Algebra liniowa

Algebra

Algebra linowa w pigułce

Aleksander Denisiuk

denisjuk@pjwstk.edu.pl

Polsko-Japo ´nska Wy˙zsza Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gda ´nsku

ul. Brzegi 55 80-045 Gda ´nsk

Algebra linowa w pigułce

Najnowsza wersja tego dokumentu dost ˛epna jest pod adresem

http://users.pjwstk.edu.pl/~denisjuk/

Układ równa ´n linowych

(

x + 2y = 6, 3x − y = 4

Układ równa ´n linowych

( x + 2y = 6, 3x − y = 4 ⇒ ( y = 2, x = 2 (1) Algebra – p. 3

Drugi układ

(

x + 2y = 6, 3x + 6y = 4

Drugi układ

(

x + 2y = 6,

3x + 6y = 4 ⇒ 0 = 14

?

(2)

Trzeci układ

(

x + 2y = 6, 3x + 6y = 18

Trzeci układ

(

x + 2y = 6,

3x + 6y = 18 ⇒ 0 = 0

?

(3)

Układ (

2

) jest sprzecznym

(

x + 2y = 6, 3x + 6y = 4

• _{brak rozwi ˛aza ´n}

Układ (

3

) nie jest układem

(

x + 2y = 6, 3x + 6y = 18

Układ (

3

) nie jest układem

(

x + 2y = 6,

3x + 6y = 18 ⇐⇒ x + 2y = 6

Układ (

3

) nie jest układem

(

x + 2y = 6,

3x + 6y = 18 ⇐⇒ x + 2y = 6

• _{wiele rozwi ˛aza ´n:} ◦ _{x = 2, y = 2} ◦ _{x = 4, y = 1} ◦ _{x = 6, y = 0} ◦ _{x =} 1 2, y = 11 4 Algebra – p. 7

Układ (

3

) nie jest układem

(

x + 2y = 6,

3x + 6y = 18 ⇐⇒ x + 2y = 6

• _{wiele rozwi ˛aza ´n:} ◦ _{x = 2, y = 2} ◦ _{x = 4, y = 1} ◦ _{x = 6, y = 0} ◦ _{x =} 1 2, y = 11 4

• _{x = 1, y = 1 nie jest rozwi ˛azaniem}

Układ (

3

) nie jest układem

(

x + 2y = 6,

3x + 6y = 18 ⇐⇒ x + 2y = 6

• _{wiele rozwi ˛aza ´n:} ◦ _{x = 2, y = 2} ◦ _{x = 4, y = 1} ◦ _{x = 6, y = 0} ◦ _{x =} 1 2, y = 11 4

• _{x = 1, y = 1 nie jest rozwi ˛azaniem} • _{Rozwi ˛azanie ogólne x = a, y =} 1

2(6 − a)

Podsumowanie

• _{Układ mo˙ze:}

◦ _{mie´c jedyne rozwi ˛azanie} ◦ _{nie mie´c rozwi ˛aza ´n}

◦ _{mie´c niesko ´nczenie wiele rozwi ˛aza ´n}

• _{Układ nie mo˙ze mie´c dokładnie 2 rozwi ˛aza ´n}

Wi ˛eksza ilo´s´c niewiadomych

         x + 4y − 2z + 3t = 9, 2x − y − z − t = 4, 5x + 7y + z − 2t = 7, 3x − 2y − 8z + 5t = 21. • _2R 1 + 3R2 − R3 ⇒ sprzeczno´s´c Algebra – p. 9

Wi ˛eksza ilo´s´c niewiadomych

         x + 4y − 2z + 3t = 9, 2x − y − z − t = 4, 5x + 7y + z − 2t = 7, 3x − 2y − 8z + 5t = 23. • _2R

1 + 3R2 − R3 ⇒ trzy równania, cztery niewiadome, układ

nieokre´slony

Wi ˛eksza ilo´s´c niewiadomych

(

x + y + z + t = 1,

2x + 2y + 2z + 2t = 0.

• _{Równa ´n wi ˛ecej, ni˙z niewiadomych, układ sprzeczny}

Pogl ˛

ad geometryczny. Układ (

1

)

x + 2y = ₆ 3x −y =4 Algebra – p. 12

Pogl ˛

ad geometryczny. Układ (

2

)

x + 2y = ₆ 3x + 6y = ₄ Algebra – p. 13

Pogl ˛

ad geometryczny. Układ (

3

)

x + 2y = ₆ 3x + 6y = 18 Algebra – p. 14

Ogólne podej´scie geometryczne

• _{Dwie płaszczyzny (dwa układy współrz ˛ednych): (x, y)}

oraz (X, Y ).

• _{Ka˙zdemu punktowi (x, y) przyporz ˛adkujemy punkt (X, Y ),}

taki ˙ze

(

x + 2y = X, 3x − y = Y.

