Patrice Bailhache
Na jakich podstawach opiera się
mechanika klasyczna : odpowiedź
historyka nauki
Acta Universitatis Lodziensis. Folia Philosophica nr 11, 5-22
1995
A C T A U N I V E R S I T A T I S L O D Z I E N S I S F O L IA PH IL O S O P H IC A 11, 1995 Patrice Bailhache N A JA K IC H PO D STA W A C H O P IE R A SIĘ M E C H A N IK A K LA SY C Z N A : O D P O W IE D Ź H IS T O R Y K A N A U K I 1. W P R O W A D Z E N IE
Niewątpliwie zagadnienie postaw ione w tytule jest ważne i godne za stanow ienia. G dyby chodziło o określenie fundam entów m echaniki w sposób ogólny, to trudności, m ające wówczas charakter filozoficzny, byłyby praw d o p o d o b n ie nie do przezwyciężenia. Zam ierzam je d n a k ograniczyć się jedynie do odpowiedzi, ja k ą m oże dać historia nauki. T rudność ta nie m a jed n ak natu ry teoretycznej, lecz zasadniczo praktyczną. W istocie nie d a się zaw rzeć n a kilku stro n ach ogrom nej złożoności historycznego rozw oju m echaniki. T oteż przyjmę następującą m etodę wykładu. Spośród dow odów i rozw ażań dotyczących praw m echaniki przyw ołam tylko kilka najw ybit niejszych i najbardziej znanych; pokażę, że rozum ow ania, n a których się one opierają, wcale nie zasługują n a lekceważenie, przeciwnie: wiele m ogą one nas nauczyć, a naw et należy uznać, że jest to jedyna droga prow adząca do stw orzenia „filozofii” m echaniki, jeśli w ogóle jest to możliwe.
Zatem najpierw omówię dowód n a zasadę dźwigni Archimedesa, a następnie przeskakując kilka stuleci poruszę problem atykę zasad równi pochyłej i rozkła du sił Stevina. W raz z takim i uczonym i, ja k N ew ton i d ’A lem bert, będziemy mogli zaobserwować, w jaki sposób ewoluowały poglądy n a ten tem at, m im o że przez długi czas obie te zasady stanowiły podstaw ę m echaniki. Równocześnie będzie to okazja do p okazania sposobu, w jak i m echanika, pierw otnie nau k a niemal równie „czysta” ja k m atem atyka, wraz z pojawieniem się Archim edesa zaczęła być uznaw ana za dziedzinę po części eksperym entalną. Równolegle rozważymy także inną ząsadę, a mianowicie zasadę prac wirtualnych. Zobaczy m y ja k dużego znaczenia nabiera ona u Lagrange’a, choć niem al natychm iast ulega o n a zakw estionow aniu, żeby przyw ołać tylko przykład Poinsota.
2. A R C H IM E D E S A ZA S A D A D Ź W IG N I
Pochodzący z III w. p.n.e. dow ód Archim edesa znajduje się w traktacie
O równowadze równi pochyłych czy też środków ciężkości równi pochyłych.
Składa się on z sześciu „tw ierdzeń” poprzedzonych szeregiem „wym ogów ” , czyli postulatów wyrażonych stówami: „wymagamy, aby...” . Jednak gdy czytamy ten tekst po raz pierwszy, odnosim y wrażenie, że liczba tych wymogów i twierdzeń przestania prostotę oraz pomysłowość samego dow odu. Tymczasem zasadnicze jest tu pierwsze twierdzenie pierwszego wymogu: rów ne ciężary zawieszone w równej odległości od punktu podparcia są w stanie równowagi. W łaśnie to nazwę w sposób niezbyt właściwy, lecz gwoli wygody, prawem równowagi.
N a rysunku pokazano sposób, w jaki należy rozłożyć ciężary 3 i 4 od pow iednio n a 6 i S rów now ażących się ciężarów. Zgodnie z praw em rów now agi całość znajduje się w stanie rów now agi. W rzeczywistości A rchim edes nie przedstaw ia tego przykładu, lecz od razu przyjm uje ogólny przypadek dw óch rów nom iernych ciężarów (łatwo m ożna sobie wyobrazić sposób, w jak i m ożna uogólnić przedstaw iony rozkład). W ostatnim zaś twierdzeniu uogólnienie to rozszerza o przypadek dw óch nierównom iernych ciężarów (rozum ow anie to nie interesuje nas tutaj, gdyż odnosi się w znacznie większym stopniu do teorii liczb rzeczywistych niż do m echaniki).
O ryginalny tekst grecki spraw ia w tym m iejscu wrażenie ta k ścisłego, że ów słynny dow ód musi wywrzeć wielkie wrażenie na tym, kto styka się z nim po raz pierwszy. Zaw iera on jed n ak założenia, które podw ażają jego w artość, a k tó re z biegiem lat zostały rzeczywiście zauw ażone (przez Huygensa, Fouriera, Langrange’a, M acha ...). Najsłabszym punktem tego dow odu je st to , że w arunkiem rozkładu jest rów now ażenie się dw óch identycznych ze sobą ciężarów z jednym ciężarem o podwójnej wartości, umieszczonym n a wertykalnej symetralnej dwóch danych ciężarów. O tóż
N a jak ich p odstaw ach o p iera się m echanika klasyczna 7
praw o równowagi stwierdza jedynie, że identyczne ze sobą ciężary rów now ażą się n a sym etralnej, lecz nie wskazuje wartości ich wypadkowej w punkcie podparcia, co należałoby koniecznie dołączyć do postulatów A rchim edesa. N iestety, ja k w ykazuje to F o u rie r1, ten now y „w ym óg” jest logicznie rów now ażny z sam ą zasadą dźwigni; w rezultacie wydaje się, że A rchimedes, pom ijając to co zasadnicze, stworzył jedynie pozorny dowód.
Podczas gdy rzekom e rozwiązanie przedstaw ione przez H uygensa staje się przedm iotem tej samej krytyki2, rozw iązania F o u rie ra i L angrange’a, m ające ch arak ter czysto geometryczny, są bardzo pomysłowe. Rozwiązanie F o u rie ra polega n a sprow adzeniu uzupełniającego postu latu równowagi trzech rów nych sił współpłaszczyznowych tworzących k ą t 120° w tym samym punkcie3.
R ozw iązanie L angrange’a jest jeszcze bardziej proste: pokazuje m im o chodem , że wielkiemu „analitykow i” nie brakow ało intuicji geometrycznej, wówczas gdy była m u o n a potrzebna4.
3. S IM O N S T E V IN A P R A W O R Ó W N I P O C H Y Ł E J O R A Z R O Z K Ł A D U SIŁ
Problem rów now agi ciała znajdującego się na rów ni pochyłej Stevin rozw iązuje za p om ocą nader oryginalnej m etody, a mianowicie m etody zakładającej niemożliwość istnienia perpetuum mobile.
K ró tk o m ożna jego dow ód przedstaw ić następująco: szereg jednakow ych i w rów nym stopniu oddalonych od siebie kul m oże przemieszczać się po trójkącie A B C (AC poziom e, AB i CB wertykalne), takim że AB = 2BC i że długości jego boków m ogą zawierać odpow iednio 4 i 2 kule (pozostałe kule um ieszczone są n a boku AC). Stevin stwierdza, że działanie 4 kul na AB pow inno rów noważyć działanie 2 kul na BC. Rzeczywiście, gdyby tak nie było, jed n e kule przew ażyłyby n ad drugim i, a szereg zacząłby się przesuwać (działanie kul umieszczonych na A C nie miałoby żadnego znaczenia). Jednakże o b ró t spow odow ałby jedynie to, że każda kula zostałaby zastąpiona przez następną, a poniew aż te same przyczyny wywołują te sam e skutki,
1 J . F o u r i e r , M ém oire sur la statique, „Jo u rn al de l’Ecole Polytechnique” 1798, n° 5, s. 51-52.
2 W trosce o zwięzłość rezygnuję z przedstaw ienia tego rozw iązania. P o r. E. M a c h , La
měchanique. E xposé historique e t critique de son développement, tra d . E. B e rtra n d , Paris 1904
(wydanie oryginalne w języku niem ieckim u k azało się w 1883 r.). N ow e w ydanie (J. G ab ay , 1987, s. 22-25) je s t fo to k o p ią w ydania z 1904 r.
