Całka Riemanna

(1)

Analiza Matematyczna. Całka Riemanna

Aleksander Denisiuk denisiuk@pjwstk.edu.pl

Polsko-Japo ´nska Wy˙zsza Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gda ´nsku

ul. Brzegi 55 80-045 Gda ´nsk

(2)

Całka Riemanna

•_{Całka Riemanna} •_{Całka oznaczona} •_{Wła´sciwo´sci} •_Oszacowanie •_Twierdzenie Newtona-Leibniza •Całki niewła´sciwe

Najnowsza wersja tego dokumentu dost ˛epna jest pod adresem http://users.pjwstk.edu.pl/~denisjuk/

(3)

Definicja całki oznaczonej

Niech

f

(x)

b ˛edzie funkcj ˛a ograniczon ˛a na sko ´nczonym przedziale

[a, b]

.

Definicja 1. 1. Niech dane b ˛ed ˛a punkty

a

= x

₀

< x

₁

<

_{· · · < x}

_n

= b

. Mówimy wówczas, ˙ze okre´slony jest podział

P

_n przedziału

(a, b)

.

2. Przedziały

[x

_i−1

, x

_i

]

, gdzie

i

= 1, 2, . . . , n

, nazwiemy

przedziałami cz ˛astkowymi podziału.

3. Długo´sci przedziałów

[x

_i

, x

_i−1

]

oznaczamy przez

∆

_i

(

∆

_i

= x

_i

− x

_i−1), a maksymaln ˛a z nich,

∆(P

_n

) = max

i=1,...,n

∆

i

(4)

Definicja całki oznaczonej, cd

4. Niech dane b ˛ed ˛a równie˙z w ˛ezły

ξ

_i

_{∈ [x}

_i−1

, x

_i

]

, gdzie

i

= 1, . . . , n

. Sum ˛e

S(f, P

_n

) =

n

P

i=1

f

(ξ

_i

)∆

_i nazwiemy sum ˛a całkow ˛a.

5. Granic ˛e (o ile istnieje)

lim

n→∞ ∆(Pn)→0

S

(f, P

n

)

nazwiemy całk ˛a

oznaczon ˛a (całk ˛a Riemanna), oznaczamy

b

R

a

f

(x) dx

. Funkcja

(5)

Sens geometryczny całki oznaczonej

•_{Całka Riemanna} •_{Całka oznaczona} •_{Wła´sciwo´sci} •_Oszacowanie •_Twierdzenie Newtona-Leibniza •Całki niewła´sciwe a = x0 ξ1 x1 ξ2 x2 ξ3 x3 ξ4 x4 ξ5 x5 _{= b}

(6)

Sens geometryczny całki oznaczonej, cd

Niech b ˛edzie

f

(x) > 0

dla

x

_{∈ [a, b]}

. Suma całkowa,

odpowiadaj ˛aca podziałowi

P

_n i wyborowi w ˛ezłów

ξ

_i równa jest polu

figury, zło˙zonej z prostok ˛atów, zobacz rysunek 1. Granica pól takich figur, czyli całka zgadza si ˛e z polem trapezu krzywoliniowego, i.e.,

obszaru ograniczonego łukiem krzywej

y

= f (x)

, odcinkiem osi

Ox

oraz prostymi

x

= a

i

x

= b

.

Je˙zeli za´s w przedziale

[a, b]

jest

f

(x) 6 0

, to analogiczne pole równa si ˛e

−

b

Z

a

f

(x) dx.

(7)

Klasy funkcji całkowalnych

Twierdzenie 2. Ci ˛agła w przedziale

[a, b]

funkcja jest całkowalna. Twierdzenie 3. Funkcja ograniczona i ci ˛agła w przedziale

[a, b]

z wyj ˛atkiem co najwy˙zej sko ´nczonej liczby punktów jest całkowalna.

Twierdzenie 4. Monotoniczna w przedziale

[a, b]

funkcja jest całkowalna.