• ˙Zeby rozwi ˛_{aza´c układ (1), trzeba znale´z´c taki punkt (x, y),}

˙ze dla odpowiedniej pary (X, Y ) spełniona była równo´s´c

(X, Y ) = (6, 4).

Przekształcenie

(x, y) 7→ (X, Y )

(x, y) (X, Y ) (0, 0) (0, 0) (0, 1) (2, −1) (0, 2) (4, −2) (1, 0) (1, 3) (1, 1) (3, 2) (1, 2) (5, 1) (2, 0) (2, 6) (2, 1) (4, 5) (2, 2) (6, 4) Algebra – p. 16

Geometria przekształcenia

(x, y) 7→ (X, Y )

Analiza układu (

1

)

• _{Obrazem kwadratów s ˛a równoległoboki.}

• _{Ka˙zdy punkt na płaszczy´znie (X, Y ) jest obrazem pewnego}

punktu (x, y) ⇒ dla ka˙zdych (X, Y ) układ b ˛edzie miał rozwi ˛azanie.

• _{Ró˙zne (x, y) przechodz ˛a do ró˙znych (X, Y ) ⇒ rozwi ˛azanie}

jest jednoznaczne.

Geometria przekształcenia dla równa ´n (

2

) i (

3

)

(

x + 2y = X, 3x + 6y = Y.

Analiza układów (

2

) i (

3

)

• _{Obrazem całej płaszczyzny jest prosta.}

• _{(6, 4) nie le˙zy na tej prostej ⇒ układ (2) nie ma rozwi ˛aza ´n.} • _{(6, 18) le˙zy na prostej ⇒ układ (3) ma rozwi ˛azania.}

• _{Cała prosta x + 2y = 6 zostaje spłaszczona do punktu}

(6, 18) ⇒ układ (3) ma niesko ´nczenie wiele rozwi ˛aza ´n.

Analiza ogólnego układu

(

ax + by = X cx + dy = Y

• _{Wła´sciwo´sci układu zale˙z ˛a od wła´sciwo´sci przekształcenia}

(x, y) 7→ (ax + by, cx + dy)

     ax + by + cz = X dx + ey + f z = Y gx + hy + kz = Z • _{(x, y, z) 7→ (ax + by + cz, dx + ey + f z, gx + hy + kz)} Algebra – p. 21

J ˛ezyk teorii mnogo´sci

(

ax + by = X, cx + dy = Y.

• _{Układ ma rozwi ˛azanie ⇐⇒ (X, Y ) nale˙zy do obrazu}

przekształcenia T (x, y) 7→ (ax + by, cx + dy) (X, Y ) ∈ Im(T )

Jaki mo˙ze by´c obraz

T

?

• _{Płaszczyzna — układ (1)}

• _{Prosta — układy (2) oraz (3)}

Jaki mo˙ze by´c obraz

T

?

• _{Płaszczyzna — układ (1)}

• _{Prosta — układy (2) oraz (3)} • _{Punkt — układ trywialny :}

(

0x + 0y = X, 0x + 0y = Y.

Obraz przekształcenia a przestrsze ´n rozwi ˛

aza ´n

Obraz Przestrze ´n rozwi ˛aza ´n płaszczyzna punkt

prosta prosta

punkt płaszczyzna

W

R

3

Obraz Przestrze ´n rozwi ˛aza ´n

R3 punkt

płaszczyzna prosta

prosta płaszczyzna

punkt _R3

• _{W R}n_{: suma wymiaru obrazu przekształcenia i wymiaru}

przestrzeni rozwi ˛aza ´n układu równa jest n

Macierze

• _{Niech dane b ˛edzie przekształcenie T (x, y) = (X, Y ), gdzie}

( ax + by = X, cx + dy = Y. • _{Macierz przekształcenia:} a b c d ! • _{Wektory-kolumny:} x y ! , X Y ! . Algebra – p. 26

Układ w postaci macierzowej

a b c d ! · x y ! = X Y ! , gdzie • _{iloczynem macierzy} a b c d ! i kolumny x y ! jest kolumna ax + by cx + dy !

• _{dwie kolumny s ˛a równe, je˙zeli równ ˛e s ˛a ich odpowiedne}

elementy

Układ trzech równa ´n o trzech niewiadomych

   a b c d e f g h k    ·    x y z    =    X Y Z    Algebra – p. 28

Mno˙zenie przekształce ´n

• _{Niech dane b ˛edzie drugie przekształcenie,}

U (X, Y ) = (X, Y), gdzie ( AX + BY = X, CX + DY = Y. czyli A B C D ! · X Y ! = X Y !