3 J. F o u r i e r , M ém oire..., s. 50-51.
4 J. L. d e L a g r a n g e , M écanique analytique, t. 1-2, B lanchard, P aris 1965 (nowe wydanie). C ytaty czerpię z tego w ydania; zob. ibidem, t I, s. 4. D ru g ie w ydanie tej pracy z 1811 r. zaw iera wiele przypisów, zwłaszcza n a pierwszych stronach, poświęconych historii zasad.
„ruch ów nie m iałby końca, co z kolei jest ab su rd em "5. T oteż pow inna istnieć tutaj rów now aga, co pow oduje, że działanie jednej kuli n a AB jest dw a razy mniejsze niż działanie jednej kuli na BC. W ychodząc od tego w yniku Stevin udow adnia teorem at rozkładu sił, a w każdym razie w tym przypadku, w jakim składowe są prostopadle względem siebie.
4. P O Z O S T A Ł E D O W O D Y N A PR A W O R O Z K Ł A D U SIŁ
Należy zauważyć, że Stevin przeprow adza swój dow ód odw ołując się wyłącznie do statyki: cały dow ód opiera się ostatecznie n a negacji m oż liwości istnienia perpetuum mobile. Nie jest to jedyne możliwe rozwiązanie. M ożna również, ja k uczynił to N ew ton w X V II w., w yprowadzić prawo rozkładu sił n a podstaw ie dynam iki: „C iało wpraw ione w ruch przez dwie siły przebiega w skutek ich połączonego działania p rzek ątn ą równoległo- b o k u w tym sam ym czasie, w ja kim przebiegałoby osobno jego boki” 6. Poniew aż ruch dokonujący się w „pierwszej chwili” jest proporcjonalny d o siły, zdanie to oznacza, że siła w ypadkow a stanowi diagonalną sił składow ych7.
W X V III w. pow stają jed n ak now e dow ody o charakterze zarów no geometrycznym, ja k i analitycznym , a z drugiej strony, o charakterze czysto statycznym . D o ich pow stania przyczyniła się w znacznym stopniu rozpraw a D aniela Bem oullego z 1726 r., k tó ra w następnym wieku zainspirow ała d ’A lem berta, a naw et Poissona i C auchy’ego. M e to d a dow odzenia, zarów no u Bernoullego, ja k i u d ’A lam berta, polega na sprow adzeniu wszystkich przypadków do przypadku dw óch równych sił. Przyjrzyjmy się rozum ow aniu d ’A lem berta (1769); poniew aż a jest natężeniem danych sił a 2a ich kątem ,
5 S. S t e v i n , Oeuvres (1586), tłum . fr. z 1634 r., wyd. A . G irard według H ypom nem ata m athem atica (1608), łacińskiego tłum aczenia w raz z uzupełnieniam i oryginału flam andzkiego,
o p ublikow anego w Lejdzie w 1586 r. Cyt. za: D u g a s , H istoire de la mécanique, Paris 1950, s. 119 i n.
6 Cyt. p rzez D u g a s , Histoire..., s. 198.
7 M o ż n a w pewnej m ierze pok azać, iż ten typ dow odzenia występuje ju ż u A rystotelesa (384-322 p.n.e.). Rzeczywiście Problem y mechaniki n apisan e przez jed nego z jeg o następców , stw ierdzają, że ,je ś li ciało ru chom e po ru sza się rów nocześnie ruchem podw ójnym , tak im że p rzem ierzane przestrzenie są jednocześnie w niezm iennym stosunku wobec siebie, to owo ciało ru chom e po ruszy się p o przekątnej rów noległoboku, k tó rego boki stanow ią dwie linie, zaś długości tych b o kó w są w tym sam ym sto su nk u ” (cyt. za: N . B r i l l o u ë t , L e parallélogramme
des fo rces, son étude fonctionnelle au X V IIP siècle, „Sciences e t techniques en perspective”
1984, t. 1-4, s. 65). D o dając p raw o d ynam iki arystotelesow skiej m ówiące o proporcjonalności p rędkości d o siły, z myśli A rystotelesa m ożn a wywieść zasadę ro zkładu sil; należy jedn ak zauważyć, iż zasad a ta nie zo stała w sposób jednoznaczny w yrażona ani w Problemach
N a jak ic h pod staw ach o p iera się m echanika klasyczna 9 to w ypadkow a r, n a m ocy jednorodności®, pow inna być proporcjonalna do a. M am y zatem: r = af(a), a wszystko jest rów now ażne z określeniem fun- k q i f. Odw ołując się do własności asocjacyjności, wymienności, ... d ’A lem bert pokazuje, że funkcja ta w inna potw ierdzić równanie:
f ( x - e ) + f(x + e) = f(e)f(x).
R ozw iązał ju ż bowiem analogiczne rów nanie funkcjonalne, b ad ając krzyw ą, ja k ą tworzy drgająca cięciwa. W ten właśnie sposób dochodzi do f(x) = 2cosx odpow iadającem u praw u rozkładu sił.
M ożna początkowo poczuć się zdezorientowanym, gdy u takiego au to ra ja k d ’A lem bert, a w jeszcze większym stopniu u jego następców , napotykam y ten ostatni typ dow odzenia, polegający n a sprowadzeniu m echaniki do geometrii. W okresie X V III i X IX w. stopniow o potw ierdza się bowiem nieredukowalnie em piryczny charakter m echaniki (aczkolwiek w znacznym stopniu występuje w niej m atem atyczne a priori). D o problemu tego wkrótce powrócę. Tymczasem pom inę go, przecl odząc do om ów ienia innej zasady, k tó rą zawdzięczamy d ’A lam bertow i, zasady m ało dzisiaj znanej, k tó ra odegrała jed n ak w ażną rolę w pow staniu nauki o ruchu n a przełom ie X V III i X IX w.
5. ZA SA D A R U C H U ZW A N A „Z A S A D Ą D ’A L E M B E R T A "
Z asada ta została wypowiedziana w Traité de dynamique (1743). T rak tat ów przedstaw ia ogólną m etodę pozw alającą rozwiązać cały szereg problem ów , jak np. najbardziej znany problem w ahadła złożonego, który wcześniej otrzym ał rozw iązania z pew nością pomysłowe, lecz nie dające się uogólnić (najbardziej znanym jest niewątpliwie rozw iązanie przedstaw ione przez H uygensa9).
D ’A lem bert rozpoczyna uw agą, iż chodzi m u jedynie o ruchy pow stałe w rezultacie uderzenia bądź oddziaływ ania szn u rk a oraz pręta, a nie w następstw ie wzajemnego przyciągania (albowiem przypadek ten zdaniem d ’A lem berta został w w ystarczającym stopniu opracow any przez N ew tona).
P R O B L E M O G Ó L N Y '
Załóżm y, że istnieje układ ciał [...J, i załóżm y, że każdem u z tych ciał n a d a je się osobno ru ch , k tó rem u je d n a k nie m oże ono pod leg ać z p o w o d u d ziałania pozostałych sił; należy określić ru ch , ja k i każde z ciał p o w inno uzyskać10.
8 M o ż n a też w skazać inne pow ody; p o r. N . B r i l i o u ë t , L e parallélogram me..., s. 76. 9 Z ob. n p . D u g a s , H istoire..., s. 178 i п.
