Sur un foncteur lié aux puissances divisées de degré 3

(1)

NORBERT ROBY

U n i v e r s i t é de M o n t p e l l i e r I I

SUR UN FONCTEUR L IÉ AUX PUISSANCES DIVISÉES DE DEGRÉ 3

Som maire :

S o i t M un m odule u n i t a i r e s u r un anneau c o m m u ta tif u n i t a i r e A. S o i t P^CM) l a com posante homogène de d e g r é 3 de l ' a l g è b r e d es p u is s a n c e s d i v i s é e s Г ( м ) . Dans f i ] , A, P r ó s z y ń s k i a d é f i n i l e so u s-m o d u le Г^(м ) de H j(m ) , q u i e s t e n g e n d ré p a r l e s é lé m e n ts _ x _ p 3 ( x € M ) , e t l e m odule q u o t ie n t ( M ) =

= Г3(М )/ Г3( М ) . On s e p r o p o s e i c i d ' e x p l i c i t e r Г3( м ) quand M e s t un p r o d u it f i n i d e n o d u le s m onogènes.

Un c e r t a i n nombre de d é f i n i t i o n s v ie n n e n t d ' e t r e don n ées dans l e som m aire c i - d e s s u s ; nous n e l e s r e p r e n d r o n s p a s .

N o t a t io n : L* anneau A é t a n t don n é, nous d é s ig n o n s p a r b l ' i d é a l d e A e n g e n d ré p a r l e s e le m e n ts du t y p e a 2- a ( a t a ) ; (n o t o n s en p a s s a n t que l ' a p p l i c a t i o n ca n o n iq u e A —? A/b

res o u d l e p ro b lèm e u n i v e r s e l p o s e p a r l e s homomorphismes A dans l e s anneaux de B o o le , m ais nous n ' u t i l i s e r o n s pas de f a i t ) .

Nous nous p ro p o so n s de d é m o n tre r i c i l e

THEOREME 1 s So i t £l^ , . . • , 1 ^ ( n i O ) u n e fam ille finie d'id é a u x d e A. t . S o i t le m odule p r o d u it M = A/I^ x . . . x A / I^ . A lo r s on a :

Г„(м) ~

n

A/(I ♦! +b).

1 * p < . q t n , V o i c i q u e lq u e s co n se q u en ces de c e th é o rè m e : S i I , s . . . = 1 = 0 , on o b t i e n t l e 1 n C o r o l l a i r e 1 : Pou r t o u t anneau A e t t o u t e n t i e r n -> 1, on a :

(2)

_

n ( n - l ) Г3(А ) S (A / b ) 2

C e t t e fo r m u le e x p l i c i t e l a s t r u c t u r e de Г3(М ) quand M e s t l i b r e de t y p e f i n i .

C o r o l l a i r e 2 s I I e s t p o s s i b l e d ' e x p l i c i t e r Г^См) p o u r t o u t

m odule d e type fini s u r un a n n e a u p im c ip a l.

V

C ar un t e l m odule e s t un p r o d u it f i n i de m odules m onoeènes.

Nous dém ontrons a u s s i l e

THEOREME I I : Pour t o u t m odule M e t t o u t I d é a l I d e A, on a .

V

M xA /l) ^

гз(м)

Ф М/( I + b ) M.

Pou r l ’ I n s t a n t , nous p rou vo n s d ’ a b o rd que l e th éorèm e I e s t une co n sé q u en ce du th éorèm e I I .

R a ison n on s peu* r e c u r r e n c e s u r n e t posons А/ I . x . . . x A / I = M . 1 n n ~ Le th éorèm e 1 e s t v r a i p o u r n = 0 (<?ar Г3( о ) = о ) . Supposons n ? 1. On a , d ’ a p r è s l e th éorèm e I I : ° - W ' V Î ? )Hn_ , = ® * / ( l n *S> ^ П [ A / I < S )A / (I +b)J 1 f p i П-1 p - Л A/(I + I + b 3. 1 i P < n P La d é m o n s tr a tio n p a r r é c u r r e n c e du th éorèm e 1 e s t a l o r s ls u s é d la te . La d é m o n s tr a tio n du th éorèm e I I s e r a o b te n u e à l a s u i t e d 'u n c e r t a i n nombre d e lesm tes.

