15

Mechanika kwantowa

Jak opisać atom wodoru?

Jak opisać inne cząsteczki?

2

V

T

H

ˆ

=

ˆ

+

ˆ

Równanie Schrödingera

ψ

ψ

E

H

ˆ

=

− − − ψ E

Hˆ

operator różniczkowy Hamiltona

energia

funkcja falowa

m – masa cząstki

Mechanika kwantowa

zasada

zachowania

energii

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

+

−

2 2₂ 2₂ 2₂

2

dz

d

dy

d

dx

d

m

h

r

e

Z

0 2

4

πε

⋅

−

Z – ładunek jądra przyciąganie Coulombowskie jądro-elektron

energia kinetyczna elektronu

ε₀– stała dielektryczna próżni operator energii potencjalnej operator energii kinetyczna

Atom wodoru

ψ

ψ

ψ

ψ

ψ

π

r

E

Ze

z

y

x

m

h

₋

₌

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

−

2 2 ₂ 2 ₂ 2 ₂ 2

2

‰

energia E

‰

funkcja falowa

Ψ

Równanie Schrödingera

przyciąganie Coulombowskie jądro-elektron energia kinetyczna elektronu

‰

rozwiązania

‰

postać

dla atomu wodoru

Z=1 (1 proton)

4

Atom wodoru

2 4 2 2 2

2

h

me

n

Z

E

=

−

π

‰

rozwiązania

‰

energia

r

0

E

n=1

n=2

n=3

n=4

Równanie Schrödingera

n = 1,2,3... – główna liczba kwantowa

m = -l, ... ,0,…, +l

magnetyczna liczba

kwantowa

‰

składowa momentu pędu

wzdłuż kierunku „z”

π

2

h

m

M

_z

=

‰

moment pędu

π

2

)

1

(

l

h

l

M

=

+

l = 0,1,2,3...n-1

poboczna/orbitalna

liczba kwantowa

Atom wodoru

Równanie Schrödingera

energia nie jest jedyną

kwantowaną wielkością

fizyczną

przestrzenne kwantowanie

momentu pędu elektronu M w

atomie wodoru (l=2)

Obliczmy M dla l=2:

π

π

6

2

2

3

2

h

h

M

=

⋅

=

Składowe M

_z

wynoszą:

π

π

π

π

2

2

,

2

,

0

,

2

,

2

2

h

h

₋

h

₋

h

Atom wodoru

Równanie Schrödingera

‰

rozwiązania

nie wynika z r. Schroedingera

Atom wodoru

Ostatnia liczba kwantowa

‰

spin

Ruch obrotowy elektronu nosi nazwę spinu. Elektron ma dwa stany spinowe, oznaczane strzałkami ↑ i ↓. Możemy sobie wyobrazić, że

elektron obraca się z pewną prędkością w kierunku wskazówek zegara przeciwnym (stan ↓, +1/2) lub z identyczna prędkością w kierunku przeciwnym (stan ↑, -1/2). Ponieważ wirujący ładunek elektryczny wytwarza pole magnetyczne, elektrony znajdujące się w tych dwóch stanach spinowych można rozróżnić na podstawie

wzór

wzór

znak orbitalu

magnetyczna

spinowa:

m

_s

=-½ lub ½

składową spinu

kierunek orbitalu

magnetyczna:

m=-l, (-l+1),…(l-1), l

składową

momentu pędu

kształt orbitalu

poboczna:

l=0,1,2,…n-1

moment pędu

rozmiar orbitalu

główna:

n=1,2,3,…

energię

określa funkcje

określa funkcje

falowe

falowe

Ψ

Ψ

przyjmuje

przyjmuje

wartości

wartości

określa

określa

wielkość

wielkość

fizyczną

fizyczną

2 4 2 2 2

2

1

h

me

Z

n

E

=

−

π

π

2

)

1

(

l

h

l

M

=

+

π

2

h

m

M

_z

=

π

σ

2

h

m

_s z

=

Atom wodoru

Liczby kwantowe

9

Ψ

Ψ

1,0,01,0,0 1s1s

Ψ

Ψ

2,0,02,0,0 2s2s

Ψ

Ψ

2,1,2,1,--11

Ψ

Ψ

2,1,02,1,0 2p2p

Ψ

Ψ

2,1,12,1,1

Ψ

Ψ

3,0,03,0,0 3s3s

Ψ

Ψ

3,1,3,1,--11

Ψ

Ψ

3,1,03,1,0 3p3p

ψ

ψ

3,1,13,1,1

Ψ

Ψ

3,2,-3,2,-22

Ψ

Ψ

3,2,-3,2,-11

Ψ

Ψ

3,2,03,2,0 3d3d

Ψ

Ψ

3,2,13,2,1

Ψ

Ψ

3,2,23,2,2

l

l

=

=

0

0

1

1

2

2

3

3

4

4

s

s

p

p

d

d

f

f

g

g

Atom wodoru

Liczby kwantowe

‰

rozwiązania

n

l

gęstość prawdopodobieństwa

Funkcja falowa w interpretacji Borna. Prawdopodobieństwo znalezienia elektronu w danym punkcie jest proporcjonalne do kwadratu funkcji falowej (Ψ2_):