(8)

Suma i ró˙znica całek

Twierdzenie 5. Niech funkcje

f

(x)

i

g(x)

b ˛ed ˛a całkowalne

w przedziale

[a, b]

. Wtedy

f

(x) ± g(x)

b ˛edzie funkcj ˛a całkowaln ˛a oraz

R

_ab

f

_{(x) ± g(x)}

dx = R

_ab

f

_{(x) dx ±}

R

_ab

g

(x) dx

.

Dowód. Rozwa˙zmy sumy całkowe:

S

_{(f ± g, P}

_n

) =

n

X

i=1

f

(ξ

_i

_{) ± g(ξ}

_i

)∆

_i

=

n

X

i=1

f

(ξ

_i

)∆

_i

_±

n

X

i=1

g(ξ

_i

)∆

_i

= S(f, P

_n

_{) ± S(g, P}

_n

).

(9)

Liniowo ´s ´c całki wzgl ˛edem mno˙zenia przez liczb ˛e

Twierdzenie 6. Niech funkcja

f

(x)

b ˛edzie całkowaln ˛a w przedziale

[a, b]

. Wtedy

λf

(x)

, gdzie

λ

∈ R

b ˛edzie funkcj ˛a całkowaln ˛a oraz

R

b

a

λf

(x) dx = λ

R

b

a

f

(x) dx

.

(10)

Własno ´sci funkcji całkowalnych

f

(x)

i

g(x)

b ˛ed ˛a całkowalne

w przedziale

[a, b]

. Wtedy

f

(x) · g(x)

b ˛edzie funkcj ˛a całkowaln ˛a. Twierdzenie 8. Niech funkcja

f

(x)

b ˛edzie całkowalna w przedziale

[a, b]

. Wtedy

|f(x)|

te˙z b ˛edzie funkcj ˛a całkowaln ˛a.

f

(x)

b ˛edzie całkowaln ˛a w przedziale

[a, b]

. Wtedy

f

(x)

b ˛edzie całkowaln ˛a w dowolnym przedziale

(11)

Własno ´sci funkcji całkowalnych, cd.

Definicja 10. Umówmy si ˛e, ˙ze dla fukcji

f

(x)

, całkowalnej

w przedziale

[a, b]

1. a

R

b

f

_{(x) dx = −}

b

R

a

f

(x) dx

2. a

R

a

f

(x) dx = 0

.

f

(x)

b ˛edzie całkowaln ˛a

w przedziałach

[a, c]

oraz

[c, b]

. Wtedy

f

(x)

w przedziale

[a, b]

oraz

b

R

a

f

(x) dx =

c

R

a

f

(x) dx +

b

R

c

f

(x) dx.

(12)

Oszacowanie całek

f

(x)

w przedziale

[a, b]

oraz

f

(x) > 0

przy

x

∈ [a, b]

. Wtedy

b

R

a

f

(x) dx > 0

. Dowód.

S

(f, P

_n

) =

n

X

i=1

f

(ξ

_i

)∆

_i

>

0.

(13)

Oszacowanie całek, cd.

Wniosek 14. Niech funkcja

f

(x)

b ˛edzie całkowalna w przedziale

[a, b]

. Wtedy

b

R

a

f

(x) dx

6

b

R

a

f

(x)

dx

.

f

(x)

b ˛edzie całkowalna

w przedziale

[a, b]

,

M

= sup

x∈[a,b]

f

(x)

,

m

= inf

x∈[a,b]

f

(x)

. Wtedy

∃µ

,

m 6 µ 6 M

, takie ˙ze b

R

a

f

_{(x) dx = µ · (b − a)}

.

(14)

Całka oznaczona a całka nieoznaczona

Twierdzenie 16. Niech funkcj ˛a

f

(x)

b ˛edzie ci ˛agł ˛a w przedziale

[a, b]

. Wtedy

x

R

a

f

(t) dt

jest funkcj ˛a pierwotn ˛a dla

f

(x)

.

Wniosek 17. Niech funkcj ˛a

f

(x)

[a, b]

.

Wtedy istnieje funkcja pierwotna dla

f

(x)

.