Lemme 1 : S o ie n t M e_t N d e s A -m o d u le s . S o i t k(M ,N ) l e so u s-m o d u le de

(3)

[ Г 2 (Ю Ф kJ ф £ м ® Г2 ( ыП en ge n d ré p a r l e s é lé m e n ts de l a fo rm e x ^ ® y ♦ x <2> y ^

(

x ê m

,

y e n ) . A lo r s on a : l^(M xN ) - Г3(м) ф Г (N ) ф | [ P (m)® Nj Ф Гм ( g r2 (M)J j/ K (M , N ) . P re u v e : On a ( c f . L l l l j , th éorèm e p . 262)u n is o m o r p h is me ca n on iq u e de m odules ' 3(MxN) - Г3( м ) $ r 3( N> Ф £ [Г 2 (M î ® N ] ф Г м ® г 2 (м )]^

Dans o e t iso m o rp h is m e , l e m odule f^ (M x N ), en ge n d ré p a r l e s é lé m e n ts ( x , y ) , a p o u r im age un n o d u le H en ge n d ré p a r l e s é lé m e n ts : / x C3]+ y Г3 3 j f2 ] [2 J ł * У ♦ [x ® У + x (g) y 1 -'j f a i s a n t y (o u x = o )o n v o i t que x ^ 3^ ( e t y '" ^ ) < r H . On a donct H = r 3(M ) Q, Г ( N ) © k ( m , n ) Le lemme 1 en r é s u l t e . L e— e 2 : S o ie n t M un A -m od u le, I un i d é a l de A. S o i t J 1 * i d é a l de A e n g e n d ré p a r l e s é lé m e n ts de 1* une d es f o r — s i 2 ou 2 i ( i £ i ) . S o ie n t u : Г2(М )----Г 2 (М )/ 1 Г2( м ) e t V j M —* M/JM l e s a p p l i c a t i o n s q u o t ie n t s c a n o n iq u e s . S o i t Н (М ,l ) l e sou s-m od u le de П2(м )/ 1 Г 2 ( м ) ф M/JM

(4)

« a p w d r e p a r 1> « i l i w n t » d e l a fo rm e

a u ( x ^ )•*■ a2 v ( x ) ( a £ A, x £. M) A lo r s on a :

H j(M x A / l) ^ Г3( м ) ф

[Г2(м)/1

г2(м )ф M/JM] M M , ! ) .

P re u v e : R a pp elon s ( c f . [I V J , prop, g , p . 136 ) que

Г2( а / 1 ) ■— A/D2 (l), où J ( o f » d e f i n i t i o n l o c . o i t . , p . 1 2 7 ).

A p p llq u o u s l e l e шве 1 où 1* on pren d N .- A / l.

Ml 1 On s a i t que P ^ N ) e s t un n o d u le m onogène, e». te n d r e p a r о s i e e s t un g é n é r a t e u r d e N . On a donc Г ^ ( я ) г ( N) , de s o r t e que P3( n ) = 0, On a p a r a i l l e u r s d e s ls o B c r p h ls g M s Г2(М )Ф N =:Г2(М )/ 1 Г2(М ) e t M P2( N ) CrM/JM ; d 'o ù un 1 s o n o r p h is a e s f i y * ) g I N ] ф fM <g> P2(n )J - P 2( m ) / i г2(м ) Ф M/JM. S I , p o u r t o u t a £ A , on d é s ig n e p a r a son im age ca n o n iq u e f j l __ в roi dans A / I, l e systèm e d es g é n é r a t e u r s x ф ё + х ф а d e K (M ,N ) a pou r Im age dans c e t Isom orp h ism e l e sy stèm e d es g é n é r a t e u r s a u ( x ^ 2 ^ )+ a2 v ( x ) rte h ( M , i ) .

