze kustconstanten kunnen verwerkt. Een meer gedetailleerde beschrijving is te vinden in [4lJ.

Reeds eerder [48] t/m [50], [38] werden soortgelijke beschouwingen gegeven, waarbij uit werd gegaan van de Svasek-variatie van de CERC-methode als zandtransport formulering.

Combinatie van alle in de laatste twëe alinea's genoemde beschouwingen lev-ert de aantrekkelijke mogelijkheid tot vergelijking: hoe hangt de dynamica van de kust af van de gebruikte zandtransport formule of van de gebruikte wijze van kustverdediging54? Als tussenstation fungeren hierbij de

kust-constanten, die de lengteschaal enjof de tijdschaal enjof de y-schaal van het kustveranderingsproces beinvloeden ([48],[51]).

10.1 Berekening van s bij de Bailard/Stive aanpak

Zoals in deel 11 zal worden uitgewerkt, is de invloed van de kromming van de kust op het evenwichtsprofiel onder bepaalde aannamen vrij simpel in de tweelijn theorie te incorporeren.

Hoe groot is "s" bij de Stive/Bailard methode? M.a.w.: hoe groot is de afhankelijkheid van het langstransport S (berekend volgens de Stivej

Bai-lard-methode) van een kleine hoekverdraaiing van de kust? Deze grootheid

52 "Wel is hier in het verleden studie naar ve·rricht [46]

53 tenminste, als men deze uit de voorgeschiedenis van de kust tracht te vinden. Berekent men de kustconstanten, dan geldt deze eis niet

54 onder de voorwaarde, dat het beschouwde probleem tot een "kustlijn"-pro-bleem is te schematiseren

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

- 19 - January 10, 1992

werd in feite al genoemd in par. 9.3.5: het is de coefficient

B,

genoemd

in noot 34 en in formule weergegeven in [41]. Dit is de belangrijkste

kusteonstante volgens de éénlijntheorie55; samen met de diepte, tot waar

het kustprofiel zich bij aangroei evenwijdig verplaatst bepaalt deze het

kustgedrag. Laatstgenoemde diepte is, in de gegeven schematisatie, de

diepte hl minus de diepte van de kruin van de meest zeewaartse

brandings-rug.

De methode om na te gaan hoe groot s is bij een met offshore breakwaters

verdedigde kust (uitgaande van een transportberekening volgens Stivej

Bai-lard en een stationaire56 golfaanval) is analoog aan degene, die in [48]

werd toegepast bij een kust met strandhoofden:

bereken het stationaire transport So' bij een oneindig lange kust,

waarvan het macroscopisch alignement evenwijdig aan de x-as is57.

Bij een kust met offshore breakwaters houdt dit de aanname in, dat de

breakwaters op een lijn evenwijdig aan de x-as liggen. De wijze van

berekenen is in par. 9.3.6 aangegeven.

herhaal dezelfde berekening, waarbij de golfrichting ~ een hoekje d~

is gedraaid; dan ontstaat een wat andere microstructurele kustvorm en

een verandering van (stationair) transport dS. Met de in hoofdstuk 9

gegeven berekeningsmethode zijn deze te vinden.

de grootte van s is dS/d~. Als ~ klein is kan s (nog simpeler)

benad-erd worden door: S0' /~.

11 Toekomstig onderzoek v.w.b. kustmodelering.

Het artikel [41] (waarvan in hoofdstuk 9 en 10 een uittreksel - in woorden

i.p.v. in formules- is gegeven) omvat niet meer dan een schets van een

berekeningsmethode.

Behalve dat bij het aangegeven voorbeeld (par. 9.3) nog eens dieper zou

moeten worden nagedacht over de in te voeren set-up landwaarts van de off

-shore breakwater (waardoor mogelijk het in par. 9.3.7 probleem van de "te

grote" retourstroom kan worden overwonnen) zou de algemene aanpak van

hoofdstuk 9 nog eens wat nader moeten worden gecheckt, bij voorbeeld het

simpele probleem: .

tot welke (met de CERC-formule te vergelijken) transportformule leidt de in

hoofdstuk 8 en 9 aangegeven methode bij een rechte kust met evenwijdige

dieptelijnen (bij scheve golfaanval)?

55 Hierbij wordt er van uit gegaan, dat de golfaanval stationair is. De

hier gegeven formulering (uitgaande van de Bailard transportformule) is dus

minder algemeen dan degene in [50] en [38) voor de SvasekjGERC

transport-formule, waarbij het gehele golfklimaat in de formulering was betrokken.

56 Onregelma~igheid van de golven wordt wel in de beschouwing betrokken,

maar H,111" en <t> worden constant verondersteld

57 Betekenis So': .5-transport (over de gehele "breker"-zone); Sr

trans-port, wanneer de locale (microscopische) kustlijn evenwijdig aan de x-as

is; So'- transport, wanneer de macroscopische kustlijn evenwijdig aan de

I

I

- 20 - January 10, 1992

I

I

Een vluchtige beschouwing geeft kwalitatief bevredigende resultaten als men de berekende kustprofielen met natuurmetingen vergelijkt, maar een dege-lijke validatie heeft nog niet plaatsgevonden. In het kader van het decen-nia lang uitgevoerde onderzoek t.b.v. de richtlijn duinafslag is een schat aan metingen beschikbaar.

Het valideren van de berekende hoogteligging van de kruin van de buitenste brekerrug (hoofdstuk 8) is een onderzoek op zich58•

In hoofdstuk 10 wordt dieper ingegaan op de berekening van s (die op het langstransport betrekking heeft) dan op de berekening van Sy (die in de

twee-lijn theorie het dwarstransport regeert59). De berekeningen van

V.d.Kerk ([37]) dienaangaande zijn niet uitputtend.

In het algemeen geldt, dat de stelling. dat een holle kust een flauwer evenwichtsprofiel zal vertonen dan een bolle ten eerste proefondervindelijk zal moeten worden bewezen (of verworpen) en dat ten tweede - voor het geval dat deze stelling juist is - de consequenties voor de kust(lijn)-theorie

zullen moeten worden uitgewerkt. In deel 11 zal een aanzet daartoe reeds worden gegeven.

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

58 Tevens zij nogmaals verwezen naar de laatste alinea's van hoofdstuk 8.

59 Deze constante bepaalt de snelheid van de "asymptotische benadering tot het evenwicht" (hoofdstuk 8)