Regulator PID - Wybrane metody doboru nastaw

Roman Kaula

WYBRANE METODY DOBORU

NASTAW PARAMETRÓW

REGULATORA

PID

POLITECHNIKA ŚLĄSKA

PLAN WYKŁADU



Wprowadzenie



Kryterium Zieglera-Nicholsa



Metoda linii pierwiastkowych



Kryterium minimalizacji kwadratowego wskaźnika całkowego



Kryterium dopasowania modułu

obiekt sterowania

z(t)

y(t) u(t)

Sterowanie , w układzie otwartym, jest to takie oddziaływanie

na obiekt sterowania wielkością wejściową by wielkość

wyjściowa przyjmowała żądane wartości , przy czym wielkość

wyjściowa nie ma wpływu na wielkość wejściową.

Z tego względu wielkość wyjściowa

może pod wpływem zakłóceń

odchylać

się znacznie od wartości zadanej.

Jeśli zakłócenie jest stałe to można skompensować jego

wpływ przez odpowiedni dobór wielkości sterującej.

Jeśli jednak w układzie występują zakłócenia o

dowolnej amplitudzie i w dowolnych chwilach czasu

to lepiej jest mierzyć wielkość wyjściową i przy jej

odchyleniach od wartości zadanej wypracować

określony sygnał sterujący przeciwdziałający tym

zakłóceniom.

Sposób ten nazywa się regulacją , a do jego

realizacji potrzebny jest regulator.

SCHEMAT BLOKOWY UKŁADU REGULACJI

u(t) – sygnał wyjściowy regulatora (sterujący),

e(t) – sygnał wejściowy regulatora (błędu regulacji), e(t)= y_zad(t)-y(t).

Zadaniem regulatora

jest wytwarzanie sygnałów

sterujących zapewniających żądany przebieg wielkości

regulowanych w warunkach oddziaływania na te zmienne

różnych zakłóceń.

Istnieje wiele rozwiązań regulatorów różniących się

sposobem działania , strukturą , właściwościami w

stanach przejściowych i ustalonych oraz rodzajem

sygnałów wyjściowych.

Regulator realizujący takie funkcje został nazwany

regulatorem typu

PID

Przyjęto, że klasyczny regulator powinien mieć

możliwość realizacji działania

Lub w postaci uogólnionej: dt t de K dt t e K t e K t u _D t I p ) ( ) ( ) ( ) ( 0 D r D I r I r p T k K T k K k K

Zatem ogólne równanie regulatora typu PID ma postać:

dt t de T dt t e T t e k t u _D t I r ) ( ) ( 1 ) ( ) ( 0 k_r – wzmocnienie regulatora, T_I – czas całkowania, T_D – czas różniczkowania.

Gdzie: K_p – wzmocnienie członu proporcjonalnego,

K_I – wzmocnienie członu całkującego, K_D – wzmocnienie członu różniczkującego.

Transmitancja operatorowa regulatora PID

)

1

(

)

(

)

(

)

(

K

s

s

K

K

s

E

s

U

s

K

Dostosowanie regulatora

do

konkretnego

układu regulacji polega na takim nastawieniu jego

parametrów, przy którym przebiegi wartości

regulowanej

spełnią wymogi przyjętego wskaźnika

jakości regulacji.

Proces ten nazywany jest:

Kryteria (zapasu) stabilności

Kryteria czasowe

Kryteria całkowe

Kryteria częstotliwościowe

Jakość procesów regulacji ocenia się za pomocą

odpowiednio dobranych wskaźników jakości,

zwanych kryteriami.

Przy braku informacji na temat modelu obiektu zwykle

stosuje się

eksperyment Zieglera-Nicholsa

.

Sposób doboru nastaw regulatora związany

jest ze stopniem identyfikacji regulowanego

obiektu.

Gdy znany jest model matematyczny obiektu lub znana jest

jego charakterystyka dynamiczna, możemy zastosować różne

Eksperyment Zieglera-Nicholsa

W metodzie tej regulator PID należy przełączyć tylko na działanie proporcjonalne.

