1
Całka nieoznaczona - całkowanie przez podstawienie
Oprócz wykorzystania wzorów podstawowych oraz własności, wiele całek można obliczyć korzystając z dwóch podstawowych metod całkowania: całkowanie przez podstawienie oraz całkowanie przez części. Metodę całkowania przez podstawienie stosujemy wówczas, gdy funkcja podcałkowa jest iloczynem funkcji złożonej i pochodnej jej funkcji wewnętrznej. Stosujemy tu następujące twierdzenie:
Twierdzenie. Jeżeli
1) funkcja :f Y→ R jest ciągła na przedziale Y,
2) funkcja :g X→ ma ciągłą pochodną na przedziale X, Y
to ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) g x t f g x g x dx f t dt g x dx dt = ′ = = ′ =
∫
∫
.Przykład. Obliczyć całki:
a)
∫
cos(2x+3)dx, b)∫
e−5xdx, c)∫
33x−1dx, d) 2 sin (3 4 ) dx x −∫
, Rozwiązanie.Wszystkie te przykłady można zaliczyć do pewnego podtypu całek, które obliczamy przez podstawienie. Zauważmy, że w przykładach tych funkcją wewnętrzną funkcji podcałkowej jest funkcja liniowa. Można zatem zastosować następujące podstawienie:
1 ( ) / : ( ) 1 ax b t f ax b adx dt a f t dt a dx dt a + = + = = = =
∫
∫
. a) 2 3 1 1 1cos(2 3) 2 cos sin sin(2 3)
2 2 2 1 2 x t x dx dx dt tdt t C x C dx dt + = + = = = = + = + + =
∫
∫
, b) 5 5 5 1 1 1 e 5 e e e 5 5 5 1 5 x t t x x t dx dx dt dt C C dx dt − − − = = − = = − = − + = − + = −∫
∫
, c) 1 4 3 4 4 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 3 1 1 3 1 3 (3 1) 3 3 3 4 4 4 1 3 x t x dx dx dt t dt t dt t C t C x C dx dt − = − = = = = = ⋅ + = + = − + =∫
∫
∫
,2 d) 2 2 3 4 1 1 1 4 ( ctg ) ctg(3 4 ) 4 4 4 sin (3 4 ) sin 1 4 x t dx dt dx dt t C x C x t dx dt − = = − = = − = − − + = − + − = −
∫
∫
Analogicznie do powyższych przykładów można wyprowadzić ogólne wzory, przydatne przy obliczaniu niektórych typów całek:
(15) sin(ax b dx) 1cos(ax b) C a + = − + +
∫
, (16) cos(ax b dx) 1sin(ax b) C a + = + +∫
, (17) eax bdx 1eax b C a + = + +∫
.Przykład. Obliczyć całki:
a) 2 1 3 x dx x −
∫
, b)∫
cos3xsinxdx, c) 13 ln dx x x∫
, d) sin xdx x∫
, e) 4 1 x dx x −∫
, f)∫
x232x3−1dx, g) 3 cos 2 (5 sin 2 ) xdx dx x −∫
, h) e 2 1 e x xdx +∫
, i)∫
ctg3xdx. Rozwiązanie. a) 2 2 2 1 3 1 1 1 6 ln ln 1 3 6 6 6 1 3 1 6 x t x dt dx xdx dt t C x C t x xdx dt − = = − = = − = − + =− − + − = −∫
∫
b) 3 3 4 4 cos 1 1cos sin sin cos
4 4 sin x t x xdx xdx dt t dt t C t C xdx dt = = − = = − =− + = − + = −
∫
∫
, c) 3 3 3 2 2 2 ln 1 1 1 1 1 1 2 ln 2 2 ln x t dx dt t dt t C C C dx dt x x t t x x − − = = = = = − + =− + = − + =∫
∫
∫
d) sin 1 2 sin 2 cos 2 cos
2 1 2 x t x dx dx dt tdt t C x C x x dx dt x = = = = = − + = − + =
∫
∫
,3 e) 2 4 2 2 2 1 2 2 1 1 ( ) 1 1 2 x t x x dt dx dx xdx dt x x t xdx dt = = = = = = − − − =
∫
∫
∫
2 1 1 arcsin arcsin 2 t C 2 x C = + = + , f) 3 1 4 3 2 3 2 3 3 3 2 2 1 1 1 1 3 2 1 6 6 6 6 4 1 6 x t x x dx x dx dt tdt t dt t C x dx dt − = − = = = = = ⋅ + = =∫
∫
∫
3 4 3 3 4 1 1 (2 1) 8 t C 8 x C = + = − + , g) 3 2 3 3 5 sin 2 cos 2 1 1 2 cos 2 2 2 (5 sin 2 ) 1 cos 2 2 x t x dt dx xdx dt t dt x t xdx dt − − = = − = = − =− = − = −∫
∫
∫
( )
12 1 1 1 2 2 t C t C 5 sin 2x C − = − ⋅ − + = + = + − , h) e 2 e 2 e 2 arctg arctg e 1 e 1 (e ) e 1 x x x x x x x t dt dx dx t C C t dx dt = = = = = + = + + + = +∫
∫
∫
, i) sin 3 cos 3 1 1 1 ctg3 3cos 3 ln ln sin 3 sin 3 3 3 3 1 cos 3 3 x t x dt xdx dx xdx dt t C x C x t xdx dt = = = = = = + = + =∫
∫
∫
.Zadania do samodzielnego rozwiązania
Znaleźć całki: 18.
∫
cos 3xdx, 19.∫
e4x−2dx, 20.∫
sin(5−4 )x dx, 21.∫
3x−5dx, 22. 3 1 2x+5dx∫
, 23. 2 cos (2 7) dx x−∫
, 24.∫
sin2xcosx dx, 25.∫
tgx dx, 26. 2 4 x dx x −∫
, 27 2 6 (2 3) x dx x −∫
, 28∫
xsin(2x2+1)dx, 29.∫
x x( 2−7)5dx,4 30. 2 3 5 x dx x −