10 J. L e R o n d d ’ A l e m b e r t , Traité de dynamique, t. 1, Paris 1971, s. 82 (reedycja w dw óch to m ach ).
Rozw iązanie d ’A lem berta jest następujące. А, В, C, ... oznaczają ciała, zaś a, b, c, ... oznaczają ruchy, w jak ie wprawia się ciała, czyli w ektory prędkości ciał, skoro przyjmuje się, że z osobna są one swobodne (czym nie są gdyż sta n o w ią układ). N a to m ia s t a, b, c, ... o zn acz ają ruchy
rzeczywiście uchwytne (pris) (odmienne od a, b, c, ... z pow odu istnienia
więzów m iędzy ciałami). D ’A lem bert dzieli ruchy, w jakie ciała zostają wpraw ione, n a uchwytne i pozostałe, nazwane przezeń α, ß , К , ...n . Podział ten jest zawsze możliwy, a zakładając, ze skutki, tak ja k i przyczyny łączą
się w sposób linearny, (czego d ’A lem bert nie dopow iada), oddziaływanie
ruchów uchw ytnych a, b, c, ... pow oduje same te ruchy, a w ten sposób wywołuje te same skutki, co oddziaływanie ruchów a, b, c, ...; zatem oddziaływ anie ruchów a, ß , К , ..., które oznaczają różnice w ektorowe dwóch grup poprzednich ruchów, nie powoduje żadnego ruchu, przeciwnie, zachowuje układ w stanie równowagi. Wychodząc, od tego, m ożna sobie w yobrazić w jak i sposób d ’A lem bert urzeczywistnia tę zasadę, ażeby znaleźć ruch uchwytny, np. poprzez w ahadło fizyczne p oddane oddziaływ aniu różnych sił. Zobaczym y za chwilę, ja k w swej Mécanique Analytique w ykorzystuje ją L agrange o raz jakiej krytyce użytek ów poddać m ógł - ja k sam sądził - Poinsot. Z p u n k tu widzenia historycznego rozwoju m echaniki ważne jest, abyśm y zauw ażyli, że zasada d ’A lem berta zak ład a ustanow iony układ
mechaniczny, całość m aterialnych, połączonych ze sobą punktów .
6. L A G R A N G E , M É C A N IQ U E A N A L Y T IQ U E O R A Z ZA S A D A „P R Ę D K O Ś C I W IR T U A L N Y C H "
L ag ran g e p o rz ą d k u je i racjonalizuje m echanikę znacznie lepiej niż d ’A lem bert i Euler:
Z ap ro p o n o w ałem sprow adzenie12 teorii tej n a u k i i sztuki rozw iązyw ania wynikających z niej p roblem ów d o form uł ogólnych, k tó ry ch pro ste rozw inięcie um ożliw ia sform ułow anie wszystkich ró w n a ń niezbędnych d o rozw iązyw ania każdego p ro b lem u ” 12.
" Te o statn ie o d p o w ia d a ją ru ch o m , k tó re C a rn o t nazy w a rucham i straconym i; zob. L. C a r n o t , Essai sur les machines en général, Paris 1783.
12 Z aró w n o p rojekt, ja k i term in „sprow adzenia” (w oryginale fr. réduire) nie są czymś now ym . Por. zwłaszcza J. L e R o n d d ’ A l e m b e r t , Traité de dynamique..., s. XV II: nie byliśm y n a tyle uważni, a b y s p r o w a d z i ć zasady tych n auk, tj. m atem atyki, algebry,
geom etrii i m echaniki, d o m niejszej liczby, ani po r. także L. C a r n o t , Essai..., s. 12, gdzie a u to r m ówi o zasad ach m echaniki, nie określając bynajm niej, o k tó rą kon k retn ie m u chodzi: „i być m oże z tego p ow odu nie istnieje jeszcze jak akolw iek zasada, k tó ra - ja k o jo dyna i niezależna o d pozostałych - m o głaby n ad a ć ścisłemu dow odow i ogólność pozw alającą ro zw iązać ró żn e p ro b le m y [...], czyli s p r o w a d z i ć je wszystkie d o kwestii arytm etyki i geom etrii - co je s t rzeczywistym przedm iotem m echaniki” .
N a jak ich podstaw ach opiera się m echanika klasyczna 11 „W dziele tym nie znajdziemy żadnych rysunków ” , dodaje au to r, ja k gdyby nieobecność ta była bezspornym triumfem Analizy. M ów iąc „sprowadzić m echanikę do Analizy” , Lagrange nie zam ierza z pewnością wyeliminować tego wszystkiego, co stanowi o swoistości m echaniki. Jego m etoda polega raczej n a próbie ujęcia tej swoistości za pom ocą możliwie najmniejszej liczby zasad, po to, by następnie wyprow adzić z nich drogą rachunków możliwie najw iększą liczbę wniosków dotyczących porządku m echaniki.
L agrange stw ierdza, iż zasady te w odniesieniu do statyki m o żn a „sprow adzić do trzech zasad1, do zasady dźwigni, zasady rozkladu sil i zasady
prędkości wirtualnych”. W drugim wydaniu M écanique analytique14 sporządza
on obszerny przegląd historyczny tych zasad. W łaśnie o statn ią spośród nich i tylko ją winno się uznać za podstaw ę m echaniki. Ponieważ zasada ta jest nieco m niej znana niż dwie poprzednie15, przytoczym y zatem to, co mówi o niej sam Lagrange:
Przez prędkość wirtualną w in n o się rozum ieć prędkość, ja k ą uzyskać m oże d a ło zachow ujące rów now agę w p rzy p adk u , gdy u tra c o n a zostaje ow a rów now aga, czyli pręd k o ść, ja k ą ciało faktycznie uzyskuje w pierwszej chwili swojego ruchu; a zasada, o któ rej m ow a, polega n a tym , że siły zn ajdują się w stanie rów now agi wówczas, gdy p o zo stają w stosu n k u odw rotnym d o p rędkości w irtualnych, m ierzonych zgodnie z kierunkiem tych sił (J. L. de Lagrange,
M écanique analytique, s. 17-18).
Z p u n k tu widzenia historii nauki pouczające jest porów nanie dwóch w ydań Mécanique analytique, które ukazały się jeszcze za życia autora. Lagrange stw ierdza najpierw, że:
[...] (zasadę p rę d k o ś d w irtualnych) cechuje p ro sto ta , ja k ą c h d a ło b y się przypisać zasadzie p odstaw ow ej [...] (s. 19).
ażeby następnie w 1811 r. dodać, że:
W odniesieniu d o n a tu ry zasady p rę d k o ś d w irtualnych należy zgodzić się, że sam a przez się nie je s t o n a w ystarczająco oczywista, ab y ustanow ić j ą ja k o zasadę pierw o tn ą (s. 21).
W konsekw encji, naw iązując do dow odów tej zasady przeprow adzonych na podstaw ie zasady dźwigni bądź zasady rozkładu ciał, Lagrange przedstaw ia now y d ow ód o p a rty n a „innej ogólnej zasad zie” - n a zasadzie k ó l
pasow ych16. D ow ód ów jest pow tórzeniem dow odu przedstaw ionego w ro z
praw ie, k tó rą L agrange opublikow ał w „Jo u rn al de l’Ecole P olytechnique”
14 U zupełnia rów nież d o w ód zasady rów ni A rchim edesa w sposób przedstaw iony wcześniej. 15 O d p o w ia d a o n a tem u , co dzisiaj n azyw a się teorem atem p ra c w irtualnych.
16 Począwszy od pierwszego w ydania Lagrange p rzedstaw ia jed n a k coś, co m ożna by n azw ać pozorem dowodu, ro zciągając zasadę prędkości w irtualnych zasto so w an ą d o dw óch sił n a przy p ad ek , gdy zasa d a la zostosow ana zostaje d o dow olnej liczby sił (J. L. d e L a g r a n g e , Aiécontçue..., ch ap . 2, § 1, s. 24-26).
w 1798 r .17 Odwołuje się on do przemyślnego m echanizm u, pozwalającego sprow adzić wszystkie zastosow ane w układzie siły d o jednego ciężaru. In sp iracją d la tego typu dow odzenia były prace C a rn o ta, T oricellego, a naw et K artezjusza.
