Algorytm EM dla modeli mieszanych - podstawy teoretyczne
Pełen tekst
(2) >0DJLHUD V@VWRVRZDQDZUR]ZLć]\ZDQLXSUREOHPyZ]QLHNRPSOHWQ\PLGDQ\PL ]RE >'HPSVWHU/DLUGL5XELQ0F/DFKODQL.ULVKQDQ@
(3) &HOHPDUW\NXãXMHVW]DSUH]HQWRZDQLHV]F]HJyãRZHMDQDOL]\WHRUHW\F]QHMSUR EOHPXHVW\PDFMLSDUDPHWUyZPRGHOXPLHV]DQNLZLHORZ\PLDURZ\FKUR]NãDGyZ QRUPDOQ\FK]DSRPRFćDOJRU\WPX(0=RVWDQLHV]F]HJyãRZRRSLVDQHMDNRWU]\ PDQHRFHQ\SDUDPHWUyZPRGHOXPLHV]DQNL]DOHŧćRGVIRUPXãRZDQLDSUREOHPyZ ]QLHNRPSOHWQ\PLGDQ\PLL]GDQ\PLNRPSOHWQ\PLRUD]]DVWRVRZDQLDLWHUDF\M QHJRSRGHMŋFLD(0 3UDNW\F]QH]DVWRVRZDQLHPHWRG\RSDUWHMQDPLHV]DQLQLHUR]NãDGyZLDOJRU\W PLH(0]RVWDãRSU]HGVWDZLRQHZSUDF\>+XSWDV@ZNWyUHM]DSURSRQRZDQR Z\NRU]\VWDQLHJUXSRZDQLDRELHNWyZ DQDOL]\VNXSLHĸ
(4) ]DSRPRFćPRGHOXPLH V]DQNLUR]NãDGyZLSRGHMŋFLD(0ZSURFHVLHGRERUXVSyãHNGRSRUWIHODSDSLHUyZ ZDUWRŋFLRZ\FK3RãćF]HQLH]DSUH]HQWRZDQHJRZW\PDUW\NXOHXMĕFLDWHRUHW\F] QHJR]]DVWRVRZDQLDPLSUDNW\F]Q\PLRSLVDQ\PLZSU]\ZRãDQ\PRSUDFRZDQLX SR]ZROLQDZãDŋFLZHSU]HGVWDZLHQLH]QDF]HQLDSURSRQRZDQHJRUR]ZLć]DQLD 2SLVDOJRU\WPX(0 $OJRU\WP(0SROHJDQDSRZLć]DQLXGDQHJRSUREOHPX]QLHNRPSOHWQ\PL GDQ\PL]RGSRZLHGQLPSUREOHPHP]GDQ\PLNRPSOHWQ\PLZZ\SDGNXNWyUHJR.
(5) . 5RPDQ+XSWDV. HVW\PDFMDPHWRGćQDMZLĕNV]HMZLDU\JRGQRŋFLMHVWGXŧRSURVWV]DSRGZ]JOĕGHP REOLF]HQLRZ\P0HWRGRORJLDDOJRU\WPX(0RSLHUDVLĕQDSU]HIRUPXãRZDQLX SUREOHPX]QLHNRPSOHWQ\PLGDQ\PL]Xŧ\FLHPWHUPLQyZGRW\F]ćF\FKSUREOHPX ]NRPSOHWQ\PLGDQ\PLNWyU\MHVWSURVWV]\GRUR]ZLć]DQLDXVWDOHQLX]ZLć]NX PLĕG]\IXQNFMDPLZLDU\JRGQRŋFLW\FKGZyFKSUREOHPyZLZ\NRU]\VWDQLXSURVW V]HMSRGZ]JOĕGHPREOLF]HQLRZ\PHVW\PDFMLSUREOHPX]GDQ\PLNRPSOHWQ\PL PHWRGćQDMZLĕNV]HMZLDU\JRGQRŋFLZHWDSLH0DOJRU\WPXLWHUDF\MQHJR 1LHFK<EĕG]LHZHNWRUHPORVRZ\PPRGHOXMćF\PREVHUZDFMHQLHNRPSOHWQH RIXQNFMLJĕVWRŋFLI \ƞ
(6) JG]LHƞ ƞ«ƞG