prawdopodobieństwo to jest wyrażone przez stopień

zaczernienia paska u dołu. Gęstość prawdopodobieństwa w węźle wynosi 0. Węzeł jest punktem, w którym funkcja falowa przechodzi przez 0.

Funkcja falowa w interpretacji Borna. Prawdopodobieństwo znalezienia elektronu w danym punkcie jest proporcjonalne do kwadratu funkcji falowej (Ψ2_):

prawdopodobieństwo to jest wyrażone przez stopień

zaczernienia paska u dołu. Gęstość prawdopodobieństwa w węźle wynosi 0. Węzeł jest punktem, w którym funkcja falowa przechodzi przez 0.

‰ funkcja falowa

‰

interpretacja

Atom wodoru

Równanie Schrödingera

„

Zgodnie z postulatem Bohrna, prawdopodobieństwo

znalezienia elektronu w danym punkcie przestrzeni jest

proporcjonalne do kwadratu funkcji falowej w tym punkcie.

„

Tam gdzie funkcja falowa ma dużą ampitudę, istnieje duże

prawdopodobieństwo znalezienia opisanego przez nią

elektronu.

Tam gdzie funkcja falowa jest mała, znalezienie elektronu jest mało prawdopodobne. Tam gdzie funkcja falowa jest równa 0, znalezienie elektronu jest niemożliwe.

„

W mechanice kwantowej można przewidywać tylko

prawdopodobieństwo znalezienia cząsteczki w danym

miejscu.

‰

interpretacja

Atom wodoru

Równanie Schrödingera

Funkcja falowa elektronu w atomie ma tak istotne

znaczenie, iż nadano jej specjalną nazwę – orbital

atomowy. Orbital można poglądowo przedstawić

jako chmurę otaczająca jądro atomu; gęstość

chmury reprezentuje prawdopodobieństwo

znalezienia elektronu w każdym punkcie.

‰ funkcja falowa

‰

interpretacja

Atom wodoru

Równanie Schrödingera

Atom wodoru

Równanie Schrödingera

część radialna

część kątowa

( ) ( ) ( )

φ

ϕ

θ

γ

ψ

_{n ,}

_,

_l

_m

= r

R

⋅

⋅

x y y

γ

ϕ

r

‰ rozwiązania

‰

funkcja falowa

Atom wodoru

Równanie Schrödingera

( ) ( ) ( )

φ

ϕ

θ

γ

ψ

_{n ,}

_,

_l

_m

= r

R

⋅

⋅

‰ rozwiązania

‰

funkcja falowa

2p

_x

2p

_y

±1

1

2

2p

_z

0

1

2

2s

0

0

2

1s

0

0

1

Ψ

_n,l,m

symbol

m

l

n

0 2 3 0 1 2 a r e a − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 0 2 3 2 3 2 1 0 0 2 1 2 1 _ar e a r a − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛

( )

6 1 2 cosγ 4 1 2 ₀ 3 2 1 2 1 0 0 a r e a r a − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛

( )

6 1 2 sinγsinϕ 4 1 2 ₀ 3 2 1 2 1 0 0 a r e a r a − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛

( )

1 1 2 0 sinγcosϕ 2 3 1 2 1 a r e a r a − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 2 2 2 0 4 m e h a e

π

=

Atom wodoru

Równanie Schrödingera

P= Ψ 2 dV odległość od jądra, r

( ) ( ) ( )

[

]

2

2

, ,

φ

ϕ

θ

γ

ψ

R

r

m l n

=

‰ gęstość prawdopodobieństwa

‰ rozwiązania

‰

funkcja falowa

1s

Atom wodoru

Równanie Schrödingera

‰ gęstość prawdopodobieństwa

‰ rozwiązania

Atom wodoru

‰rozkład radialny

Równanie Schrödingera

rozk ład radialny g ęst oś ci 4πr2_R(r)2_dr odległość od jądra, r

( )

2

[

( ) ( )

]