A żeby przejść od statystyki d o m echaniki, L agrange w ykorzystuje przed staw ioną już wcześniej zasadę d ’A lem berta. W układzie ciał, odłączając m om enty wielkości ruchu m d 2x /d t2, ... (ruchy uchwytne) od m om entów danych sił działających (ruchy nadane ciałom), osiąga się sumę m om entów utrzym ujących układ w .rów now adze, zatem zerow ą (wedle zasady prędkości w irtualnych) sumę m om entów , co umożliwia sform ułow anie rów nania ruchu. W ten właśnie sposób L agrange opiera całą m echanikę n a układzie: zasada
prędkości wirtualnych 4- zasada d ’A lem berta.
Jest oczywiste, że przytoczone twierdzenia oraz doda. tie dow odu zasady prędkości w irtualnych w Mécanique analytique ujawnią, \ zm ianę poglądu L agrange’a na zasady mechaniki. W rzeczywistości stanow ią one konsekwencję dyskusji teoretycznej, w której uczestniczyli praw dopodobnie wszyscy uczeni francuscy (a naw et kilku spoza Francji) zajmujący się m echaniką: w arto w spomnieć tutaj takie nazwiska, jak: C arnot, F ourier, Prony, Laplace, A m père i Poinsot. A u to ry tet naukow y Lagrange’a wyjaśnia z pewnością ow o skupienie zainteresow ań n a problem ie zasad m echaniki. U znanie przezeń w 1788 r. zasady prędkości w irtualnych i zasady d ’A lem berta za podstaw ę tej n a u k i18 wywołało liczne refleksje. Z badajm y teraz na czym
17 O bok niego, w tym sam ym zeszycie, znajduje się także tra k ta t F o u rie ra pośw ięcony statyce; d o tra k ta tu tego, przyw ołanego ju ż odnośnie d o dow odu Archim edesa, w krótce powrócę.
" Parę złożoną z zasady prędkości wirtualnych o raz zasady d'Alem berta L a g r a n g e przyjm uje za pod staw ę m echaniki począw szy od 1763 r. w Recherches sur la libration de la
lune (n ag ro d a K rólew skiej A kadem ii N a u k w Paryżu, t. 9, 1764; ro zp ra w a ta zam ieszczona
zo stała w Oeuvres, t. 6). Pew ne ustępy lej rozpraw y, dotyczące zasady p rędkości w irtualnych, m o żn a odnaleźć w niem al dosłow nym brzm ieniu w M écanique analytique. W cześniej, zam iast niej L agrange stosow ał zasadę najm niejszego działania. Rzeczywiście, w Essai d'une nouvelle
m éthode p o u r déterminer les m axim a e t les minima des fo rm ules intégrales indéfinies „M iscellanea
T aurin en sia” 1760-1761) przedstaw ił on swój słynny rach u n ek w ariacyjny, k tó reg o konieczne - zdaniem a u to ra - rozw inięcie znalazło swój w yraz w Application de la m éthode exposée dans
le m ém oire précédent à la solution de différents problèm es de dynamique (o b a le tra k ta ty są
zam ieszczone w Oeuvres, t. 1). W ielkość działania, (tj. wszystkie prędkości zw ielokrotnione p rzez elem enty trajek to rii) stanow iła „ d o b rą ” funkcję zastosow ania rach u n k u w ariacyjnego. L agrange nie zachow ał jed n a k tej po dstaw y m echaniki, co m o żn a w yjaśnić d w ojako. Z jednej strony, za sa d a najm niejszego d ziałania jest zasad ą ru chu, podczas gdy zasad a prędkości w irtualnych o charak terze statycznym pozw ala łatw o u p o rać się z problem em rów now agi, ażeby następ n ie dojść d o dynam iki. Z drugiej strony, zasad a najm niejszego działan ia, naw et w p o staci ja k ą n ad aje jej Lagrange, jest m niej o gólna niż zasad a prędkości w irtualnych p o łączo n a z zasad ą d ’A lem b erta (Euler, k tó reg o Lagrange cytuje n a p o czątk u swojego tra k tatu z 1760 г., ograniczył się d o przy p ad k u d a ła w praw ionego w ruch przez siły centralne).
M écanique analytique p o k azuje jasn o , że zasad a najm niejszego działania stosuje się jedynie d o
N a jak ich p o d staw ach o piera się m echanika klasyczna 13
polegały najciekawsze spośród nich i zwróćmy uwagę n a dow ody zasady prędkości wirtualnych, „konkurencyjne” wobec dow odów L agrange’a.
7. P O Z O S T A Ł E D O W O D Y Z A S A D Y PR Ę D K O Ś C I W IR T U A L N Y C H
Dowody L azare’a Carnota. T rak taty C a rn o ta dotyczące m echaniki przed staw iają dw a dow ody zasady prędkości wirtualnych. Pierwszy, datow any na 1783 r., pow stał z pewnością w odpowiedzi n a ukazanie się Mécanique
analytique w 1788 r. Jednakże zasadą prędkości w irtualnych ja k o podstaw ą
m echaniki L agrange posłużył się już w 1763 r. w rozpraw ie o libracji księżyca15. Zatem możliwe jest, że rozpraw ę tę C a rn o t już znał. T en pierwszy dow ód, którem u zresztą sam jego au to r odm ówił absolutnej ścisłości, jest uogólnieniem zasady Toricellego (dw a ciężary są w stanie rów now agi wówczas, gdy ich środek ciężkości nie m oże się ju ż obniżyć). A żeby wytworzyć dane siły C a rn o t odwołuje się do m echnizm u kó ł pasowych; odwołanie to czyni z jego dow odu prefiguraqç dow odu F ouriera (a dokładnie, jego trzeciego dow odu, zob. dalej), a także dow odu L agrange’a. Od dow odów tych jest on jed n ak gorszy, gdyż uogólnienie zostało jedynie zarysowane. T rudno powiedzieć, czy C arnot wywarł jakiś wpływ n a F ouriera i Lagrange’a. Jego drugi dow ód jest jed n ak całkowicie oryginalny, a poza tym nie znalazł naśladowców. D ow ód ów, oparty na mechanistycznej metafizyce, leżącej u podstaw poglądów C a rn o ta (siła jest pojęciem fałszywym; nie pow inno się utrzym ywać, że praw a przekazu ruchu m iędzy siłami a uderzeniem są jedynym dostatecznie znanym zjawiskiem m echanicznym - w krótce do tego powrócę) jest nazbyt długi, aby go w całości przytoczyć. Z zasady prędkości w irtualnych C a rn o t czyni teoremat i być m oże właśnie to należy uprzytom nić sobie, ażeby zrozum ieć dalszy ciąg „dyskusji” .
Rozprawa Fouriera (1789). T ekst ów przedstaw ia trzy różne dow ody. Pierwszy, rozpatrujący różne przypadki o w zrastającym stopniu ogólności, odnosi się do brył stykających się ze sobą bądź połączonych sznurkam i, a ostatecznie nieściśhwymi cieczami. D rugi zastępuje dany układ mechaniczny, czyli jego więzy, zespołem dźwigni wytwarzającym te sam e przesunięcia wirtualne. N astępnie F ourier objaśnia zasady mechaniczne, na jakich opierają się jego dow ody; zasady dźwigni i rozkładu sił. Ponieważ druga zasada m oże zostać w yprow adzona z pierwszej, ja k sam wyjaśnia, wszystko opiera się ostatecznie na zasadzie dźwigni. Pod koniec rozpraw y usiłuje naw et
m ieć c h a ra k ter holonomiczny, i niezależny od czasu). Przeciwnie, zasad a prędkości w irtualnych połączona z zasad ą d ’A lem berta stosuje się n aw et d o układów , w k tó ry ch nie m a wzajemnej zależności sił, i w k tó ry ch więzy nie m ają charak teru holonom icznego.
rozszerzyć granice oczywistości wymaganej przez dowód. Jego styl przypom ina wówczas styl A rchim edesa, którego dow ód zasady dźwigni - ja k już widzieliśmy - przejmuje i uzupełnia. Ostatecznie powstaje rów now aga trzech rów nych i współpłaszczyznowych sił tworzących k ąt 120°; upraw om acnia ją - ta k ja k w całkowicie archimedesowym przypadku dwóch rów nych sił, oddalonych w równej mierze od p u n k tu oparcia - zasada racji dostatecznej.
