Działania na macierzach
Autorzy:
Agnieszka Kowalik
(1)
Działania na macierzach
Działania na macierzach
Autor: Agnieszka Kowalik
DEFINICJA
Definicja 1: Macierz
Definicja 1: Macierz
Macierzą rzeczywistą (zespoloną)
Macierzą rzeczywistą (zespoloną) o wierszach i kolumnach oraz elementachelementach , gdzie , nazywamy prostokątną tablicę liczb rzeczywistych (zespolonych)
Macierz o wierszach i kolumnach nazywamy macierzą wymiaruwymiaru .
Macierz wymiaru utworzoną z elementów oznaczamy również symbolem . W przypadku, gdy wymiar macierzy jasno wynika z kontekstu, stosujemy zapis . Macierz, której wszystkie elementy są równe nazywamy macierzą zerową
macierzą zerową i oznaczamy symbolem
Zbiór macierzy wymiaru o elementach ze zbioru liczb rzeczywistych oznaczamy symbolem , natomiast dla oznaczenia zbioru macierzy o elementach ze zbioru liczb zespolonych stosujemy zapis .
DEFINICJA
Definicja 2: Suma i różnica macierzy
Definicja 2: Suma i różnica macierzy
Niech i będą macierzami wymiaru .
1. SumąSumą macierzy i (ozn. nazywamy macierz taką, że każdy element macierzy jest sumą odpowiednich elementów macierzy i tj. dla każdej pary , gdzie , zachodzi równość 2. RóżnicąRóżnicą macierzy i (ozn. ) nazywamy macierz taką, że każdy element macierzy jest różnicą
odpowiednich elementów macierzy i tj. dla każdej pary , gdzie , zachodzi równość
Wprost z definicji wynika, że dodawać i odejmować możemy tylko macierze takich samych wymiarów.
m
n
a
ij1 ≤ i ≤ m 1 ≤ j ≤ n
A =
.
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
a
11a
21⋮
a
m1a
12a
22⋮
a
m2…
…
⋱
…
a
1na
2n⋮
a
mn⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
m
n
m × n
m × n
a
ijA = (a
ij)
m×nA = ( )
a
ij0
O.
m × n
R
m×nC
m×nA = (a
ij)
m×nB = (b
ij)
m×nm × n
A B
(A + B)
C = (c
ij)
m×nC
A B
(ij)
1 ≤ i ≤ m 1 ≤ j ≤ n
=
+ .
c
ija
ijb
ijA B
A − B
C = (c
ij)
m×nC
A B
(ij)
1 ≤ i ≤ m 1 ≤ j ≤ n
=
− .
c
ija
ijb
ijPRZYKŁAD
Przykład 1:
Przykład 1:
Rozważmy macierze i postaci
Wówczas
natomiast
DEFINICJA
Definicja 3: Mnożenie macierzy przez liczbę
Definicja 3: Mnożenie macierzy przez liczbę
Niech będzie liczbą rzeczywistą lub zespoloną i niech . IloczynemIloczynem macierzy i liczby , oznaczanym symbolem , nazywamy macierz wymiaru , której elementy są równe .
PRZYKŁAD
Przykład 2:
Przykład 2:
A B
A =
⎛
, B =
.
⎝
⎜
−2
5
1
0
0
2
−1
3
−1
6
1
0
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
2
1
3
3
0
−1
1
0
−1
5
0
0
⎞
⎠
⎟
A + B =
⎛
+
=
,
⎝
⎜
−2
5
1
0
0
2
−1
3
−1
6
1
0
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
2
1
3
3
0
−1
1
0
−1
5
0
0
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
−1
7
4
3
0
1
0
3
−2
11
1
0
⎞
⎠
⎟
A − B =
⎛
−
=
.
⎝
⎜
−2
5
1
0
0
2
−1
3
−1
6
1
0
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
2
1
3
3
0
−1
1
0
−1
5
0
0
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
−3
3
−2
−3
0
3
−2
3
0
1
1
0
⎞
⎠
⎟
α
A = (a
ij)
m×nA
α
αA
m × n
α ⋅ a
ij7 ⋅
=
.