(7) 7MHVWZHNWRUHPQLH]QDQ\FK SDUDPHWUyZ]SU]HVWU]HQLSDUDPHWUyZƟD;ZHNWRUHPORVRZ\PPRGHOXMćF\P GDQHNRPSOHWQHLPDMćF\PIXQNFMĕJĕVWRŋFLIF [ƞ
(8) )XQNFMHZLDU\JRGQRŋFLGOD ƞREVHUZRZDQ\FKGDQ\FKQLHNRPSOHWQ\FKLQLHREVHUZRZDQ\FKGDQ\FKNRPSOHW Q\FKPDMćRGSRZLHGQLRSRVWDþ/ ƞ
(9) I \ƞ
(10) L/F ƞ
(11) IF [ƞ
(12) (WDS\(L0ZLWHUDFML N
(13) Vć]GHILQLRZDQHQDVWĕSXMćFR>0F/DFKODQL.ULVK QDQV@ ²HWDS(REOLF]HQLH4 ƞƞ N
(14)
(15) JG]LH4 ƞƞ N
(16)
(17) ( ƞ N
(18) ^OQ/ F ƞ
(19) "< \` Dƞ N
(20) R]QDF]DZDUWRŋþSDUDPHWUXƞX]\VNDQćZNWHMLWHUDFMLDOJRU\WPX(0 ²HWDS0PDNV\PDOL]DFMD4 ƞƞ N
(21)
(22) Z]JOĕGHPƞZ\ELHUDQHMHVWƞ N
(23) DƟ WDNLHŧHGODZV]\VWNLFKƞDƟ4 ƞ N
(24) ƞ N
(25)
(26) 4 ƞƞ N
(27)
(28) 'OD]DGDQHJRƤ!F]\QQRŋFLZ\NRQ\ZDQHZHWDSDFK(L0VćSRZWDU]DQH GRPRPHQWXJG\SRUD]SLHUZV]\OQ/ ƞ N
(29)
(30) ²OQ/ ƞ N
(31)
(32) ƤOXEJG\]RVWDQLH VSHãQLRQHLQQHNU\WHULXP]DWU]\PDQLD3HãQ\RSLVDOJRU\WPX(0PRŧQD]QDOHťþ QSZSUDF\>+XSWDV@ (VW\PDFMDSDUDPHWUöZPRGHOXPLHV]DQNLUR]NïDGöZ QRUPDOQ\FK]DSRPRFÈDOJRU\WPX(0 3UREOHP]QLHNRPSOHWQ\PLGDQ\PLL]DVWRVRZDQLHDOJRU\WPX(0MDNRPHWRG\ REOLF]DQLDHVW\PDWRUyZQDMZLĕNV]HMZLDU\JRGQRŋFLPRŧQDGRVWU]HFDQDOL]XMćF PRGHOPLHV]DQNLZLHORZ\PLDURZ\FKUR]NãDGyZQRUPDOQ\FK ]RE>'HPSVWHU /DLUGL5XELQ0F/DFKODQL.ULVKQDQ@
(33) :HVW\PDFMLSDUDPHWUyZPLH V]DQNLQLHNRPSOHWQRŋþGDQ\FKQLHMHVWWDNRF]\ZLVWDMDNFKRþE\ZSU]\SDGNX VWUXNWXU]EUDNXMćF\PLGDQ\PL =DJDGQLHQLHHVW\PDFMLSDUDPHWUyZPRGHOXPLHV]DQNLZLHORZ\PLDURZ\FK UR]NãDGyZQRUPDOQ\FK]RVWDãRRSLVDQHZOLWHUDWXU]HSU]HGPLRWX ]RE>-DMXJD VV@
(34) :SUDF\>-DMXJD@GRHVW\PDFMLSDUDPHWUyZPLH V]DQNL]DVWRVRZDQRPHWRGĕ]DSURSRQRZDQćSU]H]-+:ROIHJRRSDUWćQDIXQN FMLZLDU\JRGQRŋFLLPQRŧQLNDFK/DJUDQJH·D2FHQ\QDMZLĕNV]HMZLDU\JRGQRŋFL GODPLHV]DQNLZLHORZ\PLDURZ\FKUR]NãDGyZQRUPDOQ\FKX]\VNDQH]DSRPRFć WHMPHWRG\PDMćQDW\OHVNRPSOLNRZDQćSRVWDþŧHDQDOLW\F]QHUR]ZLć]DQLH.