Trzeci dow ód F o u rie ra polega na dołączeniu do układu m echanizm u dźwigni i kół pasowych w taki sposób, że siły pow stają w skutek działania ciężarów, które w wirtualnym naruszeniu równowagi wznoszą się bądź o p ad ają z tej samej wysokości; są to dane siły działające, nie zaś więzy podlegające teraz przemieszczeniu, a skoro algebraiczna sum a ciężarów nie m oże zmniejszyć się, to pow staje rzeczywista rów now aga, co prowadzi do zasady prędkości wirtualnych.
Dowód P rony’ego20. Prony, który był profesorem m echaniki w Ecole Polytechnique reprezentuje niższy poziom teoretyczny niż pozostali uczeni. N ie pow inno się jednak pom niejszać jego znaczenia, gdyż był nauczycielem Poinsota (o którym będzie jeszcze m owa), zresztą nie tylko w tej szkole, lecz - później — również w Ecole des Ponts et Chaussées, w której jako dyrektor miał okazję przyznać m u nagrodę w dziedzinie mechaniki. Przedstawię pokrótce jego rozum ow anie. W ychodzi on od zasady rozkładu sił, odnosząc ją w pierwszym rzędzie do brył sztywnych, następnie zaś do układu liniowego (ciała punktow e połączone sznurkam i). Zachęcał uczniów Ecole Polytechnique do czytania włoskiej rozpraw y florentyńskiego rycerza n a zwiskiem Fossom broni, poświęconej w całości zasadzie prędkości wirtualnych. R ozpraw a ta jest również n a niskim poziom ie teoretycznym.
(Pseudo)dowód Laplace’a. M ylą się nawet najwięksi ludzie. Przykładem tego jest podejście Laplace’a do zasady prędkości w irtualnych21. Rozum ow anie jest raczej nużące i zawiłe, lecz au to r Mécanique celeste cieszył się takim prestiżem, iż trzeba było wnikliwości Poinsota, ażeby pokazać całkowicie iluzoryczny ch arakter tego dow odu22. Później także inni dali się nabrać n a ów fałszywy dow ód23. Nie miejsce tutaj na analizę błędów Laplace’a. Przedstwię jed n ą czy dwie cechy charakterystyczne dla jego pseudodow odu, które m ogły się stać przedm iotem interesującej nas dyskusji.
20 Sur le principe des vitesses virtuelles et la décomposition des mouvem ents circulaires, „Jo u rn a l d e l’Ecole Polytechnique” 1798, n° 5 (rów nocześnie z tra k tate m F o u rie ra i dow odem Lag ran g e’a).
21 T en p seu dodow ód znajduje się w rozdziale 3 księgi I Laplace’a; zob. P. S. d e L a p i a c e ,
Traité de mécanique céleste, Paris A n VII (1799-1823).
22 S tało się to d o piero w 1838 г., a więc praw ie czterdzieści lat później, w „Jo u rn a l de M ath ém atiq u es p ures e t appliquées” („Jo u rn al d e Liouville” ), t. 3, s. 244-248.
23 W szczególności E. J o u g u e t , Lectures de mécanique, 2* p artie, Paris, s. 307-308, przyp. 5.
N a jak ich p o d staw ach opiera się m echanika klasyczna 1 5
[...] d w a pu n k ty m aterialne - stw ierdza Laplace - [...} m o g ą oddziaływać n a siebie jedynie przem ieszczając się p o łączącej je prostej24.
Całe to rozum ow anie opiera się n a rozkładzie danych sił działających w różnych kierunkach, a szczególnie wedle odległości między ciałami (punk towymi) układu. Zobaczym y w krótce w jaki sposób idee te zostały podjęte przez P o in so ta, a w jak i skrytykow ane przez L agrange’a.
Dowód Ampère’a. Jest on współczesny rozpraw ie Poinsota, lecz ściślej m ów iąc - nieco późniejszy25, a ponieważ zawiera uwagi, które zdają się dotyczyć pew nych wyborów bądź pewnych stosowanych przez Poinsota m etod, być m oże należałoby przedstaw ić go zaraz po om ów ieniu tej rozpraw y. D o uw ag tych w krótce powrócę. Jeśli zaś chodzi o sam dow ód, to ujm uje on układ w taki sposób, ja k gdyby m iał on tylko jeden stopień sw obody (stopień odpow iadający przemieszczeniom wirtualnym), a także rozpatruje przekaz m om entów ruchów danych sił działających w m echanizmie punktów zm uszonych do przesuw ania się po krzywych; wszystkie siły są w ten sposób rów now ażne pozostałym zmuszonym do przem ieszczania się w tej samej ilości po tej samej prostej. Znajdujem y tu coś, co odpow iada jedynem u ciężarowi, który zarów no zdaniem F o u riera, Lagrange’a, jak i C a rn o ta m oże się obniżyć. Należy jed n ak stwierdzić, że przedstaw ione wyliczenia są nieco nużące, a całość niezbyt oryginalna26.
8. K R Y T Y K A L A G R A N G E ’A D O K O N A N A P R Z E Z PO IN SO TA O D P O W IE D Ź L A G R A N G E ’A
Bardziej oryginalna jest krytyka, jakiej Poinsot poddał zasadę prędkości w irtualnych oraz zastosowanie jej przez L agrange’a ja k o podstaw y m echaniki. Ażeby dobrze uchwycić sens tej krytyki, należy powrócić do tego zastosow ania w Mécanique analytique. Powiem o metodzie m nożnika wyłożonej w czwartym rozdziale pierwszej części.
Załóżmy:
Pdp + Q dp + R d r -f ... = 0,
24 P. S. d e L a p l a c e , Traité de mécanique..., t. 1, s. 37.
25 Prace A m pére’a i P o in so ta u kazały się w kw ietniu 1806 г. w „Jo u rn a l de 1’Ecole Polytechnique” , n° 13; ro zp ra w a Po in so ta w jej wersji początkow ej była jed n a k czytana w A kadem ii 14 stycznia 1805 r., zaś ro zp ra w a A m pére’a - 11 lutego tego sam ego roku.
26 Są to m ęczące wyliczenia, n p . dotyczące znalezienia w aru n k u rów now ażności dw óch sił działających n a dw a p u n k ty , połączone sztywnym prętem , m ające opisać dw ie krzyw e. Por. nasze w ydanie Théorie générale P o in so ta [w:] P. B a i l h a c h e , Louis Poinsot. La théorie
générale de l'équilibre e t du m ouvem ent des systèm es, Paris 1975, s. 182 (wyd. oryginalne
w „Jo u rn a l d e l’Ecole Polytechnique” 1806, n° 13 o raz (w aneksie d o E lém ents de statique). N a to m ia st Jouguet, przeciwnie, uw aża d o w ód A m pére’a za „b a rd z o oryginalny” (ibidem, s. 309).
rów nanie zasady prędkości w irtualnych27. I załóżmy: L(x, y, z, x’, y', z', ...) = 0
M (x, y, z, x', y', z', ...) = 0
o raz to sam o w sposób bardziej ogólny, w postaci różniczkowej28: dL = 0, dM = 0, ...
rów nania с związków między punktam i n układu, dane x, y, z, x', y', z', ... Z tych с rów nań m ożna by wyprow adzić 3n - с zmiennych niezależnych, k tó re określiłoby się następnie, zrów nując z 0 współczynniki wariacji tych 3n - с zm iennych w form ule zasady prędkości wirtualnych, w której dp, d q , dr, ... zostałyby wyrażone jedynie w zależności od tych 3n - с zmiennych. Rozw iązałoby to problem równowagi układu, a w każdym razie pozwoliłoby postaw ić go w sposób analityczny. W perspektyw ie m atem atycznej osiąga się jed n ak to sam o - jest to m etoda m nożnika - gdy do wyrażonej form uły zasady, w raz ze wszystkimi danym i 3n, dorzuci się sumę:
M L + μόΜ + ...,
gdzie: Я μ, ... są dowolnym i współczynnikami (m nożnikam i). M am y wówczas trzy rów nania 3p Λ 3α „ 3 r ,3 L SM P— + Q z - + Rcr- + ··· + + μ—— h ... — 0, 5x 3x 3x 3x 3x w iadom e 3n + c: X, y, z, x ', y', z', ..., Я, μ , ...