• _{Iloczynem przekształce ´n T i U jest przekształcenie zło˙zone}

U T (x, y) = U (X, Y ) = (X, Y)

Macierz iloczynu przekształce ´n

• _{X = AX + BY = A(ax + by) + B(cx + dy) =}

(Aa + Bc)x + (Ab + Bd)y

• _{Y = CX + DY = C(ax + by) + D(cx + dy) =}

(Ca + Dc)x + (Cb + Dd)y • Aa + Bc Ab + Bd Ca + Dc Cb + Dd ! · x y ! = X Y ! • A B C D ! · a b c d ! x y ! = X Y ! Algebra – p. 30

Definicja iloczynu macierzy

A B C D ! · a b c d ! = Aa + Bc Ab + Bd Ca + Dc Cb + Dd ! Algebra – p. 31

Przykład

• _{Niech G b ˛edzie symetri ˛a wzgl ˛edem osi Ox}

• _{Niech H obrotem dookoła ´srodka współrz ˛ednych o k ˛at 90}◦

zgodnie ze wskazuwk ˛a zegara.

• _{G(x, y) = (x, −y), macierz G =} 1 0 0 −1 ! . • _{H(x, y) = (y, −x), macierz H =} 0 1 −_{1 0} ! . • _{Macierz GH =} 1 0 0 −1 ! · 0 1 −_{1 0} ! = 0 1 1 0 ! Algebra – p. 32

Obrót

• _{Niech R} θ b ˛edzie obrotem o k ˛at θ. • _{Macierz R} θ = cos θ − sin θ sin θ cos θ ! . • _{Niech R} ϕ b ˛edzie obrotem o k ˛at ϕ. • _{Macierz R} ϕ = cos ϕ − sin ϕ sin ϕ cos ϕ ! . • _{Iloczyn obrotów R} θRϕ = Rθ+ϕ • _{Macierz R} θ+ϕ = cos(θ + ϕ) − sin(θ + ϕ) sin(θ + ϕ) cos(θ + ϕ) ! Algebra – p. 33

Obrót

• _{Iloczyn macierzy} R_θRϕ = cos θ − sin θ sin θ cos θ ! · cos ϕ − sin ϕ sin ϕ cos ϕ ! =

cos θ cos ϕ − sin θ sin ϕ − cos θ sin ϕ − sin θ cos ϕ sin θ cos ϕ + cos θ sin ϕ − sin θ cos ϕ + cos θ cos ϕ

! = cos(θ + ϕ) − sin(θ + ϕ) sin(θ + ϕ) cos(θ + ϕ) ! . • _Wniosek:

◦ _{cos(θ + ϕ) = cos θ cos ϕ − sin θ sin ϕ,} ◦ _{sin(θ + ϕ) = sin θ cos ϕ + cos θ sin ϕ.}

Wektory

n

-wymiarowe

• _{Zmiana oznazce ´n} • x y ! x1 x2 !    x1 .. . xn    •    x y z       x1 x2 x3       x1 .. . xn    Algebra – p. 35

Dodawanie wektorów

x y ! + z t ! = x + z z + t ! x1 x2 ! + y1 y2 ! = x1 + y1 x2 + y2 !    x1 .. . x_n    +    y1 .. . y_n    =    x1 + y1 .. . x_n + y_n    Algebra – p. 36

Mno˙zenie wektorów przez

α ∈

R

α x y ! = αx αy ! α x1 x2 ! = αx1 αx2 ! α    x1 .. . x_n    =    αx1 .. . αx_n    Algebra – p. 37

Macierze

n

-wymiarowe

a b c d ! a11 a12 a21 a22 !    a11 · · · a1_n .. . . .. ... an1 · · · ann    Algebra – p. 38

Mno˙zenie macierzy przez wektor

a b c d ! x y ! = ax + by cx + dy ! a11 a12 a21 a22 ! x1 x2 ! = a11x1 + a12x2 a21x1 + a22x2 !    a11 · · · a1_n .. . . .. ... a_n1 · · · _ann       x1 .. . x_n    =    a11x1 + · · · + a1_nx_n .. . a_n1x1 + · · · + a_nnx_n    Algebra – p. 39

Wygodne oznaczenie dla sumy

• _x 1 + · · · + x_n = n P i=1 xi Algebra – p. 40

Wygodne oznaczenie dla sumy

• _x 1 + · · · + x_n = n P i=1 xi • _a 11x1 + · · · + a1_nx_n = n P i=1 a1_ix_i Algebra – p. 40

Wygodne oznaczenie dla sumy

• _x 1 + · · · + x_n = n P i=1 xi • _a 11x1 + · · · + a1_nx_n = n P i=1 a1_ix_i •    a11 · · · a1_n .. . . .. ... an1 · · · ann       x1 .. . xn    =        n P i=1 a1_ix_i .. . n P i=1 anixi        Algebra – p. 40