(35) . $OJRU\WP(0GODPRGHOL«. SRGDQ\FKUyZQDĸMHVWQLHPRŧOLZH ]RE>-DMXJDV@
(36) :]DPLDQ]DSUR SRQRZDQRDOJRU\WPLWHUDF\MQ\LFKSU]\EOLŧRQHJRUR]ZLć]DQLDNWyU\MHGQDNQLH Z\QLNDEH]SRŋUHGQLR]]DVWRVRZDQHMPHWRG\Z\]QDF]DQLDHVW\PDWRUyZ>-DMXJD V²@=DVWRVRZDQLHPHWRG\LWHUDF\MQHMZRSLV\ZDQ\PSU]\SDGNX MHVW]DWHPLQWXLF\MQH:WDNLVDPVSRVyESUREOHPWHQ]RVWDãUR]ZLć]DQ\ZSUDF\ >-DMXJDV²@ (VW\PDWRU\SDUDPHWUyZPRGHOXPLHV]DQNLX]\VNDQH]DSRPRFćDOJRU\WPX (0PDMćWDNćVDPćSRVWDþMDNZSUDFDFK>-DMXJD@2WU]\PDQLHRNUH ŋORQ\FKRFHQSDUDPHWUyZZ\QLNDMHGQDNEH]SRŋUHGQLR]HVIRUPXãRZDQLDSUREOH PyZ]QLHNRPSOHWQ\PLGDQ\PLL]GDQ\PLNRPSOHWQ\PLRUD]]DVWRVRZDQLDLWH UDF\MQHJRSRGHMŋFLD(0GODWHJRZGDOV]HMF]ĕŋFLDUW\NXãXV]F]HJyãRZRRSLVDQR MDNX]\VNDþHVW\PDWRU\SDUDPHWUyZPRGHOXPLHV]DQNL]DSRPRFćDOJRU\WPX(0 1LHFK:EĕG]LHZHNWRUHPORVRZ\PRIXQNFMLJĕVWRŋFLI Zƞ
(37) NWyUDMHVWPLH V]DQNćJJĕVWRŋFLSZ\PLDURZ\FKUR]NãDGyZQRUPDOQ\FKRQLH]QDQ\FKZHNWRUDFK ZDUWRŋFLRF]HNLZDQ\FKƫL L «J
(38) LPDFLHU]DFKNRZDULDQFMLƙL L «J
(39) *ĕVWRŋþI Zƞ
(40) MHVWRNUHŋORQDZ]RUHP g. f (w, Ψ) = ∑ π i fi (w, μ i , Σ i ),. .
(41). i =1. JG]LH L L «J
(42) ²QLH]QDQHZVSyãF]\QQLNLPLHV]DQNLUR]NãDGyZWDNLHŧH g. ∑ π i = 1,. .
(43). i =1. IL ZƫLƙL
(44) ²IXQNFMHJĕVWRŋFLLW\FKVNãDGRZ\FKPLHV]DQNLRNUHŋORQHZ]RUHP fi (w; μ i , Σ i ) = . 1 (2π ) p / 2 Σ i. 1/ 2. −1 ⎧ 1 ⎫ exp ⎨− (w − μ i )T ( Σ i ) (w − μ i ) ⎬ . ⎩ 2 ⎭.
(45). :HNWRUƞ]DZLHUDMćF\ZV]\VWNLHQLH]QDQHSDUDPHWU\PLHV]DQNLSU]\MPXMH ]DWHPSRVWDþ . ƞ ƫ«ƫJƙ«ƙJ«J²
(46) . -HŋOLZHNWRU]DREVHUZRZDQ\FKGDQ\FKX]\VNDQ\]JĕVWRŋFLPLHV]DQNL
(47) ]RVWD QLHR]QDF]RQ\MDNR
(48) y = (w1T, …, wTn )T , WRIXQNFMDZLDU\JRGQRŋFLREVHUZRZDQ\FKGDQ\FKSU]\MPLHSRVWDþ.