L agrange zauw aża p onadto, że gdy w yraża się siłę członów (§ 5, s. 71) człony te m ogą stanow ić m om enty sił więzów:
Siły owe m o g ą wzajem nie zastępow ać ró w n an ia w arunku wypływające z n a tu ry dan eg o u k ład u ; m o g ą je zastępow ać w taki sposób, iż stosując siły otrzym am y ciała całkowicie sw obodne i bez żadnych więzów. Ł atw o teraz dostrzec racje metafizyczne, k tó re tłum aczą dlaczego w prow adzenie członów ż d L + p d M + ... d o ogólnego ró w nan ia rów now agi pozw ala następ n ie rów nanie to p o trak to w ać w tak i sposób, ja k gdyby wszystkie ciała u k ładu były całkow icie sw obodne; d o tego właśnie sprow adza się isto ta m etody om ówionej w tym rozdziale (s. 73).
27 Jeśli chodzi o statykę, a nie o dynam ikę, to Lagrange (w M écanique analytique), a za nim Po in so t stosują raczej prosLy symbol d, aniżeli deltę określającą zmienność.
u R óżniczki zupełne bąd ź nie; w przy p ad k u tych pierwszych m am y do czynienia z więzami
N a jak ic h podstaw ach opiera się m echanika klasyczna 17 Przypom niaw szy to, m ożem y przejść do P oinsota29. Pokazuje o n w prost, nie odw ołując się do zasady prędkości w irtualnych, wynik ujęcia rów nania
m etody mnożnika. Z pewnością w prost, lecz opierając się n a jakich zasadach
i w jak i sposób? Pytanie to staje się teraz rzeczywistym problem em . Poinsot m ów i po pro stu o „podstaw ow ych zasadach” m echaniki. W rze czywistości chodzi m u o zasadę rozkładu sił i o tę zasadę, ja k ą przyjęło milcząco wielu innych uczonych (Lagrange, A m père ...), a mianowicie o zasadę głoszącą, że p u n k t zmuszony do przem ieszczania się po powierzchni pozostaje w stanie rów now agi, gdy oddziaływ ająca nań siła jest prostopadła do pow ierzchni. D ochodzi d o tego również zasada, k tó rą m ożna by określić ja k o „zasadę częściowego zestalania się” , polegającą n a tym, że rów now aga uk ład u nie zostaje naruszona, jeśli część bądź całość jego p unktów określona zostaje m aterialnie. P oinsot, m łody a u to r Eléments de statique30, uważa, iż zasady te posiadają n aturę rzeczywiście „statyczną” , w przeciwieństwie do zasady prędkości w irtualnych, o której sądzi, iż jest niejasna, i że opiera się n a kruchych dc w odach. U zasadnienie spoczynku ruchem w irtualnym jest jego zdaniem błędem logicznym; jest to, ja k widzieliśmy, stary spór31; ograniczę się jedynie do zwrócenia uwagi, iż w sporze tym L agrange jest oczywiście po przeciwnej stronie niż Poinsot, gdyż zasada prędkości wirtualnych w niczym m u nie przeszkadza, i że najbardziej jasne wyrażenie zasady rozkładu sił opiera się, jego zdaniem, n a ruchu32. Sam a ta różnica nie m ogłaby je d n a k wyjaśnić nieporozum ienia, jakie Lagrange w ykazał względem Poinsota, gdy ów ostatni przedłożył m u wyniki swych badań, zaw arte w jego rozpraw ie. N a m arginesie tej rozpraw y Lagrange zamieścił uwagi: notatki te nie przem aw iają n a jego korzyść.
Z pewnością nie bez znaczenia jest tutaj sposób, w jaki Poinsot prze prow adził dow ody swej Théorie générale de l ’équilibre et du mouvement des
systèmes. Je st o n a oryginalna, lecz — w każdym razie na pierwszy rzut oka
- m oże w ydać się nieco niedostateczna.
O m ów ione przed chwilą rów nania 3n, które m ożna zapisać:
Bp Bą 3r ,3 L BM
p3x + Q3 i + Rä^ _ ··= ^ + +
-w yrażają sposób, -w jak i dane siły działające zostają podzielone n a mocy więzów m iędzy p u n k ty układu. T o jednak, że siły więzów pow inny przyjąć tę postać, m o żn a łatw o odgadnąć bądź w pewnej m ierze pojąć, lecz o wiele
29 Jeśli chodzi o szczegóły dotyczące p rac y Po in so ta, poświęconej zasadom m echaniki, zob. P. B a i l h a c h e , Louis Poinsot..., supra.
30 Eléments de statique ukazały się w 1803 г.
31 Por. wyżej: przeciwieństwo m iędzy dow odam i zasady rozkładu sił o charakterze statycznym (Stevin) lu b o charak terze dynam icznym (N evlon).
trudniej wykazać z całą ścisłością. Rozważmy zatem układ, będący w stanie rów now agi i poddany tylko jednem u powiązaniu:
L(x, y, z, x', y', z’, ...) = 0.
Nie niszcząc rów now agi m ożna wyznaczyć wszystkie punkty z wyjątkiem p u n k tu współrzędnych x, y, z. P u n k t ów posiada wówczas jedynie sw obodę przem ieszczania się po powierzchni o rów naniu:
L(x, y, z, x'0, z'0, ...) = 0
i ażeby zachow ać rów now agę pow inien przeto podlegać sile prostopadłej d o tej powierzchni. Inaczej m ów iąc (jest to znane rozwiązanie geometrii analitycznej), składowe tej siły pow inny być proporcjonalne do pochodnych cząstkow ych („do pierwszych funkcji” , ja k wówczas mówiono):
3L 3L 3L 3 x ’ 3 x ’ 3 x ’
Ja k d o tąd nie m a tutaj niczego nowego w stosunku do tego, o czym m ów ił Lagrange. Ażeby jed n ak dojść do sform ułow ania przedstaw ionych rów nań 3n, należy jeszcze pokazać, że współczynnik proporcjonalności - „m nożnik” - pozostaje ten sam wówczas, gdy przechodzi się od jednego p u n k tu do drugiego „co, słusznie pow iada P oinsot, jest istotą spraw y” 33.
W łaśnie tutaj zaczyna rozw ażać odległości między ciałami układu z jednej strony oraz stopniow o uwzględniać rów nania więzi z drugiej. W ten sposób P oinsot rozw aża sukcesywnie:
- układ, do którego m ożna zastosow ać tylko jedno rów nanie więzów w odniesieniu d o odległości;
- układ, do którego m o żn a zastosow ać wiele rów nań odnoszących się do odległości;
- układ z w ieloma rów naniam i odnoszącym i się do współrzędnych. Zwłaszcza przejście do ostatniego przypadku, który jest przypadkiem ogólnym , zostaje dokonane za pom ocą dość niezwykłego tricku analitycz- no-geom etrycznego34. W prowadzenie wzajemnych odległości m oże jednak
33 Jest to tra k ta t, k tó ry zo stał odczytany w Instytucie, a n astępnie o p u blikow any w: P. B a i l h a c h e , Louis Poinsot..., s. 19 (tekst B). N ależy rów nież dowieść, że d o d an ie innych więzów nie w pływ a n a rezu ltat, co oznacza, że siły więzów łączą się w sposób liniowy. N a ten zarzut, przedstaw iony w szczególności przez A m pére’a , P o insot odpow ie w b ard zo sta ra n n y spo só b w nocie, k tó ra została d o łączo n a d o późniejszego w ydania jeg o M émoire, włączonego do Eléments de statique (ósm e w ydanie, 1842). Zob. P. B a i l h a c h e , Louis Poinsot..., s. 89.