Metoda drgań granicznych

Następnie należy stopniowo zwiększać wzmocnienie członu proporcjonalnego, aż do wartości K_gr, dla której w układzie powstaną nietłumione oscylacje.

KROK 1

Metoda Typ regulatora kr TI TD

P 0,5K_gr - -

PI 0,45K_gr 0,85T_osc -

drgań granicznych

PID 0,6K_gr 0,5T_osc 0,125T_osc

gdzie: kr., TI, TD – parametry regulatora

Nastawy regulatorów na podstawie reguł Zieglera-Nicholsa

Określa się nastawy, dla danego typu regulatora, na podstawie parametrów K_gr i T_osc według tabeli

Mierzy się okres oscylacji T_osc. KROK 3

Parametry K

T

można wyznaczyć także analitycznie korzystając

z warunków granicznych wynikających z

kryterium Nyquista

Kryterium Nyquista pozwala badać stabilność zamkniętego układu regulacji na podstawie charakterystyki amplitudowo-fazowej układu otwartego.

)

(

1

)

(

)

(

j

K

j

K

j

K

Dla pewnej częstotliwości może zaistnieć przypadek, że będzie spełniony

warunek

)

(

)

(

)

(

j

K

j

K

j

K

Metoda drgań granicznych – Wyznaczenie parametrów analitycznie

1

)

(

j

K

Im {K(j )} Re {K(j )} =0 = r (-1,j0) ) ( 1 ) ( gr gr o j K 1 )} ( Re{ 0 )} ( Im{ gr o gr o j K j K

Interpretacja wykresu charakterystyki częstotliwościowej

przy zastosowaniu kryterium Nyquista

układ na granicy stabilności

Analityczne przedstawienie warunków stabilności

lub

)

( j

p

R

j

K

K

(

)

W metodzie drgań granicznych (Z-N) regulator PID

Na etapie nastawiania włączony jest tylko na człon proporcjonalny P

Krok 2 ) ( 1 ) ( gr pgr gr K j K

1

}

)

(

Re{

0

}

)

(

Im{

K

j

K

K

j

K

T

2

Rozwiązujemy układ równań względem

Wyznaczamy T _osc

gr gr

K ,

Metoda drgań granicznych – Wyznaczenie parametrów analitycznie

Krok 1

Metoda linii pierwiastkowych

Obiekt i regulator są dane w postaci transmitancji

) ( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( ' ' s M s L k s M s L k s kK s kK s K o o Z ) ( ) (s k K' s K _o ) ( ) (s k K ' s K_{R r R}

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

s

K

s

K

s

k

k

K

s

K

s

kK

s

K

D

Definicja

Liniami pierwiastkowymi nazywamy zbiór pierwiastków mianownika transmitancji układu zamkniętego dla zmieniającego się k

Idea metody

Na podstawie linii pierwiastkowych można przewidzieć zachowanie układu (bez znajomości odpowiedzi skokowej), ponieważ wiadomo w jakim obszarze pierwiastki są rzeczywiste, a w jakim zespolone

Przykład

Dla układu podanego na rysunku wykreślić linie pierwiastkowe

k s s k ) 1 s ( s 1 k 1 ) 1 s ( s 1 k ) s ( KZ ₂

k

4

1

Przy jakim k przeregulowanie wyniesie 16,3 %

s

2

s

)

s

(

K

j

1

s

Przeregulowanie jednoznacznie określa biegun układu zamkniętego na liniach pierwiastkowych 2

1

Re

Im

tg

2

1

k

4

j

2

1

)

k

(

s

3

1

k

4

Re

Im

1

k

Kiedy przebiegi będą aperiodyczne krytyczne ?

Przebiegi aperiodyczne krytyczne otrzymujemy wybierając bieguny układu zamkniętego tak, aby były one rzeczywiste i aby było jak najwięcej biegunów wielokrotnych

Minimalizacja kwadratowego wskaźnika całkowego

Optymalne nastawy regulatora PID można wyznaczyć

korzystając z wartości minimalizującej wartości wskaźnika całkowego I

.