Wniosek 18 (Twierdzenie Newtona-Leibniza). Niech funkcj ˛a

f

(x)

[a, b]

,

F

(x)

b ˛edzie funkcj ˛a pierwotn ˛a. Wtedy b

R

a

f

(x) dx = F (x)

b

a

,

gdzie u˙zyto oznaczenie

F

(x)

b a

= F (b) − F (a)

.

(15)

Przykłady

•_{Całka Riemanna} •_{Całka oznaczona} •_{Wła´sciwo´sci} •_Oszacowanie •_Twierdzenie Newtona-Leibniza •Całki niewła´sciwe 1. 1

R

0

x

n

dx

=

x_n+1n+1

1 0

=

1 n+1,

n

6= −1

, 2. π

R

0

sin x dx = − cos x

π 0

= 2

, 3. 1

R

0

4

_1+xdx2

= 4 arctg x

1 0

= π

.

(16)

Zamiana zmiennej w całce oznaczonej

ϕ

′

_(x)

_{b ˛edzie ci ˛}_{agł ˛}_{a w przedziale}

[α, β]

, funkcja

ϕ

(x)

b ˛edzie monotoniczn ˛a w tym przedziale, a

g

(t)

(ϕ(α), ϕ(β))

. Wtedy

β

R

α

g

(ϕ(t))ϕ

′

_{(t) dt =}

ϕ(β)

R

ϕ(α)

g

(x) dx.

Dowód. Niech

G

(x)

b ˛edzie funkcj ˛a pierwotn ˛a dla

g

(x)

. Wtedy

(17)

Przykłady

•_{Całka Riemanna} •_{Całka oznaczona} •_{Wła´sciwo´sci} •_Oszacowanie •_Twierdzenie Newtona-Leibniza •Całki niewła´sciwe 1. 1

R

0

x

√

1 + x

2

_dx

₌

1 + x

2

= t

2x dx = dt

=

1₂ 2

R

1

√

t dt

=

1₂

_·

2₃

t

3/2

2 1

=

√ 8−1 3 . 2. π/2

R

0

sin

3

x dx

=

π/2

R

0

sin x(1 − cos

2

_{x) dx =}

cos x = t

− sin x dx = dt

= −

0

R

1

(1 − t

2

_{) dt = (}

1 3

t

3

− t)

0 1

=

2 3.

(18)

Całkowanie przez cz ˛e ´sci w całce oznaczonej

u

′

_(x)

_oraz

_v

′

_(x)

_{b ˛ed ˛}_{a ci ˛}_agłe

w przedziale

[a, b]

. Wtedy

Z

b a

u(x)v

′

_{(x) dx = u(x)v(x)}

b a

−

Z

b a

u

′

(x)v(x) dx.

Przykład 21. π/2

R

0

x

cos x dx =

u

(x) = x

v

′

_{(x) = cos x}

u

′

_{(x) = 1}

_{v(x) = sin x}

=

x

sin x

π 2 0

−

π/2

R

0

sin x dx =

π₂

+ cos x

π 2 0

=

π 2

− 1.

(19)

Całki niewła ´sciwe

Definicja 22 (Całki funkcji nieograniconych). Niech funkcja

f

(x)

b ˛edzie całkowalna w ka˙zdym przedziale

[a, b − ε]

(

ε >

0

). Wtedy

b

Z

a

f

(x) dx = lim

ε→0 b−ε

Z

a

f

(x) dx

Definicja 23 (Całki w przedziale niesko ´nczonym). Niech funkcja

f

(x)

b ˛edzie całkowalna w ka˙zdym przedziale

[a, N

(

N > a

). Wtedy

∞

Z

a

f

(x) dx = lim

N →∞ N

Z

a

f

(x) dx

(20)

Przykłady całek niewła ´sciwych

•_{Całka Riemanna} •_{Całka oznaczona} •_{Wła´sciwo´sci} •_Oszacowanie •_Twierdzenie Newtona-Leibniza •Całki niewła´sciwe Przykład 24. 1. 1