34 Z ab ieg ten poleg a n a dołączeniu trzech p u n k tó w d o u k ład u o raz n a spow odow aniu, iż wszystkie w zajem ne odległości k o ń czą się n a n ich. U k ład związany je s t p rze to z p rzestrzenią odniesien ia i m o żn a przejść o d ró w n a n ia o dnoszącego się d o odległości, d o ró w n a n ia odnoszącego się d o współrzędnych.
N a jak ich p odstaw ach o piera się m echanika klasyczna 19 wydać się sztuczne. Rzeczywiście nie było ono konieczne; m ożna dojść do ogólnego w yniku nie tylko wychodząc od samych zasad Poinsota i rozważając jakieś szczególnego rodzaju więzy między dw om a punktam i (sztywny drążek układu kierowniczego)35. W prowadzenie odległości jako przedm iotu rozw ażań w spraw ie P oinsota jest praw dopodobnie jak ąś historycznie uw arunkow aną
m etam orfozą. L aplace i Prony naw iązali do tej idei. P oin so t był pod
w pływem tych dw óch uczonych, zwłaszcza P ro n y ’ego, k tó ry był jego bezpośrednim nauczycielem w Ecole Polytechnique oraz w Ecole des Ponts et Chaussées.
Jest w każdym razie pewne, że Lagrange nie zrozum iał m etody Poinsota po pierwszej lekturze jego rozpraw y. Spośród tuzina n otatek Lagrange’a pośw ięconych przedłożonym m u dowodom, przedstaw my - dla przykładu - następującą wym ianę zdań. Poinsot zajmował się wtedy tylko rów naniem więzów.
Jeśli rozw ażym y p ro sty i sztyw ny p ręt, k tó ry w trzech p un k tach przyciągany je s t przez pew ne siły, zobaczym y, utrzym uje L agrange, że w rozw iązaniach tych, „ to znaczy, przyjm ując p o c h o d n e cząstkow e funkcji więzów” , nie określim y w aru nk ó w równow agi.
Poinsot odpow iada na to w sposób zdecydowany:
T rzy p u n k ty połączone prostym i sztywnym p rętem stanow ią układ p u n k tó w , k tó rych związki są w yrażone za p o m ocą trzech rów nań wyrażających fak t, że trzy wzajem ne odległości m iędzy tymi p u n k tam i są, ja k o osobne, niezm ienne. O tó ż w rzeczywistości chodzi tu ta j o jeden u k ład p u n k tó w opisanych co d o ich wzajem nych odległości tylko p rzez jedno równanie36.
Pozostaje wreszcie zagadnienie, do którego stosuje się jeszcze krytyka Poinsota, a m ianowicie zastosow anie zasady d'Alemberta. Ja k widzieliśmy, zasada ta, zdaniem L agrange’a, pozw ala w swej istocie przejść od statyki do dynam iki, gdyż układ ruchów wymuszonych bez ruchów ujętych utrzymuje system w rów now adze (a m ożna zastosow ać zasadę prędkości wirtualnych do tej całości). Zobaczym y jednak, co myśli Poinsot o tym poddaniu dynam iki dedukcyjnym rygorom.
W idzim y jeszcze, że n a pró żn o przyw ołaliśm y słynną zasadę d ’A lem berta sprow adzającą dy n am ik ę d o statyki. Jeśli ro zk ła d a się k ażdy ru ch w ym uszony n a d w a inne, z k tóry ch pierwszy byłby ruchem uzyskanym przez ciało, to n a m ocy owej zasady wszystkie n astępne ruchy pow inny ustanow ić rów now agę m iędzy sobą [...]. Jest to jed n a k całkowicie rów noznaczne z tym , o czym przed chwilą mówiliśm y, a m ianow icie z tym , że rzeczywisty ru ch każdego p u n k tu je s t rezultatem ru chu wym uszonego, ja k rów nież o p o ru , n a jak i n a p o ty k a z racji swoich więzów z innym i pun k tam i; je s t to jasn e sam o przez się
N ależy z pew nością uznać, że w ychodząc od m om entu, w którym odnaleźliśm y m ożliw ość w yrażania sił więzów za pom ocą pochodnych
35 Por. P. B a i l h a c h e , Louis Poinsot..., s. 183 i n. 36 Ibidem, s. 43.
cząstkow ych rów nań więzów, zasada ď A lem berta nie jest już do niczego przydatna, czy też raczej staje się zwykłą tautologią (poprzednio m iała ona jed n ak rzeczywistą treść). W ten sposób teoria P oinsota eliminuje również tę zasadę.
9. „O S T A T N IE S ŁO W O ” L A G R A N G E ’A W K W E S T II IN T E R E S U JĄ C E G O N A S Z A G A D N IE N IA
Po to jednak, by ocenić w całej ich doniosłości konsekwencje krytyki Poinsota, należy powrócić do L agrange’a i porów nać § 206-210 pierwszego i drugiego w ydania Théorie des functions analytiques (1797 і 1813), do którego odnoszą się n oty zamieszczone na m arginesie r >zprawy Poinsota.
W tekście pierw otnym Lagrenge stwierdza najpierw że jedyny p u n k t znajdujący się w równowadze n a powierzchni o rów naniu f(x, y, z) — 0 winien podlegać sile, której składowe są proporcjonalne do cząstkowych pochodnych funkcji f. N astępnie rozw aża u k ład dw óch p u n k tó w 38 i stw ierdza, że teo rem at je st jeszcze w ażny d la każdego z tych punktów . W końcu, w odniesieniu d o układu o dowolnej liczbie punktów nie działających w sposób konieczny stosownie do ich odległości, Lagrange, zauważywszy trudność w udow odnieniu równości współczynników pochodnych cząstkowych dla dw óch punktów , rozpatruje przypadek ogólny wychodząc od zasady
prędkości wirtualnych (§ 210)39.
W drugim wydaniu Théorie des fonctions paragrafy 208-210 zostają grunto w nie przerobione40. Lagrange rozw aża w nich systematycznie, poprzez analizę: - układ dw óch ciał związanych końcam i nierozciągliwą nicią przechodzącą przez stałe koło pasowe;
- u k ład dw óch ciał oraz dw óch stałych kół pasowych w raz ze sznurkiem przeciągniętym m razy przez jedno z ciał oraz jedno , z kół pasowych; n razy zaś przez dw a inne elementy;
- układ kół pasowych praktycznie identyczny z układem przedstaw ionym w drugim w ydaniu M écanique analytique, gdzie Lagrange przedstaw ia swój
34 L agrange stw ierdza, iż „przyciągają się one lub o d pychają dzięki siłom w ew nętrznym , bądź dzięki działaniom sprężyn” (§ 209); przyjm uje jed n a k funkcję: f = v[(x - x')2 - (y - ý ) 1 + + (z - z7)*] - d, k tó ra w yraża jedynie stałą odległość m iędzy d w o m a p u n k tam i. D ziałanie sprężyn w inno być zresztą w ykluczone ze względu n a właściwe zastosow anie zasady prędkości w irtualnych, przynajm niej d o 'w ię zó w u kład u (lecz nie koniecznie ze względu n a konkretyzację d an y ch sił działających).
39 Zob. jego n o tę n a m arginesie Théorie Poinsota: „[...) w innych p rzy p ad k ach rzecz nie w ydała m i się ja s n a i sądziłem , że m o żn a było ud ow odnić teo rem at ogólny jedynie za p o m o cą teo rem atu prędkości w irtualnych” (P. B a i l h a c h e , Louis Poinsot..., s. 50).
40 Te p a ra g ra fy Théorie des fon ctio n s analytiques zostały um ieszczone ja k o objaśnienia w: J. L. d e L a g r a n g e , M écanique..., t. 2, s. 365 i n.