2

2

, ,

φ

ϕ

θ

γ

ψ

= r

R

⋅

m l n

sumujemy/

całkujemy

Ψ

2

po γ i ϕ

‰ gęstość prawdopodobieństwa

‰ rozwiązania

‰

funkcja falowa

1s

a

₀

Atom wodoru

Równanie Schrödingera

‰rozkład radialny

‰ gęstość prawdopodobieństwa

‰ rozwiązania

‰

funkcja falowa

4πr

2

_|R(r)|

2

2s

2s

4p

4p

_3d

_3d

2-0=2

4-1=3

_3-2=1

4-0=4

4s

4s

Atom wodoru

orbitale

Równanie Schrödingera

‰ rozwiązania

‰

funkcja falowa

4πr

2

_|R(r)|

2

‰

składowa radialna

07_105 Nodes Node 1s 2s 3s (a) 1s 2s 3s (b)

Atom wodoru

Wizualizacja orbitali

_Ψ

_Ψ

_{1,0,01,0,0 1s1s}

Ψ

Ψ

2,0,02,0,0 2s2s

Ψ

Ψ

3,0,03,0,0 3s3s

P=90%

Atom wodoru

Wizualizacja orbitali

x

x

y

z

x

y

z

2p

_x

2p

_y

2p

_z

z

y

Ψ

Ψ

2,1,2,1,--11

Ψ

Ψ

2,1,02,1,0 2p2p

Ψ

Ψ

2,1,12,1,1

Atom wodoru

Wizualizacja orbitali

23

Atom wodoru

Wizualizacja orbitali

07_108B

x

y

d

_yz

x

y

x

y

z

y

z

z

z

z

x

y

d

_xz

d

_xy

d

d

x

Ψ

Ψ

3,2,-3,2,-22

Ψ

Ψ

3,2,-3,2,-11

Ψ

Ψ

3,2,03,2,0 3d3d

Ψ

Ψ

3,2,13,2,1

Ψ

Ψ

3,2,23,2,2

07_109 z z z y x z z z z f_z3 3 5zr

f_xyz f_{y(x2 - z2)} f_{x(z2 - y2)} f_{z(x2 - y2)} y x y x y x y x y x f_x3 3 5xr2 fy3 53yr2 y x - 2 -

-Atom wodoru

Wizualizacja orbitali

Ψ

Ψ

4,3,4,3,--33

Ψ

Ψ

4,3,4,3,--22

Ψ

Ψ

4,3,4,3,--11

4f

Ψ

Ψ

4,3,04,3,0

Ψ

Ψ

4,3,14,3,1

Ψ

Ψ

4,3,24,3,2

Ψ

Ψ

4,3,34,3,3

Atom wodoru

26

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

−

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

−

−

=

−

=

∆

2

₂2 ₂ 4

2

₂2 ₂ 4

2

2 ₂ 4

1

₂

1

₂ j i i j n n

n

n

h

me

n

h

me

n

h

me

E

E

E

i j

π

π

π

Atom wodoru

Interpretacja widma

Zmiana energii elektronu w czasie przejścia ze stanu n

_j

do stanu n

_i

(j>i)

Oblicz długość fali fotonu emitowanego przez atom wodoru w

wyniku przejścia elektronu z poziomu n = 3 na poziom n = 2.

Zidentyfikuj na rysunku (widmo wodoru) linię spektralną

odpowiadającą temu przejściu.

J

10

026

.

3

3

1

2

1

10

179

.

2

3

1

2

1

2

19 2 2 18 2 2 2 4 2 2 3 − −

_⎟

₌

_⋅

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

₋

⋅

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

₋

=

−

=

∆

h

me

E

E

E

π

kg 10 9.109 s J 10 626 . 6 19 31 34 − − − ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ = m h

Atom wodoru

Interpretacja widma

nm

m

J

s

m

s

J

E

hc

hc

c

h

h

E

657

10

57

.

6

10

026

.

3

/

10

00

.

3

10

626

.

6

1

7 19 8 34

=

⋅

=

⋅

⋅

×

⋅

⋅

=

=

=

=

=

− − −

λ

λ

λ

ν

s

m

c

s

J

h

/

10

00

.

3

10

626

.

6

8 34

⋅

=

⋅

⋅

=

−

przewidywania teorii kwantów

Atomy wieloelektronowe

różnica energii między dwoma stanami:

∆

E = (1/2

2

_{– 1/3}

2

₎

_⋅

_h

_⋅

_(3.29

_⋅

₁₀

15

_Hz)

częstość emitowanego światła wynosi:

ν

=

∆

E/h = (1/2

2

_{– 1/3}

2

₎

_⋅

_(3.29

_⋅

₁₀

15

_Hz)

długość fali promieniowania jest równa:

λ

= c/

ν

= (3,00

⋅

10

8

_m/s)/(1/2

2

_{– 1/3}

2

₎

_⋅

_(3.29

_⋅

₁₀

15

_Hz)

λ

= 6.57

⋅

10

-7

_m

Przykład 1

Identyfikacja linii w widmie wodoru