0

2 2 [e(t) e ] dt

I _st

gdzie: e(t) – błąd regulacji,

e_st – wartość błędu w nowym stanie ustalonym.

oraz układ zamknięty jest stabilny, czyli pierwiastki równania charakterystycznego

d s

...

d s

d

0

mają ujemne części rzeczywiste,

to wartość wskaźnika

I

analitycznej, . 3 , ) ( 2 ) 2 ( 2 , 2 1 , 2 3 0 2 1 3 0 3 2 2 0 3 0 2 0 2 1 1 0 2 2 2 1 0 2 2 0 2 1 1 0 2 0 2 n d d d d d d d d c d d c c c d d c n d d d d c d c n d d c I o

Jeżeli transformata operatorowa błędu E(s) ma postać:

0 1 0 1 ... ... ) ( d s d s d c s c s c s E _n n m m gdzie n>m

b s a s K( ) s K b s a s K s K s K₀( ) ( ) _R( ) I I e aK bs s s b s s K s K ₂ 0 ) ( ) ( 1 1 ) (

Wyznaczamy transmitancję operatorową układu otwartego:

Wyznaczamy transmitancję operatorową błędu regulacji:

Przykład

Dla układu o transmitancji

korzystając z kryterium wskaźnika całkowego I₂, przy oddziaływaniu typowego wymuszenia y_zad (t) =1(t). KROK 1

KROK 2

wyznaczyć optymalną nastawę K_I regulatora całkującego

_K

_s

K

s

R

I

( )

b aK b aK I I I 2 2 2 2 2 2 ) 2 ( ) ( 2 ) 2 ( 2 b aK b aK aK b aK b b I I I I I

Wskaźnik I₂, zgodnie z (wzorami), jest równy:

Minimalizując wskaźnik I₂ względem parametru b otrzymujemy:

stąd wartość parametru K_I minimalizująca wskaźnik całkowy I₂:

a

b

K

b

I

0

KROK 3 Wobec tego błąd E(s) przy wymuszeniu stałym:

I aK bs s b s s E 2 ) (

1

)

( j

K

_z

Dobór nastaw regulatora, według kryterium dopasowania modułu, związany jest z tym, że moduł transmitancji widmowej układu zamkniętego

Kryterium dopasowania modułu

powinien dla dobrej jakości przebiegu przejściowego utrzymywać wartość bliską jeden, w możliwie szerokim paśmie.

)

(

1

)

(

)

(

j

K

j

K

j

K

K s

a

s

b

( )

K

s

K

s

( )

Przykład

Dla układu o transmitancji

Korzystając z kryterium dopasowania modułu

I I I I o z aK s b s aK s K b s a s K b s a s K s K s K ) ( 1 ) ( 1 ) ( ) ( 0 I I z aK j b j aK j K ) ( ) ( 2 2 2 ) ( ) ( ) ( ( b aK aK j K I I z

Wyznaczamy transmitancję operatorową układu zamkni

ę

Transmitancj

a

a

ę

Moduł transmitancji widmowej:

.

KROK 1

KROK 3 KROK 2

a

b

K

2

0

a

b

K

2

Należy zauwa

ż

ć

nastawa regulatora całkującego jest równa

.

KROK 4

_K

_{( j}

₎

₁

z

)

(

)

(

1

1

)

(

)

(

1

)

(

)

(

)

(

)

(

1

)

(

)

(

1

1

s

K

s

K

s

K

s

K

s

K

s

K

s

K

s

K

s

K

s

K

Y(s)

U(s)

E(s)

)

(

)

(

1

)

(

)

(

)

(

s

K

s

K

s

K

s

K

s

K

)

(

)

(

1

1

)

(

s

K

s

K

s

K

1

0

PODSUMOWANIE

Metody doboru nastaw parametrów regulatora związane są ze

spełnieniem jednego z warunków:

PODSUMOWANIE

Kryterium dopasowania modułu

Minimalizacja kwadratowego wskaźnika całkowego

K s

a

s

b

( )

_K

_s

K

s

( )

a

b

K

a

b

K

2

Dla omawianego

przykładu

Nie ma jednego kryterium doboru nastaw parametrów regulatora

spełniającego wszystkie wymagania jakości regulacji

DZIĘKUJĘ

ZA UWAGĘ