(49) . 5RPDQ+XSWDV n. L(Ψ) = ∏ f (wj , Ψ),. .
(50). j =1. DORJDU\WPIXQNFMLZLDU\JRGQRŋFLPRŧQD]DSLVDþMDNR g ⎪⎧ ⎪⎫ ln L(Ψ) = ∑ ln f (wj , Ψ) = ∑ ln ⎨∑ π i fi (wj ; μ i , Σ i ) ⎬. j =1 j =1 ⎩⎪ i =1 ⎭⎪ n. . n. 5yZQDQLHZLDU\JRGQRŋFLX]\VNDQHGODIXQNFML/ ƞ
(51) QLHSURZDG]LGRMDZQHJR UR]ZLć]DQLDΨ%\PyFVIRUPXãRZDþSUREOHPMDNRSUREOHP]GDQ\PLQLHNRPSOHW Q\PLLE\]DVWRVRZDþDOJRU\WP(0ZSURZDG]RQRZHNWRUEUDNXMćF\FKGDQ\FK z = (z1T, …, z Tn )T, JG]LH ]M M «Q
(52) ²JZ\PLDURZ\ZHNWRUNWyUHJRZVSyãU]ĕGQHVćWDNLPL]PLHQ Q\PLŧH]LM JG\ZMSRFKRG]L]LWHMVNãDGRZHMPLHV]DQNLZSU]HFLZQ\PUD]LH ]LM GODL «JLM «Q 1LHFKZHNWRUREVHUZRZDQ\FKGDQ\FK\SRVWDFL
(53) EĕG]LHZWHUPLQRORJLL ]ZLć]DQHM]DOJRU\WPHP(0ZHNWRUHPGDQ\FKQLHNRPSOHWQ\FKDZHNWRUGDQ\FK NRPSOHWQ\FKQLHFKPDSRVWDþ T. x = ⎡⎣(w1T, z1T ), …, (wTn , z Tn ) ⎤⎦ .. . . :\]QDF]RQRQDMSLHUZUR]NãDGZHNWRUD :M=M
(54) JG]LH:MMHVWZHNWRUHPORVR Z\PRGSRZLDGDMćF\PZMD=MMHVWZHNWRUHPORVRZ\PRGSRZLDGDMćF\P]M-HVW WRSU]\SDGHNG\VNUHWQRFLćJã\1LHFKDLEĕG]LHLW\PZHUVRUHPW]QZHNWRUHP ]SU]HVWU]HQL5JR]HURZ\FKZVSyãU]ĕGQ\FK]Z\MćWNLHPLWHMZVSyãU]ĕGQHMNWyUD MHVWMHG\QNćâćF]Q\UR]NãDGZHNWRUD :M=M
(55) MHVWZ\]QDF]RQ\SU]H]UR]NãDG EU]HJRZ\=M]3U =M DL
(56) L L «J
(57) LUR]NãDGZDUXQNRZ\:MSU]\=M DL RJĕVWRŋFLI L ZMƫLƙL
(58) L «J
(59) W]QãćF]QDJĕVWRŋþMHVWRNUHŋORQDZ]RUHP . h(w, z; Ψ) = π i fi (w; μ i , Σ i ). dla z = a i. . 5R]NãDGZDUXQNRZ\=MZ]JOĕGHP:MPD]NROHLSRVWDþ Pr(Z j = a i | Wj = wj ) = ]DWHP. h(wj , a i ; Ψ) f (wj ; Ψ). n. n. j =1. j =1. π i fi (wj ; μ i , Σ i ) f (wj ; Ψ). ,. Lc (Ψ) = ∏ h(wj , z j ; Ψ) = ∏ π i(z ) fi(z ) (wj ; μ i(z ) , Σ i(z ) ), j. . =. j. j. j. .
(60).