Abstrakcyjna przestrze ´n wektorowa

• _{Zbiór X, na którym okre´slone s ˛a dwa dzalania} ◦ _dodawanie

+ : X × X → X

(X, Y ) 7→ X + Y

◦ _{mno˙zenie przez liczb ˛e rzeczywist ˛a (skalowanie)}

· _{: R} × X → X

(α, X) 7→ α · X(= αX)

◦ _{nawyza si ˛e przestrzeni ˛a wektorow ˛a (liniow ˛a), je˙zeli}

spełnione s ˛a warunki:

Przestrze ´n wektorowa. Dodawanie

• _{Dodawanie wektorów jest ł ˛aczne:}

◦ _{∀X, Y, Z ∈ X zachodzi (X + Y ) + Z = X + (Y + Z)} • _{Dodawanie wektorów jest przemienne:}

◦ _{∀X, Y ∈ X jest X + Y = Y + X}

• _{Dodawanie wektorów ma element neutralny:}

◦ _{∃0 ∈ X, nazywany wektorem zerowym, ˙ze X + 0 = X dla}

dowolnego X ∈ X_.

• _{Dodawanie wektorów pozwala na odejmowanie:} ◦ _{∀X ∈ X istnieje element X}′ _{∈ X}

, nazywany wektorem przeciwnym do X, taki, ˙ze X + X′

= 0 (wygodne oznaczenie: X′

= −X).

Przestrze ´n wektorowa. Skalowanie

• _{Skalowanie jest rozdzielne wzgl ˛edem dodawania wektorów:} ◦ _{∀λ ∈ R X, Y ∈ X zachodzi α(X + Y ) = αX + αY}

• _{Skalowanie jest rozdzielne wzgl ˛edem dodawania liczb:} ◦ _{∀α, β ∈ R X ∈ X jest (α + β)X = αX + βX}

• _{Skalowanie jest zgodne z mno˙zeniem liczb:} ◦ _{∀α, β ∈ R X ∈ X jest α(βX) = (αβ)X} • _{∀X ∈ X jest 1 · X = X.}

Przestrze ´n wektorowa. Przykłady

• _Rn

• _{Wielomiany R[x]}

• _{Wielomiany dwóch zmiennych R[x, y]} • _{Szeregi pot ˛egowe R[[x]]}

◦ _a 0 + a1x + a2x2 + · · · = ∞ P i=0 aixi Algebra – p. 44

Przekształcenia liniowe

• _{Przekształcenie L : X → X, X 7→ L(X) = LX nazywa si ˛e}

liniowym, je˙zeli:

◦ _{∀X, Y ∈ X spełniono jest L(X + Y ) = LX + LY} ◦ _{∀α ∈ R, ∀X ∈ X spełniono jest L(αX) = αLX}

Google

• _{Uporz ˛adkowa´c strony (wyniki wyszukiwania)} • _{Wa˙zno´s´c strony P jest W (P )}

• _{Niech strona P}

j ma li odno´sników

• _{Je˙zeli P}

j ma link na Pi, strona Pj przekazuje W (Pj)/lj

swojej wa˙zno´sci na Pi • _{Wa˙zno´s´c P} i wyniesie W (Pi) = X Pj∈Bi W (Pj) lj ,

gdzie B_i jest zbiorem stron z odno´snikami do P_i

Google — podej´scie algebraiczne

• _{Macierz hiperlinków H:} hij =    1 l_j , je˙zeli pj ∈ Bi 0 w pozostałych przypadkach ◦ _h ij > 0 ◦ P i hij = 1

◦ _{H jest macierz ˛a stochastyczn ˛a}

• _{Wektor wa˙zno´sci W =}      w1 . . . wn      Algebra – p. 47

Google — Równanie wa˙zno´sci

• _W i = P Pj∈Bi Wj lj = n P j=1 hijWj • _{Równanie wa˙zno´sci W = HW}

• _{W jest wektorem stacjonarnym przekształcenia H} • _{Dla stochastycznej macierzy istnieje jednoznacznie}

okre´slony wektor stacjonarny o dodatnich współrz ˛ednych

Google — przykład

H =                   0 0 0 0 0 0 1 3 0 1 2 0 1 2 1 3 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 1 3 0 0 1 3 0 0 0 0 1 3 1 3 0 0 1 2 0 0 0 0 1 3 0 0 1 2 0 0 0 0 1 3 1 1 3 0                   Algebra – p. 49

Google — wa˙zno´sci wyników

W =                   0_,0600 0_,0675 0_,0300 0_,0675 0_,0975 0_,2025 0_,1800 0_,2950                   Algebra – p. 50

Literatura

Literatura

[1] IAN STEWART: Concepts of Modern Mathematics, Penguin

Books, 1975.

[2] DAVID AUSTIN: How Google Finds Your Needle in the Web’s

Haystack, AMS Feature Column, December 2006,

http://www.ams.org/samplings/feature-column/fcarc-pagerank.