A c e t iso m o rp h ism e p r è s , l e lemme 2 e s t donc l a s im p le t r a d u c t io n du lemme 1 a v e c N s A / I. Lemme 3 : Pou r t o u t x fc M en a : u (x ^ 2 J ) ♦ v ( x ) f c H ( b , l ) . P re u v e г X I s u f f i t de p r e n d r e a= 1 dans l e s y s tè m e des g é n é r a t e u r s de H (M , l ) donné au lemme 2. Lemme U : On a b(M /JM )-C H (M , l) P r e u v e i Pour a t A e t x £ M on a en e f f e t , en r e p la ç a n t x p a r ax dans l e lemme

3

: a2 u (x ^ 2 ^ )+ a v ( x ) €. H ( M , l ) . M a is , t o u jo u r s p a r l e l e a s e 3 : >

(5)

а 2 [и (х ^ 2Ъ + v ( x ) J t H f » , ! ) , > D* ou p a r » o u e t r a c t i o n : ( a 2 - a ) v ( x ) H ( M , l ) . Le l e — e k an r e m i t « , L e n ie Ъ : On a t I(M /JM ) <= b(M/JM) P re u v e ; pour t o u t i ^ I e t t o u t x £ M, on a dane M/JM: i v ( x ) В i 2v ( x ) u o d u lo b(M/JM) 2 2 M aie i v ( x ) = О c a r i ć. J .

Lemme 6 : Q u els que s o i e n t x u t y dana M on a :

u ( x y ) é. H (M , l)

P re u v e : On a , en r e m p la ç a n t x par x + y dans le lemme 3:

6 en r é s u l t e . Le— e 7 ! T o u t é l é a e n t d e Г2 (**)/ 1 IjC **) ф M/JM e s t c o n g ru . m odulo h(M ,i ) à un é l e — n t d e M/JM . P re u v e : I l s u f f i t de l a m o n tr e r p o u r l e s e le m e n ts de P2(m ) / i P 2( m ) , O r, oe d e r n i e r sM>dule e s t en gen d ré p a r l e s é lé m e n ts d e l a f o r — u ( x ‘ 2 ) e t u ( x y ) ( x , y dans M ). Modulo H ( M , l ) , l 'é l e m e n t u (x ^ 2 ^ ) e s t co n gru à - v ( x ) (lem m e 3) e t l ’ é lé m e n t u ( x y ) e s t co n g ru à О ( l e — e 6 ) . D' ou l e l e — e 7 . L e— e 8 : Posons G (M , l)= (M/JM) 0 h ( M , I ) . A lo r s on a : P3(M x A / l ) i: f 3(M ) $ (M/JM)/ G ( M , I ) . P re u v e : C e la r é s u l t e du lemme 2 e t de I'* is o m o r p h is m ГР2 (М )/ 1 Г 2(М ) ® M/JMj / H (M , I ) a (M/JM)/ G (M , l) q u i se d é d u it du l e — e 7* t

(6)

La— в 9 s On a :

G (M , l)= b(M/JM)

En r a is o n du lemme 4 11 s u f f i t de d é m o n tre r l ' I n c l u s i o n :

G {M ,l)C b ( H / J M ).

L ’ o b t e n t i o n d e o e t t e r e l a t i o n e s t l a p a r t i e l a p lu s c o m p liq u é e de l a d é m o n s tr a tio n du th éorèm e 2 . Nous o p é ro n s en deux é t a p e s , en commençants p a r l e c a s où l e m odule M e s t l i b r e .

P re u v e du lemme 9 quand M e s t un m odulo l i b r e : S o i t x un é lé m e n t de G ( M , l ) . E ta n t dans H (.M ,l) on p e u t l ' e c r l r e sous l a fo rm e d’ une somme f i n i e

x s J . fa,*. n ( ^ 2 ^ ) ♦ a 2^ ) ] <*C A » * ) • Modulo Ь(М/1М) on p e u t r e m p la c e r a^. v ( x л ) p a r a ^ v ( x^. ) , En p o s a n t b„(■ a «: = ° oc on a donc : x = y m odulo b(M/JM) a v e c y s 2 . о ^ . [ и ( з ^ 2 ^ ) + v ( x Ä. ) 3 Of

M a ls , comme x é M/JM, 11 en e s t de meme de y . On a donc en f a i t s y - C v(x_<. ) Г ОС вС л 0 = 5 ° « u ( x * 2 j C e t t e d e r n i è r e r e l a t i o n s i g n i f i e a u s s i : ( 1 ) S o^ x ^ 3 ć I Г 2 ( M ). S o i t С * д ) л ^ д une b a s e de M, su p p osée t o ta le m e n t o rd o n n é e . I l e x i s t e , p o u r t o u t o c , une d é c o m p o s it io n x c c.r= 2 а^д в д ( a « o £ A» p re s q u e to u s n u l s ) . [‘2J 2 122 A l o r s , x ^ = I V x V * A % • On s a i t que l e s é lé m e n t e t в , e ( Л ^ р ) fo rm e n t

(7)

une b a se du module l i b r e

Г,(м),

En o o n s ld e r a n t l a com posante [2

3

de l a r e l a t i o n ( l ) s u r 1; e le m e n t d e b a se , on o b t i e n t

(11)

V'XeA

: I О^

X .