(61) . $OJRU\WP(0GODPRGHOL«. JG]LH L ]M
(62) LJG\]M DL /RJDU\WPIXQNFMLZLDU\JRGQRŋFLGODGDQ\FKNRPSOHWQ\FKMHVWUyZQ\. (. n. ). ln Lc (Ψ) = ∑ ln π i(z ) fi(z ) (wj; μ i(z ), Σ i(z ) ) = j =1 n. j. g. j. j. (. j. ). = ∑ ∑ zij ln π i fi (wj ; μ i, Σ i ) = j =1 i =1 n. g. n. g. = ∑ ∑ zij ln π i + ∑ ∑ zij ln fi (wj ; μ i, Σ i ).. . j =1 i =1. 8Z]JOĕGQLDMćF
(63) RUD]WRŧH∑ n. g. ln Lc (Ψ) = ∑ ∑ zij ln π i − j =1 i =1 n. g. n. g. . j =1 i =1. g. z = 1,RWU]\PDQR i =1 ij n g p ∑ ∑ zij ln(2π) + 2 j =1 i =1. 1 −1 ⎡ 1 ⎤ + ∑ ∑ zij ⎢ − ln Σ i − (wj − μ i )T ( Σ i ) (wj − μ i ) ⎥ = 2 ⎣ 2 ⎦ j =1 i =1 = ∑ ∑ zij ln π i − j =1 i =1 n. . p n ln(2π) + 2. g. 1 −1 ⎡ 1 ⎤ + ∑ ∑ zij ⎢ − ln Σ i − (wj − μ i )T ( Σ i ) (wj − μ i ) ⎥ . 2 ⎣ 2 ⎦ j =1 i =1. .
(64). 2EOLF]RQR(1:SDUDPHWUyZL L «J²
(65) RUD]ƫL L «J
(66) LƙL L «J
(67) 5yŧQLF]NXMćF
(68) Z]JOĕGHPLGODL «J²LELRUćFSRGXZDJĕŧH g −1. π g = 1 − ∑ πi ,. i =1 RUD]SU]\UyZQXMćFZ\QLNGR]HUDRWU]\PDQR n. . n. 1 1 ∑ zij π i − ∑ zgj π g = 0, j =1 j =1. i = 1, …, g − 1, . n. πi = . ∑ zij j =1 n. ∑ zgj j =1. πg ,. i = 1, …, g − 1..
(69).
(70) . 5RPDQ+XSWDV. 1DOHŧ\]DXZDŧ\þŧH
(71) ]DFKRG]LWDNŧHGODL J6XPXMćFSRL «JZ
(72) RWU]\PXMHVLĕ πg. g. ∑ πi = i =1. . g. n. ∑ ∑ zij .. n. ∑ zgj i =1 j =1 j =1. . 8Z]JOĕGQLDMćF
(73) RUD]WRŧH∑ i =1 zij = 1,X]\VNDQRQDVWĕSXMćF\Z\QLN g. πg. 1=. n. n,. ∑ zgj. F]\OL. . j =1. n. πg = . ∑ zgj j =1. .. n.
(74). 3RGVWDZLDMćF
(75) GR
(76) RVWDWHF]QLHRWU]\PDQR n. π i =. ∑ zij j =1. n. . i = 1, …, g − 1.. ,.
(77). 5R]ZLć]DQRQDVWĕSQLHUyZQDQLDZLDU\JRGQRŋFLGODƫL L «J
(78) LƙL L «J
(79) 5yŧQLF]NXMćF
(80) Z]JOĕGHPƫL L «J
(81) LSU]\UyZQXMćFZ\QLNGR]HUDRWU]\ PDQR n. . ∑ zij ( Σ i ). −1. (wj − μ i ) = 0,. j =1. i = 1, …, g, . n. μ i = . ∑ zij w j j =1 n. ∑ zij j =1. ,. i = 1, …, g. .
(82). $QDORJLF]QLHSRVWćSLRQRGODƙL L «J
(83) 1DOHŧ\MHGQDNSRGNUHŋOLþŧH]GH F\GRZDQLHSURŋFLHMMHVWZ\]QDF]\þSRFKRGQćORJDU\WPXIXQNFMLJĕVWRŋFLZ]JOĕ GHP ƙL
(84) ²5yŧQLF]NXMćF]DWHP
(85) Z]JOĕGHP ƙL
(86) ² L «J
(87) LSU]\UyZQXMćF Z\QLNGR]HUDRWU]\PXMHVLĕ.