N a jak ich p o d staw ach o p iera się m ech an ik a klasyczna 21
dow ód na zasadę prędkości w irtualnych. M echanicznej rów now ażności takiego układu z układem podlegającym pewnym danym siłom działającym odpow iada rów now ażność analityczna, a mianowicie rów now ażność je d n o stkowego rów nania więzów, właściwego dla układu kół pasowych i rów nania jakiejkolw iek innej więzi. L agrange pokazuje, że siły więzów pow stałe na skutek d ziałania d anych sił działających n a jakiekolw iek więzy m o żn a rozw ażać w taki sposób, ja k gdyby więzy konstytuow ane były przez całość zastosowanych kół pasowych41. M etoda ta jest z pewnością bardzo pomysłowa, a ostatecznie w szystko to rów noznaczne jest z udow odnieniem metody
m nożników prędkości, w ychodząc od „zasady kół pasow ych” (zasady opisanej
w Mécanique analytique) i nie odw ołując się od zasady prędkości wirtualnych; to właśnie w sposób odm ienny uczynił Poinsot w swej Théorie généralel
M o ż n a dziw ić się, p o w ia d a Jo seph B ertran d , że słynny a u to r, zazwyczaj tak troskliw y o p o d an ie źródeł przedstaw ionych idei, tym razem nie posłużył .się żadnym cytatem 42.
I ta k B ertrand uznaje pierwszeństwo P oinsota w tej kwestii. W pływ P oinsota n a Lagrange’a jest niezaprzeczalny.
10. K O N K L U Z JE
Z pew nością dość tru d n o jest skonkludow ać trafnie tem at tak obszerny, ja k ten podjęty obecnie przeze mnie. W ydaje m i się, że poszukiw anie możliwie najmniejszej liczby zasad ja k o podstaw y m echaniki jest przedsię wzięciem uzasadnionym - pow iodło się ono dopiero L angrange’owi. Stanowi to je d n a k jedynie część możliwych do postaw ienia problem ów . Pozostała część - bardziej filozoficzna - dotyczyłaby w mniejszym lub większym stopniu empirycznej natu ry m echaniki, jej koniecznego bądź przypadkow ego ch arak teru . P o p ra w n ą odpow iedź, m oim zdaniem , m o ż n a odnaleźć ju ż
41 N ależy wziąć pexi uwagę, że ten sam uk ład k ó ł pasow ych pow inien być ro zu m ian y n a d w a sposoby, Ij. inaczej, kiedy m ow a o dow odzie prędkości w irtualnych sform ułow anym przez Lag ran g e’a o raz zupełnie inaczej w Théorie des fo n ctio n s analytiques (w Théorie nie m a ciężarów , lecz jedynie zaw iązania sznurka). W pierwszym przy p ad k u k o ła pasow e urzeczyw istniają faktycznie d a n e siły działające, lecz w drugim sam e stanow ią więzy u k ład u . U kład złożony z m k o ń có w szn u rk a n a dw óch ko łach pasow ych, z n końców n a dw óch innych etc., odpo w iada ró w naniu więzów: f = mv[(x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2] -i- nv[(x' - a*)2 + (y' - b ')2 + + (z' - c')2 + ... - d = 0 . Niezależnie od p roblem u w spółm ierności stałych m , n ..., z w yjątkiem poszczególnych p rzypadków , m o żn a zawsze znaleźć m, n ... takie, że poch o d n e cząstkow e 3f/9x, ôf/ôy, ôf/ôz, 9f/9x', 9 f /9 / , ô ijd ť , ... są wszystkie rów ne p o chodnym cząstkow ym 9F/3x, 9F/ôy, ô F jdz, ôF/ôx', 9F/9y', d F /d ź , ... o jakiejkolw iek funkcji więzów. Lagrange, pokazaw szy, że siły więzów u k ład u k ó ł paso w y ch są p ro p o rc jo n aln e d o p o ch o d n y ch cząstkow ych f, w nioskuje z tego, że siły więzów dan eg o u k ładu - k tó re są takie sam e n a m ocy hipotezy - są p ro p orcjo n aln e d o p o chodnych cząstkow ych f, czyli F . Zrów nując siły d a n e z lak uzyskanym i siłami więzów, znajduje n aty ch m iast rów nanie stanow iące wynik m etody m nożników .
w całości u Archim edesa, według którego, m echanika wym aga (przyjęcia) nie dających się dowieść (zatem empirycznych) postulatów ; niezależnie od tego m echanika ta w inna być rozw ijana dalej na wzór m atem atyki. Liczne i różnorodne metafizyki, budow ane n a bazie nauki o ruchu (Arystoteles, D escartes, Leibniz), zagm atwały później cały problem . Tacy uczeni ja k d ’A lem bert i C a rn o t usiłow ali usunąć całkow icie pojęcie siły43; należy wszakże zauważyć, że nie uważali oni m echaniki za naukę przypadkow ą, a wręcz przeciwnie44. E rnst M ach wyznawał ścisły pozytywizm, zgodnie z którym m echanika pow inna posiadać charakter czysto empiryczny. Jed nakow oż nie przekonał wszystkich, wręcz przeciwnie, także cały ów spór o charakterze zasadniczo filozoficznym pozostanie długo jeszcze otw arty.
Przełożył Paw eł Pieniążek
Przekład przejrzała i po p raw iła M a łg o rz ata Kw ietniew ska
Patrice Bailhache
W H A T A R E T H E G R O U N D S O F CL A SSIC A L M E C H A N IC S? - T H E R E P L Y O F T H E H IS T O R Y O F S C IE N C E
T h e a u th o r tries to give an answer to the q u estion posed in the title o f the p a p e r by referrin g to those analyses an d argum ents which have been fo u n d m o st im p o rta n t by the histo ry o f science (laws o f Stevin, d ’A lem bert, L agrange, argum ents o f L azure C a rn o t, Prony, Am père, Laplace...). In his op inion the only possible philo so p h y o f m echanics m u st have the em pirical n a tu re . T h e prob lem was perceived already by A rchim edes, th o u g h it was later obscured by n u m ero u s m etaphysics. Yet, it is only the solution o f L agrange which c an be said to b e ap p ro ach in g the ideal. How ever, th e philosophical p a rt o f th e argum ents still rem ains unsettled.
43 J. L e R o n d D ’ A l e m b e r t , Traité de dynamique..., s. XX V I i dalej: „ T o wszystko, co widzim y w yraźnie w ru chu jednego ciała, to to , że przem ierza ono p ew ną przestrzeń, i że po trzeb u je pew nego czasu n a jej przem ierzenie (...] tymczasem j a odw róciłem , że tak powiem, w zrok od przyczyn wprawiających w ruch, ażeby widzieć jedynie ruch, k tó ry one w ytwarzają; [...] wykluczyłem całkowicie w ew nętrzne siły ciała znajdującego się w ru chu, byty niejasne i m etafizyczne, m ogące jedynie zaciem nić ja s n ą ze swej n a tu ry N a u k ę ” . Por. też L L. d e L a g r a n g e , M écanique..., s. I: „W stanie rów now agi siła n ie m oże zostać urzeczywistniona; istnieje o n a jedynie ja k o p ro ste dążenie d o ruchu; pow inno się jed n a k zawsze m ierzyć j ą skutkiem ja k i w yw ołałaby, gdyby nie została zatrzy m an a” .
44 N a p y tan ie p o staw ione przez A kadem ię B erlińską (przez E ulera), „czy p raw a statyki i m echaniki są ze swej isto ty konieczne czy przypadkow e?” , d ’A lem bert o d p ow iada w sposób n astępujący: d a n e w dośw iadczeniu praw a zgadzają się z p raw am i, k tó re odkryć m oże jedynie rozum ow anie, a zatem , „[...] p raw a te są z isto ty konieczne, nie w tym znaczeniu, że Stw órca nie m ógł ustan o w ić p raw całkowicie odm iennych, lecz w tym , że nie w yobrażał sobie, ażeby m o żn a było u stanow ić p raw a inne, aniżeli praw a, k tóre wypływałyby z sam ego istnienia m aterii” (J. L e R o n d d ’ A l e m b e r t , Traité de dynamique..., s. X X X II-X X X IV ).