O r, on a :

T * Д ° “ ^ A V ( * » K

On p e u t donc é c r i r e : y î z m odulo b(M/JM) > > ou l ' o n pose Z = _{A , Л} V a îcA = f ° T ) . En v e r t u de ( i l ) , on a z С l(M /JM ) e t donc a u s s i x £ b (M / J M ) (lesn se 5 ) • A i n s i , on a : x £. b(M /JM ), oe q u i dém on tre l e lemme 9 lo r s q u e M e s t un m odule l i b r e . P re u v e du lemme 9 dans l e c a s g é n é r a l :

On r e p r é s e n t e N comme l 1 Im age d* un m odule l i b r e L p a r un m orphism e s u r j e c t i f f : L —^ M .

Nous posons : Kor f = К

I l e x i s t e a l o r s ( c f , I I I , § I*, p # 2 5 1) un srarphlsme s u r j e o -t i f f 12-1 : P2 ( l ) —* Г 2 (М ) d é f i n i , pou r x e t y dane M, p a r : f i 2 ] ( x [ z h = f 121 (xy) = f(x)f(y). [ 2 2 Nous posons : K e r f : ■ I l r é s u l t e de [ l I I . ] ( p r o p . I V . 0, p . 2 8 4 )q u e l e m odule K„ # * / [ 2J e s t e n g e n d ré p a r l e s é lé m e n ts du t y p e x ( x e K ) o u du ty p e x y ( x é K , y 6. M) , On d é f i n i t l e s a p p l i c a t i o n s c a n o n iq u e s : U : r 2( L ) r z ( L ) / I T 2 (l) e t V : L - ï> L/JL . I l e x i s t e a l o r s d e s m orphlsm es s u r j e o t l f s

(8)

g : L / J L M/JM e t h : ^ (l) — » P g ( M ) / l P 2 (,M) t e l qu* a n p u i s s e é c r i r e d e s d i a g r a m n e s c o m m u t a t lf » : _P2 3 f P2 ( L ) ^ Г ( М ) L *> M “ 1 , i * ' i „ I V Г2 ( Ь ) / 1 Г 2 ( Ь ) *> Г2 (М ) / 1 Г 2 (М ) L / J L - Ł - » M/JM On a : K e r h = U ( K 2 ) e t K e r g = V ( k ) . On p e u t a l o r s é c r i r e u n d ia g ra a u n e c o s e i u t & t i f ( à f l è c h e s s u r j e c t i v e s ) f w | f

г 2(ь)ф

L --->

Г

2

(м)фм

^Г^(м)/1Г2(м)

Ф M/JM a v e c ( i i i ) K e r ( Ъ ф в ) = U (K g ) ф V (k) P a r ( h & g ) , l e * g é n é r a t e u r s a U ( y ^ ) + a2 V ( y ) d e H ( L , l ) ( a é - A , y é L ) , s o n t a p p liq u é s s u r l e s é le a ie n t s a u ( f ( y ) l 2 ] ) + a 2 v ( f ( y ) ) , q u i s o n t l e s g é n é r a t e u r s de Н (М ,i ) . On a donc : ( h ® g ) L H ( L , l ) j = H ( M , I ) . I l en r é s u l t e que : ( h ф g j

*Гн(м,

l ) J = H( L , i ) + K e r (h Ф g ) = HCl, ! ) * U (K g ) ♦ V (K ) ( d ’ a p r è s ( i i i ) ) .

Au secon d membre, l a p r e s e n c e de U (K2 ) e s t Inutile. En

e f f e t , d ’ a p r è s l a g é n é r a t io n r a p p e lé e c i-d e s s u s de K g , u ( Kj] e s t e n g e n d ré p a r d e s é lé s ie n ta de deux t y p e s .