(88) . $OJRU\WP(0GODPRGHOL« n. . ⎛1. ⎞. 1. ∑ zij ⎜ 2 Σ i − 2 (wj − μ i )(wj − μ i )T ⎟ = 0, j =1. ⎝. i = 1, …, g, . ⎠. n. Σ i =. ∑ zij (wj − μ i )(wj − μ i )T j =1. ,. n. ∑ zij. . i = 1, …, g..
(89). j =1. 1LHPRŧQDMHGQDNREOLF]\þW\FKZDUWRŋFLSRQLHZDŧQLHMHVW]QDQH]LM7UXGQRŋþ WĕUR]ZLć]XMHVLĕZHWDSLH(DOJRU\WPX(0 (WDS(GODLWHUDFML N
(90) 2EOLF]DVLĕQ(Ψ, Ψ (k ) ) = EΨ {ln Lc (Ψ) | Y = y}.1DW\PHWDSLH]DVWĕSXMHVLĕ]LM MHMZDUXQNRZćZDUWRŋFLćRF]HNLZDQć]:M ZM1LHFK=LMEĕG]LH]PLHQQćORVRZć RGSRZLDGDMćFć]LM (k ). zij(k + 1) = EΨ {Zij | Wj = wj } (k ). = PrΨ {Zij = 1 | Wj = wj } .
(91). (k ). = PrΨ {Z j = a i | Wj = wj }.. . (k ). .RU]\VWDMćF]
(92) RVWDWHF]QLHRWU]\PXMHVLĕ zij(k + 1). =. ) (k ) (k ) π (k i fi (wj ; μ i , Σ i ). f (wj ; Ψ (k ) ). . . .
(93). (WDS0GODLWHUDFML N
(94) + 1) + 1) + 1) GODL «J²RUD]μ (k LΣ (k GODL «J 2EOLF]DQDMHVWZDUWRŋþπ (k i i i (k ) NWyUHPDNV\PDOL]XMćQ(Ψ, Ψ ) n. + 1) π (k = i. ∑ zij(k +1) j =1. n. . i = 1, …, g − 1,. ,. . n. +1) μ (k = i. . ∑ zij(k +1) wj j =1 n. ∑. j =1. ,. i = 1, …, g,. zij(k +1) .
(95) . 5RPDQ+XSWDV n. + 1) = Σ (k i. ∑ zij(k +1) (w j − μ(ki +1) )(w j − μ(ki +1) )T j =1. . n. ∑. j =1. ,. i = 1, …, g,. zij(k +1) . JG]LH zij(k + 1)GDQHMHVWZ]RUHP
(96) 3RGVXPRZDQLH :DUW\NXOH]RVWDãDSU]HGVWDZLRQDV]F]HJyãRZDDQDOL]DSUREOHPXHVW\PDFML SDUDPHWUyZPRGHOXPLHV]DQNLZLHORZ\PLDURZ\FKUR]NãDGyZQRUPDOQ\FK]D SRPRFćDOJRU\WPX(0 0RGHOHPLHV]DQHPRJćE\þVWRVRZDQHGRWZRU]HQLDSRGVWDZJUXSRZDQLDRSDU WHJRQDPRGHOXSUREDELOLVW\F]Q\P0RGHOPLHV]DQNLUR]NãDGyZZRJyOQHMSRVWDFL RGQLHVLRQ\RF]\ZLŋFLHGRFDãHMEDGDQHMSUyE\GRVNRQDOHQDGDMHVLĕGRZ\NU\ZDQLD VNXSLHĸZSUyELHQREVHUZDFML SRU>ýZLNL.RURQDFNLV@
(97) 2ND]XMHVLĕŧHPHWRG\JUXSRZDQLD]QDMGXMć]DVWRVRZDQLHZDQDOL]LHSRUWIH ORZHM ]RE>7DUF]\ĸVNLLâXQLHZVNDV@
(98) :\NRU]\VWDQLHJUXSRZDQLD RELHNWyZG]LĕNLXŧ\FLXPRGHOXPLHV]DQNLUR]NãDGyZLSRGHMŋFLD(0ZSURFHVLH GRERUXVSyãHNGRSRUWIHODSDSLHUyZZDUWRŋFLRZ\FK]RVWDãRSU]HGVWDZLRQHZSUDF\ >+XSWDV@ 0yZLćFRPLHV]DQNDFKUR]NãDGyZQLHPRŧQDSRPLQćþSUREOHPXLGHQW\ILNR ZDOQRŋFLPLHV]DQNLUR]NãDGyZ=DJDGQLHQLHWRZNRQWHNŋFLHSRGHMŋFLD(0EĕG]LH SU]HGPLRWHPGDOV]\FKUR]ZDŧDĸDXWRUD /LWHUDWXUD ýZLN-.RURQDFNL->@6WDW\VW\F]QHV\VWHP\XF]ćFHVLĕ:17:DUV]DZD 'HPSVWHU$3/DLUG105XELQ'%>@0D[LPXP/LNHOLKRRGIURP,QFRPSOHWH 'DWDYLDWKH(0$OJRULWKP ZLWK'LVFXVVLRQ