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
1
1 + i
−i
0
0
2
3
1
i
−1
2
i
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
7
7 + 7i
−7i
0
0
14
21
7
7i
−7
14
7i
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
(2)
TWIERDZENIE
Twierdzenie 1: Własności dodawania macierzy i mnożenia macierzy przez liczbę
Twierdzenie 1: Własności dodawania macierzy i mnożenia macierzy przez liczbę
Niech będą macierzami tego samego wymiaru. Zachodzą następujące własności:
1. Dodawanie macierzy jest przemienne i łączne tj. oraz ; 2. Macierz zerowa jest elementem neutralnym dodawania tj. ;
3. Dla macierzy macierz , określona jako , jest elementem przeciwnym do tj. ; 4. Mnożenie macierzy przez liczbę jest rozdzielne względem dodawania macierzy tj. zachodzi
;
5. Mnożenie macierzy przez liczbę jest łączne tj. .
DEFINICJA
Definicja 4: Iloczyn macierzy przez macierz
Definicja 4: Iloczyn macierzy przez macierz
Rozważmy macierz wymiaru oraz macierz wymiaru . Iloczynem macierzy
Iloczynem macierzy i (ozn. ) nazywamy macierz wymiaru , której element jest określony wzorem
dla ,
Zgodnie z definicją iloczyn macierzy jest określony wtedy i tylko wtedy, gdy liczba kolumn macierzy jest równa liczbie wierszy macierzy . Otrzymana macierz ma tyle wierszy, co macierz i tyle kolumn, co macierz .
Mnożąc macierze trzeba pamiętać, że działanie to nie jest przemiennenie jest przemienne.
PRZYKŁAD
Przykład 3:
Przykład 3:
Wykonajmy mnożenie
Mnożąc macierz wymiaru przez macierz wymiaru otrzymaliśmy macierz wymiaru . Wymnóżmy teraz
Mnożąc macierz wymiaru przez macierz wymiaru otrzymaliśmy macierz wymiaru .
Do mnożenia macierzy wygodnie jest stosować następujący schemat, zwany schematem Falkaschematem Falka, polegający na odpowiednim ułożeniu mnożonych macierzy.
Mnożąc mianowicie macierz przez macierz zapisujemy obie macierze w tabeli następująco
A, B, C
A + B = B + A
(A + B) + C = A + (B + C)
A + O = O + A = A
A
−A
−A = −1 ⋅ A
A A + (−A) = O
α ⋅ (A + B) = α ⋅ A + α ⋅ B
α ⋅ (β ⋅ A) = (α ⋅ β) ⋅ A
A = ( )
a
ijm × k
B = ( )
b
ijk × n
A B
A ⋅ B
C = ( )
c
ijm × n
c
ij=
,
c
ij∑
ks=1a
isb
sji = 1, …, m j = 1, …, n.
A ⋅ B
A
B
A ⋅ B
A
B
(1 2 3) ⋅
⎛
= (1 ⋅ 1 + 2 ⋅ 2 + 3 ⋅ 3) = (14) .
⎝
⎜
1
2
3
⎞
⎠
⎟
1 × 3
3 × 1
1 × 1
⋅ (1 2 3) =
.
⎛
⎝
⎜
1
2
3
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
1
2
3
2
4
6
3
6
9
⎞
⎠
⎟
3 × 1
1 × 3
3 × 3
A
B
,
przy czym symbolem oznaczamy, jak w definicji, iloczyn .
Następnie mnożymy kolejne elementy pierwszego wiersza macierzy przez kolejne elementy pierwszej kolumny macierzy , otrzymane iloczyny sumujemy i zapisujemy wynik w lewym górnym rogu pola oznaczonego jako tj. w miejscu elementu . Podobnie mnożymy kolejne elementy pierwszego wiersza macierzy przez kolejne elementy drugiej kolumny macierzy , sumujemy otrzymane iloczyny i zapisujemy wynik w miejscu elementu itd.
PRZYKŁAD
Przykład 4:
Przykład 4:
Niech , . Mamy:
Przykładowo, aby wyliczyć wartość elementu znajdującego się w pierwszym wierszu i drugiej kolumnie macierzy wykonujemy działania
TWIERDZENIE
Twierdzenie 2: Własności iloczynu macierzy
Twierdzenie 2: Własności iloczynu macierzy
Niech będą macierzami. Jeżeli poszczególne działania są wykonalne, to zachodzą następujące własności: 1.
2. 3.
Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie
http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/.
Data generacji dokumentu: 2019-04-15 16:05:59
Oryginalny dokument dostępny pod adresem: https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php? link=707024150ed65952366b6374212183c6
Autor: Agnieszka Kowalik