(9)

[ 2j - d ’ une p a r t , ceux du ty p e u (x ) , a v e c x t К . O r, on p eu t é c r i r e t и ( х Ы )= r u ( x r2j )♦ V(x)-J - V(x) ; au secon d шешЪге, l e t e r a e e n t r e o r o c h e t s e a t dans H ( L , l ) (lem m e 3 ) , t a n d is que V (x)é- V (k) . - d ’ a u t r e p a r t , ceux du ty p e U (x y ) ( x £ К , y é. s o n t dans H C L ,!) (lem m e 6 ), On a dono b ie n , en d é f i n i t i v e : ( h 0 g ) “ 1 ( H (M , I )J = H ( L , l ) + V (K ) C o n s id éro n s a l o r s un é le a w n t x p f i s dans sH (M ,i ) Л (M/JM). Cosse x CM/JM, i l e x i s t e un L t e l que : x s g о V ( y ) , Со шив x £ Н( M, I ) , on a : V(y) £- (f ® g) " 1 [h(m,x)J= h ( l , i ) + I l e x i s t e dono d es é lé n e n t s x £ H ( L , l ) e t t ( y ) = z ♦ V ( t ) Conns z s v ( y - t ) , on a a u s s i z £- L / J L , donc z é H ( L , l ) n L / J L a G ( l . i ) , 4 Des 1 e r s : x a g о V ( y ) a g ( z ) + g о V ( t ) s g ( z ) c a r g o V ( t ) a V о f ( t ) a v(o)a 0 . С о й м z <1 G ( L , l ) = b (L / J L )(le s s a e 9 dans l e o a s d es n o d u le s l i b r e s ) , on en d é d u it que xfc b(M/JM) c e q u i a c h è v e d e d é n o n t r e r l e le n n e 9 . Du le n n e 9 , on d é d u it que pour t o u t n o d u le M on a : (M/JM)/G ( M , l ) x (M/JM)/ b(M/JM) - M/fJ+b)M. Coasse J e . I , on a > J + b C. I + b { m ais in v e r s e a a n t , on a I + b e. J ♦ b , o a r t o u t é lé n e n t i de I p eu t s ' é c r i r e ( i - i 2 )+ i 2 , a v e c i - i 2 £ b e t i 2 £ J . Dono I + b a J ♦ b . F in a le m e n t on a : L ) ; c e u x - là G (M , l)= élé m en t y de V (K ) t t К t e l s que

(10)

REFERENCES

[ I ] PRÓSZYŃSKI A. , Some f u n c t o r s r e l a t e d t o p o ly n o m ia l t h e o r y , Fundamenta M a th em a ticae XCVI I I ; 1978 , P . 219-229

[ I I ] PRÓSZYŃSKI A . , Some f u n c t o r s r e l a t e d to p o ly n o m ia l t h e o r y , I I , C o llo q u e зги* l e s fo rm e s q u a d r a tiq u e s (1 9 7 7 , M o n tp e l- l i e r ) B u l l . S o . M ath. F r a n c e , Mém oire 59, 1979, P . 125-129 [I I I ] ROBY N . , Lo i s polyn ôm es e t l o i s f o r m e l l e s en t h é o r i e d es m o d u le s ,Ann. S c i e n t . E c. Norm. S u p ., 3e s é r i e , t . 80, 1963, P . 213-3<*8

[IV] ROBY N., Sur l ' a l g è b r e des p u is s a n c e s d i v i s é e s d 'u n module m onogène, R e v i s t a de l a U nién M a tem à tica A r g e n t in a ,

Volumen 2 4, N ’ umero 4 , 1 9 6 9, p . 12 7-14 1

0 FUNKTORZE ZWIĄZANYM Z PODZIELONYMI POTĘGAMI STOPNIA 3

S t r e s z c z e n i e N ie c h Г3(М ) o z n a c z a sk ła d ow ą je d n o ro d n ą s t o p n ia 3 a l g e b r y z p o d z ie lo n y m i p o tę ga m i P (m) i n ie c h Г ^ (м ) b ę d z ie podmoduł em Г „ ( M)generowanym p r z e z w s z y s t k ie p o d z ie lo n e p o t ę g i z ^ ( z t M ) . J A u to r o b l i c z a moduł i l o r a z o w y Г ^ (м ) w p rzy p a d k u , g d y M j e s t sk oń czon ą sumą p r o s t ą modułów c y k li c z n y c h .