(99) Å-RXUQDORIWKH5R\DO6WDWLVWLFDO 6RFLHW\%µ +XSWDV5>@=DVWRVRZDQLHDOJRU\WPX(0GRHVW\PDFMLSDUDPHWUyZUR]NãDGXQD SRGVWDZLHGDQ\FKSRJUXSRZDQ\FK=HV]\W\1DXNRZH$NDGHPLL(NRQRPLF]QHM Z.UDNRZLHQU.UDNyZ +XSWDV5>@*UXSRZDQLHRELHNWyZSU]\Xŧ\FLXPRGHOXPLHV]DQNLUR]NãDGyZ LSRGHMŋFLD(0ZGRERU]HVSyãHNGRSRUWIHODSDSLHUyZZDUWRŋFLRZ\FK>Z@0RGHOR ZDQLHLSURJQR]RZDQLH]MDZLVNVSRãHF]QRJRVSRGDUF]\FKUHG-3RFLHFKD:\GDZ QLFWZR8QLZHUV\WHWX(NRQRPLF]QHJRZ.UDNRZLH.UDNyZ.
(100) $OJRU\WP(0GODPRGHOL«. . -DMXJD.>@6WDW\VW\F]QDWHRULDUR]SR]QDZDQLDREUD]yZ:\GDZQLFWZR1DXNRZH 3:1:DUV]DZD -DMXJD.>@6WDW\VW\F]QDDQDOL]DZLHORZ\PLDURZD:\GDZQLFWZR1DXNRZH3:1 :DUV]DZD 0DJLHUD5>@0RGHOHLPHWRG\VWDW\VW\NLPDWHPDW\F]QHM*L6:URFãDZ 0F/DFKODQ*-.ULVKQDQ7>@7KH(0$OJRULWKPDQG([WHQVLRQV-RKQ:LOH\DQG 6RQV1HZ<RUN 7DUF]\ĸVNL:âXQLHZVND0>@'\ZHUV\ILNDFMDU\]\NDQDSROVNLPU\QNXNDSLWDãR Z\P:\GDZQLFWZR3ODFHW:DUV]DZD 7KH(0$OJRULWKPIRU0L[HG0RGHOVļ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
(101)
Powiązane dokumenty
Zaletą systemów addytywnych jest możliwość zapisu nawet dużych liczb całkowitych (pod warunkiem że są okrągłe) za pomocą jednego znaku, a wadą złożoność,
Poniżej przedstawione typowe podstawowe bloki programów, istnieją oczywiście jeszcze inne...
Ponieważ każda droga jest (n-1) drogą, więc dist[v][w] jest minimalną długością drogi wiodącej z wierzchołka v do w.. Elżbieta
Zaletą systemów addytywnych jest możliwość zapisu nawet dużych liczb całkowitych (pod warunkiem że są okrągłe) za pomocą jednego znaku, a wadą złożoność,
Powinny być one reprezentatywne i zakłada się że program dobrze działający dla danych wzorcowych będzie też dobrze działał dla wszystkich innych danych. test
Statyczna część modelu danych w języku C to system typów opisujący wartości, które mogą być przyjmowane przez..
Ma postać ciągu kroków których jest liniowa ilość (np. stała albo proporcjonalna do liczby danych) które muszą zostać bezwarunkowo wykonane jeden po drugim..
w języku matematycznym, lista jest ciągiem n elementów, który zapisujemy jako (a1,a2, …,an).. Zadaniem systemu operacyjnego jest zarządzanie i szeregowanie zasobów